天津市滨海新区2017-2018学年高二下学期期末考试数学文试题

2017-2018学年天津市滨海新区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={1，4，5，6}，则A∩B=（）A．{1} B．{1，2} C．{1，4} D．{0，1，2}2．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不不充分也不必要条件3．下列说法正确的是（）A．若a＜b，则am2＜bm2．B．命题“p或q”为真，且“p”为真，则q可真可假．C．原命题“若x=2，则x2=4”，此命题的否命题为真命题．D．命题“∃x∈R使得2x＜1“的否定是：“∀x∈R均有2x＞1”．4．设a=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b5．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出x的值为（）A．B．C．D．06．函数f（x）=log2（x+3）（x﹣5）的定义域是A，函数g（x）=x3+m在x∈[1，2]上的值域为B，又已知B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣11）∪（4，+∞）B．（﹣11，4）C．（﹣4，﹣3） D．（﹣∞，﹣4]∪[﹣3，+∞）7．函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x=和x=是f（x）相邻的两条对称轴，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3sin（x+） B．f（x）=3sin（2x）C．f（x）=3sin（x）D．f（x）=3sin（2x）8．已知函数f（x）=是偶函数，g（x）=，则方程g（x）=|x+|实数根的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．若i为虚数单位，则复数= ．10．已知函数f（x）=（x+1）e x，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（0）的值为．11．若正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．12．在平行四边形ABCD中，AB∥CD，已知AB=5，AD=3，cos∠DAB=，E为DC中点，则= ．13．将函数f（x）=2sin（）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的得到函数g（x），则g（x）在区间[0，π]上的最小值为．14．观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，6个点可以连15条弦，请你探究其中规律，如果圆周上有10个点．则可以连条弦．三、解答题（共4小题，满分50分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA=2csinB，b=2，cosA=．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）求cos（2A+）．16．（12分）电视台与某企业签订了播放两套连续剧的合作合同．约定每集电视连续剧播出后，另外播出2分钟广告．已知连续剧甲每集播放80分钟，收视观众为60万，连续剧乙每集播放40分钟，收视观众为20万，根据合同，要求电视台每周至少播放12分钟广告，而电视剧播放时间每周不多于320分钟，设每周播放甲乙两套电视剧分别为x集、y集．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）电视台每周应播映两套连续剧各多少集，才能使收视观众最多，最高收视观众有多少万人？17．（13分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c（a＞0）在x=0处取得极小值．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）当a=2时，函数y=f（x）有三个零点，求c的取值范围．18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣axlnx（a∈R），g（x）=．（Ⅰ）讨论g（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）不论a取何值，函数f（x）与g（x）总交于一定点，求证：两函数在此点处的切线重合；（Ⅲ）若a＜0，对于∀x1∈[1，e]，总∃x2∈[e，e2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范围．2016-2017学年天津市滨海新区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知集合A={1，2，3，4}，B={1，4，5，6}，则A∩B=（）A．{1} B．{1，2} C．{1，4} D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】37 ：集合思想；5J ：集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，4，5，6}，∴A∩B={1，4}，故选：C．2．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】35 ：转化思想；59 ：不等式的解法及应用；5L ：简易逻辑．【分析】利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出，即可判断出关系．【解答】解：由|x﹣1|＜2解得：﹣2+1＜x＜2+1，即﹣1＜x＜3．由x（x﹣3）＜0，解得0＜x＜3．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”必要不充分条件．故选：B．3．下列说法正确的是（）A．若a＜b，则am2＜bm2．B．命题“p或q”为真，且“p”为真，则q可真可假．C．原命题“若x=2，则x2=4”，此命题的否命题为真命题．D．命题“∃x∈R使得2x＜1“的否定是：“∀x∈R均有2x＞1”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】38 ：对应思想；48 ：分析法；5L ：简易逻辑．【分析】A，当m2=0时，则am2=bm2．B，命题“p或q”为真，且“p”为真，则q可真可假．C，原命题“若x=2，则x2=4”，此命题的否命题为：若x≠2，则x2≠4，此命题为假命题．D，命题“∃x∈R使得2x＜1“的否定是：“∀x∈R均有2x≥1”．【解答】解：对于A，当m2=0时，则am2=bm2．故错．对于B，命题“p或q”为真，且“p”为真，则q可真可假．正确．对于C，原命题“若x=2，则x2=4”，此命题的否命题为：若x≠2，则x2≠4，此命题为假命题．故错对于D，命题“∃x∈R使得2x＜1“的否定是：“∀x∈R均有2x≥1”故错．故选：B4．设a=，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=＜0，b=log34＞1，c=log32∈（0，1），∴b＞c＞a．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出x的值为（）A．B．C．D．0【考点】EF：程序框图．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5K ：算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；当输入x=20＜1不成立，所以y=10﹣1=9，x=9，x＜1不成立，所以y=，x=＜1不成立，所以y=，x=＜1成立，所以输出x值为；故选C．6．函数f（x）=log2（x+3）（x﹣5）的定义域是A，函数g（x）=x3+m在x∈[1，2]上的值域为B，又已知B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣11）∪（4，+∞）B．（﹣11，4）C．（﹣4，﹣3） D．（﹣∞，﹣4]∪[﹣3，+∞）【考点】34：函数的值域；33：函数的定义域及其求法．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用；5J ：集合．【分析】求出函数f（x）的定义域A和函数g（x）在x∈[1，2]上的值域B，再根据B⊆A列不等式求出实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=log2（x+3）（x﹣5），∴（x+3）（x﹣5）＞0，解得x＜﹣3或x＞5，∴f（x）的定义域是A=（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）；又函数g（x）=x3+m在x∈[1，2]上是增函数，∴g（x）的值域为B=[1+m，8+m]；又B⊆A，∴1+m＞5或8+m＜﹣3，解得m＞4或m＜﹣11；∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣11）∪（4，+∞）．故选：A．7．函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），直线x=和x=是f（x）相邻的两条对称轴，则f（x）的解析式为（）A．f（x）=3sin（x+） B．f（x）=3sin（2x）C．f（x）=3sin（x）D．f（x）=3sin（2x）【考点】H6：正弦函数的对称性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】根据题意求出ω、φ的值，得出f（x）的解析式．【解答】解：由题意可知函数f（x）的最小正周期为T=2×（﹣）=2π，即=2π，ω=1；∴f（x）=3sin（x+φ）；令x+φ=kπ+，k∈Z，将x=代入可得φ=kπ+，k∈Z；∵0＜φ＜π，∴φ=；∴f（x）=3sin（x+）；故选：A．8．已知函数f（x）=是偶函数，g（x）=，则方程g（x）=|x+|实数根的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【专题】31 ：数形结合；44 ：数形结合法；51 ：函数的性质及应用．【分析】根据f（x）是偶函数可得m=1，作出g（x）与y=|x+|的函数图象，根据图象交点个数得出结论．【解答】解：∵f（x）=（）|x+m﹣1|是偶函数，∴|x+m﹣1|=|﹣x+m﹣1|，∴m=1．∴g（x）=，作出y=g（x）与y=|x+|的函数图象如图所示：把y=x+代入y=x2+2x+1得x2+x+=0，∵方程x2+x+=0只有一解x=﹣，∴直线y=|x+|在（﹣，0）上的函数图象与g（x）的图象相切，由图象可知y=g（x）与y=|x+|的函数图象有4个交点，∴方程g（x）=|x+|有4个实数根．故选C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．若i为虚数单位，则复数= 1﹣2i ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【专题】11 ：计算题．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数1﹣i，化简为a+bi（a，b∈R）的形式即可．【解答】解：===1﹣2i故答案为：1﹣2i．10．已知函数f（x）=（x+1）e x，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（0）的值为 2 ．【考点】63：导数的运算．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；52 ：导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，计算f′（0）的值即可．【解答】解：由题意f′（x）=e x（x+2），则f′（0）=e0（0+2）=2，故答案为：2．11．若正数x，y满足x+y=1，则的最小值为9 ．【考点】7F：基本不等式．【专题】11 ：计算题．【分析】将x+y=1代入所求关系式，利用基本不等式即可求得答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴+=（+）（x+y）=4+1++≥5+2=9（当且仅当x=，y=时取等号）．故答案为：9．12．在平行四边形ABCD中，AB∥CD，已知AB=5，AD=3，cos∠DAB=，E为DC中点，则=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，把用表示，展开数量积求解．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥CD，AB=5，AD=3，cos∠DAB=，E为DC中点，∴=（）•（）=（）•（）==9+=．故答案为：﹣．13．将函数f（x）=2sin（）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的得到函数g（x），则g（x）在区间[0，π]上的最小值为﹣1 ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得在区间[0，π]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=2sin（）图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数g（x）=2sin（x+）的图象，在区间[0，π]上，x+∈[，]，故当x+=时，函数g（x）取得最小值为﹣1，故答案为：﹣1．14．观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，6个点可以连15条弦，请你探究其中规律，如果圆周上有10个点．则可以连45 条弦．【考点】F1：归纳推理．【专题】11 ：计算题；5M ：推理和证明．【分析】观察原题中的函数值发现，每一项的值等于正整数数列的前n项和，根据上述规律从而得到圆周上n个不同点之间所连的弦数的等式．【解答】解：根据题意，设f（n）为圆周上n个点之间所连的弦的数目，有f（2）==1，f（3）==3，f（4）==6，…；分析可得：f（n）=，故f（10）==45；故答案为：45．三、解答题（共4小题，满分50分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA=2csinB，b=2，cosA=．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）求cos（2A+）．【考点】HP：正弦定理．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：a=2c，由余弦定理可得：c2+2c﹣8=0，即可解得c的值．（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，即可根据两角和的余弦函数公式计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵bsinA=2csinB，∴由正弦定理可得：ba=2cb，可得：a=2c，又∵b=2，cosA=，∴由余弦定理cosA=，可得：=，∴整理可得：c2+2c﹣8=0，解得：c=2或﹣4（舍去）．（Ⅱ）∵cosA=，∴sinA==，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin=（﹣）×﹣×=﹣．16．（12分）电视台与某企业签订了播放两套连续剧的合作合同．约定每集电视连续剧播出后，另外播出2分钟广告．已知连续剧甲每集播放80分钟，收视观众为60万，连续剧乙每集播放40分钟，收视观众为20万，根据合同，要求电视台每周至少播放12分钟广告，而电视剧播放时间每周不多于320分钟，设每周播放甲乙两套电视剧分别为x集、y集．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）电视台每周应播映两套连续剧各多少集，才能使收视观众最多，最高收视观众有多少万人？【考点】5D：函数模型的选择与应用．【专题】31 ：数形结合；44 ：数形结合法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】（I）根据广告和连续剧的播放时间列不等式组即可；（II）利用简单线性规划知识求出观众人数的最值．【解答】解：（I）x，y列出满足条件的数学关系式为：，即．相应的平面区域为：（II）设每周收视观众为z万人，则z=60x+20y，∴y=﹣3x+，∴直线y=﹣3x+经过点A时，截距最大，解方程组，得A（2，4），∴z的最大值为60×2+20×4=200．∴每周播放连续剧甲2集，连续剧乙4集收视观众最多，最高收视观众为200万人．17．（13分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c（a＞0）在x=0处取得极小值．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）当a=2时，函数y=f（x）有三个零点，求c的取值范围．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，得到f′（0）=0，求出b的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，根据集合的包含关系求出a的范围即可；（Ⅲ）求出函数的单调区间，求出函数的极大值和极小值，根据函数的零点的个数得到关于a 的不等式组，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣3x2+2ax+b，若f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0，解得：b=0，经检验b=0符合题意；（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=﹣x3+ax2+c，f′（x）=﹣3x2+2ax=﹣x（3x﹣2a），令f′（x）≥0，解得：x∈[0，]，若函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，则[1，2]⊆[0，]，故≥2，解得：a≥3；（Ⅲ）a=2时，f（x）=﹣x3+2x2+c，f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，）递增，在（，+∞）递减，故f（x）极小值=f（0）=c，f（x）极大值=f（）=+c，若函数y=f（x）有三个零点，则，解得：﹣＜c＜0，即c∈（﹣，0）．18．（13分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣axlnx（a∈R），g（x）=．（Ⅰ）讨论g（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）不论a取何值，函数f（x）与g（x）总交于一定点，求证：两函数在此点处的切线重合；（Ⅲ）若a＜0，对于∀x1∈[1，e]，总∃x2∈[e，e2]使得f（x1）≤g（x2）成立，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；48 ：分析法；53 ：导数的综合应用；59 ：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求得g（x）的解析式和导数，对a讨论，求出单调区间和极值；（Ⅱ）求出定点（1，0），求出f（x）、g（x）的导数和切线的斜率，即可得证；（Ⅲ）当a＜0时，分别判断f（x），g（x）的导数的符号，得到单调性，可得f（x），g（x）的最大值，由f（x）max不大于g（x）max，解a的不等式，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2﹣x﹣axlnx（a∈R），g（x）==x﹣1﹣alnx，x＞0，可得g′（x）=1﹣，当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无极值；当a＞0时，x＞a时g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）递增；0＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）递减，可得g（x）在x=a处取得极小值，且为a﹣1﹣alna，无极大值；（Ⅱ）证明：由f（x）=x2﹣x﹣axlnx，g（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，可得f（1）=g（1）=0，定点为（1，0），f′（x）=2x﹣1﹣a（1+lnx），g′（x）=1﹣，可得f′（1）=2﹣1﹣a（1+ln1）=1﹣a，g′（1）=1﹣a，即有切线的斜率相等，又它们均过定点（1，0），则两函数在此点处的切线重合；（Ⅲ）当a＜0时，由f′（x）=2x﹣1﹣a（1+lnx）＞0在[1，e]恒成立，可得f（x）在[1，e]递增，即有f（e）取得最大值e2﹣e﹣ae；由g′（x）=1﹣＞0在[e，e2]恒成立，可得g（x）在[e，e2]递增，即有g（e2）取得最大值e2﹣1﹣2a；由对于∀x1∈[1，e]，总∃x2∈[e，e2]使得f（x1）≤g（x2）成立，可得e2﹣e﹣ae≤e2﹣1﹣2a，解得≤a＜0．即a的范围是[，0）．。