5-3格林公式及其应用1
格林公式的应用
格林公式的应用格林公式是数学中的一个重要定理，它描述了二维平面区域内的曲线积分与对应的面积积分之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、地理等多个领域。
本文将介绍格林公式的基本概念和原理，并探讨其在实际问题中的应用。
格林公式是由德国数学家格林（Green）于1828年提出的，它建立了曲线积分与面积积分之间的联系。
在二维平面上，设D是一个有界闭区域，边界为C，f(x, y)和g(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式：∮<sub>C</sub> (f(x, y)dx + g(x, y)dy) = ∬<sub>D</sub> (∂g/∂x - ∂f/∂y) dxdy其中，∮<sub>C</sub>表示沿着曲线C的曲线积分，∬<sub>D</sub>表示在区域D上的面积积分，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示f 和g对x和y的偏导数。
格林公式的应用可以帮助我们求解各种与曲线积分和面积积分相关的问题。
下面将通过几个具体的例子来说明格林公式在实际中的应用。
**例1：计算曲线积分**考虑曲线C：x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1，逆时针方向，要计算曲线积分∮<sub>C</sub> (x<sup>2</sup>dx +y<sup>2</sup>dy)。
首先，根据格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积积分。
设D 为曲线C所围成的区域，那么根据格林公式，有：∮<sub>C</sub> (x<sup>2</sup>dx + y<sup>2</sup>dy) =∬<sub>D</sub> (∂y<sup>2</sup>/∂x - ∂x<sup>2</sup>/∂y) dxdy 计算偏导数，得到∂y<sup>2</sup>/∂x = 0，∂x<sup>2</sup>/∂y = 0，因此面积积分为0。
格林公式的使用
格林公式的使用在数学和物理领域，格林公式（Green's theorem）是一种重要的工具，用于计算曲线和曲面之间的积分关系。
它由英国数学家格林（George Green）于19世纪提出，并在向量分析和微积分中得到广泛应用。
本文将介绍格林公式的基本原理和使用方法，并探讨它在实际问题中的应用。
格林公式是关于向量场和曲线/曲面积分之间的重要定理。
它提供了一种将曲线积分转化为曲面积分的方法，或者将曲面积分转化为曲线积分的方法。
格林公式有两种形式，一种是平面形式，另一种是曲面形式。
平面形式的格林公式表达了一个二维向量场经过封闭曲线的环量与该向量场在曲线包围的区域上的散度之间的关系。
具体而言，设有一个向量场F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))，其中P 和Q 是函数关于x 和y 的偏导数，而 C 是一个简单的、光滑的、逆时针方向的曲线，那么格林公式可以表达为：∮C P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∬D (Qx - Py)dA其中，∮C 表示曲线 C 的环量，∬D 表示曲线 C 所围成的区域 D 上的曲面积分，dA 表示微元面积。
右侧的(Qx - Py) 是向量场的散度。
曲面形式的格林公式是平面形式的推广，适用于三维空间中的曲面和曲线积分之间的关系。
设有一个向量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其中P、Q 和R 是函数关于x、y 和z 的偏导数，而S 是一个封闭曲面，曲面的边界是一条简单、光滑的、逆时针方向的曲线，那么格林公式可以表达为：∮S (Pdydz + Qdzdx + Rdxdy) = ∭V (∇·F)dV其中，∮S 表示曲面S 的曲面积分，∭V 表示曲面S 所围成的体积V 上的体积积分，(∇·F) 是向量场的散度，dV 表示微元体积。
格林公式的应用非常广泛，在实际问题中，格林公式可以用于解决各种与曲线和曲面积分相关的计算和应用。
如何推导格林公式与其应用
如何推导格林公式与其应用在数学和物理学中，格林公式是一种用于计算曲面积分和体积分的重要工具。
它通过将曲面积分转化为体积分或者通过曲面积分和体积分的关系，可以帮助我们解决各种与空间曲线和曲面相关的问题。
在本文中，我们将探讨如何推导格林公式以及如何应用格林公式来解决实际问题。
一、推导格林公式要推导格林公式，我们首先需要了解曲面积分和体积分的基本概念。
1. 曲面积分曲面积分是在曲面上对某个向量场进行积分的一种数学工具。
设S为曲面，dS为曲面上的面元，F为定义在曲面上的向量场，那么曲面积分可以表示为：∬S F·dS其中，F·dS表示向量场F与面元dS的数量积。
2. 体积分体积分是在三维空间中对某个标量或向量场进行积分的一种数学工具。
设V为某个空间区域，dV为空间区域内的体元，f为定义在空间区域内的标量或向量场，那么体积分可以表示为：∭V f dV其中，f dV表示标量或向量场f与体元dV的乘积。
基于曲面积分和体积分的概念，我们可以推导出格林公式。
3. 格林公式的推导过程考虑一个区域V被曲面S所包围的情况。
假设在V中，有某个连续可微的向量场F，则根据散度定理，我们有：∭V ∇·F dV = ∬S F·dS其中∇·F表示向量场F的散度。
接下来，我们需要推导左边的体积分。
利用向量恒等式：∇·(φF) = φ∇·F + F·∇φ其中φ为标量函数，F为向量场。
我们取φ为单位阶跃函数，即：φ(x,y,z) = { 1, 当(x,y,z)∈V时； 0, 当(x,y,z)∈S时。
这样，我们可以将∇·F展开为：∇·F = ∇·(φF) - F·∇φ在右边第一项的积分中，由于φ为单位阶跃函数，当(x,y,z)∈V时，∇·(φF) = ∇·F；当(x,y,z)∈S时，∇·(φF) = 0。
高数考研备战格林公式的应用与解题技巧
高数考研备战格林公式的应用与解题技巧格林公式（Green's theorem）是高等数学中的一个重要定理，也是考研数学中的重要内容之一。
它在很多场景中有广泛的应用，帮助我们解决各种复杂的问题。
本文将介绍格林公式的基本原理和应用，并提供一些解题技巧，以帮助考生备战高等数学考研。
一、格林公式的基本原理格林公式是由英国数学家格林（George Green）于1828年提出的，它将二维平面上的曲线积分转化为对该曲线所围成的区域的面积积分。
具体地说，设曲线C是一条分段光滑的闭合曲线，曲线C所包围的区域称为D。
如果函数P(x, y)和Q(x, y)在区域D上具有一阶连续偏导数，那么有格林公式的表达式如下：∮C (Pdx + Qdy) = ∬D (Qₓ - Pᵧ)dA其中，∮C表示曲线C上的曲线积分，∬D表示对区域D上的面积积分，Pdx + Qdy表示关于x和y的微分形式，Qₓ和Pᵧ分别表示Q对x求偏导和P对y求偏导。
二、格林公式的应用格林公式在物理、工程和数学等多个领域都有广泛的应用。
下面将介绍几种常见情况下的应用。
1. 曲线积分的计算格林公式可以帮助我们计算曲线C上的曲线积分。
具体操作是，将积分转化为对曲线所包围的区域D上面积积分的计算。
通过求解二重积分，我们可以更简单地计算出原本复杂的曲线积分。
2. 面积的计算格林公式可以通过计算面积积分来帮助我们计算区域D的面积。
通过求解面积积分，我们可以不需要遍历整个区域来计算面积，而是通过对边界曲线上的积分来得到结果。
这在实际问题中十分有用，节省了计算的时间和精力。
3. 流量的计算格林公式还可以用于计算流体力学中的流量。
通过设定P和Q的形式并代入格林公式，我们可以将流量计算问题转化为对面积积分的计算。
这样一来，我们可以更加方便地求解流体力学中的流量问题。
三、解题技巧在考研中遇到格林公式的应用题时，我们可以采取以下的解题技巧：1. 理解问题在开始解题之前，先要完全理解问题的背景和要求。
格林公式及其应用
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
©
格林公式及其应用
例 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中L为
y)dy
©
例4续
1 0
1 1＋y
y
2
dy
1 1 x 1 1＋x 2
dx
0 1 y 11＋y2 dy
2
01 1 1＋y 2
dy
1 xdx 1 1＋x 2
11 11＋x2 dx
4
01 11＋y 2
dy
0
4(arc tan y)
0 －1
P Q y x
©
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
©
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
所以
P ( x2 y2 ) 2 y( x－y)
格林公式的应用
格林公式的应用格林公式是数学中的一个重要定理，它描述了二维平面区域内的曲线积分与面积积分之间的关系。
格林公式的应用涉及到多个领域，包括物理学、工程学和地理学等。
本文将介绍格林公式的基本概念，以及在不同领域中的具体应用。
格林公式最基本的形式可以表述为：设D是一个平面区域，边界为C，f(x, y)和g(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有如下等式成立：∬(∂f/∂y - ∂g/∂x)dxdy = ∮(f dx + g dy)其中，左侧是曲线积分的面积分，右侧是曲线C的环绕积分。
这个公式的应用涉及到对平面区域内函数的积分运算，可以帮助我们求解各种问题。
在物理学中，格林公式常常用于描述电场和磁场的分布情况。
通过格林公式，我们可以计算电场或磁场在一个闭合曲线上的环绕积分，从而得到场的总量。
这对于分析电磁场的性质和相互作用至关重要。
格林公式的应用使得我们能够更准确地描述电磁场的分布规律，为电磁学的研究提供了重要的数学工具。
在工程学中，格林公式常常用于求解流体力学和热力学中的问题。
例如，在流体力学中，我们可以利用格林公式计算流体在一个闭合曲线上的环绕积分，从而得到流体的流量。
这对于设计管道系统、风力发电机等工程项目具有重要意义。
格林公式的应用使得工程师能够更好地分析和优化工程设计，提高工程项目的效率和可靠性。
在地理学中，格林公式常常用于描述地形和地势的特征。
通过格林公式，我们可以计算地形图上不同区域的坡度和高程变化，从而揭示地表的地貌特征。
格林公式的应用使得地理学家能够更准确地理解地球表面的形态和结构，为地质勘探和自然灾害预测提供重要依据。
总之，格林公式作为数学中的重要定理，在物理学、工程学和地理学等领域都有着广泛的应用。
通过对格林公式的理解和运用，我们能够更深入地研究自然现象和工程问题，为科学研究和工程实践提供有力支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解格林公式的应用及其重要性。
格林(Green)公式及其应用-1
偏增量
( x, y ) ( x0 , y0 )
Pdx + Qdy −∫
( x+∆x, y) ( x, y )
Pdx + Qdy
=∫
=∫
( x, y ) ( x0 , y0 )
+∫
−∫
( x, y ) ( x0 , y0 )
Pdx + Qdy
( x+∆x, y)
( x+∆x, y) ( x, y )
Pdx + Qdy =∫
(1) ⇒(2) ⇒(3) ⇒(4) ⇒(1) (1) ⇒(2): ∀A, B ∈ G , ∀L, L′,
y
封闭曲线) 封闭曲线 有 L + ( − L′ ) = C (封闭曲线
A
o
⋅
L
⋅
B C
G
L′
x
∫
得
L+( − L′ )
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy = 0
C
即 ∫ L Pdx + Qdy +∫ −L′ Pdx + Qdy = 0
一、格林（Green)公式及其应用 格林（ 公式及其应用 4.平面上曲线积分与路径无关的 . 等价条件
4.平面上曲线积分与路径无关的 . 等价条件 y
如果在区域D内 如果在区域 内,
∀L1 , L2 , 有
L 1
⋅B
L2
D
A o
⋅
∫L Pdx + Qdy = ∫L Pdx + Qdy
1
x
2
则称曲线积分
y = sin
πx
2
.
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用格林公式是矢量分析中的重要定理之一，它描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。
格林公式广泛应用于电磁学、流体力学、热力学等领域，下面将对格林公式进行详细讨论及应用。
格林公式可以用数学的方式描述为：对于一个可微的矢量场F，它的散度为div(F)，则该矢量场F通过一个闭合曲面S的流量为∬F⋅ds，该闭合曲面S所围成的体积为∭div(F)dV，格林公式表达了这两者之间的关系，即：∬F⋅ds = ∭div(F)dV其中，∬表示曲面积分，∭表示体积积分，F⋅ds表示矢量场F与ds 的内积，div(F)表示矢量场F的散度。
1.流体力学中的应用格林公式在流体力学中有着广泛的应用。
例如，可以通过格林公式计算流体在一个闭合曲面上的流量，这对于流体的体积流量和质量流量的计算有重要意义。
另外，格林公式还可以用来推导流体的连续性方程和Navier-Stokes方程等重要方程。
2.电磁学中的应用格林公式在电磁学中也有着重要的应用。
例如，可以利用格林公式计算电磁场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算电场和磁场的电荷和磁荷的分布有着重要意义。
此外，通过格林公式还可以推导出麦克斯韦方程组中的一些重要方程，如高斯定律、安培环路定理等。
3.热力学中的应用格林公式在热力学中也有着重要的应用。
例如，可以通过格林公式计算热场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算热量的传递和热功的计算有着重要意义。
此外，格林公式还可用于推导出热传导方程等重要方程。
除了上述应用之外，格林公式还广泛应用于流场分析、电磁场分析、电力系统分析等领域。
在实际应用中，可以利用格林公式对复杂的问题进行推导和计算，从而得到更加精确的结果。
总结起来，格林公式是矢量分析中的重要定理之一，描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。
它在流体力学、电磁学、热力学等领域都有重要的应用。
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a a
40
xdx1a2. 6
四、小结
1.连通区域的概念; 2.二重积分与曲线积分的关系
D( Q x P y)dx dLyPdQ x d—y—格林公式;
3. 格林公式的应用.
思考题
y
若区域 如图为
复连通域，试描述格
D
C
G
林公式中曲线积分中L
E
的方向。
oA
F
Bx
D Q x P ydx dLy PdQ x dy
dxdyLxdy
D
Ox Ad A yx B d B yx O,dy
由 Ox 于 A d 0 ,y Bx O d 0 ,y
xd y dx d1 yr2.
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例2 计算
ey2dxdy,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1),B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
围 成 的 面 积 .
解 O为 N 直 线 A y 0 .
M
曲 线 AM 由 函 数 O
N
ya xx,x [0 ,a]表 示 ,
A(a,0)
A12Lxdyydx
1 2ON xA d yyd 1 2 x AM xO d yydx
12AMO xdy ydx
M
N
A(a,0)
10 a
2ax (2a x 1 )d x (a xx)dx
L3
E C
F
L1
A
{ }(Pd Q x)dy AB L 2 BA AFCCEL 3 EC CGA
( )P ( d Q x)dy L 2 L 3 L 1
PdxQdy L
(L1,L2,L3对D来说为正) 方向
格 林 公 式 的 实 质 : 沟 通 了 沿 闭 曲 线 的 积 分 与
记 D 1由 L 和 l所 围 成 ,
应 用 格 林 公 式 ,得
l D1
or
x
Lxx2d y y y2dx lxx2d y y y2dx 0
xdyydx xdyydx
L x2y2
l
x2y2
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(其中l 的方向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
二 重 积 分 之 间 的 联 系 .
便于记忆形式:
x ydxdy LPdxQdy.
DP Q
三、简单应用
1. 简化曲线积分
例1 计算 xdy,其中曲 AB
线AB是半径为r 的圆在
第一象限部分.
y
A
D
oL
Bx
解引 入 辅 助 曲 线 L, L OA B BO
应 用 格 林 公 式 , P 0 ,Q x有
思考题解答
L由两部分组成
y
D
C
G
外边界：BCDAB
EF
内边界：EGFE o A
Bx
合作愉快
Y型 的 区 域 D1,D2,D3.
D2 L2
D L
QP
QP
( )dxdy ( )dxdy
Dx y
x D 1D 2D 3 y
D 1( Q x P y )dx D 2d ( Q x y P y )dx D 3d ( Q x y P y )dx
L 1 P Q d x L d 2 P y Q d x L d 3 P y Q dx d
3. 计算平面面积
格 林 公 式 :D ( Q x P y )dx L d P y d Q xdy
取 Py,Qx, 得 2dxd yLxdyydx
D
闭 区 域 D 的 面 积 A 1 2Lxd yyd . x
取 P0,Qx, 得ALxdy 取 Py,Q0, 得ALydx
例 4 计 算 抛 物 线 (xy)2a(x a0)与 x轴 所
向为逆时针方向.
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
y
(1) 当(0,0)D时,
L
由格林公式知
L
xdy x2
yy2dx0
D
o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 r2 , y L
o
解 令P 0, Q xey2 ,
则QPey2, x y
A
1
x
应 用 格 林 公 式 , 有
ey2dx dy x ey2dy
D
OA A B BO
xe y2d y1xe x2dx
OA
0
1(1e1). 2
例3 计算Lxxd2 yyy2d,x其中 L为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L , 的方
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
y
证明(1)
若区域D 既是X 型 又 是Y 型 ,即 平 行 于
d
x1(y)
E y2(x)
D
B
坐标轴的直线和L 至
多交于两点.
A c
x2(y) Cy1(x)
oa
bx
D { x , y ) ( 1 ( x ) y 2 ( x ) a , x b }
LPdxQdy
L3
D3
D2 L2
(L1,L2,L3对D来说为正) 方 L1 向 D1 L
证明(3)
G
若区域不止由一条闭曲
线 所 围 成 .添 加 直 线 段 AB,CE.
则 D 的 边 界 曲 线 由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构 成 .
D L2
B
由(2)知 D(Qx Py)dxdy
二、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数 P ( x, y)及 Q( x, y)在D 上具有一阶连
续偏导数, 则有
D
(
Q x
P )dxdy y
L Pdx
Qdy
(1)
其中L是D 的取正向的边界曲线,来自公式(1)叫做格林公式.
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成 L由L1与L2组成
x1(y)
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
CBE
EAC
c
LQ(x,y)dy
o
E D
C
x2(y)
x
同理可证 D P ydx dL yP(x,y)dx
两式相加得
QP
D(xy)dx dLyPdQ x dy
证明(2)
L3 D3
若区域D由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
将 D分 成 三 个 既 是 X型 又 是L1 D 1
D { x , y ) ( 1 ( y ) x 2 ( y ) c , y d }
Qdx ddydy2(y)Q dx
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
CQ B (x E ,y )d y CQ A (x E ,y )ddy