《1.1.2 瞬时变化率——导数》教学案

《1.1.3瞬时变化率——导数》教学案(二)

瞬时速度与瞬时加速度

一、教学目标

(1)理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x 无限趋近于0的含义；

(2)运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.

二、教学重点、难点

重点：瞬时速度和瞬时加速的定义难点：求瞬时速度和瞬时加速的的方法.

三、教学过程

【复习回顾】

1. 曲线上一点处的切线斜率：设曲线C 是函数y =f (x )的图象，在曲线C 上取一点P (x ，y )及邻近的一点Q (x +∆x ， f (x + ∆x ))，过P 、Q 两点作割线，，则割线PQ 的斜率为

00()()

PQ f x x f x k x

+∆-=

∆. 当∆x →0时，动点Q 将沿曲线趋向于定点P ，从而割线PQ 也将随

之变动而趋向于切线PT 的斜率，当△x →0时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即K 为

()()

f x x f x x

+∆-∆.在△x →0时的极限值.

练习：曲线的方程为y =x 2+1，求曲线在点P (1，2)处的切线方程.

解：22

00()()(1)1(11)2()f x x f x x x x x x x

+∆-+∆+-+∆+∆==

∆∆∆ 0x ∆→时，

00()()

2f x x f x x

+∆-→∆

∴曲线在点P (1，2)处的切线斜率为2.

因此，点p (1，2)切线的方程为y -2=2(x -1)，即 y =2x.

【问题情境1】

平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度.平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？

【问题情境2】

跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t 秒后运动员相对于水面的高度为()2

4.9 6.510H t t t =-++，那么我们就会计算任意一段的平均速

度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况.

0<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内

0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内

()()()1

.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=

∆+-∆+-=t t t t t t h h v

()()()1

.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=

-∆+-∆+=t t t

t t h t h v

当-=∆t 0.01时，-=v 13.051；当=∆t 0.01时，-=v 13.149；当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1；当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9；当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51；当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49；当-=∆t 0.000 01时，-=v 13.099 951；

当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049；

当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1；

当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004

9； ......

......

关于这些数据，下面的判断对吗？

2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /.

3．靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4．靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度； 5．-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1s m /.

分析:2=t 秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1s m /.

【构建数学】瞬时速度和瞬时加速度

(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度. (2) 位移的平均变化率：

t s t t s ∆-∆+)

()(00

(3)瞬时速度：当t ∆无限趋近于0时，

t s t t s ∆-∆+)

()(00无限趋近于一个常数，这个常

数称为0t t =时的瞬时速度.“逼近”思想和以直代曲思想；

如何得到求瞬时速度的步骤？

a 、先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆

b 、再求平均速度t s v ∆∆=

c 、后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，t

s ∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度.

(4)速度的平均变化率：

t v t t v ∆-∆+)

()(00

(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，t

t v t t v ∆-∆+)

()(00无限趋近于一个常数，这个

常数称为0t t =时的瞬时加速度

注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率，感受速度的平均变化率与加速度的关系，以及加速度与瞬时加速度的“逼近”关系.

三、例题分析

例题1 物体做自由落体运动，运动方程为2

S gt =

，其中位移单位是m ，时间单位是s ，2

10/g m s =.求

例2 设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设()t s 时的速度为2

()3v t t =+，求

0()t t s =时轿车的加速度.

分析：(1)先求轿车在[]00,t t t t ∈+∆时，轿车的平均加速度.

(2)当0t ∆→时，平均加速度a 逼近一个常数，这个常数就是2t s =时运动员的瞬时速度.

由例1和例2我们能发现一个问题：位移在时间上的改变量就是速度，而速度在时间上的改变量就是加速度.

例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热.如果

在第x h 时原油的温度)(C ο

为157)(2+-=x x x f )80(≤≤x .计算第2 h 和第6 h 时，原油

的瞬时变化率，并说明意义.

四、课堂练习

1.质点沿x 轴运动，设距离为()x m ，时间为()t s 时，2105x t =+，则当00t t t t ≤≤+∆时，质点的平均速度为；当0t t =时，质点的瞬时速度为；当00t t t t ≤≤+∆时，质点的平均加速度为；当0t t =时，质点的瞬时加速度为 .

2.一质点的运动方程为210s t =+(位移单位：m ，时间单位：s )，试求该质点在3t s =的瞬时速度.

3.自由落体运动的位移()s m 与时间()t s 的关系为212

s gt =(g

为常数). (1)求0()t t s =时的瞬时速度； (2)分别求1,2,3t s =时的瞬时速度.

五、课堂小结

本节课主要学习了物体运动的瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.充分理解由平均速度的“逼近”转化成瞬时速度与瞬时加速度的过程，培养学生解决实际问题的能力，学会用运动学的观点理解和解决实际问题.充分感受到学习数学的乐趣，体会到数学的研究方法和内在美.

六、课后作业

位是gt 例1:物体作自由落体运动,运动方程为：

其中位移单m,时间单位是s,g=10m/s 2.求：

(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3) 物体在t =2(s)时的瞬时速度.

s =

1．已知物体做自由落体运动的方程为2

1(),2

s s t gt ==

若t V

无限趋近于0时， (1)(1)

s t s t

+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是( )

A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的速度

B ．9.8/m s 是在1～(1+t V

)s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的速度

D ．9.8/m s 是物体从1s 到(1+t ∆)s 这段时间内的平均速度.

2．如果质点M 按规律23S t =+运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度等于( )

A ．4

B ．4.1

C ．0.41

D ．3

3．如果某物体的运动方程是22(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是( ) A ．4 B ．4- C ．4.8 D ．0.8

4．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且32423s t t t =+-，则物体在运动开始的速度为( )

A ．3/m s

B ．－3/m s

C ．0/m s

D ．2/m s

5．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是( )

A.0

B.3

C.－2

D.t 23-

6．枪弹在枪筒中可以看成是匀加速运动，如果它的加速度是525.010/m s ⨯.枪弹从枪筒弹出的时间为31.610s -⨯，求枪弹弹出枪口时的瞬时速度.(位移公式是2

s at =，其中a 是加速度，t 是时间)

7．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且3242-+=t t s ，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度.

8、一块岩石在月球表面上以24m s

的速度垂直上抛，()t s 时达到的高度为

2240.8h t t =-(单位：m ).

(1)求岩石在()t s 时的速度、加速度； (2)多少时间后岩石达到最高点.

9．一作直线运动的物体其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t =2秒时的瞬时速度； (3)求t =0到t =2时的平均速度.

高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率--导数学案苏教版选修2

1.1.2 瞬时变化率——导数导数定义求函数的导函数. 1．瞬时速度 (1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________． (2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0) Δt 无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的 __________，也就是位移对于时间的____________．预习交流1 做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率 v (t 0＋Δt )－v (t 0) Δt 无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________． 3．导数 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______． (2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．预习交流2 做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1) 3Δx 等于__________．预习交流3 做一做：函数 y ＝x ＋1 x 在x ＝1处的导数是__________．预习交流4 利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？

高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021

（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1的全部内容。

3.1。2 瞬时变化率—导数学习目标：1。理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点) [自主预习·探新知］ 1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）． 3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)． 4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x 处的导数,记作f′（x0）． 5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率． [基础自测］ 1．判断正误： (1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（) (2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( ) （3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。Δx是自变量的增量,可正可负，函数f（x)在x＝x0处的导数与它的正负无关．（2）×。Δy可以为0，如常数函数．

高中数学第一章1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率导数教学案苏教版选修

1．1.2 瞬时变化率——导数曲线上一点处的切线如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．问题2：割线PP n 斜率是什么？提示：割线PP n 的斜率是k n ＝ f x n －f x 0 x n －x 0 . 问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率．问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？提示：能． 1．割线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线． 2．切线随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线. 瞬时速度与瞬时加速度

一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间．问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－31＋Δt 2－8＋3×12 Δt ＝－6－3Δ t . 问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6. 1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率 S t 0＋Δt －S t 0 Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． 3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率 v t 0＋Δt －v t 0 Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．导数 1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值 Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．

选修高中数学瞬时变化率—导数教案

芯衣州星海市涌泉学校瞬时变化率—导数教学目的：知识与技能：掌握用极限给瞬时速度下的准确的定义. 过程与方法：会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．情感、态度与价值观：理解足够小、足够短的含义教学重点：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度. 教学难点：理解物体的瞬时速度的意义教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：提供一个舞台,让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的才能，表达了“自主探究〞，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的才能。教学过程：学生探究过程：我们物理中学习直线运动的速度时，已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，如今我们从数学的角度重新来认识一下瞬时速度一、复习引入：１．曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x 的图象，点00(,)P x y 是曲线c 上一点PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P

2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即 tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x ∆ 二、讲解新课： 1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2.确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度. 当位移足够小时，物体在这段时间是是内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了. 我们如今已经理解了一些关于瞬时速度的知识，如今已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或者者位移公式，如今有两个时刻t0，t0+Δt，如今问从t0到t0+Δt 这段时间是是内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt 称时间是是增量) 平均速度t t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 根据对瞬时速度的直观描绘，当位移足够小，如今位移由时间是是t 来表示，也就是说时间是是足够短

高中数学第一章导数及其应用 1.1.2 导数的概念学案(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版

1.1.2 导数的概念自主预习·探新知情景引入中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？新知导学 1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的路程与时间的关系式是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0 ＋Δt 之间的平均变化率 f t 0＋Δt －f t 0 Δt 趋近于__常数__，我们就把这个__常数__叫做 t 0时刻的瞬时速度．即 v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝__lim Δt →0 s t 0＋Δt －s t 0 Δt __. 故瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率． 2．导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx . 我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝__lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx __. 预习自测 1．已知物体的运动方程是S ＝－4t 2 ＋16t (S 的单位为m ；t 的单位为s)，则该物体在t

＝2 s 时的瞬时速度为( D ) A ．3 m/s B ．2 m/s C ．1 m/s D ．0 m/s [解析] ΔS ＝－4(2＋Δt )2 ＋16(2＋Δt )＋4×22 －16×2＝－4(Δt )2 ， ∴ΔS Δt ＝－4Δt 2 Δt ＝－4Δt ， ∴v ＝lim Δt →0 ΔS Δt ＝lim Δt →0 (－4Δt )＝0. ∴物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为0 m/s. 2．设f (x )＝2ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( C ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 [解析] f ′(1)＝lim x →1 f x －f 1 x －1 ＝lim x →12a ＝2a ＝2. ∴a ＝1. 3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1 3Δx 等于( C ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C ．1 3f ′(1) D ．f ′(3) [解析] 原式＝13lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx ＝1 3 f ′(1)． 4．由导数的定义可求得，函数f (x )＝x 2 －2x 在x ＝1处的导数 f ′(1)＝__0__. [解析] f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1 Δx ＝lim Δx →0 1＋Δx 2 －21＋Δx ＋1 Δx ＝lim Δx →0 Δx ＝0. 互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶ 瞬时速度

高中数学第一章导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2(2021年整理)

江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教案新人教A版选修2-2的全部内容。

导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析 1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。 2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．

1.1.2 瞬时速度与导数学案(含答案)

1.1.2 瞬时速度与导数学案（含答案） 1.1.2瞬时速度与导数瞬时速度与导数学习目标 1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义. 2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率. 3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法. 4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数知识点一瞬时速度与瞬时变化率一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t 表示时间思考1试求质点在1,1t这段时间内的平均速度答案 st831t28312t63t.思考2当t趋近于0时思考1中的平均速度趋近于几怎样理解这一速度答案当t趋近于0时，st趋近于6，这时的平均速度即为t1时的瞬时速度梳理瞬时速度与瞬时变化率1物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是sft，当t趋近于0时，函数ft在t0到t0t之间的平均变化率ft0tft0t趋近于某个常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度2函数的瞬时变化率设函数yfx在x0及其附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，函数值相应地改变yfx0xfx0，如果当x趋近于0时，平均变化率yxfx0xfx0x趋近于一个常数l，则常数l称为函数fx在点x0处的瞬时变化率记作当x0时，fx0xfx0xl.上述过程，通常也记作limx0fx0xfx0xl.知识点二

yfx在点x0处的导数1函数yfx在点x0处的导数定义式 fx0limx0fx0xfx0x.2实质函数yfx在点x0处的导数即函数yfx在点x0处的瞬时变化率知识点三导函数对于函数fxx 22.思考1如何求f1，f0，f12，faaR答案 fx0limx0x0x22x202xlimx02x0x2x0，f12，f00，f121，fa2a.思考2若a是一变量，则fa是常量吗答案fa2a，说明fa不是常量，而是关于a的函数梳理导函数的概念1函数可导的定义如果fx在开区间a，b内每一点x都是可导的，则称fx在区间a，b可导2导函数的定义条件fx在区间a，b可导定义对开区间a，b内每个值x，都对应一个确定的导数fx，于是，在区间a，b内fx构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yfx的导函数导函数记法fx或y或yx1瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量2函数yfx在xx0处的导数值与x的正.负无关3函数在一点处的导数fx0是一个常数类型一求瞬时速度例1某物体的运动路程s单位m与时间t单位s的关系可用函数stt2t1表示，求物体在t1s时的瞬时速度解sts1ts1t1t21t11211t3t， limt0stlimt03t3，物体在t1s处的瞬时变化率为3，即物体在 t1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究1若本例中的条件不变，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0s时的瞬时速度sts0ts0t0t20t11t1t，limt01t1，物体在t0s时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2若本例中的条件不变，试问物体在

变化率与导数教学设计(共7篇)

变化率与导数教学设计（共7篇）第1篇：1.1变化率与导数教学设计教案教学准备 1. 教学目标知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.2. 教学重点/难点【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.3. 教学用具多媒体 4. 标签变化率与导数教学过程课堂小结课后习题第2篇：1.1变化率与导数教学设计教案教学准备 1. 教学目标（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数 3. 教学用具多媒体、板书 4. 标签教学过程

一、创设情景、引入课题【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。【板演/PPT】【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。【设计意图】自然进入课题内容。二、新知探究 [1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么【板演/PPT】【活动】【分析】当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? （请计算）【板演/PPT】【生】学生举手回答【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。

5.1.2 瞬时变化率——导数(3)(配套教学设计)-苏教版高二数学选择性必修第一册

5.1.2 瞬时变化率——导数（3）教学目标： 1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； 2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义．教学重点：导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义．教学难点：对导数的几何意义理解．教学过程：一、情景设置复习回顾：曲线在某一点切线的斜率、瞬时速度、瞬时加速度．二、学生活动 1．复习1：曲线在某一点切线的斜率：．－＋＝x x f x x f k PQ ∆∆)()( 当∆x 无限趋向0时，k PQ 无限趋近于点P 处切线的斜率． 2．复习2：瞬时速度：．－＋＝＝t t f t t f t s v ∆∆∆∆)()(00 当t ∆无限趋向0时，v 无限趋近于v 在0t 的瞬时速度． 3．复习3：瞬时加速度：．－＋＝＝t t v t t v t v a ∆∆∆∆)()(00 当t ∆无限趋向0时，a 无限趋近于v 在0t 的瞬时加速度．三、数学建构 1．导数的定义．设函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）上有定义，x 0∈(a ，b )，∆x 无限趋向0时，

比值 00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆ 无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在0x x ＝处可导，并称该常数A 为函数 )(x f 在0x x ＝处的导数，记为)(0x f '．说明：．，－＋＝＝＝＝0)()()(|0000→∆∆∆∆∆''x x x f x x f x y x f y x x 2．导函数．若)(x f 对于区间()b a ，内任一点都可导，则)(x f 在各点处的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，记作)(x f '．说明：在不引起混淆时，导函数)(x f '也简称为)(x f 的导数．四、数学运用例1 已知2)(2＋＝x x f ．（1）求()f x 在x ＝1处的导数)1(f '；（2）求()f x 在x a =处的导数)(a f '．解：（1）因为 (1)(1)y f x f x x ∆+∆-=∆∆ 22(1)2(12)2x x x +∆+-+==+∆∆．所以，当0x ∆→时，22x +∆→，即 2)2(lim lim 00＝＋＝x x y x x ∆∆∆→∆→∆．故()f x 在x ＝1处的导数等于2，即)1(f '＝2．（2）因为 x a f x a f x y ∆∆∆∆)()(－＋＝

高二数学教案-1.12瞬时变化率—导数

1.12瞬时变化率—导数教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想一、复习引入1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[xa，xb]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点p沿曲线向点q运动，随着点p无限逼近点q时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点q处的切线的斜率。所以我们可以用q点处的切线的斜率来刻画曲线在点q处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设p(x1，f(x1))，q(x0，f(x0))，则割线pq的斜率为，设x1－x0=△x，则x1=△x＋x0，∴ 当点p沿着曲线向点q无限靠近时，割线pq的斜率就会无限逼近点q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，无限趋近点q处切线斜率。 2、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：，当△x 无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2) 位移的平均变化率： (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量和位置改变量 2.再求平均速度 3.后求瞬时速度：当无限趋近于0，无限趋近于常数v为瞬时速度 (4)速度的平均变化率： (5)瞬时加速度：当无限趋近于0 时，无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0时的瞬时加速度注：瞬时加速度

高中数学人教B版选修2—2第一章1.1.2《瞬时速度与导数》优秀教案

1.1.2 《瞬时速度》教案教学目的：理解函瞬时速度及导数的概念. 重点难点：导数的极限数学符号语言的理解. 学科素养：用所学探索未知，通过数学定义的教学，体会数学研究的手段方法. 一、引入与新课：提出问题】在物理学中，我们知道物体作匀速直线运动，速度是路程与时间之比：s v t =。而自由落体、竖直向上发射火箭、一段平直轨道上行驶的高铁列车、一段平直高速路上行驶的汽车都是变速直线运动，这类运动路程随时间变化，速度也随时间变化。问题1：物体作变速直线运动时，速度与路程、时间有什么样的关系呢？【抽象概括】设物体运动路程与时间的关系是()s f t =（图一），问题2：在区间00[,]t t t +∆，物体运动的速度与路程、时间有什么样的关系呢？由上节课知识可知，从0t 到0t t +∆这段时间内，物体运动的平均速度是 000()()f t t f t s v t t +∆-∆= = ∆∆ 所以，平均速度0v 就是函数()s f t =在区间00[,]t t t +∆的平均变化率问题3：在某一时刻0t ，物体运动的速度与路程、时间有什么样的关系呢？图一

联想二分法，计算值的逼近法，上节课的分割法，时刻0t 我们也采用分割逼近的方法。看一个实例，我们来研究怎样实现逼近。跳台跳水运动员在时刻t 距离水面的高度函数 2()10 6.5 4.9h t t t =+- 求运动员在2t s =时竖直向上的速度？我们先求运动员在[2,2.1]这段时间内的平均速度为： 22(2.1)(2)(10 6.5 2.1 4.9 2.1)(10 6.52 4.92) 13.59(/)2.120.1 h h m s -+⨯-⨯-+⨯-⨯==-- 用同样的方法，我们运用计算器得到下列平均速度表：

新湘教版高中数学选择性必修·第二册1.1.2瞬时变化率与导数课件(共19张PPT)

新湘教版高中数学选择性必修·第二册1.1.2瞬时变化率与导数课件（共19张PPT） (共19张PPT) 1．1.2瞬时变化率与导数新知初探·课前预习题型探究·课堂解透新知初探·课前预习教材要点要点一瞬时速度设物体运动的距离与时间之间的关系是s＝f(t)，则平均速度v(t，d)＝在d趋近于0时的________，就是物体在任意时刻t的瞬时速度.批注平均速度反映了物体在某一时间内运动的快慢程度，瞬时速度是物体某一时刻的速度．极限要点二导数的定义设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0) . 批注f′(x0)也可表述为f′(x0)＝＝，Δx不可以是0. f(x0＋d)－f(x0) 要点三导函数的定义

若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都________，则f′(x)(或y′)也是x 的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数或一阶导数．既然导函数f′(x)也是函数，若f′(x)在定义区间任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x)．类似地，可以定义三阶导数f (x)等等．批注函数y＝f(x)在x＝x0处的导数与导函数是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数．它们之间的关系是：函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．存在基础自测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]内变化快慢的物理量．() (2)函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数．() (3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与d的正、负无关．() × √ × 2．一物体按规律s(t)＝t2运动，则在t＝1时的瞬时速度是() A．1B．2 C．4D．16 答案：B

高二数学选修2 瞬时变化率——导数教案

高二数学选修2瞬时变化率−−导数教学目标：（1）什么是曲线上一点处的切线，如何作曲线上一点处的切线？如何求曲线上一点处的曲线？注意曲线未必只与曲线有一个交点。（2）了解以曲代直、无限逼近的思想和方法（3）瞬时速度与瞬时加速度的定义及求解方法。（4）导数的概念，其产生的背景，如何求函数在某点处的导数。重点难点：求曲线的切线，瞬时速度、瞬时加速度及函数在某点处的导数是本节的重点及难点。教学内容：一．回顾：平均变化率二．新授： 1．曲线上一点处的切线：（以曲代直）割线逼近切线问题：曲线上是否所有点处都有切线？切线与曲线是否仅有一个交点？切线的斜率：设曲线C 上一点(,())P x f x ，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,())Q x x f x x +∆+∆ ，则割线PQ 的斜率为 ()()()PQ f x x f x k x x x +∆-=+∆-=()()f x x f x x +∆-∆

当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近P 点时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ∆无限趋近于0时， ()()f x x f x x +∆-∆无限趋近于点P （,x ())f x 处的切线的斜率例1．已知2()f x x =，用割线逼近曲线的方法求曲线()y f x =在2x =处的切线的斜率。例2．求抛物线24y x =在(0,0)P 处的切线方程例3．曲线3y x =在00x =处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由。小结：曲线上那些点处有切线？曲线上一点处切线的求法？如何作曲线的切线？ 2．瞬时速度与瞬时加速度

高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率2.1.2瞬时变化率教案2数学教案

1.变化的快慢与变化率—瞬时变化率一、回忆旧知对于函数y＝f(x)，当自变量x由x1变化到 x2时，其函数y＝f(x)的函数值由f(x1)变化到 f(x2)，它的平均变化率为，把自变量的变化x2－x1称作，记作，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作

的改变量，记作，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 . 二、探究新知 (一) 自学探究：认真阅读课本27-30页的内容，回答对一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是 Δy Δx ＝＝。而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处 . （二）典例精析例1.求函数y ＝f (x )＝3x 2 ＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2， Δx ＝0.1时平均变化率的值．变式训练：分别求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在x ＝1,2,3附近Δx 取12 时的平均变化率k 1，k 2，k 3，并比较其大小．

例2.已知s (t )＝12 gt 2，其中g ＝10 m/s 2. (1)求t 从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t 从3秒到3.01秒的平均速度； (3)求t 在t ＝3秒时的瞬时速度．变式训练；以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12 gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．三、课堂检测 1．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 2．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9Δt C ．3＋Δt D ．9＋Δt 3.课本30页练习题2 4. 专家伴读18页打基础4、5、6 四、知识小结 1．函数的平均变化率的概念

教学设计1：瞬时变化率——导数

瞬时变化率-导数教学过程一、复习：函数平均变化率的概念二、引入新课 1、速度问题：平均速度：一汽车三小时走了120公里，则它的平均速度为403 120 =公里/小时．即在时间内，物体运动了距离，则它的平均速度为 t s v = ．平均速度比较粗略，为了精确起见，还需要求物体的瞬时速度．瞬时速度怎么定义，又如何求出呢？我们研究以下例子．自由落体运动物体下落高度公式为2 2 1gt s =．求下落秒时的瞬时速度我们可以现求出1秒到秒间的平均速度 g t t t g t g gt t s t s v )1(2 11121121211)1()(22+=--=--=--=，当1→t 时，平均速度的极限值我们就定义它为秒时的瞬时速度，于是 g g t t s t s v v t t t t =+=--==→→→=)1(21 lim 1 )1()(lim lim 11 1 1．一般地，求时刻的速度，可以考虑当变到时平均速度的极限值．这时平均速度为用记号 t t t -'=∆，)()(t s t s s -'=∆，它们分别叫变量的改变量和变量的改变量．当t t →'时，相当于0→∆t ，这时 gt g t t t s t t t s t s v v t t t t t t t t =+'=∆∆=-'-'==→'→∆→'→')(21 lim lim )()(lim lim 0． 2. 切线问题： )(x f y =的图形为曲线．是上一点，坐标为),(00y x ,为了求出点处的曲线的切线，我们应先求出该点的切线斜率即可．为此，我们任取上另一点，它的横坐标为 x x ∆+0．作割线，它与轴夹角QPR ∠用来表示，则的斜率为PR QR =ϕtan ．由于) (0x f AP =， ) (0x x f BQ ∆+=，x PR AB ∆==， )()(00x f x x f BR BQ QR -∆+=-=，因此

高中数学变化率与导数-1.1.2导数的概念教案6 新人教A版选修2-2

§1.1.2导数的概念教学目标 1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49 650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知， )0()49 65(h h =，所以)/(0049 65) 0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授 1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：

思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t ∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 0000()()lim lim x x f x x f x f x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数. 分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１) =6Δx +(Δx )2 再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆ 解：法一（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611 x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2 在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x x x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x ∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆

1.1.2 瞬时速度与导数

1.1.2 瞬时速度与导数【我的目标】 1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义． 2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率． 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法． 4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数． ————————————————————课前预习案———————————————————— 【我的预习】 1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为．设物体运动路程与时间的关系是s ＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t0到t0＋Δt 这段时间内的平均变化率s(t0＋Δt )－s(t0)Δt ，当Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝____________________. 2．瞬时变化率：一般地，函数y ＝f(x)在x0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝_________________. 3．导数的概念：一般地，函数y ＝f(x)在x0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y ＝f(x) 在x ＝x0处的，记为，即f ′(x0)＝ lim Δx →0 Δy Δx ＝_________________. 4．导函数：如果f(x)在开区间(a ，b)内每一点x 都是可导的，则称f(x)在区间(a ，b) ．这样，对开区间(a ，b)内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x)，于是在区间(a ，b)内，f ′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f(x)的．记为或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为 . ————————————————————课中学习案———————————————————— 【我的探究】探究一瞬时速度例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0? 跟踪训练1 质点M 按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)．若质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．