高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率导学案北师大版选修1-1
3.1 变化的快慢与变化率
学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.
知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题：
思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
(2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？
答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”.
(3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx
＝
f x 2－f x 1
x 2－x 1
.
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.
(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx
＝f x 2－f x 1
x 2－x 1
表示割线P 1P 2的斜率.
知识点二 瞬时变化率
思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？
答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态.
思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
答案 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.
梳理 要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt
＝
s
t 0＋Δt －s t 0
Δt
，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度.
类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率
例1 求函数y ＝f (x )＝x 2
在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平
均变化率最大？
解 在x ＝1附近的平均变化率为
k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝
1＋Δx 2
－1
Δx
＝2＋Δx ；
在x ＝2附近的平均变化率为
k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22
Δx
＝4＋Δx ；
在x ＝3附近的平均变化率为
k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32
Δx
＝6＋Δx .
当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝7
3
，
k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193
.
由于k 1 ＝ f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2 ＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则Δy Δx ＝ . (2)如图所示是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 . 答案 (1)Δx (2)12 3 4 解析 (1)Δy Δx ＝ f －1＋Δx －f －1 Δx ＝ －1＋Δx 2 ＋2－1＋Δx －5－－6 Δx ＝Δx . (2)函数f (x )在区间[－1，1]上的平均变化率为 f 1－f －1 1－－1 ＝ 2－12＝1 2 . 由函数f (x )的图像知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋32 ，－1≤x ≤1， x ＋1，1 所以函数f (x )在区间[0，2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－3 22＝34. 命题角度2 平均变化率的几何意义 例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2 －x 上的两点P (1，0)与Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线 PQ 的斜率为2，求Δx 的值. 解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx . ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝(1＋Δx )2 －(1＋Δx )－(12 －1)＝Δx ＋(Δx )2 ， ∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx ＝1＋Δx . 又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1. 反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图像上两点P 1(x 1， f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12P P k ＝ Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 跟踪训练2 (1)甲，乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( ) A.v 甲>v 乙 B.v 甲 C.v 甲＝v 乙 D.大小关系不确定 (2)过曲线y ＝f (x )＝x 1－x 图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当 Δx ＝0.5时割线的斜率为 . 答案 (1)B (2)2 3 解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0， t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC . 因为k AC (2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5， 故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k PQ ＝－53＋22.5－2＝2 3. 类型二 求函数的瞬时变化率 例3 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2 ， 求物体在时刻t 0处的瞬时速度. 解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2 ， 所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－1 2 g Δt . 当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于v 0－gt 0， 故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思与感悟 (1)求瞬时速度的步骤 ①求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； ②求平均速度v ＝Δs Δt ； ③当Δt 趋于0时，平均速度Δs Δt 趋于瞬时速度. (2)求当Δx 无限趋近于0时 Δy Δx 的值 ①在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算； ②求出Δy Δx 的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可. 跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2 ＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值. 解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率. ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt ＝a 2＋Δt 2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， 当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2. 1.已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A.在x 0处的变化率 B.在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 C.在x 1处的变化率 D.以上结论都不对 答案 B 解析 Δy Δx ＝f x 1－f x 0 x 1－x 0 ，由平均变化率的定义可知，故选B. 2.一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 答案 B 解析 s 2.1－s 2 2.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1 ＝2. 3.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2 ＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( ) A.t ＝1 B.t ＝2 C.t ＝3 D.t ＝4 答案 B 解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0 Δt ＝－8t 0＋16－4Δt ， 当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－8t 0＋16， 令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2. 4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为 . 答案 28π 3 解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13 ＝28π3， ∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π 3 . 5.设函数f (x )＝3x 2 ＋2在x 0＝1，2，3附近Δx 取12 时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较 k 1，k 2，k 3的大小. 解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝1 2 时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为 k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5； 当x 0＝2，Δx ＝1 2 时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为 k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5； 当x 0＝3，Δx ＝1 2 时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为 k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1 1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢. 2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义. 40分钟课时作业 一、选择题 1.已知函数y ＝f (x )＝sin x ，当x 从π6变到π 2时，函数值的改变量Δy 等于( ) A.－12 B.12 C.π3 D.3 2 答案 B 解析 Δy ＝f (π2)－f (π6)＝sin π2－sin π6＝12 . 2.一质点运动的方程为s ＝5－3t 2 ，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A.－3 B.3 C.6 D.－6 答案 D 解析 由平均速度与瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6. 3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( ) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案 B 解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2， 所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－2 2 ＝－1. 4.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( ) A.甲 B.乙 C.相同 D.不确定 答案 B 解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt ) 即⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ， 所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好. 5.函数f (x )＝x 2 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A.k 1 f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx ＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定. 6.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( ) A.a ＝－3 B.a ＝3 C.a ＝2 D.a 的值不能确定 答案 B 解析 Δy Δx ＝f 2－f 1 2－1 ＝a ＝3. 7.一个物体的运动方程是s ＝2t 2 ＋at ＋1，该物体在t ＝1时的瞬时速度为3，则a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.7 答案 A 解析 Δs Δt ＝s 1＋Δt －s 1 Δt ＝ 21＋Δt 2 ＋a 1＋Δt ＋1－2＋a ＋1 Δt ＝a ＋4＋2Δt ， 当Δt 趋于0时，a ＋4＋2Δt 趋于a ＋4， 由题意知a ＋4＝3，得a ＝－1. 二、填空题 8.汽车行驶的路程s 与时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2， t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为 . 答案 v 1 解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图像知，k OA 9.函数f (x )＝1 x 2＋2在x ＝1处的瞬时变化率为 . 答案 －2 解析 ∵Δy ＝11＋Δx 2 ＋2－(1 1 2＋2) ＝11＋Δx 2－1＝－2Δx －Δx 2 1＋Δx 2 ， ∴ Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx 2， 当Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－2. 10.已知函数f (x )＝－x 2 ＋x 的图像上的一点A (－1，－2)及邻近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则 Δy Δx ＝ . 答案 3－Δx 解析 ∵－2＋Δy ＝－(－1＋Δx )2 ＋(－1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－－1＋Δx 2 ＋－1＋Δx －－2 Δx ＝3－Δx . 11.函数f (x )＝x 2 －x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝ . 答案 5 解析 函数f (x )＝x 2 －x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是 Δy Δx ＝f t －f －2 t －－2 ＝ t 2－t －－2 2 －2 t ＋2 ＝2， 即t 2 －t －6＝2t ＋4，t 2 －3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去). 所以当函数f (x )＝x 2 －x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题 12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围. 解 ∵函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝ －2＋Δx 2 ＋ 2＋Δx －－4＋2 Δx ＝－3－Δx ， ∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞). 13.若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s) s ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 3t 2 ＋2 t ≥3 ① 29＋3t －32 0≤t <3 ② 求：(1)物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度. 解 (1)∵物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为 Δs ＝3×52 ＋2－(3×32 ＋2)＝3×(52 －32 )＝48， ∴物体在t ∈[3，5]内的平均速度为 Δs Δt ＝48 2 ＝24 (m/s). (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度. ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt ＝ 29＋3[0＋Δt －3]2 －29－30－32 Δt ＝3Δt －18， ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－18， ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率. ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt ＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－12， ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s. 3.1 变化的快慢与变化率 1、本节教材的地位与作用：变化率对理解导数概念及其几何意义有着重要作用. 是导数概 念产生的基础.充分掌握好变化率这个概念,为顺利过渡瞬时变化率,体会导数思想与内涵做好准备工作.通过对大量实例的分析，引导学生经历由物理学中的平均速度到其它事例的平均变化率过程.所以变化率是一个重要的过渡性概念.对变化率概念意义的建构对导数概念的学习有重要影响. 2、教学重点：平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解. 3、教学难点：平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释. 4、教学关键：将学生头脑中的感性认知,通过多个事例,在不同的情境下,进行相同的计算程序.由此学生类比建构出变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法,特别是数形结合的数学能力和以直代曲的转化能力. [教学目标] 基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标： （1）知识与技能目标: 通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义及其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. （2）过程与方法目标: 体会平均变化率的思想及内涵，培养学生观察、分析、比较和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法. （3）情感态度与价值观: 经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神.领悟到具体到抽象，特殊到一般的逻辑关系.感受到数学的应用价值. 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解导数概念的实际背景．(难点) 2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点) 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 1．通过学习导数概念，培养学生数学 抽象的素养. 2.借助导数的定义求函数在某点的导 数，培养数学运算的素养. 1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)几何意义：P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，那么平均变化率 Δy Δx ＝ f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 表示割线P 1P 2的斜率． 思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示]Δx ≠0，Δy ∈R . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . §3.1 变化率与导数学案 §3.1.1 变化率问题 学习目标： 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 教学过程： 一、学习背景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课学习 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 分析： (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了Array气球的平均膨胀率为 (2)当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出： 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 探究: 计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？ (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (二)平均变化率概念 1.上述问题中的变化率可用式子 1 212) ()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率. 2.若设12x x x -=?, )()(12x f x f f -=?(这里x ?看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ?+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=?=?) 则平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象 平均变化率=??x f 1 212)()(x x x f x f --表示什么? 高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 知识梳理 1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 . 2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝Δf Δx ， 称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ． 4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在 t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 Δf Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程 1.平均变化率 [例1] 求函数y ＝x 3 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12 时平均变 化率的值． [分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率． 应用变式1 某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 2.瞬时变化率 [例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12 gt 2 ，求物体在 时刻t 0处的瞬时速度． 应用变式2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度． 3.利用定义求函数某点处的导数 [例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2 ＋1x ＋5在x ＝2处的导数． 应用变式3 23.变化率与导数 教学目标 班级____姓名________ 1.通过具体的自然现象，认识函数的平均变化率. 2.掌握变化率的基本概念. 3.理解变化率的物理意义及几何意义. 教学过程 一、变化率的概念. 1.反映变化快慢的量，就是我们要研究的变化率. 2.定义：我们把1 212)()(x x x f x f --称为函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率. 习惯上，用x ?表示12x x -，即12x x x -=?.（x ?是相对于1x 的变化量，可能大于0，可能小于0，但不能等于0.）类似12y y y -=?. 平均变化率可表示为 x y ??或x x f x x f ?-?+)()(11. 3.变化率的两个应用： （1）物理意义：平均速度. （2）几何意义：割线斜率. 二、导数. 1.瞬时变化率：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)('0x f 或0|'x x y =，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?)()(l i m l i m )('00000. 2.瞬时速度：t t s t t s v t ?-?+=→?)()(lim 1101. 3.切线斜率：x x f x x f k x ?-?+=→?)()(lim 110. 三、例题分析. 1.求平均变化率. 例1：求函数652 +=x y 在[2,4]内的平均变化率. 练1-1：已知函数532)(2-+=x x x f ，当41=x ，1=?x 时，求函数增量y ?和平均变化 【学习目标】1•会求函数在一点处的导数 2理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数. IT 问题导学 --------------------------- 知识点一导函数 思考 对于函数f(x)，如何求f ' (1)、f ' (x)? f ' (x)与f ' (1)有何关系？ 梳理 如果一个函数f(x)在区间(a, b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为 ______________, f ' (x) — _______________________________________________________________________________ ? 则f 'X 是 _______________ ，称f ' (x)为f(x)的 __________ ，通常也简称为 ________ 区别 联系 f ' (x o ) f ' (x o )是具体的值，是数值 在x = x o 处的导数f ' (x o )是导函数f ' (x) 在x = x o 处的函数值，因此求函数在某一 点处的导数，一般先求导函数，再计算 导函数在这一点的函数值 f ' (x) f (x)是f(x)在某区间1上每一点都存在 导数而定义的一个新函数，是函数 知识点二导数公式表 函数 导函数 y = c(c 是常数) / y = 三章变化率与导数 3计算导数 题型探究---------------------------- 类型一利用导函数求某点处的导数 例1求函数f(x) = -x2+ 3x的导函数f' (x),并利用f' (x)求f (3), f'(—1). 反思与感悟f'(X。)是f' (x)在x= x o处的函数值.计算f' (x o)可以直接使用定义，也可以先求f' (x)，然后求f' (x)在x= x o处的函数值f' (x o). 1 跟踪训练1求函数y= f(x) =1+ 5的导函数f' (x), 并利用f' (x)，求f' (2). x 3.1 变化的快慢与变化率 学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度. 知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题： 思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？ 答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”. (3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝ f x 2－f x 1 x 2－x 1 . (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢. (4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 表示割线P 1P 2的斜率. 知识点二 瞬时变化率 思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？ 答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态. 思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？ §1 变化的快慢与变化率 [对应学生用书P34] 某病人吃完退烧药，他的体温变化如下： 问题1：试比较时间x 从0 min 到20 min 和从20 min 到30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？ 提示：从20 min 到30 min 变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零． 平均变化率 (1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为 f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量， 记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝ f x 2－f x 1 x 2－x 1 . (2)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢. 王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h 的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km ，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！” 问题1：限速70 km/h 是指的平均速度不超过70 km/h 吗？ 提示：不是，是指瞬时速度． 问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？ 提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢． 导数的几何意义 一、教材分析： 1、地位和作用： 《导数的几何意义》是一节新知概念课，内容选自于选修1－1中第§3．1．3节，是在学生学习了平均变化率，瞬时变化率，及用瞬时变化率定义导数基础上，进一步从几何意义的基础上认识导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容。 《导数的几何意义》还是下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用，是本章的关键内容，也是高考中的一个常见考点。 2、教学目标的拟定： 【知识与技能】 （1）概括曲线的切线定义，明确导数的几何意义及应用； （2）培养观察、分析、合作、归纳与应用（知识与思想方法）等方面的能力 【过程与方法】 （1）由问题引发认知冲突，引导学生经历割线“逼近”切线的过程，推广切线的定义； （2）利用几何画板直观展示知识发生的过程，帮助学生寻找导数的几何意义； 【情感态度价值观】 （1）通过对切线定义的探究，培养学生严谨的科学态度； （2）通过渗透无限“逼近”的思想，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系。 （3）利用“以直代曲”的近似替代的方法，培养学生分析问题解决问题的习惯，初步体会发现问题的乐趣 3、教学重点、难点 重点：导数的几何意义及应用 难点：对导数几何意义的推导过程 二、学情分析 1、从认知上看，学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率来刻画现实问题的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，但这些都是建立在“代数”的基础上的，学生也渴求寻找导数的另一种体现形式——图形。学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的与认识． 2、从能力上看，通过一年多的高中学习，学生积累了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力． 3、从学习心理上看，学生已经从“公共点个数”方面知道了圆锥曲线切线的含义，当然在思维方面，也形成了定势：“直线与曲线相切，直线与切线只有一个公共点”。在本节中，我们在概念上不是从公共点上定义切线，而是由割线的逼近来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上，以此激发学生的好奇心和思维的兴奋点。 三、教法： 1、采用“DJP学案”教学模式：运用了“探究+小组合作”的教学方法，将全班学生分为6小组，并分配给他们相应任务，让学生亲身经历“实验、探究、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的认知规律，增强学生的参与和责任意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教育的主体。 2、利用多媒体辅助教学：通过几何画板的动态演示，让学生直观感受无限“逼近”的思想方法，这能使学生更好的明确导数的几何意义，有利于难点的突破． 四．学法指导： 采用“学案”教学，让学生学会： 1、实验观察：利用几何画板的几何直观与数值计算功能，感知曲线的切线的定义和导数的几何意义； 2、反思探究：明确曲线的切线的逼近定义的科学性； 3、小组合作：激活学生的思维，经历用导数几何意义进行定性分析； 4、思想渗透：借助几何画板局部放大的直观性，学生直观体会“以直代曲”“无限逼近”的数学思想． 五、教学过程 第三章 导数及其应用 3.1 导数、导数的计算 考纲要求 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2 ， y ＝x 3 ，y ＝1x ，y ＝x 的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 1．导数的概念 一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0 |x x y =. 2．导函数 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′. 3．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． 4 5 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________； (2)[f (x )·g (x )]′＝__________； (3)⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ f (x ) g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数 设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________. 1．若函数f (x )＝2x 2 －1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋ Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( )． A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 3．曲线y ＝x 3 在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)或(－1，－1) D ．(1，－1) 4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2 ＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )． A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 5．若曲线y ＝x 4 的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．y ＝sin 2x 的导数为__________． 一、根据导数的定义求函数的导数 【例1－1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3 x －2＋1的值为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 变化率与导数教学设计（共7篇） 第1篇：1.1变化率与导数教学设计教案 教学准备 1. 教学目标 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.2. 教学重点/难点 【教学重点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.3. 教学用具 多媒体 4. 标签 变化率与导数 教学过程 课堂小结 课后习题 第2篇：1.1变化率与导数教学设计教案 教学准备 1. 教学目标 （1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念 （4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数 3. 教学用具 多媒体、板书 4. 标签 教学过程 一、创设情景、引入课题 【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 【板演/PPT】 【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。 【设计意图】自然进入课题内容。 二、新知探究 [1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率 【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么 【板演/PPT】【活动】【分析】 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水 【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? （请计算） 【板演/PPT】【生】学生举手回答 【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。 3.1 变化的快慢与变化率 【例1】已知质点M 按规律s=2t 2 +3作直线运动(位移单位：cm,时间单位：s), 当t =2，Δt =0.01时，求 t s ∆∆; (2)当t =2，Δt =0.001时，求t s ∆∆; (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度 【例2】某一物体的运动规律为s=t 3-t 2 +2t +5(其中s 表示位移，t 表示时间，单位：s).则物体在2s 时的瞬时速度为_____________. 参考答案 例1： 【分析】利用平均变化率的求解步骤来解决问题. 【解】：∵t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()( t t t t ∆+-+∆+=)32(3)(222 =4t +2Δt , ∴(1)当t =2，Δt =0.01时， t s ∆∆=4×2+2×0.01=8.02 (cm/s). (2)当t =2，Δt =0.001时， t s ∆∆=4×2+2×0.001=8.002(cm/s). (3) 0 0lim lim →∆→∆=∆∆=x x t s v (4t +2Δt )=4t =4×2=8(cm/s). 【点拨】Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s ∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的t s ∆∆越接近某时刻的速度. 例2： 【分析】Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s ∆∆即瞬时平均速度 【解】t t t t t t t t t s ∆∆⋅+∆+∆=∆-++∆+∆+-∆+=∆∆10)(5)(135)2(2)2()2(2323 =(Δt )2 +5·Δt +10. ∴当Δt →0时， 00lim lim →∆→∆=∆∆x x t s (Δt 2+5·Δt +10) =10,即为t =2时的瞬时速度. 【点拨】解题时要注意式子的整体代入，不要有所遗漏. 中国书法艺术说课教案 北师大版选修1《变化的快慢与变化率》评课稿 一、课程背景介绍 北师大版选修1《变化的快慢与变化率》是高中数学选修课程之一，主要内容涵盖了函数、导数等数学概念及其应用。通过教授本课程，学生将掌握变化率的概念，理解函数图像在变化过程中的规律，培养数学思维和分析问题的能力。 二、教材内容分析 本课程主要分为四个模块： 1. 函数与图像 在这一模块中，学生将学习函数的概念以及函数图像的绘 制方法。重点介绍函数的反函数和复合函数，并通过例题与练习进行巩固。 2. 平均变化率与瞬时变化率 这一模块让学生初步了解变化率的概念。学生将学习如何 计算函数在一段时间内的平均变化率，并引入极限的概念，介绍函数在某一点的瞬时变化率。 3. 导数与函数的变化规律 在这一模块中，学生将深入学习导数的概念及其计算方法。通过导数的定义和几何意义的探究，学生将掌握如何计算函数的导数，并进一步理解函数变化的规律。 4. 导数的应用 最后一个模块主要介绍导数在实际问题中的应用。通过相 关例题的讲解，学生将学会利用导数求函数的单调性、极值点、弦与切线等问题。 三、教学目标 本课程旨在培养学生的数学思维和分析问题能力，主要的教学目标有： 1.理解函数的概念，掌握函数图像的绘制方法； 2.理解变化率的概念，能够计算函数的平均变化率和 瞬时变化率； 3.掌握导数的概念及其计算方法，能够应用导数分析 函数的变化规律； 4.理解导数在实际问题中的应用，能够运用导数求解 相关问题。 四、教学内容与方法 1. 教学内容 根据教材内容分析，本课程的教学内容将包括以下方面： •函数与图像的基本概念与绘制方法； •平均变化率与瞬时变化率的计算与应用； •导数的概念与计算方法； •导数在函数变化规律中的应用。 2. 教学方法 为了更好地达到教学目标，本课程将采用多种教学方法： •讲授法：通过结合具体例题与练习，详细讲解函数和变化率的概念，并分步演示计算方法与解题思路； •实例分析法：通过真实生活中的实际问题，引导学生将数学知识应用于实际问题的解决中，提高学生的实际运用能力； 3.1 变化的快慢与变化率 [A.基础达标] 1．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的表面积增加ΔS等于( ) A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2 C．4πRΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2 解析：选B.ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2. 2. 如图，函数y＝f(x)在A、B两点间的平均变化率是( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：选B. Δy Δx ＝ f（3）－f（1） 3－1 ＝ 1－3 2 ＝－1. 3．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( ) A. v1＋v2＋v3 3 B. 1 v1 ＋ 1 v2 ＋ 1 v3 3 C. 3 v1v2v3 D. 3 1 v1 ＋ 1 v2 ＋ 1 v3 解析：选D.设三个连续时段为t1，t2，t3，各时段的增长量相等，设为M，则M＝v1t1＝v2t2＝v3t3. 整个时段内的平均增长速度为 3M t1＋t2＋t3 ＝ 3M M v1 ＋ M v2 ＋ M v3 ＝ 3 1 v1 ＋ 1 v2 ＋ 1 v3 . 4．已知物体的运动方程为s＝t2＋ 3 t (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( ) A. 19 4 B. 17 4 C. 15 4 D. 13 4 解析：选D. Δs Δt ＝ （2＋Δt）2＋ 3 2＋Δt －（22＋ 3 2 ） Δt ＝4＋Δt－ 3 2（2＋Δt） ， 当Δt趋于0时， Δs Δt 趋于 13 4 ，所以选D. 5．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是( ) 阶段训练四 (范围：§1～§4) 一、选择题 1．某物体的运动方程为s ＝3＋t 2，则在t ∈[2,2.1]内，该物体的平均速度为( ) A ．4.11B ．4.01C ．4.0D ．4.1 考点 题点 答案 D 解析 根据题意可得平均速度 v ＝Δs Δt ＝3＋2.12－3＋220.1 ＝4.1. 2．已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 等于( ) A ．2 B ．2＋Δx C ．2＋(Δx )2 D ．2x 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B 解析 Δy Δx ＝ [1＋Δx 2＋1]－2 Δx ＝2＋Δx . 3．已知f (x )＝ln x x ，则f ′(x )等于( ) A.1x 2 B.1x －1 C ．1－ln x D.1－ln x x 2 考点 导数的运算法则 题点 导数除法法则及运算 答案 D 解析 f ′(x )＝ln x ′·x －ln x ·x ′x 2 ＝1 x ·x －ln x x 2 ＝ 1－ln x x 2 ，故选D. 4．已知函数f (x )在R 上可导，其部分图像如图所示，设f 2－f 1 2－1 ＝a ，则下列不等式正 确的是( ) A ．f ′(1) 3．1.1 函数的平均变化率 学习目标1。理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率． 知识点函数的平均变化率 1．函数的平均变化率的定义 已知函数y＝f（x)在点x＝x0及其附近有定义， 令Δx＝x－x0； Δy＝y－y0＝f（x)－f(x0）＝f（x0＋Δx）－f(x0)． 则当Δx≠0，比值错误!＝错误!叫做函数y＝f（x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． 2．平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3．作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx］上变化的快慢． 4．几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f（x2))是函数y＝f（x）的图象上两点，则平均变化率错误!＝错误!表示割线P1P2的斜率． 1．在平均变化率的定义中,自变量x的增量Δx＞0。( ×) 2．对于函数f(x)在区间［x1，x2］内的平均变化率也可以表示为错误!。( √) 3.错误!＝错误!是f(x）在区间[x0,x0＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率,也可以说是f（x)在x＝x0处的变化率．（×） 题型一函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数f（x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率,取Δx的值为错误!，哪一点附近的平均变化率最大？ 考点 题点 解在x＝1附近的平均变化率为 k1＝错误!＝错误!＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均变化率为 k2＝错误!＝错误!＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均变化率为 k3＝错误!＝错误!＝6＋Δx。 若Δx＝错误!,则k1＝2＋错误!＝错误!， k2＝4＋错误!＝错误!， k3＝6＋错误!＝错误!， 由于k1 （新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1 章末综合测评(三) 变化率与导数 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若y＝5 x，则y′＝( ) A. 1 5 x4B． 1 5 5 x4 C.5 x4 3 D． 1 5x x 【解析】y＝x 1 5，则y′＝ 1 5 x - 4 5＝ 1 5 5 x4 . 【答案】 B 2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( ) A．－4 B．－5 C．－6 D．－7 【解析】v＝f(2)－f(1) 2－1 ＝ －2×22＋1－(－2×12＋1) 2－1 ＝－6. 【答案】 C 3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( ) A ．12 B ．－12 C ．4 D ．－4 【解析】 S(t)＝2(1－t)2＝2t 2－4t ＋2，则S ′(t)＝4t －4，所以S ′(4)＝4×4－4＝12. 【答案】 A 4．曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e D ．1 e 【解析】 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A 5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪ ⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则 实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 2 C ．－2 D ．2 【解析】 ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ， 又f ′⎝ ⎛⎭ ⎪⎪ ⎫π2＝－1，∴1a ＝－1， 高中数学导数变化的快慢与变化率专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t2−1，则该物体在t=1秒时的瞬时速度为() A.1米/秒 B.2米/秒 C.3米/秒 D.4米/秒 2. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t2+ t，则该物体在t=2秒时的瞬时速度为() A.10米/秒 B.9米/秒 C.7米/秒 D.5米/秒 3. 某物体的运动方程为s=5−2t2，则该物体在时间[1,2]上的平均速度为( ) A.−6 B.2 C.−2 D.6 4. 一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为s=2+10t−t2，则该物体在4秒末的瞬时速度是( ) A.2米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒 5. 设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数值的改变量Δy为( ) A.y0+Δy B.f(x0+Δx) C.f(Δx) D.f(x0+Δx)−f(x0) 6. 函数f(x)=x2+c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为( ) A.2 B.4 C.c D.2c 7. 已知函数f(x)＝−x2+2x，函数f(x)从2到2+Δx的平均变化率为( ) A.2−Δx B.−2−Δx C.2+Δx D.(Δx)2−2·Δx 8. 某物体运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s=5−2t2，则该物体在t=2时的瞬时速度为( ) A.−3米/秒 B.−8米/秒 C.8米/秒 D.3米/秒 9. 已知函数f(x)在x=x0处可导，若lim Δx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx) Δx =1，则f′(x0)=( ) A.1 B.1 3C.3 D.1 4 新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答 第三章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P76） 在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P78） 函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P79） 函数()r V = (05)V ≤≤的图象为 根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈. 说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题3.1 A 组（P79） 1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()() W t W t t W t W t t t t --∆--∆≥-∆-∆. 所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t ∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数. (5)(5)10s s t s t t t ∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能21 3101502 k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.北师大版数学选修1-1教案：第3章-变化的快慢与变化率-参考教案【2】
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