人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
1.1.2导数的概念
（一）教材分析
本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.
导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.
（二）教学目标
（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
（3）会求函数在某点的导数及简单应用.
（三）教学重点与难点
重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.
（四）教学过程
1. 复习引入
（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；
（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.
2. 合作探究
在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.
探究一：瞬时速度的求解
从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能
反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？
设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.
以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t2
6.5t 10.
探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？
设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.
我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：
(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？
设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？
设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义
瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.
L t
导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是
啊卡=|m f(xo
：-f (xo
)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm o
f(x x)
—
f(x o )
注意：
(1) 函数应在点X 。的附近有定义，否则导数不存在；
(2) 瞬时变化率就是导数，导数就是在该点的函数增量与自变量增量的比值 的极限，它反
映的函数在点x o 处变化的快慢程度；
(3) 在定义导数的极限式中， x 趋近于o ,可正、可负，但不为o ,而勺可
以为o* 3.
例题讲解 类型一：导数的概念
例1求函数f (x) = X 2在点x = 2处的导数• 解：因为：y = f (2 ：x) - f (2) =(2 ：x) -2 =4
：x ( ：x)，
所以儿亠丸
A x
Z
所以 Ijm^—y = ljm©(4 ： -x) = 4 练习 1:求函数 f (x) =3x 2 _2x ，求 f (1). 解：因为：y = f(1
：x)
- f (1) =3(1 ：x) —2(1 • ：x) _(3_2) =4
：x
3( ：x)，
熟悉符号，让学生在亲自计算的过程中感受逼近的趋势.
(1)当.t 趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？ 让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会瞬时速度的含 设计意图： 合作探究： 设计意图： 义.
2
所以丄心亠—4 s
A x Z
所以叽号二叫4 3x) =4
归纳求导数的一般步骤: 比三极限.
设计意图：熟悉导数定义，能进行简单地计算.
类型二：导数的应用
例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热•如果在第xh时，原油的温度(单位：°c)为f(x) x2 -7x 15(0 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)， 根据导数定义，卫二公飞空 L X L X 2 2 (2 X)—7(2 ：x) 15-(2 -7 2 15) ..、，o —=a x — 3 x 所以「(2) lim lim（• ：x -3） = -3 . J0x. J0 同理可得：f (6) =5 . 表示在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2h 附近，原油温度大约以 3：C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5：C/h 的速率上升. 练习2：计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：同理可得，「(3) = -1，f (5) =3 . 表示在第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和3,说明在3h 附近，原油温度大约以1C/h的速率下降，在第5h附近，原油温度大约以3C/h 的速率上升. 总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减，它的绝对值反映函数值变化的快慢. 设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵. 4. 小结 (1)导数的概念； (2)利用导数求瞬时变化率； (3)求导数的基本步骤. 5. 布置作业 (1)书面作业：必做：教材P10习题1. 1 A组第1，2，3，4，5题； (2)思考：如何利用导数，求物体运动的加速度？ 6. 教后反思 3．1 变化率与导数 3．1.1变化率问题 3．1.2导数的概念 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数． 2．过程与方法 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法． 3．情感、态度与价值观 学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识． ●重点、难点 重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵． 难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵． 通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点． (教师用书独具) ●教学建议 学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升． ●教学流程 创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？ ?引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.?通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.?通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率. ?通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.?通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识. ? 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正. (对应学生用书第45页) 1.1.2导数的概念 （一）教材分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时. 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. （二）教学目标 （1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； （2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （3）会求函数在某点的导数及简单应用. （三）教学重点与难点 重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念. （四）教学过程 1. 复习引入 （1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式； （2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式. 2. 合作探究 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度. 探究一：瞬时速度的求解 从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能 反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？ 设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度. 以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t2 6.5t 10. 探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？ 设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法. 我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况： 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解导数概念的实际背景．(难点) 2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点) 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 1．通过学习导数概念，培养学生数学 抽象的素养. 2.借助导数的定义求函数在某点的导 数，培养数学运算的素养. 1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)几何意义：P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，那么平均变化率 Δy Δx ＝ f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 表示割线P 1P 2的斜率． 思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示]Δx ≠0，Δy ∈R . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 3.2导数的计算 [教材研读] 预习课本P81 ～85 ，思考以下问题 1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 1 2 的导数是什么？ 2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？ [要点梳理] 1．基本初等函数的导数公式 2.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． (3)???? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2(g (x )≠0)． [自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．y ＝1 x ，y ＝x ，y ＝x 2等求导函数，都可以看成y ＝x α(α∈Q *)，并用其导数公式求导．( ) 2．y ＝ln x 在x ＝2处的切线的斜率为1 2.( ) 3．f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线的方程为x －y ＋1＝0.( ) [答案] 1.√ 2.√ 3.√ 题型一 利用导数公式求函数的导数 思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？ 提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式． 求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (4)y ＝4 x 3； (5)y ＝? ?? ??sin x 2＋cos x 22－1. [思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式． [解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln10. (5)∵y ＝? ????sin x 2＋cos x 22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x . 高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 知识梳理 1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 . 2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝Δf Δx ， 称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ． 4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在 t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 Δf Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程 1.平均变化率 [例1] 求函数y ＝x 3 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12 时平均变 化率的值． [分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率． 应用变式1 某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 2.瞬时变化率 [例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12 gt 2 ，求物体在 时刻t 0处的瞬时速度． 应用变式2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度． 3.利用定义求函数某点处的导数 [例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2 ＋1x ＋5在x ＝2处的导数． 应用变式3 导数及其应用复习 【知能目标】 1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。 2、熟记基本导数公式：x m (m 为有理数)、sinx 、cosx 、e x 、a x 、lnx 、log a x 的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 [教学方法] 1.采用“学案导学”方式进行教学。 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。 [教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评. [教学重点和难点] 教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用 【综合脉络】 1.知识网络 2.考点综述 有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、导数定义 导数的几何意义 导函数 四则运算 求导法则 复合函数 求导法则 求简单函数的导数 导数的应用 导数的实际背景 判断函数 的单调性 求函数的 极大(小)值 求函数的 最大(小)值 基本求 导公式 第三章 导数及其应用 §3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 2．导数的概念：一般地，函数y =f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0lim x →Δy Δx ＝____________，我们称它为函数 y =f (x )在x ＝x 0处的 ，记为 或 即f ′(x 0) ＝0lim x →Δy Δx 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化率 D ．以上都不对 2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy 等于 ( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 3．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 4．设f(x)在x ＝x 0处可导，则0 lim x →f (x 0－Δx )－f (x 0) Δx 等于 ( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0) C ．f ′(x 0) D ．2f ′(x 0) 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝3 2 处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2 6．一物体的运动方程是s ＝1 2 at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) A ．at 0 B ．－at 0 C.1 at 0 D ．2at 0 7．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________． 8．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________． 9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 三、解答题 10．已知函数f (x )＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率． 11．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1 x 在x ＝1处的导数． 能力提升 12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0) 的最小值为________． 13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹 从枪口射出时所用的时间为1.6×10－ 3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0) Δt . 2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy ；0 Δy .→0 Δy . 第三章导数及其应用知识点最新考纲 变化率与导数、导数的计算 了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义． 会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数). 导数在研究函数中的应用 了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间． 理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值. 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0） Δx ＝lim Δx→0 Δy Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或 y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f（x0＋Δx）－f（x0） Δx . (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim Δx→0f（x＋Δx）－f（x） Δx 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢ ⎡⎦ ⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2 (g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝ y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化] 1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 导数教案 导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲. 一、教材分析 导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3的内容,是在学生学习了平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。 新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。 问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率 问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点 二、教学目标 1、知识与技能： 通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法： ①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 ②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法 3、情感、态度与价值观： 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生把握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的爱好. 三、重点、难点 重点：导数概念的形成，导数内涵的理解 难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点 四、教学设想（具体如下表） 教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢？引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。使学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲初步探索、展示内涵根据学生的认知水平,概念的形成分了两个层次：结合跳水问题，明确瞬时速度的定义 问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地想到选取一个具体时刻如t=2，研究它四周的平均速度变化情况来寻找到问题的思路，使抽象问题具体化理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过 导数的几何意义 一、教材分析： 1、地位和作用： 《导数的几何意义》是一节新知概念课，内容选自于选修1－1中第§3．1．3节，是在学生学习了平均变化率，瞬时变化率，及用瞬时变化率定义导数基础上，进一步从几何意义的基础上认识导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容。 《导数的几何意义》还是下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用，是本章的关键内容，也是高考中的一个常见考点。 2、教学目标的拟定： 【知识与技能】 （1）概括曲线的切线定义，明确导数的几何意义及应用； （2）培养观察、分析、合作、归纳与应用（知识与思想方法）等方面的能力 【过程与方法】 （1）由问题引发认知冲突，引导学生经历割线“逼近”切线的过程，推广切线的定义； （2）利用几何画板直观展示知识发生的过程，帮助学生寻找导数的几何意义； 【情感态度价值观】 （1）通过对切线定义的探究，培养学生严谨的科学态度； （2）通过渗透无限“逼近”的思想，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系。 （3）利用“以直代曲”的近似替代的方法，培养学生分析问题解决问题的习惯，初步体会发现问题的乐趣 3、教学重点、难点 重点：导数的几何意义及应用 难点：对导数几何意义的推导过程 二、学情分析 1、从认知上看，学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率来刻画现实问题的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，但这些都是建立在“代数”的基础上的，学生也渴求寻找导数的另一种体现形式——图形。学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的与认识． 2、从能力上看，通过一年多的高中学习，学生积累了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力． 3、从学习心理上看，学生已经从“公共点个数”方面知道了圆锥曲线切线的含义，当然在思维方面，也形成了定势：“直线与曲线相切，直线与切线只有一个公共点”。在本节中，我们在概念上不是从公共点上定义切线，而是由割线的逼近来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上，以此激发学生的好奇心和思维的兴奋点。 三、教法： 1、采用“DJP学案”教学模式：运用了“探究+小组合作”的教学方法，将全班学生分为6小组，并分配给他们相应任务，让学生亲身经历“实验、探究、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的认知规律，增强学生的参与和责任意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教育的主体。 2、利用多媒体辅助教学：通过几何画板的动态演示，让学生直观感受无限“逼近”的思想方法，这能使学生更好的明确导数的几何意义，有利于难点的突破． 四．学法指导： 采用“学案”教学，让学生学会： 1、实验观察：利用几何画板的几何直观与数值计算功能，感知曲线的切线的定义和导数的几何意义； 2、反思探究：明确曲线的切线的逼近定义的科学性； 3、小组合作：激活学生的思维，经历用导数几何意义进行定性分析； 4、思想渗透：借助几何画板局部放大的直观性，学生直观体会“以直代曲”“无限逼近”的数学思想． 五、教学过程 第三章导数及其应用 3．1 变化率与导数3．1．1 变化率问题 双基达标（限时20分钟） 1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率f（x ＋Δx）－f（x0） Δx 中， Δx不可能是( )． A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．大于0或小于0 答案 C 2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )． A．4B．4.1C．0.41D．3 解析＝（3＋2.12）－（3＋22） 0.1 ＝4.1. 答案 B 3．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )． A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2 C ．Δx ＋3 D ．3Δx ＋(Δx )2 解析 Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝ （1＋Δx ）2＋（1＋Δx ）－（12＋1）Δx ＝Δx ＋3. 答案 C 4．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________． 解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 答案 －12 5．一个作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为________． 解析 物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为（3×2－22）－02－0 ＝1. 答案 1 6．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的 平均变化率； (1)[－3，－1]；(2)[0，5]． 解 (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为 f （－1）－f （－3）（－1）－（－3）＝[2×（－1）＋1]－[2×（－3）＋1]2＝2， g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为 g （－1）－g （－3）（－1）－（－3）＝[－2×（－1）]－[－2×（－3）]2 ＝－2. (2)函数f (x )在区间[0，5]上的平均变化率为 f （5）－f （0）5－0＝（2×5＋1）－（2×0＋1）5 ＝2， 3.2.1-3.2.2 导数的概念 导数的几何意义 [A.基础达标] 1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0 f （x 0＋h ）－f （x 0）h ( ) A ．与x 0，h 都有关 B ．仅与x 0有关，而与h 无关 C ．仅与h 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，h 都无关 解析：选B.f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，而与h 无关． 2．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选A.因为lim Δx →0 f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝lim Δx →0 a （1＋Δx ）＋4－a －4Δx ＝a ，所以f ′(1)＝a ，又f ′(1)＝2，所以a ＝2. 3．曲线f (x )＝x 2＋3x 在点A (2，10)处的切线斜率k 等于( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 解析：选A.利用导数的定义及其几何意义直接求结果．k ＝f ′(2)＝7. 4．已知曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 解析：选A.令y ＝f (x )＝ax 2，则曲线在点(1，a )处的切线斜率k ＝f ′(1)，即2＝k ＝f ′ (1)＝lim Δx →0 f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2a ，故a ＝1. 5．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A ．(1，0) B ．(1，0)或(－1，－4) C ．(2，8) D ．(2，8)或(－1，－4) 解析：选B.设P 0(x 0，y 0)，Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝（x 0＋Δx ）3＋（x 0＋Δx ）－2－（x 30＋x 0－2）Δx ＝（3x 20＋1）Δx ＋3x 0（Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝3x 20＋1＋3x 0Δx ＋(Δx )2， f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝3x 20＋1， 所以3x 20＋1＝4，x 20＝1，x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝0， x 0＝－1时，y 0＝－4，所以P 0为(1，0)或(－1，－4)． 6．已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)，B (2＋Δx ，－12 ＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________． 第一章第一节第1课时变化率与导数 【课标学习目标】 1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此变化率． 2．理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)，理解函数在点x0处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义．会求函数在某点处的瞬时变化率(导数)． 3．理解导数的几何意义，并会求给出曲线在某点处的切线方程． 【情景引入】 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢． 从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 提示：应用变化率可以判断曲线的“陡峭”程度． 【知识探究】 1．已知函数y＝f(x)，那么变化率可用式子________表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝____________.于是，平均变化率可以表示为______． 2．一般地，如果物体的运动规律是S＝S(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t 到t＋Δt这段时间内，当Δt→0时平均速度的极限，即V＝lim Δt→0ΔS Δt＝________________. 3．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0Δy Δx＝________________. 我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________或________，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝ ______. 导数的概念及运算 [必备知识] 考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0 处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0 Δy Δx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．几何意义 函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式 若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡ ⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数 设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论] 1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析 课时作业22 一、选择题 1．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx 中，Δx 不可能( ) A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 大于0或小于0 解析：由导数定义知Δx 只是无限趋近于0，故选C. 答案：C 2．设f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0 Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0) C ．f ′(x 0) D ．2f ′(x 0) 解析：lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0 Δx ＝lim Δx →0 －f x 0－f x 0－Δx Δx ＝－lim Δx →0 f x 0－f x 0－Δx Δx ＝－f ′(x 0)． 答案：A 3．设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2 (a ，b 为常数)，则( ) A. f ′(x 0)＝－a B. f ′(x 0)＝－b C. f ′(x 0)＝a D. f ′(x 0)＝b 解析：∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2 ， ∴ f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝a ＋b ·Δx . ∴lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝lim Δx →0 (a ＋b ·Δx )． ∴f ′(x 0)＝a .故选C. 答案：C 4．一物体的运动方程是s ＝12at 2 (a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) A ．at 0 B ．－at 0 人教版高中数学选修1-1教学讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《导数及其应用》全章复习与巩固 课型□预习课□同步课■复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 《导数及其应用》全章复习与巩固 【知识网络】 【要点梳理】 变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 1.基本初等函数的导数 基本初等函数 导数 特别地 常数函数()y c c =为常数 '0y = '0π=，'=0e 幂函数()n y x n =为有理数 1n y n x -=⋅ 211'x x ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ， ()1'2x x = 指数函数x y a = 'ln x y a a =⋅ ()'x x e e = 对数函数log a y x = 1 'ln y x a = ⋅ ()1ln 'x x = 正弦函数sin y x = 'cos y x = ()2 sin 1 tan '='=cos cos x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()2 cos 1 cot '='=sin sin x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 余弦函数cos y x = 'sin y x =- 要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 2.和、差、积、商的导数 要点诠释： （1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±± ±=±±±． （2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；22 11'()1'()'() '(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢ ⎥⎣⎦ ． 3.复合函数的导数 设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅． 3．1.3 导数的几何意义 预习课本P76～79，思考并完成以下问题 1．导数的几何意义是什么？ 2．导函数的概念是什么？怎样求导函数？ 3．怎么求过一点的曲线的切线方程？ [新知初探] 1．导数的几何意义 (1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线． Δx→0 (2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝li m f x 0＋Δx－f x0 ＝f′(x0)． Δx 2．导函数的概念 (1)定义：当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)． (2)记法：f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx . [点睛] “函数y ＝f (x )在x ＝x 0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 “函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”是一个数值，是针对x 0而言的，与给定的函数及x 0 的位置有关，而与Δx 无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，Δx 无关． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．曲线y ＝x 2 在点P (1,1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝－2x 答案：B 3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2 答案：D 4．已知f (x )＝－1 x ，则f ′(x )＝________. 答案：1 x 2 [典例] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋4 3，求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程． [解] 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， 第三章 导数及其应用 备课人 周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42 ++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的 平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉 表格1 格 2 0<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内 0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆= ∆+-∆+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-= -∆+-∆+=t t t t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=∆t 0.000 01时，-=v 1 3.099 951； 当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。。。。。。 。。。。。。 问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2） 关于这些数据，下面的判断对吗？ 2．当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /。 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ∆+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ∆+2,2上的平均速度；3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)
人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
高中数学 第3章 导数及其应用 3.1 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念(教师用书)教
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 导数的计算
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