高中数学教学课例《变化率与导数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
高中数学教学课例《变化率与导数》教学设计及总结反思
高中数学 第3章 导数及其应用 3.1 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念(教师用书)教
3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解导数概念的实际背景．(难点) 2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点) 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 1．通过学习导数概念，培养学生数学 抽象的素养. 2.借助导数的定义求函数在某点的导 数，培养数学运算的素养. 1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)几何意义：P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，那么平均变化率 Δy Δx ＝ f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 表示割线P 1P 2的斜率． 思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示]Δx ≠0，Δy ∈R . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .
促进学生核心素养发展的高中数学单元教学设计--以“导数及其应用”为例
促进学生核心素养发展的高中数学单元教学设计--以“导数及其应用”为例 在以核心素养为导向的基础教育课程改革背景下，促进学生核心素养发展是面向未来的高质量教育教学的应然要求。单元教学是落实学生核心素养培育的基本教学形式。本研究以“导数及其应用”单元教学设计为例，围绕如何恰当选择单元、准确把握数学本质、深入分析课程标准与数学教材、准确设计单元目标、全面设置单元活动、充分开展学习评价六个方面展开讨论，理清单元教学设计方法与思路，阐述如何编制促进学生核心素养发展的高中数学单元教学设计，为广大教育工作者提供借鉴与参考。 聚焦核心素养的单元教学是实现高质量课堂教学的关键，做好单元教学设计是实现数学单元教学的基础，也是搭建学生核心素养培育与教师专业发展的桥梁。 本研究以高中数学“导数及其应用”单元教学设计为例，以编制教学设计的步骤为主线，从选择单元（主题）入手，依次阐述单元教学设计的流程，尝试理清促进学生核心素养发展的单元教学设计方法与思路，为广大教育工作者提供借鉴与参考。 单元教学设计是从某个知识、技能或方法学习的整体出发，综合考虑学生核心素养长远发展的一个完整的单元教学规划，其核心特征为系统性与整体性。教师在编制教学设计时应注意从学科主体脉络的层面理顺与组建恰当的单元主题。单元可以根据课程标准和教材，从
结构化的数学知识、基本的数学思想方法、核心素养（关键能力）培育三个方面来划分。 结构化的数学知识主题是最显性的单元，也是教师进行单元教学设计时最常使用的主题单元组建方法之一。各版本数学教科书都是以知识逻辑为主线进行编制，教师通常可以选取课本中的一个章节或知识结构连贯的多个章节，组成以数学知识脉络为主线，层层递进、螺旋上升的知识单元。教师选择此种组建方式时，应深度研读课程标准要求，系统整理教材内容，建立知识结构体系，明确一条主题鲜明的单元教学主线，梳理各部分内容之间的内在联系，聚焦学生的核心素养发展，设计内容完整的单元教学。 “导数及其应用”，是学生在学习了函数的平均变化率的基础上，学习导数的概念，了解导数的几何意义，并学习基本初等函数的导数以及求导法则，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等。依照数学知识学习脉络，可以组建如图1所示的“导数及其应用”单元。 以“思想方法”与“核心素养（关键能力）”划分，是进阶的单元主题组建方式。以思想方法为主线组建单元，通常可以选取数学思
从导数概念教学例谈数学核心素养的培养
从导数概念教学例谈数学核心素养的培 养 高中数学课程宗旨要求我们以学生发展为本，培养学生的数学核心素养．培养学生的数学核心素养的主要渠道就是课堂教学，下面从导数概念的课堂教学来谈谈数学核心素养的培养. 导数概念的建立划分为两个阶段：首先明确瞬时速度的含义，然后将瞬时速度一般化，给出导数定义．这个过程蕴含了逼近的思想和用已知探究未知的思考方法．为了突出导数概念的实际背景，我选取了两个典型实例，引导学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程，从而理解导数概念的本质――导数就是瞬时变化率． 教学片断：导数概念教学 一、数学运算、逻辑推理，激发思维火花 回顾课本第3页“探究”,进行自主学习 在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度（单位：m）与起跳后的时间(单位：s)存在函数关系 . 计算运动员在这段时间里的平均速度，结合图象思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？ （2）用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 师生活动：组织学生讨论、交流计算结果，激发学生的求知欲，明确研究课题．经过计算、讨论，运动员在这段时间内的平均速度为0，在这段时间内，他一直在运动着，也就是说不可能是静止的．
设计意图：通过该探究的自主学习，使学生意识到平均速度只能粗略地描述 物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确刻画物体的运动状态，有必要研究 某个时刻的速度即瞬时速度．这样设计能激发学生求知的欲望，主动探索,自觉 反思,主动进行互动,合作交流，并在计算与思考的过程中,培养学生的数学运算 和逻辑推理素养． 二、数学运算、数据分析，明确瞬时速度定义 问题1：请大家思考如何求运动员的瞬时速度？如t=2时刻的瞬时速度？ 师生活动：提出问题，组织学生讨论、相互交流，引导学生“以已知探求未知”．从平均速度出发，寻求想法去求瞬时速度，引导发现当时间间隔很小时， 平均速度就会逼近瞬时速度．从而确定想法：计算t=2s附近的平均速度，细致 观察它附近发生的情况． 设计意图：问题具体化为求t=2时刻的瞬时速度，针对具体问题情境，寻求 解决问题的方法，通过实际操作来解决问题，直观的想法需通过数量计算得以明确． 问题2：请同学们再想一想，所谓的t=2s的附近要怎么刻画？所对应的平均 速度是多少呢？ 师生活动：引导学生采用数学符号，将想法具体化，明确计算公式：如果用 Δt来表示时间改变量，当Δt取不同值时，计算[2,2+Δt]与[2+Δt,2]的平均 速度． 设计意图：Δt的取值应多取几个，更多的数值有利于学生发现其中蕴含的 规律．学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，同时学生有一次体会“以已 知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力，通过亲自取Δt，亲 自计算，亲身感受逼近的趋势．在计算的过程中,培养了学生的数学运算的素养，并对数据进行分析,培养学生数据分析的素养． 问题3：当Δt当趋于0 时，平均速度有怎样的变化趋势？
以导数的概念为例谈谈数学核心素养的培养
以导数的概念为例谈谈数学核心素养的 培养 [摘要]《普通高中数学课程标准(2017年版》,提出了高中数学课程要"凝练学科核心素养",指出"中国学生发展核心素养是党的教育方针的具体化,细化".数学学科的核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力。主要包括"数学抽象,数学运算,数学建模,直观想象,逻辑推理,数据分析"六个方面。在学科教学中要认真落实学科核心素养,对全面贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务,发展素质教育都有非常重要的意义. [关键词] 关键词：数学课程标准；高中数学; 核心素养提升;导数的概念;学科教学 数学概念是数学思维形成的核心；数学公式；法则；定理等都需建立在数学概念之上；数学概念的教学不但能培养学生的思维品质；还能提升学生抽象概括等思维能力；促进学生数学核心素养的发展；由于数学概念高度抽象的特点，所以在教学过程中教师不仅要发挥主导作用引导学生经历概念形成的过程；还要提高他们的数学思维能力，进而获得必要的数学素养；学生所拥有的“核心素养”并非直接由教师教出来的，而是在问题情境中借助问题解决的实践过程培养起来的。数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映，是建立数学法则、公式、定理的基础，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是数学思维、交流的工具。高中数学概念是抽象逻辑思维的产物，是一种数学逻辑构造，是数学深入发展的逻辑源泉。因此在概念的教学中，教师的教学设计须围绕学生思维能力的训练以及提升学生数学核心素养这两大方面展开。教师在课堂中的所起到的主导作用就是创设适当的问题情境，激发学生思考，下面我将以导数的概念教学设计实例为例谈谈如何在概念教学中，让学生掌握数学知识的同时培养学生数学核心素养。
导数的概念及其意义的单元教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册
“导数的概念及其意义”单元教学设计 一、内容和及其解析 （一）内容 导数的概念及其意义。 （二）内容解析 1.内容本质： 按照概念教学的基本环节（引入、明确、巩固、应用），本单元引导学生经历4次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程： 过程1 物理学中由平均速度过渡到瞬时速度的过程——典型实例分析； 过程2 几何学中特殊曲线由割线过渡到切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程——典型实例分析； 过程3 一般函数y＝f（x）从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程——给出导数的概念； 过程4 一般曲线y＝f（x）由割线过渡到切线、由割线斜率过渡过渡到切线斜率的过程——给出导数的几何意义． 前3个过程的重心是对两个不同类型的典型实例进行属性的分析、比较、综合，概括它们的共同本质特征得到本质属性，进而抽象概括出导数概念——用准确的数学语言表述的导数概念，属于概念教学一般进程中的“概念的形成”和“概念的明确与表示”环节；过程2、过程4是从特殊到一般得到一般切线概念以及导数的几何意义的过程，其中过程4让学生又一次经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，有利于建立多元联系，进一步理解导数的概念．这样多次、反复经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，极大地助力学生初步理解导数的内涵——导数是瞬时变化率 需要特别注意的是，在上述4个过程尤其是过程1和过程2中，还应不断渗透和多次使用“运动变化的观点”、“在局部小范围内以不变代变、以直代曲”等微积分基本思想以及“极限思想”解决问题，这样在抽象概括导数的概念和几何意义时，可以对研究问题思想方法、过程，极限思想和结果形式的一致性等“内容及其蕴含的思想、方法”一并进行适度总结概括；在过程2和过程4中，让学生通过函数图象直观体会 割线逼近切线过程，理解导数的几何意义． 2.蕴含的思想方法 在介绍两个典型实例、导数的概念及其几何意义的过程中，引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，不断渗透“用运动变化的观点研究问题”、“逼近（极限）”、“以直代曲”等微积分
高中导数教学设计的重点问题探究
高中导数教学设计的重点问题探究
摘要：导数是高中数学学科体系中难度系数较高的一个模块，但其中所蕴含的数学思想和思维对学生的学科发展至关重要。因此，高中数学教师应充分重视导数这一重难点，优化导数教学设计，从而引导学生高效的认识和解决这项数学难题，夯实学生的基础知识体系，培养学生严谨的数学逻辑思维。基于此，本文将对高中导数教学设计的必要性以及现状进行简要介绍，并集中阐述导师教学设计的有效策略。 关键词：高中导数；教学设计；重点问题 引言：合理的教学设计可以为教师后期的教学工作提供方向指引，提升学生的课堂参与度。在新课程改革背景下，高中数学教师应侧重培养学生的学科兴趣，这也就要求教师在教学设计方面有所创新，在确保涵盖基本知识点的前提下，为学生建立完整的模块知识体系，提升教学质量。 一、导数教学设计的必要性 高中阶段的导数知识是微积分的基础，是对函数内容的一种补充，在高考中所占的分值比重不容忽视。在整个高中数学体系中，导数侧重考察学生的逻辑思维能力，是学生数学知识应用能力的一种升华。为确保学生可以充分的理解导数的性质以及基础知识点，引导学生认识导数与函数的内在关联，教师有必要针对这一模块展开科学合理的教学设计，对教学结构作出适当调整。唯有如此，教师才能帮助学生建构起完善的知识体系，提升学生的解题效率水平。 二、高中导数教学现状 导数知识属于高中数学的选修模块，整体来说，其所涉及到的知识比较基础。但是，导数知识却是广大高中生一致认同的数学难点，很大一部分学生始终无法正确利用导数求解函数的参数范围问题，解题的失误率相对较高。一方面，这是因为学生没有真正理清导数的知识脉络；另一方面，这体现了学生数学思维逻辑的短板问题。与此同时，在使用教材展开导数教学的过程中，绝大多数教师都容易忽视连续性，导致学生在导数概念理解层次就存在漏洞，在后期更加抽象的概念学习中便有心无力。除此以外，也有部分教师侧重强调学生记忆导数的公式，在解题时直接套用公式，但是由于题型多变，倘若学生没有理解知识的本质，那么在应用过程中将很难找准切入点。 三、高中导数设计的重点问题 （一）教学目标设计
高中数学教学课例组合课程思政核心素养教学设计及总结反思
高中数学教学课例?组合?教学设计及总结反思
4、拓展练习注重对组合数公式的灵活应用,旨在引导学生挖掘组合数中隐含的上标和下标间的大小关系,增强与不等式知识的联系,先求出n的范围,再进一步得出n的值,最后再用组合数公 式计算出结果.
课堂小结 1、通过本节学习,要求大家通过寻求排列、组合的区别,加深对组合概念的理解,通过排列、组合的联系,理解排列数、组合数公式之间的联系,并掌握组合数公式,并且能用它分析解决一些简单问题； 2、注意公式的灵活应用. 作业布置 1、课本习题10.3： 1、3、4、5、6； 2、练习册； 3、预习作业：组合数的两个性质. 1.以一个正方形的顶点为顶点的四面体共有〔D〕 个 〔A〕 70 〔B〕 64 〔C〕 60 〔D〕 58 2. 3名医生和6名护士被分配到3所所为学生体 检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有〔D〕〔A〕 90 种〔B〕 180 种〔C〕 270 种〔D〕 540 种 3.将组成篮球队的12个名额分配给7所学校,每
校至少1个名额,那么不同的名额分配方法共有〔A〕 (A)(B)(C)(D) 课例研究综 4. 5本不同的书,全局部给四个学生,每个学生 至少1本,不同分法的种数为〔B〕 (A) 480 (B) 240 (C) 120 (D) 96 5.编号为1, 2, 3, 4, 5的五个人分别去坐在编号为 1, 2, 3, 4, 5的座位上,至多有两个号一致的坐法种数为 〔C〕 〔A〕 90 〔B〕 105 〔C〕 109 〔D〕 100 6.如右图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色,现在4种颜色可供选择,那 么不同的着色方法共有〔B〕种〔用数字作答〕 〔A〕 48 〔B〕 72 〔C〕 120 〔D〕 36 7.假设把英语“error〞中字母的拼写顺序写错了, 那 么可能出现的错误的种数是〔A〕. 〔A〕19〔B〕20〔C〕119〔D〕60 8.某赛季足球比赛的计分规那么是：胜一场,得3 分； 平一场,得1分；负一场,得0分,一球队打完15场,积分33 分,假设不考虑顺序,该队胜、负、平的情况有〔D〕 〔A〕 6 种〔B〕 5 种〔C〕 4 种〔D〕 3 种
高中数学《导数的概念及其几何意义》公开课教学设计
《导数的概念及其几何意义》 一、教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书( A版)数学选修2-2第一 章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义. 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。从横向看，导数在现行高中教材体系 中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理. 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用• 二、学生学情分析 1. 导数是对变化率的一种“度量” 实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了 导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从• 2. 可能存在的问题： (1)“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡• (2)使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度•这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际 浙也y 的计算，在计算过程中，充分感知当丨氏1趋于0时，石趋于一个定值；当趋于o时，冬趋于一个定值• (3)在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在
【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用 《5.1.1变化率问题》教学设计 第2课时 ◆教学目标 1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． ◆教学重难点 ◆ 教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法 教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 ◆课前准备 PPT课件． ◆教学过程 【新课导入】 问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题： （1）本节将要探究哪类问题？ （2）本节探究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题． （1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题． （2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升． 设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架． 问题2：什么叫直线与圆相切？ 师生活动：学生回顾并回答． 预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．
【探究新知】 知识点1：曲线在某点处的切线 我们以抛物线f （x ）=x 2为例进行研究． 问题3：如何定义抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线？ 师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解． 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线，我们通常在点0(11)P ，的附近 任取一点2()P x x ， ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况. 如图，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线. 知识点2：曲线在某点处的切线斜率 抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2 (1Δ(1Δ))x x ++，.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1 Δ21(1Δ)1 f x f x k x x x -+-===+-+-. 我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格. 0x ∆< 0x ∆> x ∆ Δ2k x =+ x ∆ Δ2k x =+ 0.01- 1.99 0.01 2.01 0.001- 1.999 0.001 2.001 0.0001- 1.9999 0.0001 2.0001 0.00001- 1.99999 0.00001 2.00001 0.000001- 1.999999 0.000001 2.000001 …… …… 当x ∆1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.
高中数学《导数的概念》教案
《导数的概念（第一课时）》教学设计 一、教学内容解析 本节课是人教A 版《普通高中课程标准实验教科书--数学选修2-2》，第一章第一节1.1.2的第一课时--导数的概念.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效的工具.考虑到高中学生认知水平，没有采用一般的：数列----数列的极限----函数的极限----导数这种建立概念的方式，而是从变化率入手，用形象直观的“逼近”定义导数.这样一来，一方面排除了因难以理解极限的形式化定义，而对导数本质理解的干扰，将更多的精力放在对导数本质与内涵的理解上；另一方面，学生对逼近的思想有了丰富的直观基础和一定理解，有利于大学学习严格的极限定义.本节课将导数概念的建立划分为两个阶段：首先明确瞬时速度和切线斜率的含义，然后去掉物理背景和几何背景，由两个实例出发，抽象出一般函数的瞬时变化率的概念，给出导数的定义.借助信息技术，通过让学生亲自计算、几何画板展示等方法，让学生体会逼近的思想和用已知探求未知的思考方法.基于以上分析，确定本节课教学重点为：建立导数概念及对导数思想和内涵的理解. 二、教学目标设置 本节的中心任务是形成导数概念.概念形成通过两个实例抽象得出： （1）借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义； （2）借助抛物线的割线逼近切线的问题，明确切线斜率的含义； （3）以速度模型为出发点，结合切线斜率抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，理解导数内涵. （4）通过平均变化率的计算，让学生切身体会逼近思想，渗透以已知探求未知的思考方法，提升数据处理和数学抽象的核心素养. 三、学生学情分析 1.重点中学的学生，思维活跃，善于动脑.在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度；在之前函数零点的学习过程中，已有利用“二分法”逼近函数零点的经验，“逼近”的思想对于学生而言，并不陌生.因此，学生已经具备了一定的认知基础. 2.可能存在的问题： （1）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻附近的一段时间内的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个确定的值，而且这个确定值就是物体在该时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当||t ∆趋于0时， t h ∆∆趋于一个定值，当||x ∆趋于0时，x y ∆∆趋于一个定值. （2）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难. 因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点. 四、教学策略分析 基于以上分析，本节课决定采用复习上节课的探究问题----学生自己计算高台跳水运动
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(教学设计)
5.1.1变化率问题 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题 本节内容通过分析高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。 课程目标学科素养 A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬 时速度，体会求瞬时速度的一般方法. B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程， 体会求切线斜率的一般方法. C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的 概念． 1.数学抽象：函数的变化率 2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系 3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率 4.数学建模：函数的变化率 重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 多媒体
1．平均变化率 对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率Δy Δx ＝ ＝ . x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2 －f x 1x 2－x 1 ；f x 1＋Δx －f x 1 Δx 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 Δy Δx ＝ . 某一时刻； lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx 问题2. 抛物线的切线的斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C ，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x 2为例进行研究.
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计 课题：导数的概念及其几何意义 教材分析：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学史上的伟大地位。而导数的概念是微积分核心概念之一，它具有极其丰富的实际背景和广泛应用。导数的概念及其几何意义一课是在学生已经学习了解了一些实际问题的平均变化率的基础上对于瞬时变化率的确切的再认识，同时也是高中数学与大学数学衔接的重要内容章节。考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。 教学目标： 1.知识与技能：抽象概括并理解导数的概念，发现并学习导数的几何意义。 2.过程与方法：体会瞬时变化率，归纳形成导数概念。观察函数曲线的变化趋势，发现形成导数的几何意义。 3.情感态度价值观：学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养，渗透不断逼近和以直代曲的数学思想，以有限认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想的无限魅力。
教学重点： 导数的概念以及导数的几何意义。 教学难点： 导数的概念以及导数的几何意义。 教学过程： 【复习回顾，创设情境】： 回顾什么是平均变化率？ 情境1、吹气球的时候，随着气球的不断膨胀，吹起来，会越来越难，这是 怎么回事？怎样用数学知识解释这一现象？ 情境2、巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片， 当陡峭程度不同时，登山运动员的感受程度是不一样的，如何用数学反映山 势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考？ 情境3、观看跳水视频，运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系为 。计算运动员在这段时间内的平均速度，并思 考下面的问题： 【提出问题】： 问题1：你认为运动员在这段时间内是静止的吗？ 问题2：你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 问题3：为了不断提高成绩，应对运动员在不同时刻的“瞬间”速度进行科学分析，如何求运动员的瞬时速度？ 问题4：你能够设计一个方案，求运动员的在某时刻的瞬时速度吗？
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计 一、内容及内容解析 1．内容：（高中新课标数学课程内容）导数的概念及其几何意义. 2．解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值. 导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想. 本节课的教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想. 二、目标及目标解析 1．教学目标 （1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养. （2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养. （3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养. 2．目标解析 （1）导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问题广泛地存在于社会生活与科学研究中，因此，从具体案例中抽象出导数概念，不仅可以得到一个应用广泛的数学工具，还可以由此培养学生的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程. （2）导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元联系”.因此，从函数在0x x 处的导数就是函数图象在对应点的切线的斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直观想象素养的难得机会. （3）导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为未来进一步学习极限提供典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一般”、“从具体到抽象”是数学研究的重要思想方法. 三、学生学情诊断分析