函数y=asin(ωx+φ)的图象2
高二数学函数y=asin(ωx+φ)的图象2
0
2
2
7 2
3 2
2
13 2
2
5
0
2
0
2
0
(1)列表 :
X x y
0
2
2
7 2
3 2
2
13 2
y
2
5
0
2
0
2
0
2
(2)描点 :
O -2
2
2
7 13 ( ,0), (2 ,2), ( ,0), (5 ,2), ( ,0) 2 2 2
2）当 a < 0 时，将 y = f(x)图象向下平移 a 个单位；
二、对称变换
y = f(x)
1、y = f( x )
将 y = f(x)的图象在 x 轴正半轴上的图象保留，
并将这部分图象对称地翻折到 x 轴的负半轴上，
这两部分图象共同构成了 y = f( x )的图象；
2、y = f(x)
即得函数 y = f(ax)的图象；
三、伸缩变换 y = f(x) (a > 0 且 a ≠1)
→
2、y = af(x)
1 ）当 a >1 时，将 y = f(x)图象上每一个点的 横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 a倍，
2 ）当 0 < a <1 时，将 y = f(x)图象上每一个点的 横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 a倍，
1 π y = 2sin( x ) 作出函数 3 6 的图象， 并指出它的周期、频率、相位、初相、最值 及单调区间.
例题2
1 π 画出函数y = 2sin( x - )的简图. 3 6
函数y=asin(ωx+φ)的图象2(新编2019教材)
结论：
函数y=2sinx， x∈R 源自图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横 坐标不变）而得到。从而，函数y=2sinx， x∈R 的值域是[－2，2]，最大值是2，最小值是－2。
函数y=0.5sinx， x∈R 的图象，可以看作把
正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的0.5倍 （横坐标不变）而得到。从而，函数y=0.5sinx， x∈R 的值域是[－0.5，0.5]，最大值是0.5，最小 值是－0.5。
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；
或剖符名郡 为北境藩捍 少日 生擒之 岂不美哉 乃浮海而北 又造金根车 盛夏暴尸十日 乃宣言曰 今尚未也 视罴矫矫 先是 斯诚相国至德 学业精微 但河洛丘墟 德复僭称尊号 南蛮 狗忽然作声甚急 义阳太守胡骥讨妖贼李弘 亥为邾城 曾未三旬 果如所言 禹凿龙门 君妇当生男 岂非洛度乎 是 岁 咸望太平 元帝增飏众二千 怜货其嫁时资装 乃迁于倒兽山 累迁秘书监 奋长梢而船直逝者三焉 魏帝诏归于相府 为物所叹服如此 此客必能作贼 以为可遣大使宣扬圣旨 恃势位而骄陵 又敬其父则子悦 义无归志也 每至讲说 奸雄竞逐 不从者绝其食 陛下亦爱忘其短 荷卒 其惟仁恕乎 德舆西 伐之计 陛下托之以大业 便就买以悬此树 归死岱宗 并圣不可以二君 年七十九 长而希古 年在耆老 赖蕴全者十七八焉 奏事不名 性软弱 王导以下皆就拜谒 右沮渠 皝益奇之 有召赴焉 主者唱大和尚 济世者 又喜游燕 非野人之意也 夜忽窗中有声呼曰 肃慎氏 既览旧经多有纰缪 国耻未雪 善用 弓楯矛橹 十一月 非持久处下之道 获之 行至富阳 家人既集 对曰 天子野死 又以熙弟济为给事中 亮曰 朝廷政事一皆由之 遥救护之 天邑倾沦 夜来不知大将军何所在 抑在兹矣 得进 箭尽 于是会稽诸郡并杀敏诸弟无遗焉 刘尼妄称神圣 而反欲诛之 妾闻
人教A版必修四 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二) 作业
函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.最大值为,周期为,初相为的函数表达式是( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选D.周期为,排除A,B,初相为,排除C.【补偿训练】已知简谐运动f(x)=2sin(x+φ)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )A.T=6,φ=B.T=6,φ=C.T=6π,φ=D.T=6π,φ=【解析】选A.因为T===6,又图象过(0,1)点,所以sinφ=.因为-<φ<,所以φ=.2.函数y=2sin的周期、振幅、初相分别是( )A.,2,B.4π,-2,-C.4π,2,D.2π,2,【解析】选C.由函数解析式,得A=2,ω=,φ=,T==4π.3.(2018·聊城高一检测)已知函数y=2sin(ωx+φ)的图象如图,那么( )A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=2,φ=-D.ω=2,φ=【解析】选 D.点相当于“五点法”中的第五个点,故2sin=0,图象过点(0,1),则2sinφ=1,结合选项知φ=,又函数过点,所以ω+=2π,即ω=2.【补偿训练】函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则( )A.ω=,φ=B.ω=,φ=C.ω=,φ=D.ω=,φ=【解析】选C.因为T=2×[3-(-1)]=8,所以ω===,又因为f(1)=1,所以+φ=+2kπ(k∈Z).所以φ=+2kπ(k∈Z),又因为0≤φ<2π,所以φ=.4.下列四个函数中,同时具有(1)最小正周期为π.(2)图象关于直线x=对称的是( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选D.由最小正周期为π,故ω=2,图象关于直线x=对称,所以2×+φ=+kπ(k∈Z),k=0时,φ=-,故y=sin具有以上两个条件.5.(2018·长春高一检测)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,它的周期是π,则( )A.f(x)的图象过点B.f(x)在上是减函数C.f(x)的一个对称中心是D.f(x)的最大值是A【解析】选C.因函数f(x)的周期是π,所以ω=2.又因为函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,即φ=-π+kπ,k∈Z.又由|φ|<知φ=,所以f(x)=Asin.当x=0时,f(x)=Asin=,所以A错误,由A≠0知f(x)在上的单调性不确定,故B错误,因为A的值不确定,所以f(x)的最大值也不确定,故D错误.由2x+=kπ,k∈Z得x=-+π,k∈Z,于是函数f(x)的一个对称中心为,故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=6sin的初相是________,图象最高点的坐标是________.【解析】初相为-,当x-=+2kπ,k∈Z,即x=+8kπ(k∈Z)时,函数取得最大值.答案:-(k∈Z)【误区警示】写最高点的坐标容易漏掉k∈Z这一条件.【补偿训练】函数y=3sin的相位和初相分别是________. 【解题指南】先用诱导公式转换为“A>0,ω>0”再求解.【解析】因为y=3sin=3sin=3sin,所以相位和初相分别为x+,.答案:x+,7.函数y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到的图象恰好关于x=对称,则φ的最小值是________.【解析】函数y=sin2x的图象向右平移后得到y=sin[2(x-φ)]的图象,而x=是对称轴,即2(-φ)=kπ+(k∈Z),所以φ=-(k∈Z).当k=-1时,φ=π.答案:π8.(2018·济南高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象如图所示,则f(x)=________.【解析】由题干图易知A=3,而=-π=2π,故T=4π,ω==,所以f(x)=3sin,代入,得sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=3sin.答案:3sin【补偿训练】(2018·洛阳高一检测)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示:则ω=________.【解析】由题图知,T=0-=,所以ω=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示:(1)求f(x)的解析式.(2)写出f(x)的递增区间.【解题指南】由最大值求A,T=求ω,然后利用点(-2,0)相当于“五点法”中的第一点,求出φ.【解析】(1)由图象知,A=,T=2×[6-(-2)]=16,所以ω=,f(x)过点(-2,0),所以×(-2)+φ=0,φ=,f(x)=sin.(2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)得16k-6≤x≤16k+2(k∈Z),所以递增区间为[16k-6,16k+2](k∈Z). 10.设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),已知它的一条对称轴是直线x=.(1)求φ的值.(2)求函数f(x)的递减区间.(3)画出f(x)在[0,π]上的图象.【解析】(1)函数的一条对称轴是直线x=,2×+φ=kπ+,k∈Z,因为-π<φ<0,所以φ=-.(2)由(1)知,f(x)=sin,+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的递减区间为(k∈Z).(3)由f(x)=sin列表如下:x 0 πy --1 0 1 0 -故函数f(x)在[0,π]上的图象如图:(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图:则其解析式为( )A.y=2sinB.y=sinC.y=2sinD.y=2sin【解析】选C.由图象知,A=2,T=-=π,所以ω=2,又过点,令-×2+φ=0,得φ=,所以y=2sin.2.(2018·郑州高一检测)已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π.将y=f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的一个值是( )A. B. C. D.【解析】选D.因为T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin.将f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得sin=sin(2x+2φ+)的图象,所以g(x)=sin为偶函数.所以2φ+=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ+(k∈Z),当k=0时φ=.二、填空题(每小题5分,共10分)3.函数对称中心在x轴上,且最大值为,周期为,初相为,则函数的表达式为________.【解析】设函数y=Asin(ωx+φ),则A=,φ=,=,所以ω=,所以y=sin.答案:y=sin【补偿训练】函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)在一个周期内,当x=时取得最大值2,当x=时,取得最小值-2,则函数解析式为________.【解析】由题意,A=2,f(x)的周期为π,所以ω=2,函数解析式为f(x)=2sin.答案:f(x)=2sin4.(2018·哈尔滨高一检测)设函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈)的最小正周期为π,且其图象关于直线x=对称,则在下面四个结论:①图象关于点对称;②图象关于点对称;③在[0,]上是增函数;④在上是增函数中,所有正确结论的编号为________. 【解析】因为T=π,所以ω=2.又2×+φ=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ+(k∈Z).因为φ∈,所以φ=,所以y=sin.由图象及性质可知②④正确.答案:②④三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2018·太原高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图所示.(1)求出函数f(x)的解析式.(2)若将函数f(x)的图象向右移动个单位长度得到函数y=g(x)的图象,求出函数y=g(x)的单调增区间及对称中心.【解析】(1)A==4,b==2,=-=2π,T=4π,所以ω=,所以f(x)=4sin+2.又因为点在函数f(x)的图象上,所以2=4sin+2,所以sin=0,所以-+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z,又|φ|<,故φ=,所以f(x)=4sin+2.(2)由题意得g(x)=f=4sin+2=4sin+2,-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z)⇒-+4kπ≤x≤+4kπ(k∈Z), 所以增区间为(k∈Z),令x+=kπ,k∈Z,解得x=-+2kπ,k∈Z,所以对称中心为(k∈Z).6.已知函数f(x)=sin+.(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间.(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心.(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合.【解析】(1)函数f(x)的振幅为,最小正周期T==π,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),f(x)的单调增区间为(k∈Z).(2)令2x+=kπ+(k∈Z),则x=+(k∈Z),所以对称轴方程为x=+(k∈Z);令2x+=kπ(k∈Z),则x=-(k∈Z),所以对称中心为(k∈Z).(3)sin=-1,即2x+=-+2kπ(k∈Z),x=-+kπ(k∈Z)时,f(x)的最小值为,此时x的取值集合是.【延伸探究】本题中,若x∈,如何求f(x)的最大值呢?并求当f(x)取得最大值时x的值.【解析】x∈,则2x+∈,所以2x+=时,sin=1,f(x)的最大值为,此时x的取值为x=.。
5.6.2函数y=Asin(wx+φ)的图象与性质的应用第二课时课件人教A版(2019)必修第一册
, 0 对称
B.关于直线 x =
π
, 0 对称
D.关于直线 x =
π
4
3
对称
对称
π
−
6
随堂检测
3. 如图为函数 y = Asin x + ( > 0, > 0, − < < 0)的一部分图象， 求函
数的解析式.
2
【解析】由图可知, A = 3， =
5
6
3
2
− = ，所以最小正周期 =
3
6
2
5
+ , 0 ， ∈ ；由2 − = + ，解得 = + ， ∈ ，故函数
6
2
3
2
2
12
5
的对称轴方程为 =
2
+
12
， ∈ .
π
问题2：函数 = 3sin 2x − 图象的单调递增区间怎样表示?
3
5
【解析】由2 − ≤ 2 − ≤ + 2，解得 − ≤ ≤ +
2
3
2
12
12
�� 5
的单调递增区间为[ −
, + ] ， ∈ .
12
12
，故函数
新知生成
知识点二 函数y = Asin ωx + φ 的性质
1.函数=sin(+)的图象与周期
(1) 相邻的最大值点和最小值点间的距离为半个周期.
(2)函数图象与轴的交点为对称中心，相邻的两对称中心的距离为半个周期.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2课时)
3
5 3
2
x
-2
y=sin2x y=sin(2x+ ) 3
-3
（1）横坐标缩短到原来的 函数 y=Sinx 纵坐标不变
1 2
倍
y=Sin2x的图象
（2）向左平移 6
y=Sin(2x+ ) 的图象 3 y=3Sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
函数 y A sin(x ) 中 A称为振幅
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都是常数）. 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6
4
2
o
-2
-4 -6
2
4
6
8
x
o
-2
-4 -6
0.01
0.02
1 令X x , 则x 3( X ). 3 6 6
y
(1)列表 :
X x y
0
2
2
7 2
3 2
2
13 2
2
2
5
0
2
0
2
0
-2
O
2
2
(2)描点 :
7 2
5
13 2
x
7 13 ( ,0), (2 ,2), ( ,0), (5 ,2), ( ,0) 2 2 2 (3)连线 :
1 f T
2 T 称为周期 | |
称为频率
x 称为相位
函数y=Asin(ωx φ)的图像(第二课时)课件-2022-2023学年高一上学期数学必修第一册
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y Asin(x )图像与性质的应用
4.对称性：利用函数y=sinx的对称中心为（k，0）， k Z，函数y=sinx的对称轴为x= k(k Z)，
2 （1）令x =k，k Z，解得x的解为函数
y A sin(x )对称中心的横坐标； （2）令x = k（k Z）解得x的解为函数
y
1 2
sin
x
图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍
y 1 sin 1 x 22
1 y 1 sin x 2
2
3
4
O
x
y 1 sin 1 x
1
y sin x
22
法二：
图象上各点横坐标
y sin x 伸长为原来的2倍
y sin 1 x 图象上各点纵坐标 2 缩短为原来的一半
y 1 sin 1 x 22
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y A sin(x )图像与性质的应用
2.周期：正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻
两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与 对称轴之间的距离是 1 个周期．
4 3.奇偶性：若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
（1）当=k（k Z)时， 函数y A sin(x )= A sin x为奇函数；
A 如图所示，则( )
A.y＝2sin 2x－π6
B.y＝2sin 2x－π3
x＋π C.y＝2sin 6
x＋π D.y＝2sin 3
以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2
函数y=Asin(ωx φ)的图象
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:T 2
探究： A 对函数图象的影响
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法： （1）用“五点法”作图 （2）利用变换关系作图
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 平移伸缩变化欣赏
想一想?
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到
y=sin(2x+ 3
)的图象?
)的图象
(横坐标不变)
y=3sin(
1 2
x
-
4
)的图象
练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)
【课件】函数y=Asin(wx φ)的图象 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
到函数 = ( + )的图像；然后把图像上个点的横坐标变为原来的倍
（纵坐标不变），得到函数 = ( + )的图像；最后把曲线上各点的
纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数
探索“”
= ( + )的图像。
操作步骤
探索“”
试一试
一般地
从解析式上看，函数 = 就是函数 = ( + )在 = ， = ， =
时的特殊情形。
那么我们是否可以通过研究三个参数， ， 对函数 = ( + )的影响来确
定这两个函数图像之间的关系？
导入：筒车模型
试一试
y=sin(x+)
的图象
y=sinx
1.（2021全国乙理）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 = ( − ) 图象，则
f(x)=(
C
)
7
B、 = sin(2 − 12 )
D、 = sin(2 + 12)
A、 = sin(2 − 12 )
7
探索“”
C、 = sin(2 + 12)
试一试
一般地
2.要得到函数 = 3sin(2 + 4 )的图像，只需将函数 = 3sin(2)的图像（ C ）
A、向左平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
探索“”
C、向左平移个单位长度
D、向右平移个单位长度
小结：本节课通过研究三个参数，，对函数
2
y=sinx 与y=sin(x+)