2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第三章3计算导数
【学习目标】1•会求函数在一点处的导数 2理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数.
IT 问题导学 ---------------------------
知识点一导函数
思考 对于函数f(x)，如何求f ' (1)、f ' (x)? f ' (x)与f ' (1)有何关系？
梳理 如果一个函数f(x)在区间(a, b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为 ______________, f ' (x) — _______________________________________________________________________________ ? 则f 'X 是 _______________ ，称f ' (x)为f(x)的 __________ ，通常也简称为 ________
区别
联系
f ' (x o )
f ' (x o )是具体的值，是数值
在x = x o 处的导数f ' (x o )是导函数f ' (x) 在x = x o 处的函数值，因此求函数在某一 点处的导数，一般先求导函数，再计算 导函数在这一点的函数值
f ' (x)
f (x)是f(x)在某区间1上每一点都存在
导数而定义的一个新函数，是函数
知识点二导数公式表
函数
导函数 y = c(c 是常数)
/
y =
三章变化率与导数
3计算导数
题型探究----------------------------
类型一利用导函数求某点处的导数
例1求函数f(x) = -x2+ 3x的导函数f' (x),并利用f' (x)求f (3), f'(—1).
反思与感悟f'(X。)是f' (x)在x= x o处的函数值.计算f' (x o)可以直接使用定义，也可以先求f' (x)，然后求f' (x)在x= x o处的函数值f' (x o).
1
跟踪训练1求函数y= f(x) =1+ 5的导函数f' (x), 并利用f' (x)，求f' (2).
x
类型二导数公式表的应用
例2求下列函数的导数.
(1)y= sin n；(2)y= x羽；(3)y= log3x；
sin x —LX
(4)y= x —；(5)y= 5.
2cos：-1
反思与感悟对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自
如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sinn = -t3是常数，而常数的导数一定为零，就
3 2
不会出现sin f' = cos f这样的错误结果•二是准确记忆，灵活变形•如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导.
跟踪训练2求下列函数的导数.
2x “
(2)y= 2cos 2- 1.
类型三导数公式的综合应用
命题角度1利用导数公式求解切线方程
例3已知点P(- 1,1)，点Q(2,4)是曲线y= x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由.
引申探究
若例3条件不变，求与直线PQ平行的曲线y= x2的切线方程.
反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
(1) 切点处的导数是切线的斜率；
(2) 切点在切线上；
(3) 切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练3过原点作曲线y = e x的切线，那么切点的坐标为_____________ ，切线的斜率为
命题角度2利用导数公式求参数
例4 已知直线y= kx是曲线y = In x的切线，贝U k的值等于()
1 1
A. e B . —e C. D .—
e e
反思与感悟解决此类问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一
步写出切线方程.
跟踪训练4已知函数f(x)= x, g(x) = aln x, a € R，若曲线y= f(x)与曲线y= g(x)相交，且
在交点处有相同的切线，求a的值.
当堂训练
i 下列结论: ③(log 3x) '= ④(ln x)
，=
1
其中正确的有(
)
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个 1
2.
质点的运动方程是 s =孑(其中s 的单位为m , t 的单位为s),则质点在t = 3 s
时的速度为 ( ) —4
— 4
A .— 4X 3
m/s
B .— 3X 3 m/s —5 — 5
,
C . — 5 X 3 m/s
D . — 4 X 3 m/ s
3. 设函数 f(x)= log a x , f ‘ (1) = — 1，贝U a= ______ .
1
4. ______________________________________________________________ 在曲线丫=丄上一点P 处的切线的斜率为一4,则点P 的坐标为 _______________________________ .
x 5•曲线y = e x 在点(2, e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ______________ . 厂规律与方迭 ------------------------------------ , 1.
利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数
公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归. 2. 有些函数可先化简再求导. 如求y = 1 — 2sin 2：的导数.
2X
因为 y = 1 — 2sin 2= cos x , 所以 y ，= (cos x)，= — sin x.
①(sin x) 2
3. 对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.
f '⑴可以认为把x = 1代入导数f '（X ）得到的值. ,
f(x + A x — f{x \
梳理 f ' (x) lim
关于x 的函数 导函数
厂o
A x
知识点二
a-1 x x 1 1
0 ax aln a e
嬴 x
1 cos x — sin x 2_
cos x
题型探究
例 1 解••• f ' (x)
—(x + A x 2+ 3(x + A x + x 2— 3x
=^m o (— A x — 2x + 3) = — 2x + 3,
即 f ' (x) = — 2x + 3, ••• f ' (3) = — 2X 3 + 3=— 3, f ' (— 1) = — 2X (— 1) + 3= 5. 跟踪训练 1 解 •/ A y = f(x + A x) — f(x)
1
1
= +5— -+ 5
x + A x x
—A x
x + A x x
.A y =
— 1
答案精析
问题导学 知识点一 思考 f '(1) P 0 f 1+ A x — f 1 x . (x )= lim o
f x + Ax — f x Ax .
导数
f x + A x — f x
A x
x x+ A x x
• f ' (x)= lim 亨=lim
丄一
&-0 A x x 0(x + &)x
1 |. X 1
••• f'⑵=—-.
例 2 解(l)y ' = 0. (2)因为 y = x x = x|, 所以y '
(3) y ' = (log3x)'
xln 3-
⑷因为y =
2X
cos x
2cos 2 — 1
所以 y ' =(tan x)' = cosx ・
,
X ,
x
(5)y ‘ = (5 )' = 5 In 5.
1
跟踪训练2解 ⑴•/ y = (1— x)(1 + -)+ x
V x
=1—
I x = J x - 2,
1 3 x ——
2 2'
⑵•/ y = 2cos 22— 1 = cos x , y ' = (cos x)' =— sin x.
例3解 因为y ' = (x 2)' = 2x ,假设存在与直线 设切点为(X o , y o ),
4 — 1
由PQ 的斜率为k =
= 1, 2 + 1
而切线与PQ 垂直,
1
sin x sin x x =tan x ,
PQ 垂直的切线.
所以2x°=—1，即卩x0= — $
1 1
所以切点为(一2，1).
所以所求切线方程为
i 1
y-4 =(一2)(x+ 2)，
即4x+ 4y+ 1 = 0.
引申探究解因为y' = (x2)z = 2x,
设切点为M(x o, y o),
4 —1
由PQ的斜率为k= = 1,
2 + 1
而切线平行于PQ,
1
所以2x o= 1，即x o = ~2
1 1
所以切点为Mg, 4).
1 1
所以所求切线方程为y—4= x —2，
即4x—4y— 1 = 0.
跟踪训练3 (1, e) e
解析设切点坐标为(x o, ex o).
•••(e x)' = e x,
• • •过该点的直线的斜率为ex o, •••所求切线方程为y—ex o= ex o(x—x o). •••切线过原点，
•- —ex o=—x o ex o，解得x o= 1.
•切点坐标为(1, e),斜率为e.
1
例 4 C [y'= (In x)' = _.
x
设切点坐标为(x o, y o),
1
则切线方程为y —y o= —(x—x o),
即y=—卜In x°一 1.
x o
•••直线y = kx过原点，
1 •'•In x o —1= 0,得x o= e,「. k = — .]
e J
跟踪训练4设两曲线的交点为(x o, y o), 由题意知，f' (x o)= g ' (x o),
a
x o,
1 1
即a= ^x o",①
T点(x o, y o)为两曲线的交点,
• X o= aln X o,②
由①②可得x o = e2,
将x o = e2代入①得a= 3.
当堂训练
1
1. C
2.D 3二
e
1 1 1 o
4. (2, 2)或(—2,—2) 5尹
北师大版数学选修1-1教案：第3章-拓展资料：用辨证的观点学导数
拓展资料：用辨证的观点学导数 导数的重要性是人所共知的．它不仅仅应用于数学、物理、化学，而且在天文、地理、经济等科学领域中也有非常广泛而重要地应用；学好它是应该的也是必须的．但这个内容与我们前面学习的东西又有很大的区别，如何理解它呢？只要你能辨证的看问题也许就不难了．下面我们看几个例题： 例1 自由落体的瞬时速度问题 我们知道自由落体运动是一种变速运动，它的下落高度 212 h gt =（g 为自由落体加速度，t 为下落的时间）．如图，当物体从点A 处自由下落时，由B 到C 的过程是变速的，但当h ?很小时， 我们可以把它看成是匀速运动．若由B 到C 的时间为t ?，则此时的速度为2211()1222g t t gt h v gt t t t +?-?===+???．由于t ?很小，当0t ?→时，点B 与点C 将无限接近，当趋于一点时，就得到了我们平时用的自由落体的瞬时速度公式v gt =． 例2 交流电的瞬时电流强度问题 由物理知识我们知道，对于直流电，单位时间内流过导线截面的电量叫做电流强度．设t 从0t 变到0t t +?时，通过导线截面的电量为q ?，电流强度公式为：电流强度q t ?=?． 对于交流电，电量是随时间变化的．设电量q 与时间t 的关系为()q q t =，当t 从0t 变到0t t +?时，电量为00()()q q t t q t ?=+?-，从而电流强度00()()q t t q t q t t +?-?==??，显然，这只是在时间段t ?内的平均电流强度．当t ?很小，即0t ?→时，00t t t +?→，此时，就得到了0t 时的瞬时电流强度． 例3 非均匀细棒的密度问题 所谓细棒是指棒的横断面很小，且在任何部位的横断面面积都相等．如果棒的任何长度相等的两段质量都相等，就说棒是均匀的，否则，棒就是非均匀的．因 此，非均匀细棒有的地方质量分布较密、有的地方质量分布较疏．对于均匀的细
2019-2020年高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 知识归纳：导数的计算
2019-2020年高中数学（北师大版）选修1-1教案：第3章 知识归纳： 导数的计算 一、几个常用函数的导数 1.公式1 C ′=0(C 为常数) 2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q ) 3.公式3 (sin x )′=cos x 4.公式4 (cos x )′=-sin x 5.y =C (C 是常数)，求y ′. 解：y =f (x )=C ， ∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0, x y ??=0. Y ′=C ′=x y x ??→?0lim =0,∴y ′=0. 6.y =sin x ,求y ′ 解：Δy =sin(x +Δx )-sin x =sin x cosΔx +cos x sinΔx -sin x , x x x x x x x y ?-?+?=??sin sin cos cos sin , ∴x y y x ??='→?0lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x cos 4 )2 (2sin )sin 2(lim sin cos lim ) 2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim 22002000+?????-=?? +??-=??+-?=?-?+?=→?→?→?→?→? =-2sin x ·1·0+cos x =cos x . ∴y ′=cos x . 7. y =cos x ,求y ′.
解：Δy =cos(x +Δx )-cos x =cos x cosΔx -sin x sinΔx -cos x , x x x x x x x y y x x ?-?-?=??='→?→?cos sin sin cos cos lim lim 00 1sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim 2 2 00200?-????-=??-??-=??--?=→?→?→?→?x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-2cos x ·1·0-sin x =-sin x , ∴y ′=-sin x . 二、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1．常见函数的导数公式： （1）0'=C (C 为常数)； （2）1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； （3）x x cos )'(sin =； （4）x x sin )'(cos -=； （5）a a a x x ln )'(=； （6）x x e e =)'(； （7）e x x a a log 1)'(log = ； （8）x x 1)'(ln =． 2．导数的运算法则： 法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=．
数学选修1-1 第三章__导数及其应用 练习
3.1 导数的定义 基础训练(1)： 1. 在求平均变化率中，自变量的增量x ?（ ） Ａ．0>?x Ｂ．0
北师大版数学选修1-1教案：第3章-疑难解析：导数概念
有关导数概念的几个疑难问题 一、导数相关概念 1．导数的定义包含了两层意思：可导条件和导数概念。 函数y =)(x f 在x 0点可导是)(x f 在x 0点的性质，因为函数并不是一定在定义域内处处可导的。如果0lim →?x x y ??不存在，称函数在x 0点不可导；若0lim →?x x y ??存在，则函数在一点处的导数y 0=)(0x f '是一个常数，不是变量． ②．函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数y =)(x f 在区间(a ，b)内每一点都可导，是指对于区间(a ，b)内每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数y 0=)(0x f '．根据函数的定义，在开区间(a ，b)内就构成了一个新的函数，就是函数y =)(x f 的导函数y =)(x f '． ③．函数y =)(x f 在点x 0处的导数y 0=)(0x f '就是导函数y =)(x f '在点x = x 0处的函数值，即)(0x f '=)(x f '|0x x =．称此极限值为函数在该点的导数。 2．y =)(x f 在x 0点可导有以下三个条件： ①y =)(x f 在x 0点处及其附近有意义；②左极限-→?0lim x x y ??及其右极限+→?0lim x x y ??都存在；③-→?0lim x x y ??=+→?0lim x x y ??，即左右极限相等。三个条件中的任何一个受到破坏，函数在该点就不可导。 3．导函数y =)(x f '与原来的函数y =)(x f 有相同的定义域(a ，b)． 4．“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三个概念既有联系又有区别： 5．导数与连续的关系： 若函数y =)(x f 在x 0处可导，则此函数在x 0处连续，但逆命题不成立，即函数y =)(x f 在x 0处连续，未必在x 0处可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．因而可导性比连续性要求更高． 下面用两个例题说明这个问题．
高中数学选修1-1：第三章《导数及其应用》教案(新人教A版选修1-1)
导数及其应用复习 【知能目标】 1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2、熟记基本导数公式：x m (m 为有理数)、sinx 、cosx 、e x 、a x 、lnx 、log a x 的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 [教学方法] 1.采用“学案导学”方式进行教学。 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。 [教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评. [教学重点和难点] 教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用 【综合脉络】 1.知识网络 2.考点综述 有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、导数定义 导数的几何意义 导函数 四则运算 求导法则 复合函数 求导法则 求简单函数的导数 导数的应用 导数的实际背景 判断函数 的单调性 求函数的 极大(小)值 求函数的 最大(小)值 基本求 导公式
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第三章3计算导数
【学习目标】1•会求函数在一点处的导数 2理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数. IT 问题导学 --------------------------- 知识点一导函数 思考 对于函数f(x)，如何求f ' (1)、f ' (x)? f ' (x)与f ' (1)有何关系？ 梳理 如果一个函数f(x)在区间(a, b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为 ______________, f ' (x) — _______________________________________________________________________________ ? 则f 'X 是 _______________ ，称f ' (x)为f(x)的 __________ ，通常也简称为 ________ 区别 联系 f ' (x o ) f ' (x o )是具体的值，是数值 在x = x o 处的导数f ' (x o )是导函数f ' (x) 在x = x o 处的函数值，因此求函数在某一 点处的导数，一般先求导函数，再计算 导函数在这一点的函数值 f ' (x) f (x)是f(x)在某区间1上每一点都存在 导数而定义的一个新函数，是函数 知识点二导数公式表 函数 导函数 y = c(c 是常数) / y = 三章变化率与导数 3计算导数
题型探究---------------------------- 类型一利用导函数求某点处的导数 例1求函数f(x) = -x2+ 3x的导函数f' (x),并利用f' (x)求f (3), f'(—1). 反思与感悟f'(X。)是f' (x)在x= x o处的函数值.计算f' (x o)可以直接使用定义，也可以先求f' (x)，然后求f' (x)在x= x o处的函数值f' (x o). 1 跟踪训练1求函数y= f(x) =1+ 5的导函数f' (x), 并利用f' (x)，求f' (2). x
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率导学案北师大版选修1-1
3.1 变化的快慢与变化率 学习目标 1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度. 知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题： 思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？ 答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”. (3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 梳理 平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝ f x 2－f x 1 x 2－x 1 . (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢. (4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )图像上的两点，则平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 表示割线P 1P 2的斜率. 知识点二 瞬时变化率 思考1 物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？ 答案 不能.如高台跳水运动员从起跳高度到最高点然后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态. 思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
高中数学选修1-1 第三章 导数 第2节 导数的运算
第2节 导数的运算 1.基本初等函数的导数公式表 y ＝f (x ) y ′＝f ′(x ) y ＝c y ′＝0 y ＝x n (n ∈N ＋) y ′＝nx n －1，n 为正整 数 y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q) y ′＝μx μ－1，μ为有理 数 y ＝a x (a >0，a ≠1，x >0) y ′＝a x ln a y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0) y ′＝ 1x ln a y ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos x y ＝－sin_x 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝x 12 (2)y ＝5x 3 (3)y ＝log 2x (4)y ＝2sin x 2cos x 2 （5）y=2018sin60° [精解详析] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11； (2)y ′＝(5 x 3)′＝(x 35 )′＝35x 25-＝3 55 x 2 ； (3)y ′＝(log 2x )′＝ 1 x ln 2 ； (4)y ′＝? ? ???2sin x 2cos x 2′＝(sin x )′＝cos x . （5）0 练习：下列导数运算正确的是（ ） A ．（sinx ）'=﹣cosx B ． C ．（3x ）'=3x D ． 解：（sinx ）′=cosx ；（log2x ）′= ；（3x ）′=3x ln3；（）′=﹣ ，故选：B ． 例2：函数y=2x 在x=0处的导数是（ ）
A．0 B．1 C．ln2 D．解：∵y′=2x ln2，∴y′|x=0=ln2，故选：C． 练习：函数y=在x=1处的导数值为（） A．﹣B．2 C．1 D．解：∵，∴f′（1）=．故选：D． 例3：若函数f（x）=sinx，则=（）A．B．C．1 D．0 解：根据题意，f（x）=sinx，则f′（x）=cosx， 则f（x）+f′（x）=sinx+cosx， 则=sin+cos=+=； 故选：B． 练习：已知函数f（x）=，则f′（）=（） A．﹣B．﹣C．﹣8 D．﹣16 解：函数的导数f′（x）=﹣2x﹣3=﹣， 则f′（）=﹣=﹣16， 故选：D． 例4：若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x0的值为（） A．B．±C．﹣2 D．±2 解：函数的导数f′（x）=5x4， ∵f′（x0）=20， ∴5x04=20，得x04=4， 则x0=±， 故选：B． 练习：设f（x）=lnx，若f′（x0）=2，则x0=（）
选修1-1第三章导数测试题(含详解)1
高中数学（文科）选修1-1第三章导数单元测试题 一、选择题(本大题共10小题.每题只有一个正确答案,请把正确答案的选项填在括号内) 1.已知f (x )在x =x 0处可导,则0 lim x x →[][]0 2 02)()(x x x f x f --等于 A.f ′(x 0) B.f (x 0) C.f (x 0)·f ′(x 0) D.2f (x 0)·f ′(x 0) 2.物体运动的方程为s =4 1t 4－3,则t =5的瞬时速度为 A.5 B.25 C.125 D.625 3. (2006.安徽高考.理7）若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 4.对于函数f (x )=x 3－3x 2,给出命题:①f (x )是增函数；②f (x )为减函数,无极值；③f (x )是增函数的区间为(－∞,0)∪(2,+∞),是减函数的区间为(0,2)；④f (0)是极大值,f (2)=－4是极小值.其中正确的命题有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于 A. 6 363 B.－ 6 363 C. 3 2 D. 3 2或0 6.已知函数f (x )=x 3 －3x 2 －9x ,x ∈(－2,2),则f (x ) A.极大值为5,极小值为－27 B.极大值为5,极小值为－11 C.极大值为5,无极小值 D.极小值为－27,无极大值 7. （2006.江西高考.理5）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 8.函数f (x )=x (1－x 2)在［0,1］上的最大值为 A. 932 B. 922 C.9 23 D.8 3 9.已知f (x )= x x x cos sin sin +,则f ′( 4 π )等于
高中数学选修1-1第三章课后习题解答
新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答 第三章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P76） 在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P78） 函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P79） 函数()r V = (05)V ≤≤的图象为 根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈. 说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题3.1 A 组（P79） 1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()() W t W t t W t W t t t t --?--?≥ -?-?. 所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t ?+?-==-?-??，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数. (5)(5)10s s t s t t t ?+?-==?+??，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能21 3101502 k E =??= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.
高二文科数学选修1-1第三章导数的概念及运算带答案
导数的概念及运算 [必备知识] 考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0 处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0 Δy Δx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．几何意义 函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式 若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡ ⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数 设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论] 1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析
选修1-1-第三章-《导数及其应用》教案
第三章 导数及其应用 备课人 周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42 ++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的 平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉
表格1 格 2 0<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内 0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆= ∆+-∆+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-= -∆+-∆+=t t t t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=∆t 0.000 01时，-=v 1 3.099 951； 当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。。。。。。 。。。。。。 问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2） 关于这些数据，下面的判断对吗？ 2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度；
高二数学选修11第三章导数及其应用试题精选
高二数学选修1-1第三章导数及其应用试题精 选 如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，查字典数学网为大家推荐了高二数学选修1-1第三章导数及其应用试题，请大家仔细阅读，希望你喜欢。 一、选择题 1.(2019黄山调研)若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x-y+1=0，则() A.f(x0) B.f(x0)0 C.f(x0)=0 D.f(x0)不存在 2.(2019海口质检)函数f(x)=excosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为() A.0 B.4 C.1 D.2 3.(2019九江模拟)已知f(x)=x3-ax在(-，-1]上递增，则a 的取值范围是() A.a B.a3 C.a D.a3 4.(2019东北师大附中模拟)已知函数f(x)在R上可导，且f(x)=x2+2xf(2)，则f(-1)与f(1)的大小关系为() A.f(-1)=f(1) B.f(-1)f(1)
C.f(-1) 5.(2019新乡一模)若a2，则方程31x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有() A.0个根 B.1个根 C.2个根 D.3个根 6.(2019辽宁理)函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x+4的解集为() A.(-1,1) B.(-1，+) C.(-，-1) D.(-，+) 二、填空题 7.(2019萍乡一模)已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M-m=________. 8.(理)(2019萍乡一模)已知t0，若(2x-1)dx=6，则 t=________. 9.已知函数f(x)=x3-3a2x+a(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________. 10.(2019商丘调研)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为________. 11.(2019广州一模)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2++a99的值为________. [答案] -2
人教高中数学选修1-1第三章 导数知识点
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念 1.函数)(x f 在0x x =处的导数：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率称 为)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()()(00000'lim lim 。 3.1.3导数的几何意义 1.导数的几何意义：函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率，即k x x f x x f x f x =∆-∆+=→∆)()()(0000'lim ； 2.求切线方程的步骤：（注：已知点),(00y x 在已知曲线上） ①求导函数)('x f ； ②求切线的斜率)(0'x f ； ③代入直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-，并整理。 3.求切点坐标的步骤： ①设切点坐标),(00y x ； ②求导函数)('x f ； ③求切线的斜率)(0'x f ； ④由斜率间的关系列出关于0x 的方程，解方程求0x ； ⑤点),(00y x 在曲线)(x f 上，将),(00y x 代入求0y ，得切点坐标。
3.2导数的计算 1. 基本初等函数的导数公式： ①0'=C ；②1)'(-=a a ax x ；③x x cos )'(sin =；④x x sin )'(cos -=； ⑤)0(ln )('>=a a a a x x ；⑥x x e e =')(；⑦)1,0(ln 1)(log '≠>= a a a x x a 且；⑧x x 1)(ln '=. 2. 导数运算法则： ①)()()]()(['''x g x f x g x f ±=± ； ②)()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=； ③2''')] ([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f -=；④)()]([''x cf x cf = 3.3.1函数的单调性与导数 （1）在区间],[b a 内，)('x f >0,⇔f (x )为单调递增；)('x f <0,⇔f (x ) 为单调递减。 （2）用导数求函数单调区间的三个步骤： ①确定函数的定义域； ②求函数f (x )的导数()f x '； ③令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间； ④令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间。 （3）用导数判断或证明函数的单调性的步骤： ①求函数f (x )的导数()f x '； ②判断()f x '的符号； ③给出单调性结论。
2017-2018版高中数学第三单元导数及其应用章末复习课教学案新人教B版选修1-1
第三单元 导数及其应用 学习目标 1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题． 知识点一 在x ＝x 0处的导数 1．定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx →0 Δy Δx ＝________________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数． 2．几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线________． 知识点二 导函数 当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的__________(简称________)，f ′(x )＝y ′＝____________. 知识点三 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 y ＝C (C 为常数) y ′＝________ y ＝x u (u ∈Q *) y ′＝________ y ＝sin x y ′＝________ y ＝cos x y ′＝________ y ＝a x y ′＝________(a >0，a ≠1) y ＝e x y ′＝________ y ＝log a x y ′＝________(a >0且a ≠1，x >0) y ＝ln x y ′＝________ 知识点四 导数的运算法则 和差的导数 [f (x )±g (x )]′＝________ 积的导数 [f (x )·g (x )]′＝____________ 商的导数 ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤f x g x ′＝ ________________(g (x )≠0) 知识点五
第83套题高中数学选修1-1第三章导数及其应用测试题解析版
第83套题高中数学选修1-1第三章导数及其应用测试题解析版 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。) 1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3 2t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是 ( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 2．(文)已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) 3．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为 ( ) A.27 8 B ．－2 C ．2 D ．－27 8 4．(文)若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，7] B ．(－∞，－20] C ．(－∞，0] D ．[－12,7] 5．对于在R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有 ( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)
C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1) 6．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫ π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 2 C ．－2 D ．2 7．(文)(08·广东)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a ≥－1e D ．a <－1 c 8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]；②f (x )的极值点有且仅有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于0. 其中正确的结论有 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．[－2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，2] 10．(08·辽宁)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π 4 ]，则点P 横坐标的取值范围为 ( ) A ．[－1，－1 2] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[1 2 ，1] 11．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x )＋f (x )<0，则对任意正数a ，b ，若a >b ，则必有 ( ) A ．af (b ) 第三章 导数及其应用 第一节 变化率与导数 主编：李明 审定：贾荣信 知识梳理 1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度； 若物体的运动方程为),(t f s =则物体从t 到t t ∆+这 段时间内的平均速度t t f t t f t t v ∆-∆+=∆) ()(),(；一般的，函数)(x f 在区间] ,[21x x 上的平均变化率为2121 ()()f x f x x x --。 2. 瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗 略的估算。当平均速度t t f t t f t t v ∆-∆+=∆) ()(),(中的t ∆无限趋近于0 时，平均速 度t t f t t f t t v ∆-∆+=∆) ()(),(的极限称为在时刻t 的瞬时速度)(t v ，记作 v=t s ∆∆=()()(0)f t t f t t t +∆-∆→∆。求瞬时速度的步骤为： (1)设物体的运动方程为)(t f s =； (2)先求时间改变量t ∆和位置改变量);()(t f t t f s -∆+=∆ (3)再求平均速度 t t f t t f t s t t v ∆-∆+= ∆∆=∆) ()(),( (4)后求瞬时速度：瞬时速度v=t s ∆∆=()() (0)f t t f t t t +∆-∆→∆. 3. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆． （2）求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+= ∆∆) ()(． （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=(0)y x x ∆∆→∆． 4.)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-; 3.1.1 变化率问题 例：设函数1)(2-=x x f ，求： （1）当自变量x 由1变到1.1时，自变量的增量x ∆； （2）当自变量x 由1变到1.1时，函数的增量y ∆； （3）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率；高中数学选修1-1(文)第三章__导数及其应用_例题与练习