2021年高二苏教版数学选修2-2名师导学：第1章 第4课时 瞬时变化率——导数(1)

第4课时瞬时变化率——导数(1)

教学过程

一、数学运用

【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见同学用书P8)

[处理建议]让同学体会割线斜率无限靠近于切线斜率,生疏求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1)求差f(x0+Δx)-f(x0);(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.

[规范板书]解==

-.

当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.

[题后反思]本题应留意分子有理化,再用靠近思想处理.

变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.

[规范板书]解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB ==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.

【例2】物体自由落体的运动方程为S=S(t)=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求t=3 s时的瞬时速度.(见同学用书P8)

[处理建议]瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.

[规范板书]解取一小段时间[3,3+Δt],位移转变量ΔS=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.

[题后反思]若求t=3s时的瞬时加速度呢?

变式设一物体在t s内所经过的路程为S m,并且S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开头及第5s末的速度.

[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻t s的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开头时的速度为2 m/s.

【例3】假如曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见同学用书P8)

[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.

[规范板书]解设切点坐标为(x,x3+x-10),

==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1,

由题得,3x2+1=4⇒x=1或-1.

所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.

变式已知曲线y=x2上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:

(1)平行于直线y=4x-5;

(2)垂直于直线2x-6y+5=0;

(3)与x轴成135°的倾斜角.

[处理建议]利用导数的概念及两直线的位置关系来求解.

[规范板书]解设P(x0,y0)是满足条件的点.

==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.

(1)由于切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4⇒x0=2,y0=4,即P(2,4).

(2)由于切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1⇒x0=-,即P.

(3)由于切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,即2x0=-1⇒x0=-,即P -,.

*【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.

[处理建议]利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解.

[规范板书]解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.

变式已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.

[处理建议]利用导数的几何意义——函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率——来求解.

[规范板书]解由题意有

解得.

二、课堂练习

1.借助直尺,用割线靠近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线:

(第1题)

解