高中数学_1.1变化率与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计表格
课前复习（情景再现）一、创设问
题情境，
引入课
题：
我们生活在
瞬息万变的
世界中，有些
如风驰电掣，
而有些如蜗
牛行步。那么
我们如何用
数学的方法
来描述这些
变化呢？播
放ppt中跳水
运动员的跳
水过程。
让同学们观看完视频后，思考解决问
题：
人们发现在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度h(单位：米)与起
跳后的时间t（单位：秒）存在函数关
系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动
员在某些时间段内的平均速度粗略地
描述其运动状态?
让学生自由发言，教师不急于下结
论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，
让我们一起来观察、研探。
运用多媒
体创设情
境，让学生
感受生活
中处处有
数学，为课
题的引入
作铺垫。
引入新课
平均变化率二、新知探
究：
探究1 高台
跳水
在高台跳
水运动中,运
动员相对于
水面的高度
h(单位：米)
与起跳后的
时间t（单位：
秒）存在函数
关
系 h(t)=-
4.9t2+6.5t+1
0.
如何用运
动员在某些
时间段内的
平均速度粗
略地描述其
给同学们思考一下，然后提问：（请计
算）
学生举手回答
解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10
学生觉得
问题有价
值，具有挑
战性，迫切
想知道解
决问题的
方法。
让学生亲
身感受知
识与实际
应用的联
系。
探究2 气球膨胀率
很多人都吹过气球，回忆一下吹气
球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半学生分析并得到解析：
当V从0增加到1时,气球半径增加
了
气球的平均膨胀率为
（1）当V从1增加到2时,气球半
径增加了
气球的平均膨胀率为
0.62>0.16
可以看出，随着气球体积逐渐增大，
它的平均膨胀率逐渐变小了．
【思考】当空气容量从V1增加到V2
时,气球的平均膨胀率是多少?
对应的知
识点以问
题形式出
现，再现中
和反应的
实质，引导
学生将所
学知识应
用于生产、
生活实际。
两个问
题由易到
难，让学生
一步一个
台阶。为引
入变化率
的概念以
探究3计算运动员在
这段
时间里的平均速度,并思考下面的问题:
（1）运动员在这段时间里是静止的吗?
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
【几何意义】观察函数f （x）的图象，平均变化率
的几何意义是什么？学生举手回答
师生共同归纳出结论
平均变化率:
上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）
表示，那么问题中的变化率可用式子
我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到
x2的平均变化率.
习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”
可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化
率可以表示为：
学生结合图象思考问题直线AB的斜率
①
让学生加
深对平均
变化率的
理解；
②
为下节课
学习导数
的几何意
义作辅垫；
③培养
学生数形
结合的能
力。
引入新课：导数
探究1瞬
时速度
在高台跳水
运动中,平均速
度不能反映他
在这段时间里
运动状态，需要
用瞬时速度描
述运动状态。我
们把物体在某
一时刻的速度
称为瞬时速度.
如何精确地
刻画曲线在一
点处的变化趋
势呢?
求：从2s到
(2+△t)s这段
时间内平均速
度
探究2当
Δt趋近于0时,
平均速度有什
么变化趋势?
同学解答：
解：
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2
的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平
均速度都趋近与一个确定的值–13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限
变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的
瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时
速度是–13.1 m/s.
为了表述方便，我们用
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速
度趋近于确定值–13.1”.
【瞬时速度】
我们用
表示“当t=2, Δt趋近于0时,平均速
让学生
体会由平
均速度到
瞬时速度
的逼近思
想：△t越
小，V越接
近于t＝2
秒时的瞬
时速度。
探究3:
（1）.运动员在某一
时刻 t0的瞬时速度怎样
表示?
（2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?
导数的概念:
一般地，函数 y = f (x)在 x = x0处
的瞬时变化率是
称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处
的导数, 记作或,
由瞬时速
度自然过
渡到瞬时
变化率，而
瞬时变化
率就是导
数
例题讲解
例题
1 将原油
精炼为汽油、
柴油、塑胶等
各种不同产
品, 需要对
原油进行冷
却和加热.
如果第 x h
时, 原油的
温度(单
位: )
为 y=f (x) =
x2–7x+15
( 0≤x≤8 ) .
计算第2h与
第6h时, 原
油温度的瞬
时变化率,
并说明它们
的意义.
让学生思考，并分享解题思路：
分析：要求第2 h和第6 h时,原油温
度的瞬时变化率, 即是要求 f '(2), f
'(6)
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变
化率分别为–3和5. 它说明在第2h附
近, 原油温度大约以3℃/ h的速率下
降; 在第6h附近,原油温度大约以
5℃/ h的速率上升.
通过
具体的生
活实例让
学生意识
到知识来
源于生活，
又应用于
生活，感到
书学不仅
是有趣的
还是有用
的。
知识总结
让学生对
本节课知识
做总结
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
（1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
（2）计算平均变化率
3、求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量
Δs=s(t+Δt)-s(t)
（2）求平均速度
（3）求极限
4、由导数的定义可得求导数的一般
步骤：
（1）求函数的增量
Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
（2）)平均变化率
（3）求极限
及时总结，
注重双基。
习题检测教师巡视检
查，引导交
流，让学生总
结本节课的
收获
课堂练习
1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改
变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy
为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－
f(x0)
2．若一质点按规律s＝8＋t2运
动，则在时间段2～2.1中，平均速度
是 ( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）
和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求
出当Δx=0.1时割线的斜率.
有利
于知识的
内化，同时
提高学生
的归纳总
结能力和
语言表达
能力。通过
不同层次
的题目，让
每个学生
都有成就
感。同时让
学生意识
到知识来
教学评价设计指标
优秀（9.0~10）良好（7.0~9.0）合格（6.0~7.0）
小组整体参与
状况
小组后进生回
答问题积极程
度
组员回答问题
数目
组员回答问题
准确度
课前板书质量
板书设计1.1.变化率与导数
1．平均变化率 3. 例一
2.导数的概念 4. 总结
等级
教学反思
本节课注重培养学生将知识迁移应用能力，解决实际问题能力。面向全体学生，把本节要学习的内容以导学案的形式展现给学生，让他们以小组为单位合作学习，积极参与，提出学习中所遇到的问题。利用师生互动、生生互动等多种教学形式，把学生带入探究问题的现场，给学生创造研究问题的情景。善于利用典型问题带动知识点，适时地进行点拨和引导，把知识向纵深拓展，不仅培养学生的知识应用能力，更重要的是培养学生的社会责任感。
学生是学习的主体，他们的学习一定要亲身经历才会印象深刻，在学习的过程中，我会尽可能地创设情境，让学生去感受、去体会知识的形成过程，从而使学生很好地进行知识建构。教学过程设计以“问题串”的方式呈现为主,教学过程中强调基于问题解决的设计，在教师的引导下，让学生通过讨论、归纳、探究等方式自主获取知识，从而达到满意的教学效果。在教学过程中，我注意引导学生开展小组合作的学习，通过生活中的实例调动学生学习的积极性从而使目标达成。构建利于学生学习的有效教学情境，较好地拓展师生的活动空间，丰富教学手段，符合新课程的理念。
《变化率与导数》学情分析
本节的中心任务是形成导数的概念。概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问
题，明确瞬时速度的含义 .
2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵 .
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，概括归纳出平均变化率和导数的概念及其公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。这充分体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。
我所带班级的学生思维比较活跃，但对基本概念认识不足，对知识理解不够深入，从感性认识上升到理性认识有待提高。
《变化率与导数》效果分析
导数是微积分的核心概念之一，也是本章的一个核心概念，它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、倒数的应用等知识奠定了基础，更是我们研究函数的单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具。
本节课是高中新教材A版选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》中的内容，由物理中的平均速度和瞬时速度研究类比到平均变化
率和瞬时变化率（导数）。下面从以下几个方面来分析这节课的效果。
1、吃透新教材，把握新理念
《普通高中数学课程标准（实验）》说：通过对大量实例的分析，经理由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
2、设计问题串，激活学生思维
美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的”。在课堂教学中我尝试采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识。
本节课首先设置问题情境，播放郭晶晶奥运会上夺冠的视频，赞扬运动员为国争光的精神，学生欣赏美的同时也激发爱国主义情
操并从运动员的跳水运动中提出问题：如何求郭晶晶t=2时刻的瞬时速度?使学生产生对研究问题的需求，激发学生的求知欲望，而问题情境中的原来学过的平均速度和瞬时速度，就是导数概念中的平均变化率和瞬时变化率(导数)，这样，学生在下面学习导数定义时就会有一个直观的印象，也比较容易理解导数的定义。
多元智能理论认为，教学的难点在于如何将实践知识与各种符号系统所体现的知识联系起来。对本节课内容来说学生的实践知识就是他们熟悉的物理中瞬时速度和平均速度定义，数学学科知识就是抽象的导数概念的定义。
数学知识是相互贯通、协调，并在相应的层次及层次与层次之间
呈现整体性，这种整体性也反映在数学与其它学科知识的有机关联而产生的知识的统一与综合。这些无疑对学生认知结构的形成产生积极影响。因此，要围绕课标对同一模型、相近题类和方法的归类等形成问题链，不仅产生布局设计的整体效果，也同时取得相似强化的特殊成效。
3、以学生为本，学习方式多样化现代教学理论认为，学生的数学学习过程是一个以学生已有知识和经验为基础的主动建构过程。只有使学生主动与到学习活动中去的教学，才是有效的教学。现代认知科学，尤其是建构主义学习理论强调“知识是不能被传递的，教师在课堂上传递的只是信息，知识必须通过学生主动建构才能获得。
4、渗透数学史，体现数学的文化价值
数学文化以文化为视角，在人类文化发展的历史过程中审视和理解数学，为人类认识数学开辟了全新的方向。但在现在的数学教学中过多地强调了数学的概念和运算，忽视了数学文化在学生学习数学、理解数学中所起的作用。在导数概念的教学的教学过程中，努力以数学文化滋养课堂，不失时机的进行数学文化渗透，介绍有关微积分产生的时代背景和历史意义。
5、改进之处
本节作为概念教学课，老师提前备好教材，学情，但在细节方面处理不够，在以后的教学中可加强。由于资料收集不够充分，对于数学史的介绍不够全面，还可以增加现实生活中比较常见的汽油的使用效率、工厂“三废”(废水、废物、废气)排污率等等，让学生感受微
积分与科技、社会、生活的紧密关系。
教学是一门艺术，教无定法，教师应不断学习新的教育教学理念，提升自己的专业水平，教师不仅要有扎实的基本功，还需要有很强的临场应变能力。本节课如果在节奏上能够再控制的紧凑些，再灵活收放自如些，效果会更好。
《变化率与导数》教材分析
1.本节内容在高中教材中的地位和作用
本节课的内容选自人教A版数学选修2-2第一章第一节《变化率与导数》，主要包括两方面的内容：变化率、导数概念。实际上，它们是理解导数思想及其内涵的不同角度。首先，教科书从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率，并给予各种不同变化率在数量上的精确描述，即导数；然后，教科书从数转向形，借助函数图象，探求切线斜率和导数的关系，说明导数的几何意义。
在这样的两个阶段，教科书注重思考方法的渗透，即以已知探求未知；注重抽象概念不同意义间的转换，即从实际意义、数值意义、几何意义等方面理解导数内涵与思想。目的在于，不仅让学生在数学知识的量上有所收获，而且能够体会其中蕴涵的丰富的思想，逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法
在众多变化率问题中，选择了气球影胀率问题和高台跳水运动的速度问题。这两个实例的共同点是背景简单，吹气球是很多人具有的
生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。
一般地，导数概念学习的起点是极限，即从数列→数列的极限→函数的极限→导数。这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但是也产生了一些问题：就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义，由此产生的困难也影响了对导数本质的理解。因此，教科书没有介绍形式化的极限定义及相关知识，而是从变化率入手，用形象直观的“近”方法定义导数，这样一来，其避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；其二，将更多精力用于对导数本质的理解上；其三，学生对通近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。
在教学中值得注意的是，本节的重点在于理解导数的概念和基本方法，并不追求理论上的严密性和过多的技巧，建议教学时充分理解教科书的编写意图，将教学重点放在对导数思想及其内涵的理解上。
2.教学重难点
【教学重点】：
平均变化率的概念，导数概念的形成，导数内涵的理解。
【教学难点】：
在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵。
《变化率与导数》评测练习
1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
《变化率与导数》课后反思
本节课注重培养学生将知识迁移应用能力，解决实际问题能力。面向全体学生，把本节要学习的内容以导学案的形式展现给学生，让
他们以小组为单位合作学习，积极参与，提出学习中所遇到的问题。利用师生互动、生生互动等多种教学形式，把学生带入探究问题的现场，给学生创造研究问题的情景。善于利用典型问题带动知识点，适时地进行点拨和引导，把知识向纵深拓展，不仅培养学生的知识应用能力，更重要的是培养学生的社会责任感。
学生是学习的主体，他们的学习一定要亲身经历才会印象深刻，在学习的过程中，我会尽可能地创设情境，让学生去感受、去体会知识的形成过程，从而使学生很好地进行知识建构。教学过程设计以“问题串”的方式呈现为主,教学过程中强调基于问题解决的设计，在教
师的引导下，让学生通过讨论、归纳、探究等方式自主获取知识，从而达到满意的教学效果。在教学过程中，我注意引导学生开展小组合作的学习，通过生活中的实例调动学生学习的积极性从而使目标达成。构建利于学生学习的有效教学情境，较好地拓展师生的活动空间，丰富教学手段，符合新课程的理念。
《变化率与导数》课标分析
微积分初步在20世纪70年代末期、80年代后期以及90年代，曾分别进入过我国高中数学实验教材，直到2001年，我国高中数学对微积分内容安排顺序是：数列----数列的极限----函数的极限----函数的连续性导数----导数的应用----不定积分----定积分。然而，用形式化的数学语言阐述导数的概念，学生理解起来很困难，教师也教得吃力。新课程对导数概念进行了新处理，遵循新的教学顺序：平
高中数学_1.1变化率与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计表格
课前复习（情景再现）一、创设问 题情境， 引入课 题： 我们生活在 瞬息万变的 世界中，有些 如风驰电掣， 而有些如蜗 牛行步。那么 我们如何用 数学的方法 来描述这些 变化呢？播 放ppt中跳水 运动员的跳 水过程。 让同学们观看完视频后，思考解决问 题： 人们发现在高台跳水运动中,运动 员相对于水面的高度h(单位：米)与起 跳后的时间t（单位：秒）存在函数关 系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动 员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结 论，而是继续引导学生：欲知结论怎样， 让我们一起来观察、研探。 运用多媒 体创设情 境，让学生 感受生活 中处处有 数学，为课 题的引入 作铺垫。
引入新课 平均变化率二、新知探 究： 探究1 高台 跳水 在高台跳 水运动中,运 动员相对于 水面的高度 h(单位：米) 与起跳后的 时间t（单位： 秒）存在函数 关 系 h(t)=- 4.9t2+6.5t+1 0. 如何用运 动员在某些 时间段内的 平均速度粗 略地描述其 给同学们思考一下，然后提问：（请计 算） 学生举手回答 解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 学生觉得 问题有价 值，具有挑 战性，迫切 想知道解 决问题的 方法。 让学生亲 身感受知 识与实际 应用的联 系。
探究2 气球膨胀率 很多人都吹过气球，回忆一下吹气 球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半学生分析并得到解析： 当V从0增加到1时,气球半径增加 了 气球的平均膨胀率为 （1）当V从1增加到2时,气球半 径增加了 气球的平均膨胀率为 0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大， 它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少? 对应的知 识点以问 题形式出 现，再现中 和反应的 实质，引导 学生将所 学知识应 用于生产、 生活实际。 两个问 题由易到 难，让学生 一步一个 台阶。为引 入变化率 的概念以
高中数学_导数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
《导数的概念》教学设计
《导数的概念》学情分析 通过对高一物理中平均速度、瞬时速度及上一节课中平均变化率的学习，学生已经对变化率的概念有了初步的了解和直观的认知，这些将对本节课的学习起到重要的铺垫作用。学生积极性高，已经基本具备了对数学问题进行合作探究的意识与能力，也具备一定的归纳、概括、类比、抽象思维能力。而且学生对导数这一新鲜的概念具有强烈的求知欲和渴望探究的积极情感态度。 本节课较为抽象，理解难度较大，需要学生提前复习和预习课本，搜集历史资料，了解微积分历史，对基础较差的学生可能在极限理解上产生疑惑，瞬时变化率与平均变化率的关系理解较困难。 《导数的概念》效果分析 导数的概念这节课比较抽象，需要学生自己吃透课本内容，理解导数定义。 本节课有两次小组探究性讨论，学生参与度高，热情，课堂气氛较活跃，达到了预期效果，让学生进行求导数的步骤归纳，培养了他们的归纳总结能力。 本节课在教师的引导帮助下，全体学生的潜力得到了很大程度的挖掘，智力好的学生吃得饱，中等水平的学生吸收的好，差的学生消化的了，学生人人学有所得。课堂教学中充分体现了师生平等、教学民主的思想，师生信息交流流畅，情感交流融洽，合作和谐，配合默契，教与学的氛围达到最优化，课堂教学效果达到最大化。教师教的轻松，学生学得愉快。
仍有需要改进的地方，例如在给出的导数概念的时候还是有点快，基础差的学生接受的还是不是很好，所以做题的时候不知如何下手，课堂进度稍有点慢，可以改进一下。 《导数的概念》教材分析 导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度。 “导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展. 本节课的重点是导数的概念和导数的求法，难点是对导数概念和瞬时变化率的理解。1.1节“变化率与导数”大致分为四个课时，包括变化率问题一课时，变化率与导数一课时，导数的几何意义两课时，三节新授课一节习题课，也可根据学生接受情况再进行一节习题课。 《导数的概念》评测练习
高中数学_导数的几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义,由于新教材未设计极限,于是我尽量采用形象直观的方式,让学生通过动手作图,自我感受整个逼近的过程,并用形象的几何画板展示动态的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。 本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。 先回忆导数的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率”。 完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。 本节课注重以学生为主体,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。从学生的作业看来，效果较好。在例题讲解时，注重审题（分析关键的词句）和解题反思，感觉效果不错！ 但是，作为探究课，时间如果控制不好，易讲不完，我就是例2来不及分析完，于是当作课外作业，所以时间要注意调配。 还有有些学生对如何画出过该点的切线有点困难，此时，教师给予示范。 【效果分析】导数的几何意义 本节课设计遵循“教师为主导，学生为主体”的教学原则，围绕“兴趣引导层层设问自主探索合作交流发现规律归纳总结”这一主线展开，以促进学生的全面发展为目的。教学活动中，教师作为引导者、组织者与合作者，通过创设问题情景，引导学生逐步发现知识的形成过程，让学生在解决问题的过程中学数学，用数学，鼓励学生大胆尝试、探索、发现、归纳、总结，完成了从感性认识到理性思维的飞跃，体现了“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想，让自主探究、合作交流这种新的教育理
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(教学设计)
5.1.1变化率问题 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题 本节内容通过分析高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。 课程目标学科素养 A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬 时速度，体会求瞬时速度的一般方法. B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程， 体会求切线斜率的一般方法. C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的 概念． 1.数学抽象：函数的变化率 2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系 3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率 4.数学建模：函数的变化率 重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 多媒体
1．平均变化率 对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率Δy Δx ＝ ＝ . x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2 －f x 1x 2－x 1 ；f x 1＋Δx －f x 1 Δx 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 Δy Δx ＝ . 某一时刻； lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx 问题2. 抛物线的切线的斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C ，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x 2为例进行研究.
高中数学_导数的概念及运算教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计 【教学目标】 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 【重点难点】 1.教学重点：①能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数; ②能利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 2.教学难点：理解导数的几何意义； 【教学策略与方法】 自主学习、学生展示、师生互动法 【教学过程】 【考纲再现】 导数的概念；基本初等函数导数公式；导数的四则运算；导数的几何意义。 【题型分析】 题型一 导数的运算 题型二 导数的几何意义 求切线方程 求切点坐标 求参数的值 【思维升华】 1.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ； (3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0 求解． 2. 求解与切线有关的问题时，要注意分析切点的性质，切点有3个性质：①切点在曲线上；②切点在切线上；③在切点处的导数等于切线的斜率．由此可以建立方程 (组)求解参数的取值问题． 【方法与技巧】
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导． 2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 【课后作业】 高考真题 学情分析 1.学生的情感特点和认知特点：学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础 2.已具备的与本节课相联系的知识、生活经验：学生已较好地在物理中学过平均速度、瞬时速度，并学习了一些的关于函数变化率的知识，为本节课学习瞬时变化率、导数做好铺垫。 3.学习本课存在的困难：导数概念建立在极限基础之上，极限是文科学生没有学习过的新知，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度． 效果分析 学生通过基本问题的解决，发现自己对知识的掌握情况。通过学生板书或讲述锻炼学生表达能力。 教材分析 导数是高考的热点，一般不单独出题,往往和导数的几何意义结合，既有选择题,填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在．导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方
高中数学_导数的几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.3导数的几何意义 教学三维目标： 1. 知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系： 2. 过程与方法：理解曲线的切线的概念： 3. 情态与价值：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题; 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义. 教学方法：讨论法 教学工具：多媒体 教学课时：1课时 教学过程： 创设情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数尸f3在wx。处的瞬时变化率，反映了函数产f&）在 z 附近的变化情况，导数广（兀）的几何意义是什么呢？ 新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当p…（x n= 1,2,3,4）沿着曲线/（x）趋近于点P（心Jg））时，害IJ线P化的变化趋势是什么？ 图3.1-2 我们发现，当点此沿着曲线无限接近点尸即A A-0时，割线趋近于确左的位置，这个确立位程的直线刃称为曲线在点尸处的切线. 问题：⑴割线P化的斜率忍与切线/T的斜率k有什么关系？
⑵切线/T的斜率£为多少？ 容易知道，割线P代的斜率是^ = y（AJ~y（A,l），当点代沿着曲线无限接近点尸时，忍无如一X。限趋近于切线刃的斜率八即k = lim "乞7）7（也）=广（X） Ar 说明：（1）设切线的倾斜角为"，那么当XlO时，割线PQ的斜率，称为曲线在点尸处的切线的斜率. 这个槪念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法； ②切线斜率的本质一函数在A = X0处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线;3）曲线的切线，并不一宦与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数在沪及处的导数等于在该点（心,/（心））处的切线的斜率， 即/认）=曲/（如+心）一/（如）从 A X 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求岀尸点的坐标； ②求岀函数在点观处的变化率广（兀）=lim "儿+ （"）=& ,得到曲线在点 a* zkv （X。，/（兀））的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. 典例分析 例1: （1）求曲线产f（x）二/+1在点XI, 2）处的切线方程. （2）求函数产3也在点（1,3）处的导数. 2 / 、八r [（1 + A¥）2+1]-（12+1）.. 2心 + 心$ 解：（1）yk.i=lnn- -------------------- ----------- = hm --------------- = 2, AT（）A V wo A X 所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y — 2 = 2（x —1）即2x —y = O 3r2 -3-123（ V2 _12） （2）因为y'li ]=lim --------------- = lim—------------ = lim3（x + l） = 6 •■ z x-1 j x-1 J】 所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y-3 = 6（x-l）即6x —＞，-3 = 0 （2）求函数f3二—F+x在x = —1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.
人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计
人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计 一、教学目标 通过本节课的学习，使学生掌握变化率的计算方法，理解导数的概念，掌握导数的计算方法，能够应用导数完成一些简单的问题解答。 二、教学内容 1.变化率的概念及计算方法 2.导数的概念及计算方法 3.导数的应用 三、教学重点 1.导数的概念及计算方法。 2.导数在各种问题中的应用。 四、教学难点 1.学生理解导数的概念。 2.学生理解导数在解决实际问题中的应用。 五、教学方法与教学手段 本课程将采用讲授、练习、探究相结合的方式，其中讲授是主要手段，而探究是辅助手段。 1.讲授 –通过讲述变化率和导数的概念及计算方法，引导学生理解。 2.练习 •给出一些例题进行课堂练习，并对练习做出解释和总结。
3.探究 –提供一些实际问题的案例，让学生自己探究如何使用导数解决问题。 六、教学过程 1.引入（5分钟） 询问学生对导数的概念的了解程度，并简单介绍导数的定义。 2. 讲授变化率的概念和计算方法（40分钟） 1.引入变化率的概念 2.讲解变化率的计算方法 3.对一些例题进行讲解和课堂练习 3. 讲授导数的概念及计算方法（40分钟） 1.导数的概念及其含义 2.导数的计算方法 3.对一些例题进行讲解和课堂练习 4. 导数的应用（30分钟） 1.探究导数在实际问题中的应用 2.提供一些案例，让学生自己探究如何使用导数解决问题 七、教学评估 通过给出的练习题和考试题进行评估，考察学生对变化率和导数的理解，以及对其在实际问题中应用的能力。同时，教师也对学生的学习过程进行评估。 八、教学资源 1.课本《数学选修1》，人教版。
高中数学_导数讲评课教学设计学情分析教材分析课后反思
学情分析 学生通过对导数试卷的讲评，对导数的概念及其几何意义后，知道利用导数研究函数性质的一般方法，但对于导数在研究函数性质的应用还不是很熟练，特别是对掌握含参数函数的单调性问题还有一定的难度。所以，在学习典型例题前对前面的知识进行复习，有利于课堂知识的顺利过渡。 效果分析 全班73个学生 1.正确率95%， 2.正确率92% 学生掌握情况很好，达到了预期效果。 教材分析 1.导数及其应用的地位、作用 本章微积分的设计主线是：瞬时速度-变化率-导数-导数应用-定积分，虽然是选修内容，但对大部分高中生而言，它依然是必要的基础知识。随着课程改革的不断深入，导数知识在高考中的考查要求也逐年加强，导数已经由高考中的辅助地位上升为分析和解决问题所必不可少的工具。 2. 知识结构 本章教材第一节讲导数的概念。它有着什么广泛的应用，是本章教材的一个重点。教材从切线及其斜率出发引入导数概念，接着又阐明了导数的几何意义及其在求切线方程中的应用。教师在教学过程中要充分利用材料帮助学生理解导数概念的实质，教学中不失时机地介绍其相关的物理意义，而不要停留在形式地记住定义。 本章教材第二节讲求导的方法。当我们具体解答问题时，求导方法无疑是非常重要的。本章介绍了基本初等函数的求导公式及三条运算法则，学生应准确又熟练地掌握。 本章教材第三节讲导数在研究函数方面的应用。主要包括函数的单调性、极值、最值，这一部分非常重要，能解决导数的有关问题。 本章教材第四节讲定积分与微积分基本定理。直观了解定积分的含义，深刻理解求曲边梯形面积的思想方法，初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法。 3.重点、难点 教学重点：导数的运算及其几何意义，运用导数研究函数的单调性、极值和最值。教学难点：运用导数探究含参数函数的性质，导数的综合运用。 教学设计
高中数学_变化率问题教学设计学情分析教材分析课后反思
变化率问题教学设计 一.内容和内容解析；内容：平均变化率的概念及其求法；内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导；教学重点：函数平均变化率的概念；二.目标和目标解析；新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化；目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率；1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变； §1.1.1 变化率问题 一. 内容和内容解析 内容：平均变化率的概念及其求法。 内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。 教学重点：函数平均变化率的概念。 二.目标和目标解析 新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。 目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。目标解析：
1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。 2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 三.教学问题诊断分析 吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。 教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。 四.教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，准备计算机、多媒体课件等。 1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。 2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有 认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。 五.教学过程设计 1.问题情景 从生活述语和学生比较熟悉的刘翔引入课题。
高中数学_导数及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
导数及其应用复习课教学设计 教学目标 1、知识与技能 (1)导数的几何意义及其应用； (2)利用导数求函数的单调区间； (3)利用导数求函数的极值以及函数在闭区间上的最值。 2、过程与方法 1)能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如交点情况，能合理利用数形结合解题。 2)学会利用熟悉的问答过渡到陌生的问题。 3、情感态度与价值观 这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心。 重点和难点： 重点：应用导数求单调性，极值，最值 难点：利用导数求含参数的函数的单调性问题 教学过程： (_)、导入. 基础自测：给出五道题 (1)函数y = x3在(1,1)处的切线方程为 (2)已知函数/(x) = sinx+lnx,贝炉⑴.= (3)函数"sin(2x2一*的导数是 (4)函数f3) = X5-X3-2X的单调递增区间为 (5)函数y =尸一3x的极大值为n,极小值为:,贝I］秫+7?= 设计意图：数学的教学要遵循循序渐近的原则，五道题是导数应用中基础的题型。其中(1) 是求切线方程，(2) (3)是对导数的公式的考察，(4)是求简单函数的单调区间，注意区间的写法，(5)是利用导数求函数的极大值或者极小值，通过一些比较简单题目的求解，加深学生对题目的本质的理解，掌握基础知识。 (二)、典例精析 例1(2014广西高考灯)曲线y = 在点(1,1)处切线的斜率等田). (2)已知曲线C： y = X3-%+2,求曲线在点P(l,2)的切线方程 教师：分别提问学生来回答这两个小题，回答过程中注意先说自己的思路，再说答案，同时需要注意，学生分析完了以后教师给予评价。 学生：分别找两名学生起来回答 归纳总结：这一部分还是找学生回答考察的知识点。 即时训练1
高中数学_变化率与导数导数的计算教学设计学情分析教材分析课后反思
第十节变化率与导数、导数的计算 知识目标：1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1 x，y＝x2，y＝x3，y ＝x的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 教学重点：求简单函数的导数，理解导数的几何意义,会求切线方程。 教学难点：能利用基本初等函数的导数公式求导数，求切线方程。 教学过程：一、（共同进行知识梳理）看课件： 知识点1导数的概念 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0) 或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx为f(x)的导函数． 知识点2基本初等函数的导数公式
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[ f (x ) g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 二、学生自己订正答案，反馈学案中的学情自测 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝( C ) A ．0 B ．e C ．2e D ．e 2 （安排学生课前展示）3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－1 2gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( ) A ．14 m /s 2 B ．4 m/s 2 C ．10 m /s 2 D ．－4 m/s 2 【答案】 A 4．(2014·广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为____________．
【公开课教案】“变化率问题与导数的概念”教学设计
“变化率问题与导数的概念”教学设计 一、教材分析 本节内容选自课标实验教材人教A版，是导数的起始课，主要内容有变化率问题和导数的概念。导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质理解。教材通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，这样定义导数的优点是：1．使学生将更多精力放在导数本质的理解上； 2．学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。 基于上述分析，本节课的教学重点是：丰富学生的感性经验，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。 二、教学设计 课题：变化率问题与导数的概念 教学目标：1．通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率 就是导数，体会导数的思想及其内涵； 2．通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的
能力，体会逼近的思想方法； 3．经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。通过概 念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。 教学重点：了解瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。教学难点：从平均变化率向瞬时变化率的过渡。 教学过程： 1．创设情境、引入新课 教师介绍：微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要方法和手段。在本章中，学生将通过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，那么，我们先来研究变化率的问题，引出新课。 设计意图：充分挖掘章引言的教学价值，它说明了三方面的问题：首先，简明的指出了函数和微积分的关系；其次，概述了微积分的创立史及它的地位；第三，概述本章的学习内容。 2．实例探索，引出概念 问题1：大家可能有过吹气球的经验。在吹气球的过程中，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。这个过程中的自变量和函数值分别是谁？试建立它们之间的函数关系，从数学角度如何描述上述变化过程呢？
高中数学_几个常见函数的导数教学设计学情分析教材分析课后反思
某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 问题1：导数是用什么来定义的？（平均变化率的极限） 问题2：平均变化率的极限如何计算？（求增量，求比值，取极限） 问题3：以上求导数的过程用起来是否方便？我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算？ 情境二： 1.利用定义求出函数①c y =的导数 2.若y c =表示速度关于时间的函数，则0y '=可以如何解释？如何描述物体的运动状态？ 问题1：函数值的增量y ∆是什么？（0） 问题2：自变量的增量x ∆是多少（x x x x -∆+=∆)(）
问题3：x y ∆∆=？?lim 0=∆∆→∆x y x 与x ∆的取值有关吗？ 问题4：你得到的函数c y =的导数是什么？（0='='c y ）与c 的取值有关系吗？ 情境三 学生探究：你能独立完成②x y =，③2x y =，④x y 1=这几个函数的导函数吗？ 问题1：函数②的导数是什么？（1='y ）若是改为cx y =呢？ 问题2：函数③的导数是什么？（x y 2='）若改为22x y =呢？ 问题3：函数④的导数是什么？（21x y -='）若改为x y 1-=呢？ 情境四：再探究： 1.以上四个函数的导数求解过程中用到的变形方法都是常见的提公因式，通分，合并同类项等初级方法，你能否还用以上方法求出函数⑤x y =的导数呢？x x x x x y ∆-∆+=∆∆，再往下如何化简？根据经验我们知道，应该能够把分母上的x ∆约去才行（因为取极限时0→∆x ，分母为0分式无意义）故要进行分子有理化具体过程如下： x x x x ∆-∆+) () )((x x x x x x x x x x +∆+∆+∆+-∆+==x x x +∆+1 00lim lim →∆→∆=∆∆='x x x y y x x x +∆+1=x 21 2.你能否把本节课所学的五个函数的求导公式通过类比推广统一起来呢？ ①1000)(-⨯='='cx cx c ②11)(0111==⨯='='-x x x x ③x x x x 222)(1122==⨯='- ④2211111)()1(x x x x x -=-=⨯-='='----⑤x x x x x 212121)()(2112121==⨯='='-- 推广：（1）若)(Q n x y n ∈=，则1-='n nx y （幂函数）（2）若)(Q n cx y n ∈=，则1-='n cnx y （类 幂函数） 习题设计： 1.(2014·合肥高二检测)已知y=sin30°,则导数y ′=( )
高中数学选修11《变化率问题》教案
人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74 t (d) 20 303421020 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) C (34, 33.4) T (℃)210
教材分析 本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。 二、教学目标分析 1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学 模型提供丰富的背景。 2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述 和刻画现实世界的过程。 3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研 究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以 及勇于探究、积极思考的学习精神。 三、重点与难点分析: 根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率概念的理解和运用 四、学情分析 1、有利因素： 高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。 2、不利因素： 学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。 五、教法学法 根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法： 探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 六、教学过程设计 （一）创设情景、激发热情 [情境1]： 法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s。 平均速度的数学意义是什么? 【设计意图】 数学学习过程中的兴趣是主体性学习的内在动力，也是学好数学的基本保
高中数学_导数的几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
导数的几何意义 【教学目标】 知识与技能目标： 1.通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。 2.借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。 3.依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数在处的导数的几何意义，使学生认识到导数就是函数的图象在处的切线的斜率。 过程与方法目标： 1.学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。 2.学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。 3.结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。 情感、态度、价值观： 1.通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值； 2.在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。 【教学重点与难点】 重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义。 【教学方法】 《新课程标准》的理念是“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法”。
高中数学_导数的几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
《导数的几何意义》教学设计
学情分析 《导数的几何意义》是普通高中课程标准实验教科书人教B版选修2-2第一章第一节第三课时，学生学习了函数的平均变化率以及瞬时速度，对于本节课的理解作了铺垫！ 学生对于本节课的理解难点有两个：一是曲线的切线定义出现认知冲突—学生在初中以及高中的必修2教科书中学习了直线与圆相切的定义，内容是直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，而本节课运用曲线的割线无限接近于一条确定位置的直线，叫做曲线的切线，学生对此知识点的理解存在难度；二是导数的几何意义的得来运用极限思想，学生对此完全陌生（以前并未接触过），接受起来存在难度。 本节课题型设置分为两类：“在点P”的切线方程和“过点P”的切线方程的求法。对于第二种类型题，部分学生存在理解偏差以及化简中的计算障碍！ 效果分析 学生对于本节课的理解难点有两个：一是曲线的切线定义出现认知冲突—学生在初中以及高中的必修2教科书中学习了直线与圆相切的定义，内容是直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，而本节课运用曲线的割线无限接近于一条确定位置的直线，叫做曲线的切线，学生对此知识点的理解存在难度；二是导数的几何意义的得来运用极限思想，学生对此完全陌生（以前并未接触过），接受起来存在难度。 本节课题型设置分为两类：“在点P”的切线方程和“过点P”的切线方程的求法。对于第二种类型题，部分学生存在理解偏差以及化简中的计算障碍！
针对以上学生的学情分析，本节课设置中注重两个亮点：多媒体动态演示技术和学习合作小组自主探究学习，效果不错！ 在突破第一个难点---曲线的切线定义的认知冲突时，结合学生学过的圆锥曲线的知识-直线与双曲线以及抛物线有一个公共点时并一定是切线，利用多媒体动态演示，让学生直观感受曲线的切线的形成原理，并初步构建定义的认知，体会“逼近”思想，学生基本上能够接受并重新接纳曲线的切线的定义。 在解决“在点P”的切线方程和“过点P”的切线方程的求法中我将例题2提供了三种解法，并设置问题串，让学生兵交兵，合作探究寻找错解的根源，进而总结归纳二者的解法区别，效果很不错！ 为了落实知识的掌握度，设置当堂落实，反馈达成度。最后一道训练题化简中存在难点，巡视学生的做题情况后，选择一名学生代表将自己的观点展示，突破难点，反响很好！ 教材分析 《导数的几何意义》选自普通高中课程标准实验教科书人教B 版选修2-2第一章第一节第三部分，是在学生学习了函数的平均变化率、瞬时变化率的基础上，进一步从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”思想重新定义了曲线的切线，获得导数的几何意义。 学生对于本节课的理解难点有两个：一是曲线的切线定义出现认知冲突—学生在初中以及高中的必修2教科书中学习了直线与圆相切的定义，内容是直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，而本节课运用曲线的割线无限接近于一条确定位置的直线，叫做曲线的切线，学生对此知识点的理解存在难度；二是导数的几何意义的得来运用极限思想，学生对此完全陌生（以前并未接触过），接受起来存在难度，针对学生的认知实际，有条件的学校可以充分应用多媒体信息技术，动画演示“逼近”过程让学生直观感受，观察、思考、发现、交流、归纳、运用形成完整概念。 本节课的重点和难点是导数的几何意义，对其的学习为后面学习常见函数的导数的计算以及研究导数在函数中的应用打下基础．因此，导数的几何意义有承前启后的作用，是本节的重要概念．
高中数学_导数的几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计 一、复习回顾为本节课所学打下基础 1、 函数在0x 附近的平均变化率： 2、函数在0x x =处的导数： 3、直线的点斜式方程： 二、探索研究 1、如图,曲线C 是y=f(x)的图象,),(00y x P 是曲线C 上的任意一点, ),(00y y x x Q ∆+∆+为P 邻近一点, PQ 为C 的割线, PM //x 轴, QM //y 轴, β为 PQ 的倾斜角 .tan ,,:β=∆∆∆=∆=x y y MQ x MP 则 平均变化率的几何意义： 2、请看当点Q 沿着曲线逐渐向点P 接近时, 割线PQ 绕着点P 逐渐转动的情况. 通过逼近的方法，将割线PQ 趋于的确定位置的直线定义为切线PT ，那么可否用逼近的方法用割线的斜率求切线的斜率？ (1)、几何意义： 函数)(x f y =在点))(,(00x f x 处的导数的几何意义， 就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的 . (2)、理解: ①切线斜率—切点横坐标0x 处的导数)(0x f '; ②提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 .就是割线的斜率x y ∆∆
求曲线y=f (x)在点P(x0 ,f (x0))处的切线方程是: 3、切线概念辨析 （1）、圆的切线的定义 （2）、曲线的切线的定义：通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 （3）、曲线在某点处的切线: ①与该点的位置有关。 ②要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限, 则在此点有切线, 且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线。 ③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以有无穷多个。 三、应用： 知识应用一：求f (x)在某点处的切线方程 例1． 求抛物线2x y =在点(1，1)的切线的斜率及切线方程。 引导学生注意已知点的位置对求切线的斜率的影响 求曲线在某点处的切线方程的步骤： (1) (2) 跟踪练习一 1、求曲线 x y 1 =在点(1,1)处的切线方程． 2、已知曲线C ：3 3 1x y = . (1)求曲线C 在横坐标为1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？