高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时变化率--导数学案苏教版选修2

1.1.2 瞬时变化率——导数

导数定义求函数的导函数.

1．瞬时速度

(1)在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为__________．

(2)一般地，如果当Δt __________0时，运动物体位移s (t )的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)

Δt

无限趋近于一个______，那么这个______称为物体在t ＝t 0时的

__________，也就是位移对于时间的____________．

预习交流1

做一做：如果质点A 按规律s ＝3t 2

运动，则在t ＝3 s 时的瞬时速度为__________． 2．瞬时加速度

一般地，如果当Δt __________时，运动物体速度v (t )的平均变化率

v (t 0＋Δt )－v (t 0)

Δt

无限趋近于一个_______，那么这个________称为物体在t ＝t 0时的_________，也就是速度对于时间的____________．

3．导数

(1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

无限趋近于一个______A ，则称f (x )在x ＝x 0处______，并称该______A 为函数f (x )在x ＝x 0处的______，记为______．

(2)导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的________． (3)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的________，记作________．

预习交流2

做一做：设函数f (x )可导，则当Δx →0时，f (1＋Δx )－f (1)

3Δx

等于__________．

预习交流3

做一做：函数

y ＝x ＋1

x

在x ＝1处的导数是__________．

预习交流4

利用导数求曲线切线方程的步骤有哪些？

预习导引

1．(1)平均速度 (2)无限趋近于 常数 常数 瞬时速度 瞬时变化率

预习交流1：提示：s (3＋Δt )＝3(3＋Δt )2＝3[9＋6Δt ＋(Δt )2

]＝27＋18Δt ＋3(Δt )2

.

s (3)＝3×32＝27.Δs ＝s (3＋Δt )－s (3)＝18Δt ＋3(Δt )2， ∴Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，Δs

Δt

→18. 2．无限趋近于0 常数 常数 瞬时加速度 瞬时变化率

3．(1)常数 可导 常数 导数 f ′(x 0) (2)斜率 (3)导函数 f ′(x )

预习交流2：提示：f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13·f (1＋Δx )－f (1)

Δx

，当Δx →0时，

f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)，∴原式＝1

3

f ′(1)．

预习交流3：提示：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1

x

，

∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝(Δx )

2

1＋Δx

.

∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx →0，即y ＝x ＋1x

在x ＝1处的导数为0. 预习交流4：提示：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)；

(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； (3)将所得切线方程化为一般式．

一、求瞬时速度

一辆汽车按规律s ＝at 2

＋1做直线运动，当汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为12 m/s ，求

a .

思路分析：先根据瞬时速度的求法得到汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．

1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2

.其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是__________．

2．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2

，子

弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3

s ．求子弹射出枪口时的瞬时速度．

根据条件求瞬时速度的步骤：

(1)探究非匀速直线运动的规律s ＝s (t )；

(2)由时间改变量Δt 确定路程改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；

(3)求平均速度v ＝Δs

Δt

；

(4)运用逼近思想求瞬时速度，当Δt →0时，Δs

Δt

→v (常数)．

二、利用导数的定义求函数的导数

已知f (x )＝x 2

－3.

(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．

思路分析：根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键．

1．若函数f (x )＝ax －2在x ＝3处的导数等于4，则a ＝__________.

2．(1)求函数f (x )＝1

x ＋1在x ＝1处的导数；

(2)求函数f (x )＝2x 的导数．

结合函数，先求出Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，再求Δy

Δx

＝

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，求Δy

Δx 的值，即f ′(x 0)．

三、导数的几何意义

已知y ＝2x 3

上一点A (1,2)，求点A 处的切线斜率．

思路分析：为求得过点(1,2)的切线斜率，可以从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手．

1．抛物线y ＝14

x 2

在点Q (2,1)处的切线方程为__________．

2．已知曲线y ＝3x 2

－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程．

1．导数的几何意义是指：曲线y ＝f (x )在(x 0，y 0)点处的切线的斜率就

是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．

2．运用导数的几何意义解决曲线的切线问题时，一定要注意所给的点是否是在曲线上，若点在曲线上，则该点的导数值就是该点处的曲线的切线的斜率；若点不在曲线上，则该点的导数值不是切线的斜率．

3．若所给的点不在曲线上，应另设切点，然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解．

1．若一物体的运动方程为s ＝2－12

t 2

，则该物体在t ＝6时的瞬时速度为__________．

2．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝

⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为__________． 3．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为__________．

4．一质点按规律s ＝2t 3

运动，则t ＝2时的瞬时速度为__________．

5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝__________.

答案：

活动与探究1：解：∵s ＝at 2

＋1，

∴s (2＋Δt )＝a (2＋Δt )2＋1＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2

＋1.

于是Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝4a ＋4a ·Δt ＋a ·(Δt )2

＋1－(4a ＋1)＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2，

∴Δs Δt ＝4a ·Δt ＋a ·(Δt )2

Δt

＝4a ＋a ·Δt . 当Δt →0时，Δs

Δt

→4a ，

依题意有4a ＝12，∴a ＝3. 迁移与应用：

1．5 m/s 解析：s (3＋Δt )＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2＝(Δt )2

＋5Δt ＋7，

所以s (3＋Δt )－s (3)＝(Δt )2

＋5Δt ， 故s (3＋Δt )－s (3)Δt

＝Δt ＋5，

于是物体在3 s 末的瞬时速度，即Δt →0时，Δs

Δt

→5(m/s)．

2．解：运动方程为s ＝12

at 2

.

∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0·Δt ＋12a ·(Δt )2

，

∴Δs Δt ＝at 0＋12a ·Δt ，∴Δt →0时，Δs

Δt

→at 0. 由题意知a ＝5×105(m/s 2)，t 0＝1.6×10－3

(s)，

故at 0＝8×102

＝800(m/s)．

即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

活动与探究2：解：(1)因为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)

Δx

＝(2＋Δx )2－3－(22

－3)Δx

＝4＋Δx ，

当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4.

(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )

Δx

＝(a ＋Δx )2－3－(a 2

－3)Δx

＝2a ＋Δx ，

当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .

迁移与应用：

1．4 解析：由题意知f ′(3)＝4，而f ′(3)＝Δy Δx ＝a (3＋Δx )－2－(3a －2)

Δx

＝a ，当

Δx →0时，Δy

Δx

→a ，故a ＝4.

2．解：(1)(导数定义法)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴Δy

Δx

＝

－12(2＋Δx )，从而Δx →0时，2＋Δx →2，∴f (x )在x ＝1处的导数等于－1

4

.

(导函数的函数值法)∵Δy ＝1x ＋Δx ＋1－1x ＋1＝－Δx (x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，∴Δy

Δx

＝

－1(x ＋Δx ＋1)(x ＋1)，从而Δx →0时，Δy Δx →－1(x ＋1)2，于是f ′(1)＝－1(1＋1)2＝－1

4

.

(2)∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝2x ＋Δx －2x ，

∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －2x Δx ＝

(2x ＋Δx －2x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )

＝2

x ＋Δx ＋x

，

从而Δx →0时，Δy Δx →1

x

.

活动与探究3：解：设A (1,2)，B (1＋Δx,2(1＋Δx )3

)，则割线AB 的斜率为k AB ＝

2(1＋Δx )3

－2Δx ＝6＋6Δx ＋2(Δx )2

，当Δx 无限趋近于0时，k AB 无限趋近于常数6，从而曲

线y ＝2x 3

在点A (1,2)处的切线斜率为6.

迁移与应用：

1．x －y －1＝0 解析：∵y ＝14x 2，Δy ＝14(2＋Δx )2－14×22＝Δx ＋14(Δx )2

，Δy Δx

＝1＋

1

4

Δx ， ∴当Δx →0时，Δy Δx →1，即f ′(2)＝1，由导数的几何意义得抛物线y ＝14

x 2

在点Q (2,1)

处的切线的斜率为1.

∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0.

2．解：因为Δy Δx ＝3(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(3×12

－1)

Δx

＝5＋3Δx ，

当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2

－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5.

切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0. 当堂检测

1．－6 解析：Δs Δt ＝s (6＋Δt )－s (6)Δt ＝2－12(6＋Δt )2

－(－16)Δt ＝－1

2

Δt －6，∴当

Δt →0时，Δs

Δt

→－6.

2．45° 解析：∵Δy Δx ＝12(1＋Δx )2－2－12×1＋2Δx ＝Δx ＋12(Δx )

2Δx ＝1＋1

2

Δx ，当Δx

无限趋近于0时，1＋12Δx 无限趋近于1，∴曲线y ＝12x 2－2在点P ⎝

⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1，∴倾斜角为45°.

3．－3 解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，则Δx 趋于0时，Δy

Δx

＝

－3.

∴f (x )在x ＝2处的导数为－3.

4．24 解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)

＝2(2＋Δt )3－2×23

＝2×[8＋6(Δt )2＋12Δt ＋(Δt )3

]－16

＝24Δt ＋12(Δt )2＋2(Δt )3

， ∴Δs Δt ＝24＋12Δt ＋2(Δt )2

，则当Δt →0时，Δs Δt →24. 5．9

8

解析：由题图可知，直线l 的方程为9x ＋8y －36＝0. 当x ＝2时，y ＝94，即f (2)＝9

4.

又切线斜率为－98，即f ′(2)＝－9

8

，

∴f (2)＋f ′(2)＝9

8

.

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