2.2离散型随机变量

P ( X 2)P( A1 A2 )(1 p) p
P( X 3)P( A1 A2 A3)(1 p)2 p

设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
于是
P(X=1)=P(A1)=p,
P ( X 2)P( A1 A2 )(1 p) p
P( X 3)P( A1 A2 A3)(1 p)2 p
2. 几何分布
在重复独立试验中，事件A发生的概率为p.设随机变量
X为直到A发生为止所进行的试验次数，显然X的可能
取值是全体正整数，则
k 1
P { X k } (1 p)
p, (k 1, 2,)
定义：若随机变量X的可能取值为1,2,…，且分布律为
P { X k } (1 p)k 1 p, (k 1, 2,)
三、举例 例2. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求 他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解： X可取0、1、2为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18
P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81
且 P(X =0) + P(X =1) + P(X =2) =1
( [x] 表示不超过 x 的最大整数)
... 0
n=10,p=0.7
n
二项分布的图形特点： X~B(n,p) Pk 对于固定n及p，当k增 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, .. 随后单调减少. 0
.. n
n=13,p=0.5 当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值. 课下请自行证明上述结论.


q k 1 p q m q j 1 p q m .
j 1
同理，有
P{ X m n} q
于是，得
mn
, P{ X n} q .
n
P{ X m n X m}
q
mn m
q
q P{ X n}.
n
2. 超几何分布
例4 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N 件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率. 次品 解：令B={恰有k件次品}
3
1 220
P
例4. 某射手连续向一目标射击，直到命中为 止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击 发数X 的概率函数. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P(X =k )， k = 1,2, …， 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P(X=1)=P(A1)=p,
一般地，我们给出如下定义: 定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值，称
P ( X xk ) pk (k 1, 2,).
为离散型随机变量X的概率函数或分布 律，也称概率分布. 其中 pk (k=1,2, …) 满足： （1） pk 0, （2） k=1,2, …
1
(n 1) p k kq
pk pk 1

(n k 1) p kq
1
(n 1) p k kq
故当 k ( n 1) p 时，pk pk 1 ，即pk随 着k的增加而增加； 当 k ( n 1) p 时，则随之下降； 当(n+1)p=m为正整数时，pm pm 1 .
解: 设X 为“取得正品之前已取出的次品数”， 则X可能的取值为0,1,2,3.
“X=0”表示在取得正品之前没有取得次品， 即第一次是取得正品，故
P{ X 0}
1 C9
C
1 12

3 4
“X=1”表示取得正品之前已取得一个次品，即 第二次才取得正品，故
1 1 C3 C9 9 P{ X 1} 1 1 C12 C11 44
m M
nm N M n N
C p q
m n m
nm
, ( N ).
N M N
其中 p N , q 1 p 证：
m n CM CNm M n CN
M
.
M ( M m 1) ( N M )[ N M (n m) 1] m! (n m)! N ( N 1) ( N n 1) n!
p 1
k k
用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数
二、表示方法
（1）列表法： X~
0 1 10 1 6 10 2 3 10
再看例1
任取3 个球
PK
（2）图示法
0.6
0.3
0.1
0
1
2
k
X为取到的白球数 X可能取的值 是0,1,2
（3）公式法
3 k C3 k C 2 P( X k) , k 0,1,2 3 C5
P( X k )C p (1 p)
k n k
n k
, k 0,1,, n
则称X服从参数为n,p的二项分布，记作X~B(n,p).
二项分布的图形特点： X~B(n,p) Pk 对于固定n及p，当k增 加时 ,概率P(X=k) 先是随 之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 当(n+1)p不为整数时，二项概 率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最 大值；
m 1 n m 1 p ( p )q (q ) m N N Cn 1 n 1 (1 ) (1 ) N N
其中
p
M N
, q 1 p
N M N
.
当 N ,
N
lim
C C C
m M
nm N M n N
C p q
m n m
nm

可见
P( X k)(1 p) p
k 1
k1,2,
这就是求所需射击发数X的概率函数.
即X的分布律为
X 1
p
2
qp
3
q2 p
…

k
q k 1 p
…

P
对于离散型随机变量X，由它的分布律 就可以 求得分布函数 F ( x) P{ X x}
几种重要的离散型随机变量的 概率分布
由此可见日常生活中“提高警惕, 防火 防盗”的重要性. 由于时间无限, 自然界发生地震、海 啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 事，不用奇怪，不用惊慌.
同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝 症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常 现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而
跳楼自杀.
定理2.1
C C C
M N M n N
m
n m
m M 或n m N M 时，有P ( X m) 0，称这种 分布为超几何分布，记作H (n, M , N ), 若随机变量X 服从超几何分布，则记作X ~ H (n, M , N ).
3. 二项分布
定义： 若随机变量X的可能取值为0,1,2,…,n，且分 布律为
同理，得
1 1 1 C3 C 2 C9 9 P{ X 2} 1 1 1 C12 C11 C10 220
1 1 1 C3 C 2 C11 C9 1 P{ X 3} 1 1 1 1 C12 C11 C10 C9 220
即X的分布律为
X 0
3 4
1
9 44
2
9 220
则称 X 服从参数为p的几何分布，记作X~G(p).
例3 设X服从几何分布，则对任何整数m,n,有
P{ X m n X m} P{ X n}.
证：由于
P{ X m n X m} P{ X m n} P{ X m}

,
由定义知
P{ X m}
k m 1
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
若 P( X k ) P( X j ), j X 可取的一切值
则称 k 为最可能出现的次数
记 pk P( X k ) C p (1 p)
k n k nk
, k 0,1,, n
pk pk 1

(n k 1) p kq
例4 独立射击5000次, 命中率为0.001, 求 (1) 最可能命中次数及相应的概率； (2) 命中次数不少于1 次的概率. 解 (1) k = [( n + 1)p ]
= [( 5000+ 1)0.001] =5
P5000 (5) C
5 5000 5 4995
(0.001) (0.999)
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称
常常表示为：
1 2 0 X ~ 0.01 0.18 0.81
这就是X的概率分布.
F ( x) P( X x) P( ( X xk ))

xk x
P( X x
xk x
k
)
xk x
p
k
pk P( X xk ) F ( xk ) F ( xk 1 )
C
m n
M ( M m 1)( N M ) [ N M ( n m ) 1] N ( N 1) ( N n 1)
m Cn
M M m 1 N M N M n m 1 ( ) ( ) N N N N N N 1 n 1 (1 ) (1 ) N N