高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案

第三章导数及其应用知识点最新考纲

变化率与导数、导数的计算

了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．

会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).

导数在研究函数中的应用

了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．

理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）

Δx

＝lim

Δx→0

Δy

Δx

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或

y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim

Δx→0Δy

Δx

＝lim

Δx→0

f（x0＋Δx）－f（x0）

Δx

.

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝lim

Δx→0f（x＋Δx）－f（x）

Δx

为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2

(g (x )≠0)．

4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝

y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]

1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x

D ．－x cos x

解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin

x .

2．(选修2－2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2

x ＋2

在点(－1，－1)处的切线方程为________．

解析：因为y ′＝2

（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.

故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0

3．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2

＋3t

(t 是时间，s 是位移)，

则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．

解析：因为s ＝t 2

＋3t ，所以s ′＝2t －3t

2，

所以s ′|t ＝2＝4－34＝13

4.

答案：134

[易错纠偏]

(1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．

1．已知函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π3

2．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．

解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，

所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2cos π

2－sin π2，

即f ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，

f ′(x )＝－cos x －sin x .

故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 2

导数的计算

求下列函数的导数：

(1)y ＝(3x 2

－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2

sin x ； (3)y ＝3x e x －2x

＋e ；(4)y ＝ln(2x －5)．

【解】 (1)因为y ＝(3x 2

－4x )(2x ＋1)＝6x 3

＋3x 2

－8x 2

－4x ＝6x 3

－5x 2

－4x ，所以y ′＝18x 2

－10x －4.

(2)y ′＝(x 2

)′sin x ＋x 2

(sin x )′＝2x sin x ＋x 2

cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x

)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x

ln 2. (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，

则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝2

2x －5

.

[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．

1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2

B ．1

C ．ln 2

D ．e

解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018， 所以2 018＋ln x 0＝2 018， 所以x 0＝1.

2．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x

；(2)y ＝cos x sin x ；

(3)y ＝e x

ln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2

. 解：(1)y ′＝nx

n －1e x

＋x n e x ＝x

n －1e x

(n ＋x )．

(2)y ′＝－sin 2x －cos 2

x sin 2x ＝－1

sin 2x .

(3)y ′＝e x ln x ＋e x

·1x

＝e x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋ln x .

(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x .

导数的几何意义(高频考点)

导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：

(1)求切线方程；

(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值． 角度一 求切线方程

(1)曲线y ＝x 2

＋1x

在点(1，2)处的切线方程为____________________．

(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线

l 的方程为________．

【解析】 (1)因为y ′＝2x －1x

2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1

－1

1

2＝1， 所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)． 又因为f ′(x )＝1＋ln x ，

所以⎩

⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，

解得x 0＝1，y 0＝0.

所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l 的方程为y ＝x －1. 【答案】 (1)y ＝x ＋1 (2)y ＝x －1 角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标

若曲线y ＝e

－x

上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是

________．

【解析】 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x

， 所以y ′＝－e －x

，

所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2， 所以y 0＝e

ln 2

＝2，

所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)

角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值

(1)(2020·宁波调研)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3

＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则

2a ＋b 的值等于( )

A ．2

B ．－1

C ．1

D ．－2

(2)(2020·绍兴调研)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．

【解析】 (1)依题意知，y ′＝3x 2

＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13

＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，

由此解得⎩⎪⎨⎪

⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，

所以2a ＋b ＝1，选C.

(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0

＝2

x 0

，

于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝

2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，

解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.

【答案】 (1)C (2)2e －1

2

(1)求曲线切线方程的步骤

①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；

②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点

①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；

②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．

1．(2020·杭州七校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2

)处的切线与坐标轴所围三角形的面

积为( )

A.92e 2

B ．4e 2

C ．2e 2

D ．e 2

解析：选D.因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2

＝12e 2(x －4)，

令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12

×2×|－e 2|＝e 2

.

2．已知函数f (x )＝(x 2

＋ax －1)e x

(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝________．

解析：f ′(x )＝(x 2

＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2

＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x

，故f ′(0)＝[02

＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0

＝a －1.

因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.

答案：2

3．(2020·台州高三月考)已知曲线f (x )＝x

n ＋1

(n ∈N *

)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y

＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017的值为________．

解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n

，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－

1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n

n ＋1

. 所以x 1·x 2·…·x 2 017＝12×23×34×…×2 0162 017×2 0172 018＝1

2 018.

则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017

＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 0181

2 018＝－1.

答案：－1

两条曲线的公切线

若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则

b ＝________．

【解析】 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．

则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1

x

＋ln x 1＋1，y ＝

1x 2＋1x －x 2

x 2＋1

＋ln(x 2＋1)， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1x 1

＝1x 2

＋1，

ln x 1

＋1＝－x

2

x 2

＋1＋ln （x 2

＋1），

解得x 1＝1

2，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.

【答案】 1－ln 2

求两条曲线的公切线的方法

(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．

设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝

f （x 1）－

g （x 2）

x 1－x 2

.

1．已知函数f (x )＝x 2

－4x ＋4，g (x )＝x －1

，则f (x )和g (x )的公切线的条数为( ) A ．三条 B ．二条 C ．一条

D ．0条

解析：选A.设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x

－4，g ′(x )＝－x －2

，g ′(n )＝f ′(m )＝g （n ）－f （m ）n －m ，解得m ＝－n －2

2

＋2，代入化简得

8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数f (x )＝8x 3－8x 2

＋1，f ′(x )＝8x (3x －2)，原函数在(－∞，0)上

单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增，极大值f (0)＞0，极小值f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫23＜0，故函数和x 轴有3个交点，方程8n 3

－8n 2

＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.

2．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2

－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．

解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2

－a 相切于点(x 0，ax 2

0－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 2

0－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－1

2，切点坐标为(－1，0)．

所以过切点且与该切线垂直的直线方程为

y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.

答案：x ＋y ＋1＝0

[基础题组练]

1．函数y ＝x 2

cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1

D ．1

解析：选B.因为y ′＝(x 2

cos x )′＝(x 2

)′cos x ＋x 2

·(cos x )′＝2x cos x －x 2

sin x ，所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.

2．(2020·衢州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2

－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )

A ．0

B ．－1 C.12

D ．2

解析：选C.依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2

－4)＝3x 2

－2tx －4，所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝1

2

.

3．(2020·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2

＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1

＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )

A.12 B ．1

C.32

D ．2

解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2

＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，

所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，

所以x 2－x 1＝1

2[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－

(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，

即x 1＝－32，x 2＝－1

2时等号成立．

所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.

4．已知f (x )＝ax 4

＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6

D ．8

解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3

－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3

－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3

＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，

所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.

5.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )

A ．－1

B ．0

C ．2

D ．4

解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－1

3.

又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知

f (3)＝1，所以

g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13

＝0.

6．若点P 是曲线y ＝x 2

－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.2

2

D. 3

解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1

x

＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处

的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝

22

＝ 2.

7．已知f (x )＝ln x x 2

＋1

，g (x )＝(1＋sin x )2

，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．

解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2

＋1）′

（x 2＋1）2

＝1

x （x 2

＋1）－2x ln x （x 2＋1）2

＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2

， g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，

所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .

答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2

＋2cos x ＋sin 2x

8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－1

2，

则切点的横坐标为________．

解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3

x ，可得切线的斜率

为12m －3m ＝－1

2

，解方程可得，m ＝2. 答案：2

9．(2020·金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的

x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．

解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2

－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22

－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x

2

＋2 014有f (x )－x 2

－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2

＋2 014的解集为(－2，＋∞)．

答案：(－2，＋∞)

10．如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝

f （x ）

x

，则g ′(4)＝________． 解析：g ′(x )＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.

由题图可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝1

2

.

由导数的几何意义可得f ′(4)＝1

2，

因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542

＝－3

16. 答案：－3

16

11．已知函数f (x )＝x 3

＋x －16.

(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－1

4x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3

＋x －16)′＝3x 2

＋1.

所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.

(2)因为切线与直线y ＝－1

4x ＋3垂直，

所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，

则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.

所以⎩

⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，

切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.

12．已知函数f (x )＝ax ＋b

x

(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；

(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．

解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x

2(x ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.

即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.

(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1

x

，

设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20

，

曲线在P 处的切线方程为

y －⎝

⎛

⎭⎪⎫

x 0＋1x 0＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫

1－1x 20(x －x 0)．

即y ＝⎝

⎛⎭

⎪⎫1－1x

20

x ＋2

x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0

.

即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝

⎛⎭

⎪⎫0，2x 0.

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，

得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，

即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．

又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.

即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．

[综合题组练]

1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2

(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，＋∞ B ．[－1

2，＋∞)

C ．(0，＋∞)

D ．[0，＋∞)

解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2

＋1

x

(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所

以2ax 2

＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x

2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为

[0，＋∞)．故选D.

2．(2020·金华十校联考)已知函数y ＝x 2

的图象在点(x 0，x 2

0)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )

A ．0＜x 0＜1

2

B.1

2＜x 0＜1 C.

2

2

＜x 0＜ 2 D.2＜x 0＜ 3

解析：选D.令f (x )＝x 2

，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 2

0，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 2

0＝2x 0x －x 2

0，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1

x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，

所以1＋ln(2x 0)＝x 20，

x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因

为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2

－1

x

，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)

＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.

3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.

若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函

数的是________(把你认为正确的序号都填上)．

①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3

＋2x －1；

④f (x )＝x e x

.

解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝

⎛⎭

⎪⎫x ＋π4

＜0

在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上

恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2

＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )

＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x

(x ＋2)＞0在区间⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函

数．故①②③为凸函数．

答案：①②③

4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x

＋x 2

，g (x )＝cos (πx )＋

bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b

＝________，直线l 的方程为________．

解析：f ′(x )＝a e x

＋2x ，g ′(x )＝－πsin (πx )＋b ，

f (0)＝a ，

g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，

由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝

b －1－a

1－0

＝a ，

即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝0

5．设有抛物线C ：y ＝－x 2

＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．

(1)求k 的值；

(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．

解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋9

2

.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①

y 1＝－x 21＋92

x 1－4，②

－2x 1＋9

2

＝k ，③

联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝1

2.

(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④

将④代入抛物线方程得，x 2

－132x ＋9＝0.

设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝9

2

，y 2＝－4.

所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫92，－4. 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3

＋3x 2

－6ax －11，g (x )＝3x 2

＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.

(1)求a 的值；

(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2

＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，

所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.

(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 2

0＋6x 0＋12)．

因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，

所以切线方程为y －(3x 2

0＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3

＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.

在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.

在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10，

所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.

综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.