第6节电磁场的动量
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电磁场电磁动量麦克斯未张力张量解读
f E J B
＝动量流入（率）＋系统本身动量消耗（率）
根据力学原理， f 可解释为电荷系统的机诫动量的体密度增量，既有
f E J B
dg p dt
d G f Gp dt
改写上式 —— 动量守恒转换定律
d T
S
d d g g dV G f Gp f p dt V dt
B, E
B2 T BB I 0 2 0 1
2 B 侧面受压力： dS T dS 20
B2 0 2 , E 20 2
上端面受拉力：
B2 B2 dS T dS B B dS dS 0 20 20 1
下端面受拉力：
B 0 2 , E 20 2
ˆ n
1 ˆˆ E 2 xx ˆˆ yy ˆˆ zz ˆˆ yy ˆˆ zz ˆˆ 0 E 2 xx ˆˆ Γ e 0 E 2 xx 2 2
作用在单位面元上的力（压强）为
ˆ Pe Γ n
0
2
ˆ cos y ˆ sin E2 x
（还有垂直于 n-E 平面的力）
0 2 ˆ 是对表面的正拉力 Pe E n 2 0 90 ˆE 当 时， n
Pe
即有垂直于电场方向的力又有平行于电场方向的力 P e 当 0 时， ˆ E Pe n
E
E
ˆ n
ˆ n
P e
0
2
ˆ 是对表面的正压力 E 2n
场方向
力方向
是通过这样的弹性媒质来传递。这种弹性媒质历史上称为以太媒质
量子力学_61电磁场中荷电粒子的运动及两类动量
Pi
q c
Ai
q c
Ai x
q q
x c
Ax
q c
3 i 1
ri
Ai x
q
x
q c
Ax t
3 i 1
ri
Ax ri
q
x
1 c
t
Ax
q c
x
Ax x
y
Ay x
z
Az x
x
x
Ax
y
y
Ax
z
z
Ax
q
1 c
t
A
x
q c
υ (
A) x
所以
mr
q
1 c
t
A
q c
q c
A
理解为粒子的 速度算符
(14)
(15)
2. 规范不变性
电磁场具有规范不变性，当矢势和标势作下列规范变换时
A A' A (r,t)
1 c
t
(r,
t)
(16)
电、磁场强度都不改变.其规范不变性是显然的.
但Schrödinger方程（9）中出现 A和，是否违反规范
不变性？ 否！！
可证明
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
6.3 Landau能级
➢ 一、电子的Hamilton量
考虑电子（质量M，荷电e）在均匀磁场B中运动,则 相应的矢势A可取为
A 1 Br 2
取磁场方向为z轴方向，则
Ax
1 2
By,
1 Ay 2 Bx,
Az 0
(1)
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
x
电磁场的动量和能量
电磁场的动量和能量凤阳二中张叶摘要：通过分析匀强磁场中平行板电容器内导体棒的运动，把电磁场的动量和能量这两个较为抽象的概念具体化。
运用这一简单的模型分析并论证了电磁场确具有动量和能量，且可与机械动量和动能相互转换，在转换过程中遵循守恒定律。
关键词：电磁场；动量；能量；平行板电容器引言电磁场作为物质存在的一种特殊形式，与实物一样，也具有能量、动量和角动量等基本属性，同样遵循能量守恒，动量守恒和角动量守恒等定律，它们既不能被创造，也不能被消灭，只能由一种形式转变成另一种形式。
与实物不同的是，场作为弥漫在空间的一种特殊物质，不能被直接看到。
在教学过程中，由于场的概念较为抽象，而且电磁场的能量、动量和角动量又较难直接观测，给人一种看不见，摸不着的感觉，所以教师觉得不好教，学生觉得难以理解。
本文研究了一导体棒在处于匀强磁场中的平行板电容器内的运动这一较为简单的物理模型。
通过定性分析和定量计算，论证了电磁场的确具有动量和能量，它们不仅可以与机械动量和动能相互转换，而且在转换过程中满足动量守恒和能量守恒定律。
这一模型让初学者对电磁场的动量和能量有一个简单、直观的感受，从而能更好地理解电磁场及它的这两个重要物质属性。
1. 匀强磁场中的平行板电容器一个电容量为C ，两导体板相距为L 的平行板电容器，处在匀强磁场中。
磁场的方向与导体板平行，大小为B 。
将平行板电容器充电，使两极板所带的电量为 ±Q 0。
然后将一质量为m ，电阻为R ，长度为L的导体棒垂直放在电容器的两板之间。
开始的瞬间，导体棒中有电流000U Q I R CR==， 受到安培力000BLQ F BLI CR == 的作用开始加速运动，初始加速度为00BLQ a mCR=。
但导体棒上的电流导致电容器两极板上的电量减少，使得板间电场减小；另外，根据楞次定律，导体棒运动时产生感应电动势，电动势方向也与板间电场相反。
所以，导体棒上的电流会逐渐变小，安培力和加速度也随之减小。
电磁场的动量和动量流
⎜⎜⎝⎛ε 0 E 2
+
1 μ0
B
2
⎟⎟⎠⎞
>>
I
⎤ ⎥ ⎦
( ) − ε0
∂ ∂t
GG E×B
真空：H
=
1
G B,
μ0
GG D = ε0E
G
G
ρ = ∇ ⋅ D = ε0∇ ⋅ E
G J
=
∇
×
G H
−
G ∂D
∂t
=
1 μ0
∇×
G B
−ε0
G ∂E ∂t
G
∇ ⋅ DG = ρ,
∇ ∇
⋅B =0 G
kG(eG3 )
另一方面：
>>
T
=
GG −ε 0 EE
−
1 μ0
GG BB +
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B2
⎟⎟⎠⎞
>>
Ι
BG(eG2 )
( ) G >>
E⋅T
=
−ε 0
GG E⋅E
G E+
1 2
⎜⎜⎝⎛ ε 0 E 2
+
1 μ0
B
2
⎟⎟⎠⎞
G E
⋅
>>
Ι
G E
(eG1
)
kG(eG3 )
∂ ∂x
Ex2
+
E
2 y
+
Ez2
G ex
=
⎡ ⎢Ex ⎣
∂Ex ∂x
+
Ey
∂Ex ∂y
+
电磁场的能量和动量课件
考虑对称性，利用 构成一个恒等式：
把此式与f 的表达式相加，则有
其中
式中 是单位张量，在直角坐标系中
同理得到：
又因为
所以 或者化为 其中
至此，可以把机械动量的变化率写成
讨论：
a)若积分区域V 为全空间，则面积分项为零，而
根据动量守恒定律，带电体的机械动量的增加等于 电磁场 的动量的减少，因此称 为电磁动量。
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三、电磁能量的传输
在电磁波情形中，能量在场中传播是容易理解的。在输 电线路情形中，即直流电或低频交流电情况下，电磁能 量也是通过电磁场传播的，可能不好理解，但这恰是电 磁能传输的实质。
1. 电磁能的传输不是靠电流！
① 导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 却很大。 导线内电荷定向移动的速度为
率。故由Maxwell’s equations 和 Lorentz force 公式可导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。
场对带电体的作用为Lorentz force，在Lorentz force 作用下带电体的机械动量变化为
下面利用真空中的场方程把等式中的电荷 和电
流J 消去，把 Lorentz force density 改写为：
§6 电磁场的能量和动量
内容提要： 能量守恒与转化 电磁场能量守恒公式(重点) 能量密度、能流密度矢量(重点) 电磁场能量的传输 电磁场的动量和动量守恒定律
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一、能量守恒与转化
能量：
物质运动强度的量度，表示物体做功的物理量。 主要形式：机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。
③ 如果电磁能是靠电流传输，功率P与U成正比无法得到
解释。
ED0507电磁场的动量.ppt
P S T
① 流密度张量Tij的意义是通过垂直于i轴的单位面积流过的动量 ② 流过面元的总通量，是流密度张量与面元矢量的数性积
毛明编著
Ⅲ 辐射压力
f
T
t
g
dv
f
sds T
t dvg
Press nˆ T 负号表示压力,nˆ为外法向
T
ξ0{EE
1 2
(IE 2
)}
1 μ0
{BB-
1 2
(I B 2
)}
T
DE
HB
1
I (D
E
H
B)
2
g ξ0E B
T
DE
HB
1
I(D
E
H
B)
2
g ξ0E B
毛明编著
1 动量密度的意义
g
ξ0E B
ξ0 μ0E H
s c2
Scwkˆ
w kˆ 光子wω c
ω
kˆ
k
c
g
ξ0
Re (E*
平面波B
1
kˆE
B) c
2
ξ0 |E|2kˆ 2c
① 量子化后，电磁场以光子的形态存在，光子的动量以波矢量为方向， 波粒二象统一
T23 T33
流入S2 ( oCA )单位面元的分量 流入S3( oAB )单位面元的分量
电磁场的能量和动量
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
d ◆ 场的能量增加率： dt
ω dV
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
◆ 其中场对带电粒子所作功率： f · v dV
第六节
§
电磁场的守恒定律
6.1
电磁场和带电粒子间的能量守恒
电 有
电 互
★ 电磁场的能量、动量是分布于整个空间的； ★ 电磁场的能量、动量是可以随时间变化的；（传播） ◆ 电磁场的能量密度ω = ω (x, t)：单位体积的能量 ◆ 电磁场的能流密度S = S (x, t)：单位时间垂直穿过单位横界面的能量， 方向为能量传输的方向 ★ 能量守恒定律的积分形式 − S · dσ = f · v dV + d dt ω dV
电磁场动量
电磁场动量
电磁场动量是电磁场的重要性质之一，它描述了电磁场在空间中传递的动量。
电磁场动量在电磁学、光学等领域有着广泛的应用。
电磁场动量的概念最早由麦克斯韦提出，他认为电磁场具有一定的质量和动量。
据此，他提出了电磁波的传播速度和能量密度等概念。
电磁场动量可以表示为电磁场的能量密度与光速的乘积。
在电磁学中，电磁场动量是描述电磁场传递能量和动量的重要物理量。
电磁场动量的大小与电磁场的强度和方向有关。
当电磁场的强度增加时，电磁场动量也相应地增加。
电磁场动量的方向与电磁场的传播方向相同。
在电磁波传播过程中，电磁场动量的传递方式类似于质点的动量传递，可以通过相互作用的方式传递。
在光学中，电磁场动量有着广泛的应用。
例如，在激光切割、光学旋转和电子显微镜等领域，电磁场动量都起着重要作用。
在光学旋转中，光束的电磁场动量可以使物体绕光束轴旋转。
在电子显微镜中，电磁场动量可以用来探测物质的微观结构。
除了在光学中的应用外，电磁场动量还在电磁学中有着广泛的应用。
例如，在电磁波制导、电磁感应等领域，电磁场动量都有着重要作用。
在电磁波制导中，电磁场动量可以用来控制电磁波的传播方向和速度。
在电磁感应中，电磁场动量可以用来描述电磁感应中的电荷和电流的运动。
电磁场动量在电磁学、光学等领域都有着广泛的应用。
它描述了电磁场在空间中传递的动量，是描述电磁场传递能量和动量的重要物理量。
在未来的研究中，电磁场动量的应用还将不断拓展，为我们带来更多的科学发现和技术创新。
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表示当系统与外界没有动量交换时，系统 内部带电粒子动量的变化率与系统内电磁 场动量变化率之和守恒。 2）电磁场动量密度 g 与能流密度 S 的关系
g 0 E B 0 0 ( E H ) 1 2S C g 方向与 S方向一致，动量方向就是能量
P 1 S1T 11 S2T21 S3T31 P2 S1T12 S2T22 S3T32 P 3 S1T 13 S2T23 S3T33 总之 P S T 对整个面积分 P d S T
S
动量流密度张量的物理意义
1 1 1 f ( 0 E ) E ( B) B ( B ) B B 2 0 0 20 0 2 0 ( E ) E E 0 ( E B ) t 2 t
( EE) ( E) E ( E ) E 0 2 1 1 2 1 f 0 ( EE ) ( BB) ( E B ) 2 (E H ) 0 2 20 C t 0 2 1 1 2 1 0 ( EE ) ( BB) ( E B ) S 2 0 2 20 t C 0 2 0 2 1 2 1 2 ( E B )u ( E B ) 20 2 20 2
T11 Tij T21 T 31
T12 T22 TБайду номын сангаас2
T13 T23 T33
1 1 1 1 1 0 E1E1 B1B1 ( 0 E 2 B 2 ) 0 E1E2 B1B2 0 E1E3 B1B3 0 2 0 0 0 1 1 1 1 2 1 2 0 E2 E1 B2 B1 0 E2 E2 B2 B2 ( 0 E B ) 0 E2 E3 B2 B3 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 E E B B E E B B E E B B ( E B ) 0 3 1 3 1 0 3 2 3 2 0 3 3 3 3 0 0 0 0 2 0
§6 电磁场的动量 电磁场是一种特殊的物质——具有能量， 动量 1864年，麦克斯韦预言电磁场动量的存在。 一、电磁系统动量守恒： 动量守恒的两种表述： 表述一：任何一个孤立的电磁系统（与外 界没有动量交换），在系统内无论发生什 么形式的电磁过程，其动量只能从一部分 转移到另一部分，总动量不变。
表述二：任何一个电磁系统 V ，其边界面 为 S ，单位时间从外部输入体系内部的总 动量，应等于体系内部带电粒子动量的增 加率与场动量增加率之和。 写成等式：
o
d
d sin dd
w 3
这就是电磁波入射到导体表面时，表面所 受到的辐射压强。
代入上式：
1 0 2 1 1 2 f ( 0 EE ) ( BB) ( E B )u S 2 0 2 20 t C
改写此式：
1 0 2 1 1 2 0 EE BB ( E B )u S f 2 0 2 20 t C
设：入射波 Ei，反射波 Er沿垂直入射面振动，
由边值关系：
Ei Er 0 Ei Er H i H r 0 Bi Br 0
z
y
界面附近总场强的各分量：
E1 ( Ei Er ) x 0
E2 ( Ei Er ) y 0
0 0 0 Tij 0 0 0 0 0 Cg
T Cg e z e z
二、辐射压力（压强）矢量： 定义辐射压力：
d T P n T d
例 平面电磁波入射导体表面，求辐射压力 入射波 Bi，反射波 Br 沿垂直入射面振动 导体表面，反射系数接近1。没有透射。
d T
电磁场的动量的动量增加率
V
d gdV dt
f dV
带电粒子的动量增加率
V
其中 仑兹力密度
f 为洛
电磁场的动量守恒定律：
d T d
V
dt
gdV f dV
V
得到守恒定律的积分式 积分对同一体积进行：
电磁场动量密度是对称张量，有6个独立 分量。 z 电磁场动量密度的物理意义 C S
在场中选坐标如图， 计算通过面元 S 流 出体元 V 的动量。
o
A
B
y
x
面元S在3个坐标面上的投影
OBC OCA OAB
法线为 ex 法线为 ey 法线为 e z
T1 j
T12
C
T13
0
t
1 E f ( 0 E ) E ( B 0 ) B 0 t E B ( E B) B E t t t 1 B f ( 0 E ) E ( B) B 0 ( E B) 0 E 0 t t 1 2 ( E ) E ( E ) E E 已知： 2
E3 ( Ei Er ) z 0 B1 ( Bi Br ) x 2Bi cos
B2 0
Ei
x
Bi
Er
Br
B3 0 1 2 1 2 T B1 ex ex B1 u 0 20
d T P n T ez T d 1 2 P ez T B1 ez 20 1 2 2 P B1 Bi2 cos2 20 0
T11
OBC 单位时间通过
面
o
B
流入体系的动量为 T11 , T12 , T13
单位时间通过 OCA面流入体系的动量为
T21 , T22 , T23
单位时间通过 OAB面流入体系的动量为
T31 , T32 , T33
当体元缩小时，动量不会在一点上积累。 因此流入的动量应等于流出的动量 通过 ABC 每单位时间流出的动量的各分量
Tij 代表通过 动量流密度张量的物理意义： 垂直于i 轴的单位面积，单位时间流过的动 量的 j 分量。
例 解 分别计算各分量：
1
求平面电磁波的动量流密度张量。z , n
1 1 x, E T11 0 E1 E1 B1 B1 ( 0 E 2 B2 ) 0 2 0 1 1 2 1 1 2 2 2 0 E ( 0 E B ) 0E B2 2 0 2 20 平面波0
T d dt g f
得到守恒定律的微分式
下面从定律出发，找到物理量的表达形式， 同时说明物理量的物理意义。 突破口——
f
洛仑兹力密度
已知： 由方程： 代入上式：
f E j B 0 E j 1 B 0 E
传输方向
1 平面电磁波： B n E C 1 0 0 2 g 0 E (n E ) E (n E ) E n C C C w 2 g n w 0E 平面电磁波： C 3）电磁场动量密度 T 的意义
单位时间通过 带电粒 场动量 表面从外部输 子动量 的增加 入的能量 增加率 率 引入几个物理量，用数学形式写出等式：
1 电磁场动量密度 g ——场储存动量的多少
2 电磁场动量流密度张量 T ——动量传输
定义：单位体积内电磁场的动量，是矢量。
的能力
单位时间从体系外流入体系内的电磁场动 量为
与守恒定律比较，得：
1 g 2S C
1 0 2 1 2 T 0 EE BB ( E B )u 0 2 20
讨论： 1）当区域 V
d T 0
则：
，有
守恒定律变为：
V
f dV gdV 0 t V
y, B
T12 0( E2 0, B1 0)
T23 T32 0( E2 E3 0, B3 B2 0)
T22 T11 0
T33
1 1 2 S 2 2 ( 0 E B ) 0E w Cg 2 0 C
表示：单位时间内通过垂直于e z 方向的单 位面元传输的动量的 e z方向的分量。
已知：入射的能量密度
1 1 1 2 2 wi ( 0 Ei Bi ) Bi2 2 0 0 2 P i 2w i cos
wi wr w 2wi
P w cos2
对入射波漫散射时：
1 2 P w cos d 2 2 1 w d 2 cos 2 sin d 0 0 2