人教A版2019年高中数学选修1-1学案：第三章3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义_含答案
3.1.3 导数的几何意义
学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)
[自主预习·探新知]
1．导数的几何意义
(1)切线的定义
设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定
位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝lim
Δx→0f x n－f x0
x n－x0
＝f′(x0)．
(2)导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和
曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线
是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
2．导函数的概念
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也
记作y′，即f′(x)＝y′＝lim
Δx→0f x＋Δx－f x
Δx
.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )
(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )
(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )
(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．
( ) [答案](1)×(2)×(3)×(4)√
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直D．与x轴斜交
B [由f ′(x 0)＝0知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，所以切线与x 轴平行或重合．]
3．如图315所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )
【导学号：97792127】
图315
A ．12
B ．1
C ．2
D ．0
C [由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，则f (5)＋f ′(5)＝2.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
(1)y ＝－x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1
2
C ．y ＝4x －4
D ．y ＝4x －2
(2)已知曲线y ＝x 3
－x ＋2，则曲线过点P (1,2)的切线方程为__________． [思路探究] (1)先求y ′|x ＝1
2
，即切线的斜率，然后写出切线方程．
(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P (1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．
[解析] (1)先求y ＝－1x 在x ＝12处的导数：Δy ＝－112＋Δx ＋112
＝4Δx
1＋2Δx
.
y ′|x ＝1
2
＝lim Δx →0
Δy Δx ＝lim Δx →0 41＋2Δx
＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. (2)设切点为(x 0，x 3
0－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0
＝lim Δx →0
x 0＋Δx
3
－x 0＋Δx ＋2]－x 3
0－x 0＋
Δx
＝lim Δx →0
((Δx )2
＋3x 0Δx ＋3x 2
0－1)＝3x 2
0－1.
所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 2
0－1)(x －x 0)． 将点P (1,2)代入得：
2－(x 3
0－x 0＋2)＝(3x 2
0－1)(1－x 0)，
即(x 0－1)2
(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12
，
所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，
即2x －y ＝0，
当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14x ＋12， 即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为2x －y ＝0或x ＋4y －9＝0. [答案] (1)C (2)2x －y ＝0或x ＋4y －9＝0
2.求过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤(1)设切点(x 0，y 0)
(2)求f ′(x 0)，写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x (3)将点(x 1，y 1)代入切线方程，解出x 0，y 0及f (4)写出切线方程． 1．(1)曲线y ＝f (x )＝2
x
在点(－2，－1)处的切线方程为__________．
x ＋2y ＋4＝0 [y ′＝lim Δx →0
f
x ＋Δx －f x
Δx ＝lim Δx →0
2x ＋Δx －2
x Δx
＝lim Δx →0
－2·Δx x x ＋Δx Δx ＝－2
x 2，
因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－
2
－
2
＝－12
.
由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－1
2(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.]
(2)试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2
相切的直线方程.
【导学号：97792128】
[解] 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2
上， ∴y 0＝x 2
0，又∵A 是切点，
y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2
－x
2
Δx ＝2x .
∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，
∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5
x 0－3.
∴2x 0＝x 20－5
x 0－3
，
解得x 0＝1或x 0＝5.
从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.
(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.
分别求出满足上述条件的点的坐标．
[思路探究] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.
[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2
Δx ＝lim Δx →0
(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．
(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·
1
3＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，94.
(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－1
2，
所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，14.
2．已知抛物线y ＝2x 2
＋1，求
(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则
Δy ＝2(x 0＋Δx )2
＋1－2x 2
0－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2
∴
Δy
Δx
＝4x 0＋2Δx ∴y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
(4x 0＋2Δx )＝4x 0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，
即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， 该点为(1,3)．
(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，
即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， 该点为(2,9)．
[探究问题]
1．函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？
提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大．
2．函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？
提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小．
如图316，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )
图316
[思路探究] 根据面积S增加的快慢情况判断S＝f(x)的图象形状．
[解析]函数的定义域为(0，＋∞)，
当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；
当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；
当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.
[答案] D
3．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图317所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用“>”连接)
图317
k 1>k 3>k 2 [由导数的几何意义可得k 1>k 2，又k 3＝
f
－f 2－1
表示割线AB 的斜率，
所以k 1>k 3>k 2.]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0
D ．f ′(x 0)不存在
B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－1
2，
∴f ′(x 0)＝－1
2
＜0.]
2．已知曲线y ＝2x 3
上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2
B ．4
C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2
D ．6
D [∵y ＝2x 3
，∴y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
x ＋Δx 3－2x 3
Δx
＝2 lim Δx →0
Δx
3
＋3x Δx
2
＋3x 2
Δx
Δx
＝2 lim Δx →0
[(Δx )2
＋3x Δx ＋3x 2
]＝6x 2
.
∴y ′|
x ＝1
＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]
3．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． (3,30) [设点P (x 0,2x 2
0＋4x 0)，
则f ′(x 0)＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝lim Δx →0
Δx
2
＋4x 0·Δx ＋4Δx
Δx
＝4x 0＋4，
令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．]
4．曲线y ＝x 2
－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.
【导学号：97792129】
2x －y －2＝0 [Δy ＝(2＋Δx )2
－2(2＋Δx )＋2－(22
－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2
，
∴
Δy
Δx
＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0
(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)， 即2x －y －2＝0.]
5．函数f (x )的图象如图318所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，
f
－f
2
的大小关系．
图318
[解] 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示．
则
f
－f 3－1
＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直
线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，
∴0＜f ′(3)＜f
－f 2
＜f ′(1)．
人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
1.1.2导数的概念 （一）教材分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时. 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. （二）教学目标 （1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； （2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （3）会求函数在某点的导数及简单应用. （三）教学重点与难点 重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念. （四）教学过程 1. 复习引入 （1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式； （2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式. 2. 合作探究 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度. 探究一：瞬时速度的求解 从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能 反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？ 设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度. 以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t2 6.5t 10. 探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？ 设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法. 我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 导数的计算
3.2导数的计算 [教材研读] 预习课本P81 ～85 ，思考以下问题 1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 1 2 的导数是什么？ 2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？ [要点梳理] 1．基本初等函数的导数公式
2.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． (3)???? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2(g (x )≠0)． [自我诊断]
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．y ＝1 x ，y ＝x ，y ＝x 2等求导函数，都可以看成y ＝x α(α∈Q *)，并用其导数公式求导．( ) 2．y ＝ln x 在x ＝2处的切线的斜率为1 2.( ) 3．f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线的方程为x －y ＋1＝0.( ) [答案] 1.√ 2.√ 3.√ 题型一 利用导数公式求函数的导数 思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？ 提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式． 求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ；
(4)y ＝4 x 3； (5)y ＝? ?? ??sin x 2＋cos x 22－1. [思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式． [解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln10. (5)∵y ＝? ????sin x 2＋cos x 22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .
高二数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 新人教A版选修1-1
高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 知识梳理 1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 . 2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝Δf Δx ， 称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ． 4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在 t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 Δf Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程 1.平均变化率 [例1] 求函数y ＝x 3 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12 时平均变 化率的值． [分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率． 应用变式1 某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 2.瞬时变化率 [例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12 gt 2 ，求物体在 时刻t 0处的瞬时速度． 应用变式2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度． 3.利用定义求函数某点处的导数 [例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2 ＋1x ＋5在x ＝2处的导数． 应用变式3
高中数学选修1-1：第三章《导数及其应用》教案(新人教A版选修1-1)
导数及其应用复习 【知能目标】 1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2、熟记基本导数公式：x m (m 为有理数)、sinx 、cosx 、e x 、a x 、lnx 、log a x 的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 [教学方法] 1.采用“学案导学”方式进行教学。 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。 [教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评. [教学重点和难点] 教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用 【综合脉络】 1.知识网络 2.考点综述 有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、导数定义 导数的几何意义 导函数 四则运算 求导法则 复合函数 求导法则 求简单函数的导数 导数的应用 导数的实际背景 判断函数 的单调性 求函数的 极大(小)值 求函数的 最大(小)值 基本求 导公式
人教A版2019年高中数学选修1-1学案：第三章3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义_含答案
3.1.3 导数的几何意义 学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点) [自主预习·探新知] 1．导数的几何意义 (1)切线的定义 设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定 位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝lim Δx→0f x n－f x0 x n－x0 ＝f′(x0)． (2)导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ [提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和 曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线 是通过逼近将割线趋于确定位置的直线． 2．导函数的概念 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也 记作y′，即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f x＋Δx－f x Δx . [基础自测] 1．思考辨析 (1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( ) (3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( ) (4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的． ( ) [答案](1)×(2)×(3)×(4)√ 2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴斜交
高中数学选修1-1第三章课后习题解答
新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答 第三章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P76） 在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P78） 函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P79） 函数()r V = (05)V ≤≤的图象为 根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈. 说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题3.1 A 组（P79） 1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()() W t W t t W t W t t t t --?--?≥ -?-?. 所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t ?+?-==-?-??，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数. (5)(5)10s s t s t t t ?+?-==?+??，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能21 3101502 k E =??= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.
高中数学：导数教案 新人教A版选修1-1 教案
导数教案 导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲. 一、教材分析 导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3的内容,是在学生学习了平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。 新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。 问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率 问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点 二、教学目标 1、知识与技能： 通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法： ①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力
②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法 3、情感、态度与价值观： 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生把握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的爱好. 三、重点、难点 重点：导数概念的形成，导数内涵的理解 难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点 四、教学设想（具体如下表） 教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢？引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。使学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲初步探索、展示内涵根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次：结合跳水问题，明确瞬时速度的定义 问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2，研究它四周的平均速度变化情况来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过
黑龙江省人教A版2019高中数学选修1-1课时作业：3-1变化率与导数_含答案
第一章第一节第1课时变化率与导数 【课标学习目标】 1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此变化率． 2．理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)，理解函数在点x0处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义．会求函数在某点处的瞬时变化率(导数)． 3．理解导数的几何意义，并会求给出曲线在某点处的切线方程． 【情景引入】 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢． 从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 提示：应用变化率可以判断曲线的“陡峭”程度． 【知识探究】 1．已知函数y＝f(x)，那么变化率可用式子________表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝____________.于是，平均变化率可以表示为______． 2．一般地，如果物体的运动规律是S＝S(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t 到t＋Δt这段时间内，当Δt→0时平均速度的极限，即V＝lim Δt→0ΔS Δt＝________________. 3．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0Δy Δx＝________________. 我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________或________，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝ ______.
选修1-1-第三章-《导数及其应用》教案
第三章 导数及其应用 备课人 周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42 ++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的 平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉
表格1 格 2 0<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内 0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆= ∆+-∆+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-= -∆+-∆+=t t t t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=∆t 0.000 01时，-=v 1 3.099 951； 当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。。。。。。 。。。。。。 问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2） 关于这些数据，下面的判断对吗？ 2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度；
人教高中数学选修1-1第三章 导数知识点
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念 1.函数)(x f 在0x x =处的导数：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率称 为)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()()(00000'lim lim 。 3.1.3导数的几何意义 1.导数的几何意义：函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率，即k x x f x x f x f x =∆-∆+=→∆)()()(0000'lim ； 2.求切线方程的步骤：（注：已知点),(00y x 在已知曲线上） ①求导函数)('x f ； ②求切线的斜率)(0'x f ； ③代入直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-，并整理。 3.求切点坐标的步骤： ①设切点坐标),(00y x ； ②求导函数)('x f ； ③求切线的斜率)(0'x f ； ④由斜率间的关系列出关于0x 的方程，解方程求0x ； ⑤点),(00y x 在曲线)(x f 上，将),(00y x 代入求0y ，得切点坐标。
3.2导数的计算 1. 基本初等函数的导数公式： ①0'=C ；②1)'(-=a a ax x ；③x x cos )'(sin =；④x x sin )'(cos -=； ⑤)0(ln )('>=a a a a x x ；⑥x x e e =')(；⑦)1,0(ln 1)(log '≠>= a a a x x a 且；⑧x x 1)(ln '=. 2. 导数运算法则： ①)()()]()(['''x g x f x g x f ±=± ； ②)()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=； ③2''')] ([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f -=；④)()]([''x cf x cf = 3.3.1函数的单调性与导数 （1）在区间],[b a 内，)('x f >0,⇔f (x )为单调递增；)('x f <0,⇔f (x ) 为单调递减。 （2）用导数求函数单调区间的三个步骤： ①确定函数的定义域； ②求函数f (x )的导数()f x '； ③令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间； ④令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间。 （3）用导数判断或证明函数的单调性的步骤： ①求函数f (x )的导数()f x '； ②判断()f x '的符号； ③给出单调性结论。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义》优质课教案_7
导数的几何意义 一、教材分析： 1、地位和作用： 《导数的几何意义》是一节新知概念课，内容选自于选修1－1中第§3．1．3节，是在学生学习了平均变化率，瞬时变化率，及用瞬时变化率定义导数基础上，进一步从几何意义的基础上认识导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容。 《导数的几何意义》还是下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用，是本章的关键内容，也是高考中的一个常见考点。 2、教学目标的拟定： 【知识与技能】 （1）概括曲线的切线定义，明确导数的几何意义及应用； （2）培养观察、分析、合作、归纳与应用（知识与思想方法）等方面的能力 【过程与方法】 （1）由问题引发认知冲突，引导学生经历割线“逼近”切线的过程，推广切线的定义； （2）利用几何画板直观展示知识发生的过程，帮助学生寻找导数的几何意义； 【情感态度价值观】 （1）通过对切线定义的探究，培养学生严谨的科学态度； （2）通过渗透无限“逼近”的思想，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系。 （3）利用“以直代曲”的近似替代的方法，培养学生分析问题解决问题的习惯，初步体会发现问题的乐趣 3、教学重点、难点 重点：导数的几何意义及应用 难点：对导数几何意义的推导过程 二、学情分析 1、从认知上看，学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率来刻画现实问题的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，但这些都是建立在“代数”的基础上的，学生也渴求寻找导数的另一种体现形式——图形。学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的与认识． 2、从能力上看，通过一年多的高中学习，学生积累了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力． 3、从学习心理上看，学生已经从“公共点个数”方面知道了圆锥曲线切线的含义，当然在思维方面，也形成了定势：“直线与曲线相切，直线与切线只有一个公共点”。在本节中，我们在概念上不是从公共点上定义切线，而是由割线的逼近来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上，以此激发学生的好奇心和思维的兴奋点。 三、教法： 1、采用“DJP学案”教学模式：运用了“探究+小组合作”的教学方法，将全班学生分为6小组，并分配给他们相应任务，让学生亲身经历“实验、探究、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的认知规律，增强学生的参与和责任意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教育的主体。 2、利用多媒体辅助教学：通过几何画板的动态演示，让学生直观感受无限“逼近”的思想方法，这能使学生更好的明确导数的几何意义，有利于难点的突破． 四．学法指导： 采用“学案”教学，让学生学会： 1、实验观察：利用几何画板的几何直观与数值计算功能，感知曲线的切线的定义和导数的几何意义； 2、反思探究：明确曲线的切线的逼近定义的科学性； 3、小组合作：激活学生的思维，经历用导数几何意义进行定性分析； 4、思想渗透：借助几何画板局部放大的直观性，学生直观体会“以直代曲”“无限逼近”的数学思想． 五、教学过程
高中数学选修1-1(文)第三章__导数及其应用_例题与练习
第三章 导数及其应用 第一节 变化率与导数 主编：李明 审定：贾荣信 知识梳理 1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度； 若物体的运动方程为),(t f s =则物体从t 到t t ∆+这 段时间内的平均速度t t f t t f t t v ∆-∆+=∆) ()(),(；一般的，函数)(x f 在区间] ,[21x x 上的平均变化率为2121 ()()f x f x x x --。 2. 瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗 略的估算。当平均速度t t f t t f t t v ∆-∆+=∆) ()(),(中的t ∆无限趋近于0 时，平均速 度t t f t t f t t v ∆-∆+=∆) ()(),(的极限称为在时刻t 的瞬时速度)(t v ，记作 v=t s ∆∆=()()(0)f t t f t t t +∆-∆→∆。求瞬时速度的步骤为： (1)设物体的运动方程为)(t f s =； (2)先求时间改变量t ∆和位置改变量);()(t f t t f s -∆+=∆ (3)再求平均速度 t t f t t f t s t t v ∆-∆+= ∆∆=∆) ()(),( (4)后求瞬时速度：瞬时速度v=t s ∆∆=()() (0)f t t f t t t +∆-∆→∆. 3. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆． （2）求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+= ∆∆) ()(． （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=(0)y x x ∆∆→∆． 4.)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-; 3.1.1 变化率问题 例：设函数1)(2-=x x f ，求： （1）当自变量x 由1变到1.1时，自变量的增量x ∆； （2）当自变量x 由1变到1.1时，函数的增量y ∆； （3）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率；
2019年人教A版选修1-1高中数学第三章导数及其应用达标习题17及答案
达标习题 (建议用时：45分钟) 一、选择题 1．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极值情况是( ) A．极大值为5，极小值为－27 B．极大值为5，极小值为－11 C．极大值为5，无极小值 D．极小值为－27，无极大值 【解析】y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)， 令y′＝0，得x＝－1或x＝3. 当－2＜x＜－1时，y′＞0； 当－1＜x＜2时，y′＜0. 所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5；无极小值． 【答案】 C 2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A．(2,3) B．(3，＋∞) C．(2，＋∞)D．(－∞，3) 【解析】因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，所以有f′(2)＝0，而f′(x)＝6x2＋2ax＋36，代入得a＝－15.现令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．【答案】 B 3．设函数f(x)＝x e x，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 【解析】 ∵f (x )＝x e x ， ∴f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (1＋x )． ∴当f ′(x )≥0时， 即e x (1＋x )≥0，即x ≥－1， ∴x ≥－1时，函数f (x )为增函数． 同理可求，x <－1时，函数f (x )为减函数． ∴x ＝－1时，函数f (x )取得极小值． 【答案】 D 4．(2016·邢台期末)函数f (x )＝13ax 3 ＋ax 2＋x ＋3有极值的充要 条件是( ) A ．a ＞1或a ≤0 B ．a ＞1 C ．0＜a ＜1 D ．a ＞1或a ＜0 【解析】 f (x )有极值的充要条件是f ′(x )＝ax 2＋2ax ＋1＝0有两个不相等的实根，即4a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞1.故选D. 【答案】 D 5．已知a ∈R ，且函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a <－1 e D ．a >－1 e 【解析】 因为y ＝e x ＋ax ，所以y ′＝e x ＋a . 令y ′＝0，即e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ，即x ＝ln(－a )，又因为x >0，所以－a >1，即a <－1.
高中数学 31(平均变化率)教案 新人教A版选修1-1 教案
平均变化率 一.教材依据平均变化率 二.设计思想 指导思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法．设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．”故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法． 学情分析：我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课时准备请两学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况．另我校一节课是40分钟. 三.教学目标 1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意 义和数学意义； 2.掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方 法； 3.掌握求函数在指定区间上的平均变化率，能利用平均变化率解析生活中的实际问题；
人教版高中数学选修1-1《变化率问题》教案
人教版高中数学选修1-1《变化率问 题》教案
人教版选修1-1第三章导数及其应 用P72—74
教材分析 本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。 二、教学目标分析 1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后 续建立瞬时变化率和导数的数 学模型提供丰富的背景。2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日 常生活之中，经历运用数学描 述和刻画现实世界的过程。3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想 及内涵，使学生逐渐掌 握数学研究的基本思考 方式和方法，培养学生 互相合作的风格以及勇 于探究、积极思考的学 习精神。 三、重点与难点分析:
根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率概念的理解和运用 四、学情分析 1、有利因素： 高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。 2、不利因素： 学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。 五、教法学法 根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法： 探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
2019秋人教版高中数学选修1-1课时分层作业 十九 3.1.3 导数的几何意义 Word版含解析
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温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctr l，滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 课时分层作业十九 导数的几何意义 （40分钟80分） 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.（2019·长沙高二检测）曲线f（x）=x3+2x+1在点（0,f(0）)处的切线的方程为 （）A。y=x—1 B。y=x+1 C.y=2x-1 D。y=2x+1 【解析】选D。因为f′(0)= ==（(Δx）2+2）=2， 所以曲线f (x)=x3+2x+1在点（0,f（0))处的切线的斜率为2,所以切线方程为y-1=2（x-0），即y=2x+1。 2.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是( ） A.（0，0） B.（2,4) C。D。
【解析】选D.因为y=x2, 所以k=y′== =(2x+Δx)=2x, 所以2x=tan=1，所以x=，则y=。 【补偿训练】曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.135°D。60° 【解析】选B。Δy=(-1+Δx)3-×(—1)3 =Δx-Δx2+（Δx）3,=1—Δx+（Δx)2， ==1, 所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°. 3。已知曲线f(x)=x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为( ）A.—2 B。—1 C。1 D。2 【解析】选D.Δy=f（x+Δx）—f(x） =（x+Δx）2+2（x+Δx)-x2—2x =x·Δx+（Δx)2+2Δx，
所以=x+Δx+2,所以f ′（x)==x+2. 设切点坐标为（x0,y0）,则f ′（x0)=x0+2。 由已知x0+2=4,所以x0=2. 4。已知曲线y=x4+ax2+1在点（—1，f(—1））处切线的斜率为8,则f（-1)= ( ) A.7 B。-4 C.—7 D。4 【解析】选B。因为曲线y=x4+ax2+1在点（-1,f（-1))处切线的斜率为8，所以f′(-1）=8. 又因为f′(—1）== =[(-2+Δx)（（—1+Δx)2+1+a）]=—2(a+2), 所以-2（a+2）=8,解得a=-6, 所以f（-1）=1—6+1=-4. 5.（2019·广州高二检测）已知函数f(x）满足f=x3-3x,则函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为（） A.0 B。9 C。18 D。27 【解析】选C。设t=,则x=2t,代入已知得f(t)=（2t）3-3(2t）=8t3—6t，所以f(x）=8x3-6x，
人教A版2019年高中数学选修1 1学案第三章导数及其应用阶段复习课 含答案
第三课导数及其应用 [核心速填] xx处的导数＝1．在0yΔyfxxx处的瞬时变化率lim ＝(lim)在(1)定义：函数＝＝0xΔxx→0→0ΔΔfxxfx －＋Δ00yfxxx处的导数．在＝ (＝)，称为函数0xΔyfxxxxfx))处的切线斜率．(几何意义：函数处的导数是函数图象在点＝(( )在，＝(2)0002．导函数xfxxfxy′＝lim的一个函数，称为导函数．当＝变化时，′(′( )便是)x→0Δ fxxfx －Δ＋. xΔ3．基本初等函数的导数公式 c′＝0. (1)αα－1xx. α)′＝(2)(xx aaaa>0)．ln_ (3)(()′＝xx. e(4)(e)′＝1axa >0(5)(log，且)′＝(≠1)．a ax ln 1x)′＝(6)(ln . x xx. )′＝(7)(sin cos_xx. )′＝－(8)(cos sin_4．导数的运算法则fxgxfxgx)．)]′＝′((1)[′(( )±)±(fxgxfxgxfxgx)．)]′＝(′(′ ())((2)[ ())·(＋fx
fxgxfxgx －?? ??gx)≠0)．((3)′＝ (2xg?? xg [5．函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数． abfxyfx)在这个区间内单调递增；，那么函数(在某个区间(，＝)内，如果如果′()>0 fxyfx)在这个区间内单调递减．＝′(()<0，那么函数(2)函数的极值与导数．xafafxxafxxafx)<0>，时，′(当当，附近，①极大值：在点＝满足()>()<时，′()>0，afa叫做函数的极大值；)(叫做函数的极大值点，则点． xfxafafxafxxax，附近，满足′((时，)<)<0()＝，当，<当时，)>0′(>②极小值：在点 afa (叫做函数的极小值．则点)叫做函数的极小值点，byfxa ]，)在6．求函数[＝上的最大值与最小值的步骤(byfxa)，)(1)求函数在＝((内的极值．bffayfx比较，其中最大的一个是最(2)将函数)＝)(，)的各极值与端点处的函数值 ((大值，最小的一个为最小值．] [体系构建
新编人教A高中数学选修1-1全册教案导学案含答案
人教版高中数学选修1-1 全册教案 基因详解
目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2双曲线的几何性质 1.1.3双曲线及其标准方程 1.2.1充分条件与必要条件 1.2.2充要条件 1.3.1且 1.3.2或 1.3.3非 2.1.1椭圆及其标准方程 2.1.2椭圆的简单几何性质 2.3.1抛物线及其标准方程 2.3.2抛物线的简单几何性质 3.1.1变化率问题 3.1.2导数的概念教案 3.1.3导数的几何意义 3.2.1几个常用函数导数 3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3.1函数的单调性与导数 3.3.2函数的极值与导数 3.3.3函数的最值与导数 3.4生活中的优化问题举例
1. 1.1命题及其关系 一、课前小练： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； （2）312 >； （3）312 >吗？ （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、新课内容： 1.命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 上述6个语句中，哪些是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true p roposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，哪些为真命题？哪些为假命题？ ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ （5）215 x<； （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： 三、练习：教材P41、2、3 四、作业： 1、教材P8第1题 2、作业本1-10 五、课后反思 命题教案 课题 1.1.1命题及其关系(一) 课型新授课 教学目标1）知识方法目标了解命题的概念，2）能力目标