06第6章 微分方程建模
微分方程的建模与解析解法
微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
第二部 06.第六章 常微分方程
>> odefun= inline('y-2*t/y','t','y') ; >> [t,y]=ode45(odefun,[0,4],1) ; >> [t,y] >> plot(t,y,'o') >> figure(2) >> ode45(odefun,0:1:4,1) ; %直接画图 >> [t,y]=ode45(odefun,0:1:4,1) ; [t,y]
ode23t ode15s
适度刚性问题梯形算法 刚性方程组多步Gear法
deval
微分方程解的求值
所谓刚性方程指的是方程所描写的系统包含 多个变化速率差别很大的子系统。如系统：
u ' 998u 1998v, u(0) 1 v ' 999u 1999v, v(0) 0
总结：
① ode45 误差小,精度高,但计算量大。 ② ode23 误差大,精度低,但计算量小。
③ 用刚性方程组解法解非刚性方程不好，
例如：ode23s，不仅计算量大，而且
误差也大。
例3 解微分方程组
x' x 3 y, x(0) 1 3 y ' x y , y (0) 0.5
其Matlab标准形式为
y ' (t ) f (t , y (t )) g ( ya, yb) 0 at b
这里y是2维向量，表示解函数x(t)及其导函数x’(t)。
求解三部曲：粗网络、解结构、数值化
2. 边值问题解法
微分方程的建模原理及应用
微分方程的建模原理及应用引言微分方程是数学中重要的一门学科，它是描述自然界和工程领域中许多现象和过程的数学工具之一。
本文将介绍微分方程的建模原理及其应用，并使用Markdown格式进行编写。
微分方程的定义微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了变量的导数。
一般形式的微分方程可以写作：$$f(x, y, y', y'', \\ldots, y^n) = 0$$其中，x是自变量，y是因变量，$y', y'', \\ldots, y^n$ 是y的导数，n是方程的阶数。
微分方程的建模原理微分方程的建模原理是将现实世界中的问题转化为数学模型，通过建立微分方程来描述问题的变化规律。
建模的过程需要以下几个步骤：1.问题理解：全面理解实际问题的背景、目标和限制条件。
明确要研究的变量和参数。
2.数学模型的建立：根据问题理解，确定数学函数和变量之间的关系，并找到恰当的微分方程。
3.模型求解：利用数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
4.模型分析：对模型求解结果进行分析和解释，评估模型的适用性和可靠性。
微分方程的应用领域微分方程在各个科学领域和工程技术中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：物理学•力学：描述物体的运动和力学性质。
•电磁学：描述电荷和电磁场的关系。
•光学：描述光的传播和折射。
经济学•经济增长模型：描述经济产出和经济变量之间的关系。
•消费与储蓄模型：描述个体和国家的消费和储蓄行为。
生物学•生物种群动力学：描述物种数量和环境因素之间的关系。
•神经科学：描述神经元的电信号传递和网络行为。
工程学•电路分析：描述电路中电流和电压之间的关系。
•控制系统：描述系统的稳定性和动态响应。
微分方程的求解方法微分方程的求解方法分为解析解和数值解两种。
解析解解析解是指通过数学方法直接求解微分方程得到的精确解。
常见的求解方法包括：•可分离变量法：将微分方程转化为可分离变量的形式，通过积分求解。
微分方程模型的建立
微分方程是数学中的一类重要的方程，应用广泛。
它在许多领域和问题中都有着重要的作用，比如物理学、生物学、经济学等等。
建立微分方程模型是研究和解决实际问题的有效方法，它可以帮助我们理解问题的本质和规律。
在建立微分方程模型时，首先需要确定问题中的变量和它们之间的关系。
通常，我们可以通过对问题进行数学描述来找到变量之间的关系。
比如，考虑一个简单的物理问题，一个质点在一个特定的力场中运动。
我们可以用质点的质量、位置和速度等变量来描述问题，并找到它们之间的关系。
假设我们用y(t)表示质点的位置，v(t)表示质点的速度。
根据牛顿第二定律，质点所受的力等于质量乘以加速度。
加速度可以表示为速度的导数，即a(t)=dv(t)/dt。
所以，根据牛顿第二定律，我们可以写出微分方程模型：ma(t) = F(t) （1）其中m是质点的质量，F(t)是质点所受的力。
根据力的定义，可以将F(t)表示为质点所处的位置和速度的函数。
假设F(t) = k·y(t)，其中k是一个常数，表示力的大小和方向与质点位置的关系。
将F(t)和a(t)代入式（1）中，得到：m(dv(t)/dt) = k·y(t) （2）这就是描述质点运动的微分方程模型。
通过求解这个微分方程，我们可以获得质点的位置和速度随时间变化的规律。
这可以帮助我们预测和理解质点的运动。
除了物理问题，微分方程模型也可以应用于其他类型的问题。
比如，在经济学中，我们经常需要研究人口、资源和经济增长等问题。
这些问题可以通过微分方程模型来描述。
考虑一个简单的经济增长模型，假设经济增长率与人口和资源的数量成正比。
我们可以用P(t)表示人口数量，R(t)表示资源数量，G(t)表示经济增长率。
根据问题的条件，我们可以构建微分方程模型：dG(t)/dt = k·P(t)·R(t) （3）其中k是一个常数，表示人口和资源对经济增长的贡献。
通过求解这个微分方程，我们可以研究人口、资源和经济增长之间的关系，并预测未来的经济发展趋势。
第六章微分方程与数学建模1
第一节 微分方程 第二节 微分方程在数学建模中的应用
第一节 微分方程
一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶 微分方程 四、二阶常系数线性微分方程
一、微分方程的基本概念
1. 引例
例 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M ( x, y)处的切线的斜率为2 x,求这曲线的方程.
dp dy
原方程化为
p
dp dy
f
(
y,
p)
设方程
p dp dy
f (y, p)
的通解为
y
p
(x,C1)
则利用
分离变量法得原方程的通解为
(
dy y,C1)
x
C2
四、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数线性微分方程的一般形式
二阶常系数齐次线性微分方程的形式
如果 f (x) 不恒等于 0，则方程
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y2
1 2i
( y1
y2 )
ex sin x,
得齐次方程的通解为
y ex (C1 cos x C2 sinx).
2.二阶常系数非齐次线性微分方程
解 这是齐次方程，可以化成如下形式
dx x dy
x2 y2 x
y
y
x y
2
1
令
微分方程建模方法
建立微分方程模型的方过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程. • 分析对象特征的变化规律. • 预报对象特征的未来性态. • 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
微分方程建模
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化 率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分 方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
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2
（6.3）
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数学 建模
取 R 6400km， r R 600km，代入上式，得
v 7.6km/s ，
即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭 的末速度最低应为 7.6km/s。
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数学 建模
6.1.1.2 火箭推进力及升空速度
u 3km/s 及
ms 1 . mF m s 9
（2）初速度 v0 忽略不计，即 v0 0 。
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数学 建模
建模与求解 因为升空火箭的最终（燃料耗尽）质量为 m p ms ，由 （6.7）式及假设（2）得到末速度为
m0 ， v u ln m p ms
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6.1.1 为什么不能用一级火箭发射人造卫星
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数学 建模
建模与求解 设地球半径为 R ，质量为 M ；卫星轨道半径为 r ，
卫星质量为 m 。 根据假设（2）和（3） ，卫星只受到地球的引力， 由牛顿万有引力定律可知其引力大小为
GMm F ， 2 r
（6.1）
其中G 为引力常数。
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数学 建模
为了简单起见，先作如下假设 （1）设各级火箭具有相同的 ， mi 表示第 i 级的 结构质量，(1 )mi 表示第 i 级的燃料质量。 （2）喷气相对火箭的速度 u相同，燃烧级的初始质 量与其负载质量之比保持不变，该比值记为 k 。
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数学 建模
为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（6.1） 式得
GMm mg R2
或GM R2 g ，源自再代入（6.1）式，得 R F mg ， r
其中 g 9.81(m/s2 )为重力加速度。
2
（6.2）
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数学 建模
令 ms ( mF ms ) ( m0 m p )，代入上式，得
（6.8）
m0 ， v u ln m0 (1 )m p
（6.9）
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数学 建模
于是，当卫星脱离火箭，即 m p 0 时，便得火箭末速度 上限的数学模型为
v u ln .
数学建模算法与应用
第6章 微分方程建模
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数学 建模
微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多 实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问 题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题， 大体上可以按以下几步 1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、 未知函 数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何 的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
（6.12）
（6.12）式表明，当 m0 足够大时，便可使卫星达到我们 所希望它具有的任意速度。例如，考虑到空气阻力和重 力 等 因 素 ， 估 计 要 使 v 10.5 km/s 才 行 ， 如 果 取
u 3km/s， 0.1，则可推出 m0 / m p 50，即发射 1
吨重的卫星大约需 50 吨重的理想火箭。
数学 建模
先考虑二级火箭。由（6.7）式，当第一级火箭燃烧 完时，其速度为
k 1 v1 u ln u ln ， m1 m2 m p k 1
在第二级火箭燃烧完时，其速度为
m1 m2 m p
k 1 v2 v1 u ln 2u ln . m2 m p k 1
（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法 自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的 微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能 直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式， 而是通过微元分析法， 利用已知的规律建立一些变量 （自 变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取 极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取 积分的方法来建立微分方程。
守恒定律有
dm m( t )v ( t ) m( t t )v ( t t ) t o( t ) ( v ( t ) u ) dt （6.5）
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数学 建模
从（6.4）式和（6.5）式可得火箭推进力的数学模型为
dv dm m u . dt dt
（6.6）
令 t 0时，v(0) v0 ，m(0) m0 ，求解上式，得火箭升 空速度模型
m0 v ( t ) v0 u ln . m(t )
（6.7）
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数学 建模
（6.6）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与 喷气速度（相对火箭）的乘积。 （6.7）式表明，在 v0 , m0 一定的条件下，升空速度 v ( t )由喷气速度（相对火箭）
及
（6.10）
v (0) 0 ， m(0) m0 ，
解之得
m0 v ( t ) (1 )u ln . m(t )
（6.11）
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数学 建模
由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便 只剩卫星质量 m p ，从而最终速度的数学模型为
m0 . v ( t ) (1 )u ln mp
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数学 建模
（3）模拟近似法 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并
不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量 的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实 际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微 分方程。 在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法 的综合应用。 不论应用哪种方法， 通常要根据实际情况， 做出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果 与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描 述实际问题并进而达到预测预报的目的。
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6.1.1.1 卫星进入600km 高空轨道时，火箭必须 的最低速度
首先将问题理想化，假设 （1） 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的 圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作 平面匀速圆周运动； （2） 地球是固定于空间中的一个均匀球体， 其质量 集中于球心； （3）其它星球对卫星的引力忽略不计。
u及质量比 m0 / m( t ) 决定。这为提高火箭速度找到了正
确途径：从燃料上设法提高 u 值；从结构上设法减少
m( t ) 。
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6.1.1.3 一级火箭末速度上限
火箭—卫星系统的质量可分为三部分： m p （有效
负载，如卫星） mF （燃料质量） m s （结构质量，如 ， ， 外壳、燃料容器及推进器） 。一级火箭末速度上限主要 是受目前技术条件的限制，假设 （1）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度
m2 m p
（6.13）
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数学 建模
仍取 u 3km/s， 0.1，考虑到阻力等因素，为了 达到第一宇宙速度 7.9km/s，对于二级火箭，欲使
v2 10.5km/s，由（6.13）式得
k 1 6ln 10.5， 0.1k 1
解之得
k 11.2，
火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组 成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一 个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地 球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。为 使问题简化，假设 （1）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重 力和空气阻力忽略不计。 （2）在 t 时刻火箭质量为 m( t ) ，速度为 v ( t )，且均为 时间 t 的连续可微函数； （3）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身） 为常数 u。
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数学 建模
现记 n级火箭的总质量（包括有效负载 m p ）为
m0 ，在相同假设下（ u 3km/s， v末 10.5km/s，
，可以算出相应的 m0 / m p 值，现将计算结 0.1） 果列于表 6.1 中。 表 6.1 质量比数据 2 3 4 65 5 60 … … ∞ 50
0
1
1 由假设（1） ，取 u 3km， ，便得火箭速度上限 9
v 0 3ln 9 6.6 km/s.
因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达 到相应高度所需的速度。
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数学 建模
6.1.2 理想火箭模型
从前面对问题的假设和分析可以看出，火箭推进
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数学 建模
建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量 不断减少，在( t , t t ) 内的减少量可由泰勒展开式表 示为
dm m ( t t ) m ( t ) t o( t ) . （6.4） dt 因为喷出的气体相对于地球的速度为 v ( t ) u ，则由动量
n（级数）1 m0 / m p ×
149 77
实际上，由于受技术条件的限制，采用四级或四级 以上的火箭，经济效益是不合算的，因此采用三级火箭 是最好的方案。
根据假设（1） ，若卫星围绕地球作匀速圆周运动 的速度为 v ， 则其向心力为 mv 2 / r ， 因为卫星所受的地 球引力就是它作匀速运动的向心力，故有
mv 2 R ， mg r r
由此便推得卫星距地面为 ( r R )km ， 必须的最低速度 的数学模型为