高三数学中档题训练
班级 姓名1．集合A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，问是否存在这样的实数a ，使得B ⊆A ，且A∩B=｛1，a ｝？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．2、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。
（Ⅰ）求角A 的大小： （Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。
3. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.4.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =. （1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++<L .班级 姓名1.已知函数()116-+=x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合 B. ⑴当m=3时，求()B C A R I ；⑵若{}41<<-=x x B A I ，求实数m 的值.2、设向量(cos ,sin )m θθ=u r，sin ,cos )n θθ=r ，),23(ππθ--∈，若1m n •=u r r ，求：（1）)4sin(πθ+的值； （2）)127cos(πθ+的值．3.在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1 （Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．4. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ⋅=u u u r u u u r.(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ u u u r u u u r与的夹角θ正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c =u u u r ,m=( 6 4-1)c 2,当OQ u u u r 取得最小值时，求此双曲线的方程.高三数学中档题训练3BCDEF班级 姓名1. 已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，）， 且a ⊥b ． （1）求tan α的值； （2）求cos(π23α+)的值．2、某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。
一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s ），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s ，根据安全和车流的需要，当100≤<x 时，相邻两车之间保持20m 的距离；当0210≤<x 时，相邻两车之间保持)31612x x +（m 的距离。
自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为)(s y 。
（1）将y 表示为x 的函数。
（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度。
)1.73≈3. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2,1,2,3,n a n -=…。
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； （III ）设c n ＝n(3－b n )，求数列{c n }的前n 项和T n4．设函数2()(1)2ln f x x k x =+-． （1）当k =2时，求函数f (x )的增区间；（2）当k ＜0时，求函数g (x )=()f x '在区间（0，2]上的最小值．高三数学中档题训练4班级 姓名1. 已知向量.)(),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x f x x x ⋅==+=设函数 （1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间。
（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,1,4)(==b A f △ABC 的面积为23，求a 的值.2.如图，在△ABF 中，∠AFB=1500，S AFB ∆=F 为焦点，以A 、B 分别作为长、短轴的一个端点，以原点O 作为中心，求该椭圆的方程.3、（1）已知是实数，函数．（Ⅰ）若，求值及曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求在区间上的最大值．4、已知二次函数)()(2R x a ax x x f ∈+-=同时满足：①不等式0)(≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立。
设数列}{n a 的前n 项和)(n f S n =。
（1）求)(x f 表达式；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）设5)3(+=n a n b ，1126++-+=n n nn n n b b b b b c ，}{n c 前n 项和为n T ，对m n T n +>（)2*,≥∈n N n 恒成立，求m 范围高三数学中档题训练5班级 姓名1．设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点（1）若椭圆C 上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点P 是（1）中所得椭圆上的动点，1(0,)2Q ，求PQ 的最大值；2、设函数，其中．（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围3．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45o 且与点A 相距海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45o +θ(其中sin θ=26，090θ<<o o )且与点A 相距C .（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.4、已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列}{n a 和}{n b 满足181=a ，3614=b ．（1）若1d =18，且存在正整数m ，使得45142-=+m m b a ，求证：1082>d ；（2）若0==k k b a ，且数列1a ，2a ，…，k a ，1+k b ，2+k b ，…，14b 的前n 项和n S 满足k S S 214=，求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；高三数学中档题训练11、解：由A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，B ⊆A ，得a 2=3．或a 2=a ．当a 2=3时，a =，此时A∩B≠｛1，a ｝； ------------------- 7分当a 2=a 时，a =0或a =1， a =0时，A∩B=｛1，0｝；a =1时，A∩B≠｛1，a ｝． 综上所述，存在这样的实数a =0，使得B ⊆A ，且A∩B=｛1，a ｝．-------------------14分2、解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2222cos b c a bc A +-=，又222b c a bc +=+∴1cos ,23A A π==…………………………………………………6分 （Ⅱ）∵222sin 2sin 122B C+=，∴1cos 1cos 1B C -+-=……………………8分∴2cos cos 1,cos cos()13B C B B π+=+-=，22cos cos cos sin sin 133B B B ππ++=，1cos 12B B +=，∴sin()16B π+=， ∵0B π<<，∴,33B C ππ==, ∴ABC ∆为等边三角形。
……………14分3. 解:设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x , ),(y x M 为椭圆上的点,由23=a c 得b a 2=)(,34)21(3)23(22222b y b b y y x AM ≤≤-+++-=-+=若21<b ,则当b y -=时2AM 最大,即7)33(2=--b , 21237>-=∴b ,故矛盾.若21≥b 时,21-=y 时7342=+b , 12=b所求方程为1422=+y x 4.解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数， 3(1)n a n d =+-，1n n b q -=依题意有1363(1)22642(6)64n n nda d n d ab q q b q S b d q +++-⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+L ∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+L L 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+L 11113(1)22124n n =+--<++ 高三数学中档题训练21．解：(]5,1}0116{-=≥-+=x xA （1）当m=3时，)3,1(}032{2-=>++-=x x xB ∴}31{≥-≤=x x x BC R 或，]5,3[)(=⋂B C A R（2）由题意知：4为方程-x 2+2x+m=0的根,得:m=8 经检验m=8适合题意. 2、解：（1）依题意，cos sin )sin cos )m n θθθθ•=+u r rcos )θθ=+…………………………………3分4sin()4πθ=+ ………………………5分又1m n •=u r r∴41)4sin(=+πθ………………………7分（2）由于),23(ππθ--∈，则)43,45(4πππθ--∈+ ……………9分=14分 3.解：(Ⅰ) ∵DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ∴DC ⊄⊂⊂1)∵1sin 2OFQS OF FQ OFQ ∆=∠u u ur u u u r , cos OF FQ OF FQ OFQ m ⋅=∠=u u u r u u u r u u u r u u u r ∴tan θ=4 6 m.又∵ 6 ＜m ＜4 6 ,∴1＜tan θ＜4.………………………………6分(2)设所求的双曲线方程为x 2a 2 - y2b 2 = 1 (a ＞0,b ＞0),Q(x 1,y 1),则=(x 1-c,y 1),∴S △OFQ = 12 ||·|y 1|=2 6 ,∴y 1=±4 6c.又由OF FQ ⋅u u u r u u u r =(c,0)·(x 1-c,y 1)=(x 1-c)c=( 6 4-1)c 2,∴x 1= 6 4c.……8分∴OQ u u u r =x 12+y 12 =96c 2 + 38c 2≥12 . 当且仅当c=4时, ||最小,这时Q 点的坐标为( 6 , 6 )或( 6 ,- 6 ).12分∴⎩⎪⎨⎪⎧6a 2 - 6b 2 = 1 a 2+b 2=16, ∴⎩⎨⎧a 2=4b 2=12 .故所求的双曲双曲线方程为x 24 - y212= 1 .……………………………14分高三数学中档题训练31. 解：（1）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0．而a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0．……………………………………2分由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4 ＝0．解之，得tan α＝－43，或tan α＝12．……………………………………………5分 ∵α∈（3π2π2，），tan α＜0，故tan α＝12（舍去）．∴tan α＝－43．……6分 （2）∵α∈（3π2π2，），∴3ππ24α∈（，）． 由tan α＝－43，求得1tan 22α=-，tan 2α＝2（舍去）．∴sin cos 22αα=11分 cos(π23α+)＝ππcos cos sin sin 2323αα-＝12-＝ …………………14分2.解：当100≤<x 时，xx y 3780)155(2055102150=-⨯+⨯+=当2010≤<x 时，xx x y )155()3161(551021502-⨯++⨯+=所以，⎪⎩⎪⎨⎧≤<++≤<=)2010(1892700)100(3780x x xx x y（1） 当]10,0(∈x 时，在10=x 时，)(378103780min s y ==当]20,10(∈x 时，318018270092181892700+=⋅⨯+≥++=xx x x y )(4.329s ≈ 当且仅当xx 27009=，即：)/(3.17s m x ≈时取等号。
高中数学常考中档题
第二部分 常考中档知识点（少失误，多拿分）向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
0向量0与任一非零向量共线】平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是[]0,π,a b 的夹角记为,a b >。
投影,a b θ<>=，cos b θ叫做b 在a 方向上的投影。
【注意：投影是数量】基本定理12,e e 不共线，存在唯一的实数对(,)λμ，使12a e e λμ=+。
若12,e e为,x y 轴上的单位正交向量，(,)λμ就是向量a 的坐标。
一般表示坐标表示（向量坐标上下文理解）,a b （0b ≠共线⇔存在唯一实数λ，a b λ= 11221(,)(,)x y x y x y λ=⇔0a b a b ⊥⇔=11220x y x y +=a b +的平行四边形法则、三角形法则121(,a b x x y +=++a b b a +=+，()()a b c a b c ++=++与加法运算有同样的坐标表示a b -的三角形法则1(a b x x -=-MN ON OM=-(N M MN x x =-a λ⋅为向量，0λ>与a 方向相同， 0λ<与a 方向相反，a a λλ=(,a x y λλλ=a a )()(λμμλ=，a a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(与数乘运算有同样的坐标表示cos ,a b a b a b =⋅<>12a b x x y =+2a a a=，a b a b ≤⋅22a x y =+2121y x ≤+a b b a =，()a b c a c b c +=+，()()()a b a b a b λλλ==。
与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。
1．在△ABC 中，若对任意k ∈R ，有|BA －k BC |≥|AC |，则△ABC 一定是( )A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定2．已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0=-⋅-c b c a ，的最大值为（ ）A 、1B 、2C 、2D 、223．已知如图，ABC ∆的外接圆的圆心为O ,2,3,AB AC BC ===, 则AO BC ⋅等于（ ）A ．32B ．52C ．2D ．3B4.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.5．在空间四边形ABCD 中，2,3,1, 4.AB BC CD DA ====则AC BD •=_________ 6.如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，该矩形所在的平面内一点P 满足||1CP =， 记123,,,I AB AP I AC AP I AD AP =⋅=⋅=⋅则（ ） A.存在点P ，使得I 1=I 2 B.存在点P ，使得I 1=I 3C.对任意的点P ，有I 1>I 2D.对任意的点P ，有I 1>I 37.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A.2- B.32-C. 43- D.1- 8．已知单位向量,,,a b c x ，且0a b c ++=，记y x a x b x c =-+-+-，则y 的最大值为 ． 9．已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．二、不等式不等式的性质（1）a b b c a c >>⇒>，；两个实数的顺序关系：0a b a b >⇔-> 0a b a b =⇔-= 0a b a b <⇔-<（2）00a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒<，；，； （3）a b a c b c >⇒+>+；（4）a b c da cb d >>⇒+>+，；11a b a b>⇔<的充要条件是0ab >。
2013—2014学年高三数学(苏教版)考前小练习：中档题训练
高三数学中档题训练一1．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线， 则“α⊥β”是“m ⊥β” 的 ___ ____ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式 f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ______ ．3．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ______ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ________ ．5．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 _______ ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A ． （1）求角A 的值；（2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．7．某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．高三中档题训练二1. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m =．2. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB BC ==，则棱锥O ABCD -的体积为 ．3. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．4. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲 线C 离心率的取值范围是 ．5. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +u u u r u u u r u u r g = ．6.已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=． （1）求证：tan()6tan αββ+=； （2）若tan 3tan αβ=，求α的值．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围；。
高三数学中档题+详细答案(全)精选
高三数学中档题+详细答案(全) 班级 姓名1.如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．（1）求证：//1C B 平面BD A 1；（2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（3）在1CC 上是否存在一点E ，使得∠1BA E =45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面1A BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．2. 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ．（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最大值和最小值; （Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF BFλ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.3． 已知定义在R 上的奇函数()3224f x ax bx cx d =-++ （a b c d R ∈、、、），当1x = 时，()f x 取极小值.23-（1）求a b c d 、、、的值；（2）当[,]11x ∈-时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论.（3）求证:对]2,2[,21-∈∀x x ,都有34)()(21≤-x f x f4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知对*∈∀N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--.⑴ 求证：数列｛n a ｝是等差数列；⑵ 若正整数n , m , k 成等差数列，比较k n S S +与mS 2的大小，并说明理由！高三数学中档题训练27班级 姓名1. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为的圆C 经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程；（2）若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足4PF =，求点P 的坐标.18. 某厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进先进设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，哪种方案较为合算？请说明理由′3.设二次函数2()f x ax bx c=++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M、m，集合{}|()A x f x x==.（1）若{1,2}A=，且(0)2f=，求M和m的值；（2）若{2}A=，且1a≥，记()g a M m=+，求()g a的最小值.4.设数列{}{},n na b满足1122336,4,3a b a b a b======，若{}1n na a+-是等差数列，{}1n nb b+-是等比数列.（1）分别求出数列{}{},n na b的通项公式；（2）求数列{}n a 中最小项及最小项的值；（3）是否存在*k N ∈，使10,2k k a b ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，若存在，求满足条件的所有k 值；若不存在，请说明理由.高三数学中档题训练28班级 姓名1、已知E F 、分别是正三棱柱111ABC A B C -的侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点,D 是棱BC 的中点. 求证:(1)//EF 平面ABC ;(2)平面AEF ⊥平面1A AD .2．在平面区域2100,260,270x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤内有一个圆,向该区域内随机投点,当点落在圆内的概率最大时的圆记为⊙M ．（1）试求出⊙M 的方程；（2）过点P （0，3）作⊙M 的两条切线，切点分别记为A ，B ；又过P 作⊙N ：x 2+y 2-4x +λy +4=0的两条切线，切点分别记为C ，D ．试确定λ的值，使AB ⊥CD ．3. 已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（1）当a=1时，证明函数()f x 只有一个零点；（2）若函数()f x 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a 的取值范围．4. 已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根()αβ>，()f x '是()f x 的导数．设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='L ，，．（1）求αβ，的值；（2）已知对任意的正整数n 有n a α>，记ln(12)n n n a b n a βα-==-L ，，．求数列{}n b 的前n 项和n S ．高三数学中档题训练29班级 姓名1．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围2、已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 的两个焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，341=PF ，3142=PF ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，求直线l 的方程．3．已知集合是满足下列性质的函数)(x f 的全体：在定义域D 内存在0x ，使得)1(0+x f )1()(0f x f +=成立．（1）函数xx f 1)(=是否属于集合M ？说明理由； （2）若函数b kx x f +=)(属于集合M ，试求实数k 和b 的取值范围；（3）设函数1lg)(2+=x a x f 属于集合M ，求实数a 的取值范围．4．设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞. （1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．高三数学中档题训练30班级 姓名1．若函数)0(cos sin sin )(2>-=a ax ax ax x f 的图象与直线y=m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若点)(),(00x f y y x A =是图象的对称中心，且]2,0[0π∈x ，求点A 的坐标.2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M (1,324), N ( －223,2)两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上是否存在点P(x,y)，使P 到定点A(a,0)（其中0＜a ＜3）的距离的最小值为１？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，请给予证明．3.设A (x 1 , y 1),B(x 2 , y 2)是函数f(x )=21+log 2x x -1图象上任意两点，且OM =21(+),点M 的横坐标为21.⑴求M 点的纵坐标；⑵若S n =)(11∑-=n i n i f =f (1n )+f (2n )+…+f (1n n -),n ∈N *,且n ≥2，求S n ; ⑶已知a n =1231(1)(1)n n S S +⎧⎪⎪⎨⎪++⎪⎩(1)(2)n n =≥n ∈N *,T n 为数列{a n}的前n 项和，若T n <λ(S n+1+1) 对一切n >1且n ∈N *都成立，求λ的取值范围.4.已知函数f(x)= n +lnx 的图像在点P(m,f(m))处的切线方程为y=x ,设()2ln ng x mx xx =--．（1）求证：当()1,0x g x ≥≥恒成立；（2）试讨论关于x 的方程：()322nmx g x x ex txx --=-+ 根的个数．高三数学中档题训练261.证明：（1）连接1AB 与B A 1相交于M ，则M 为B A 1的中点.连结MD ，又D 为AC 的中点，MD C B //1∴，又⊄C B 1平面BD A 1，MD ⊂平面BD A 1//1C B ∴平面BD A 1 . …………………………………………4′（2）B B AB 1=Θ，∴平行四边形11A ABB 为菱形，11AB B A ⊥∴， 又⊥1AC Θ面BD A 1B A AC 11⊥∴，⊥∴B A 1面11C AB …………………………7′ 111C B B A ⊥∴.又在直棱柱111C B A ABC -中，111C B BB ⊥， ⊥∴11C B 平面A ABB 1. ……………………………………9′（3）当点E 为C C 1的中点时，∠1BA E=45°，且平面⊥BD A 1平面BDE .设AB=a ，CE=x，∴111A B AC =，1C E a x =-，∴1A E ==BE ∴在1A BEV 中，由余弦定理得22211112cos 45BE A B A E A B A E =+-⋅⋅︒即222222322a x a x a ax +=++--⋅2a x =-，∴x =12a ，即E 是C C 1的中点. ………………………………………13′D Θ、E 分别为AC 、C C 1的中点，1//AC DE ∴.1AC Θ平面BD A 1，⊥∴DE 平面BD A 1.又⊂DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE . …………………………15′ 2．解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-u u u r u u u u r()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅u u u r u u u u r有最大值1（Ⅱ）设C （0x 0，y ），)1,0(-B ()1F由11CF BFλ=得001x y λ==-，又 220014x y += 所以有2670λλ+-=解得舍去）01(7>=-=λλ．（Ⅲ） 因为|P 1F |＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，∴1PBF ∆的周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8．3．解（1）∵函数()f x 图象关于原点对称，∴对任意实数()()x f x f x -=-有，∴32322424ax bx cx d ax bx cx d ---+=-+--，即220bx d -=恒成立 ∴0,0b d == …………4分∴,3)(',)(23c ax x f cx ax x f +=+=， ∵1x =时，()f x 取极小值23-,∴2303a c a c +=+=-且， 解得1,31-==c a ………8分（2）当[1,1]x ∈-时，图象上不存在这样的两点使结论成立. …………10分假设图象上存在两点),(),,(2211y x B y x A ，使得过此两点处的切线互相垂直，则由,1)('2-=x x f 知两点处的切线斜率分别为,1211-=x k ,1222-=x k 且2212(1)(1)1x x -⋅-=-…………（*） …………13分1x Q 、2[1,1]x ∈-，2222121210,10,(1)(1)0x x x x ∴-≤-≤∴-⋅-≥此与（*）相矛盾，故假设不成立. ………………16分 4（本小题满分18分）⑴证明：∵当m n >时，总有dm n m S S S m n m n )(-+=--∴ 当2≥n 时，dn S S S n n )1(11-+=--即,)1(1d n a a n -+= 2分且1=n 也成立 ………3分∴ 当2≥n 时，dd n a d n a a a n n =----+=--)2()1(111∴数列｛na ｝是等差数列 …………5分⑵解： ∵正整数n , m , k 成等差数列，∴,2m k n =+∴)2)1((22)1(2)1(2111d m m ma d k k ka d n n na S S S m k n -+--++-+=-+))2(2(2)2(2222222k n k n d m k n d +-+=-+=2)(4k n d-=……9分∴ ① 当0>d 时，k n S S +mS 2> ② 当0<d 时，k n S S +mS 2<③ 当0=d 时，k n S S +mS 2= ……10分 高三数学中档题训练271. 解：（1）由已知可设圆心坐标为(),4t t +， …………………………2'∴()2248t t ++=得2t =-，∴圆心坐标为()2,2-， …………………………4'所以圆的方程为()()22228x x ++-= ……………………………6'（2）由题意，椭圆中210a =，即5a =Q 29b =，∴216c =，∴()4,0F …………………………8'设(),P m n ，则()()224016m n -+-=，()()22228m n ++-= ……………………………11'解之得：4050125m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或即()4120,0,55P P ⎛⎫⎪⎝⎭或 …………………………………………14' 2. 解：(1)设引进设备几年后开始盈利，利润为y 万元则y =50n -[12n +n(n -1)2×4]-98=-2n 2+40n -98由y >0可得10n <10 ∵n ∈N *，∴3 ≤n ≤17，即第3年开始盈利 …………………… 5′(2)方案一：年平均盈利y 98=-2n -+40≤40=12n 2当且仅当982n =n 即n =7时取“＝”共盈利12×7+26=110万元 …………………………………………9′ 方案二：盈利总额y =-2n 2+40n -98=-2(n -10)2+102 当n =10时，y max =102共盈利102+8=110万元………………………………………13′方案一与方案二盈利客相同，但方案二时间长，∴方案一合算…………153. (1)由(0)22f c ==可知， ……………………1′ 又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，，故，是方程的两实根1-b 1+2=a ,c 2=a ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩ ……………………………………………3′1,2a b ==-解得 ………………………………………4′ []22()22(1)1,2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即 ………………………5′ max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即 ……………………6′（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2,,4ca ⎧⎪⎧⎪∴⎨⎨⎩⎪=⎪⎩1-b 2+2=b=1-4a a 即c=4a ………………………8′ []2()(14)4,2,2f x ax a x a x ∴=+-+∈-4112,22a a a -==-其对称轴方程为x131,2,222a a ⎡⎫≥-∈⎪⎢⎣⎭又故 ……………………………10′(2)162,M f a ∴=-=- ………………………11′4181,24a a m f a a --⎛⎫==⎪⎝⎭ ………………………12′1()164g a M m a a ∴=+=-…………………………13′[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时， ……15′4.解：（1）21322,1a a a a -=--=-由{}1n n a a +-成等差数列知其公差为1，故()12113n n a a n n +-=-+-⋅=- ……………………3'21322,1,b b b b -=--=-由{}1n n b b +-等比数列知，其公比为12，故11122n n n b b -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭ …………6'11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=()()()12(1)212n n n ---⋅-+⋅+6=232282n n n -+-+=27182n n -+ ………8'11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+＝2121()2112n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭-+6=2+42n- …………………………………………………10'(2)由(1)题知,n a =27182n n -+ ,所以当3n =或4n =时，n a 取最小项，其值为3…12' （3）假设k 存在，使k k a b -=27182n n -+-2-42n -=27142n n -+-42n -10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 则0<27142n n -+-42n-12< 即2527132714n n n n n --+<<-+ …………15' ∵22713714n n n n -+-+与是相邻整数 ∴52nZ -∉，这与52n Z -∈矛盾，所以满足条件的k 不存在 ………………17'高三数学中档题训练282、证明：（1）连结11A B A C和，因为E F 、分别是侧面11AA B B和侧面11AA C C的对角线的交点，所以E F 、分别是11A B A C 和的中点…………………………………………4分所以//EF BC ，且BC 在平面ABC 中，而EF 不在平面ABC 中，故//EF 平面ABC (7)分（2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，∴1BC A A⊥，故由//EF BC 得1EF A A⊥……9分又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，∴BC AD ⊥，故由//EF BC 得EF AD ⊥，……11分 而1A A AD A=I ，1,A A AD ⊂平面1A AD，所以EF ⊥平面1A AD，又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD .……………………………………14分2. （1）设⊙M 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r ＞0)，则点(a ，b )在所给区域的内部．2分于是有,,.r r r ==⎪= ………………………………………………8分（未能去掉绝对值，每个方程给1分）解得 a =3，b =4，r(x -3)2+(y -4)2=5． …………………10分（2）当且仅当PM ⊥PN 时，AB ⊥CD ． ………………………………14分因13PM k =，故λ3232PNk --==-，解得λ=6． …………………………18分当λ=6时，P 点在圆N 外，故λ=6即为所求的满足条件的解．（本验证不写不扣分）3. 解：（1）当a=1时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞，2121()21x x f x x x x --'∴=-+=-令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =．0x >Q ，12x ∴=-舍去．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴函数()f x 在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减∴当x=1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <． ∴函数()f x 只有一个零点．（2）法一：因为22()ln f x x a x ax =-+其定义域为(0,)+∞， 所以222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x -++-+-'=-+==①当a=0时，1()0,()f x f x x '=>∴在区间(0,)+∞上为增函数，不合题意②当a>0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)0(0)ax ax x +->>，即1x a >．此时()f x 的单调递减区间为1(,)a +∞．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．③当a<0时，()0(0)f x x '<>等价于(21)(1)(0)ax ax x +->>，即12x a >-·此时()f x 的单调递减区间为1(,)2a -+∞，11,0.a a ⎧-≤⎪∴⎨⎪<⎩得12a ≤- 综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U法二：22()ln ,(0,)f x x a x ax x =-+∈+∞Q 2221()a x ax f x x -++'∴=由()f x 在区间(1,)+∞上是减函数，可得22210a x ax -++≤在区间(1,)+∞上恒成立．① 当0a =时，10≤不合题意② 当0a ≠时，可得11,4(1)0a f ⎧<⎪⎨⎪≤⎩即210,4210a a a a ⎧><⎪⎨⎪-++≤⎩或10,4112a a a a ⎧><⎪⎪∴⎨⎪≥≤-⎪⎩或或 1(,][1,)2a ∴∈-∞-+∞U4. (1) 由 210x x +-=得x =α∴=β=(2) ()21f x x '=+221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++(221122112n n n n n n n nn n a a a a a a a a βαβα+++++++-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭⎝⎭∴12n nb b += 又111lna b a βα-===- ∴数列{}n b 是一个首项为14ln2+，公比为2的等比数列；∴)()12242112n n n S -==--高三数学中档题训练291．解：（1）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭． 又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤， max min ()3,()2f x f x ==∴．（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．2.（1）14922=+y x …………7分 （2）02598=+-y x …………7分3．（本小题满分16分）解：（1）),0()0,(+∞-∞=Y D ，若M xx f ∈=1)(，则存在非零实数0x ，使得111100+=+x x ，……（2分）即0102=++x x ，……（3分） 因为此方程无实数解，所以函数M xx f ∉=1)(．……（4分） （2）R D =，由M b kx x f ∈+=)(，存在实数0x ，使得 b k b kx b x k +++=++00)1(，……（6分） 解得0=b ，……（7分）所以，实数k 和b 的取得范围是R k ∈，0=b ．……（8分） （3）由题意，0>a ，R D =．由M x ax f ∈+=1lg)(2，存在实数0x ，使得 2lg 1lg 1)1(lg2020ax a x a =+=++，……（10分） 所以，)1(21)1(20220+=++x a x a ， 化简得0222)2(202202=-++-a a x a x a a ，……（12分）当2=a 时，210-=x ，符合题意．……（13分） 当0>a 且2≠a 时，由△0≥得0))(2(84224≥---a a a a a ，化简得0462≤+-a a ，解得]53,2()2,53[+-∈Y a ．……（15分）综上，实数a 的取值范围是]53,53[+-．……（16分）4．解（Ⅰ）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]a f x x x x x x '=-⨯+⨯+2ln 21x ax x =-+，∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞∴22()1x g x x x -'=-=，令()0g x '=，得2x=，列表如下：∴()g x 在x 处取得极小值， 即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+．(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． （Ⅱ）证明由（Ⅰ）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞上是增函数． （Ⅲ）证明由（Ⅱ）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >， 又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>，∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．高三数学中档题训练301．解析：解：（1）)42sin(23212sin 2122cos 1)(π+-=--=ax ax ax x f 3分由于y=m 与)(x f y =的图象相切，则221221-=+=m m 或； 5分（2）因为切点的横坐标依次成公差为2π等差数列，所以42,2=∴=a T π).21,167()21,163(,21),(21640),(164)(44,0)44sin(.21)44sin(22)(000πππππππππππ或点或得由则令A k k Z k k Z k k x Z k k x x x x f ∴==∈≤-≤∈-=∴∈=+=+++-=2．解：（Ⅰ）设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n,＞0且m≠n) ……………2分∵椭圆过M,N 两点，∴m+,1932=n 1229=+n m …………………4分∴m=41,91=n ………………………………………………6分 ∴椭圆方程为 14922=+y x …………………………………………7分（Ⅱ）设存在点P(x,y)满足题设条件，∴|AP|=(x-a)2+y 2,又14922=+y x ,∴y 2=4(1 -92x ),∴|AP|=(x-a)2+ 4(1 -92x )=95(x-59a)2+4-54a 2(|x|≤3)，…………………10分 若时，即350,359≤≤＜a a |AP|的最小值为4-54a 2，依题意，4-54a 2=1 ，∴a=215±⎥⎦⎤ ⎝⎛∉35,0;………………………………………12分 若,359〉a 即335＜a＜时，当x=3时,|AP|2的最小值为（3-a ）2,（3-a ）2=1,∴a=2,此时点P 的坐标是（3，0） .…………………………………………15分 故当a=2时，存在这样的点P 满足条件，P 点的坐标是（3，0）.…………16分3.解:(1) ∵x 1+x 2=1,∴y M =2)()(21x f x f +=21log 1log 1222112x xx x -+-+=21； 4分(2) ∵对任意x ∈(0,1)都有f(x)+f(1-x)=1∴f(i n )+f(1-i n )=1,即f(i n )+f(n in -)=1而S n =)(11∑-=n i n i f =f （1n )+f(2n )+…+f(1n n -),又S n =)(11∑-=n i n i f =f(1n n -)+f(2n n -)+…+f(1n )两式相加得2S n =n-1,∴S n =21-n . 10分(3) n≥2时，a n =)2)(1(4++n n =4(2111+-+n n ),T n =22+n n <λ22+n ,λ>n n 444++,而n n 444++≤4424+⋅n n =21，等号成立当且仅当n=2,∴λ>21. 16分4．（本小题满分16分）（1）由k=11=m 得m=1∴f(m)=1=n+0,n=1 ∴()12ln 2ln n g x mx x x xx x =--=--． ———2′∴()()222221122110x x x g x x x x x --+'=+-==≥，∴()g x 在[)1,+∞是单调增函数，∴()g x ()1112ln10g ≥=--=对于[)1,x ∈+∞恒成立．———6′（2）方程()322nmx g x x ex tx x --=-+，∴322ln 2x x ex tx =-+．∵ 0x >，∴ 方程为22ln 2xx ex tx =-+． 令22ln (),()2xL x H x x ex t x ==-+，21ln ()2xL x x -'=Q ，当()()(0,),0,(0,]x e L x L x e ''∈≥∴时在上为增函数；()()[,),0,[0,)x e L x L x e ''∈+∞≤∴时在上为减函数，当e x =时，max 2()().L x L e e == ———11′ ()()2222H x x ex t x e t e =-+=-+-，∴()x 函数L 、()H x 在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当2222,t e e e e ->>+即t 时，方程无解． ②当2222,t e e e e -==+即t 时，方程有一个根． ③当2222,t e e e e -<<+即t 时，方程有两个根．—16′15、。
高三数学中档题训练
高三数学天天练（20）班级 姓名 日期1、 已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，P F 1⋅P F 2 =4ab ，则双曲线的离心率是 .2、在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是 .3、已知函数1()31f x x a =-+．若对x ∀∈Z 都有()(3)f x f ≥，则实数a 的取值范围是 ．4、已知(0,)2πα∈,(,)2πβπ∈,7cos 29β=-,7sin()9αβ+=. (Ⅰ) 求cos β的值； (Ⅱ) 求sin α的值.5、如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (Ⅰ) 求证：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ) 求证：EF ⊥平面PDC .6、已知等差数列{}n a 满足：158,0a a ==。
数列{}n b 的前n 项和为1*12()2n n S n N -=-∈ （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2n a n c =，试问：是否存在正整数n ，使不等式1n n n n b c b c +>+成立？若存在，求 出相应n 的值；若不存在，请说明理由。
7、如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的长轴AB 长为4，离心率e =O 为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足， 延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．1、[7,16) 3、(]1013， 4、解：（Ⅰ）因为(,)2πβπ∈,cos 0β<…………………………2分又27cos 22cos 19ββ=-=-,所以1cos 3β=-……………6分（Ⅱ）根据（Ⅰ），得sin β== 8分而3(,)22ππαβ+∈,且7sin()9αβ+=,所以42cos()αβ+==分故sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+………………………12分=711()(93933⨯---⨯=…………………………………… 5、证明：（Ⅰ）连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA且P A ⊂平面P A D ，E F ⊄平面P A D ，∴E F ∥平面P A D（Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA又，所以△PAD 是等腰直角三角形，且2APD π∠=，即PA ⊥PD而C D ∩P D =D ，∴ P A ⊥平面P D C ，又E F ∥P A ，所以E F ⊥平面P D C6、解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由5114a a d =+，得12d =-，得210n a n =-+．…2分由数列{}n b 的前n 和为()1122n n S n N -*=-∈可知，当1n =时，1112b S ==， 当2n ≥时，212n n n n b S S --=-=， 22n n b -=当1n =时，得112b =， 故数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+,{}n b 的通项公式为22n n b -=．………………………6分（2）假设存在正整数n 使不等式1n n n n b c b c +>+成立，即要满足(1)(1)0n n c b -->, 由1025224na n n n c --===，22n nb -=，所以数列{}n c 单调减，数列{}n b 单调增，…………………………8分①当正整数1,2n =时，2210n --≤，所以1n n n n b c b c +>+不成立；……………10分 ②当正整数34n =,时，10,10n n c b ->->，所以1n n n n b c b c +>+成立；………………12分 ③当正整数5n ≥时，10,10n n c b ->-≤， 所以1n n n n b c b c +>+不成立. 综上所述，存在正整数34n =,时，使不等式1n n n n b c b c +>+成立.………………14分7、解：（1）由题设可得24,c a a ==，解得2,a c ==，所以 1b =所以 椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）设()00,P x y ，则220014x y +=． 因为 HP PQ =，所以 ()00,2Q x y ．所以2OQ =．所以 Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上． （3）设()00,P x y ()02x ≠±，则()00,2Q x y ，且220014x y +=． 又()2,0A -，所以 直线AQ 的方程为()00222y y x x =++．令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．又()2,0B ，N 为MB 的中点，所以 0042,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭．所以 ()00,2OQ x y = ，000022,2x y NQ x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ．所以 ()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=．所以 OQ NQ ⊥．所以 直线QN 与圆O 相切．。
高中数学 数列中档题复习(学生版)
数列一、考点分析：本章的知识结构图：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.复习建议:在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用；4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；6．掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8．掌握一些数列求和的方法(1)分组求和(2)裂项相消(3)错位相减（4）倒序相加（5）公式法。
9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．一、 等差与等比数列的概念和性质1. 已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足：.22,1175243=+=⋅a a a a （1）求通项n a ；（2）若数列}{n b 是等差数列，且cn S b nn +=，求非零常数c ； 解：（1）34-=n a n（2）n n n n S n -=-+=222)341(， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===2102c b a 21-=c 2.设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且数列{a n +1－a n }（n ∈N *）是等差数列，数列{b n －2}(n ∈N *)是等比数列. （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）是否存在k ∈N *，使a k －b k ∈（0，21）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由. 解：（1）927212+-=n n a n ，3)21(2-+=n n b（2）不存在3. （2008年海南宁夏卷）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。
甘肃省武威市铁路中学2014届高三数学(理)专题训练：中档大题保分练(四)Word版含答案
(推荐时间：50分钟)1． 已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3 上单调递减；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足sin B ＋sin C sin A ＝4ω3－cos B －cos C cos A. (1)证明：b ＋c ＝2a ；(2)若b ＝c ，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2OB ＝2，求四边形OACB 面积的最大值．(1)证明 由题意知：2πω＝4π3，解得：ω＝32， ∵sin B ＋sin C sin A ＝2－cos B －cos C cos A， ∴sin B cos A ＋sin C cos A＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A＝2sin A ，∴sin(A ＋B )＋sin(A ＋C )＝2sin A ，∴sin C ＋sin B ＝2sin A ⇒b ＋c ＝2a .(2)解 因为b ＋c ＝2a ，b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形，S OACB ＝S △OAB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin θ＋34AB 2 ＝sin θ＋34(OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos θ) ＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋534， ∵θ∈(0，π)，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3， 当且仅当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时取最大值， S OACB 的最大值为2＋534. 2． 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.(1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率；(2)记张师傅此行程所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列和均值．解 (1)如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟． 所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－134＝6581. (2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X ，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13， P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k ，k ＝0,1,2,3,4.依题意，Y ＝15＋X ，则Y 的分布列为 Y 的均值E (Y )＝E (X ＋15)＝E (X )＋15＝4×13＋15＝493.3． 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面P AC 的位置关系，并说 明理由；(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF ；(3)当BE 为何值时，P A 与平面PDE 所成角的大小为45°. (1)解 当点E 为BC 的中点时，EF 与平面P AC 平行．∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点，∴EF ∥PC .又∵EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC .(2)证明 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D (3，0,0)． 设BE ＝x ，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0， 所以PE ⊥AF .(3)解 设平面PDE 的法向量为m ＝(p ，q,1)．由(2)知PD →＝(3，0，－1)，PE →＝(x,1，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·PD →＝0，m ·PE →＝0，得m ＝⎝⎛⎭⎫13，1－x 3，1. 而AP →＝(0,0,1)，依题意P A 与平面PDE 所成角为45°，所以sin 45°＝22＝|m ·AP →||m ||AP →|， 即113＋⎝⎛⎭⎫1－x 32＋1＝22， 得BE ＝x ＝3－2或BE ＝x ＝3＋2>3(舍去)． 故BE ＝3－2时，P A 与平面PDE 所成角为45°.4． 设f (x )＝x 3，等差数列{a n }中a 3＝7，a 1＋a 2＋a 3＝12，记S n ＝f (3a n ＋1)，令b n ＝a n S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n . (1)求{a n }的通项公式和S n ；(2)求证：T n <13； (3)是否存在正整数m ，n ，且1<m <n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．(1)解 设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝a 1＋2d ＝7，a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝12， 解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝3n －2.又因为f (x )＝x 3，所以S n ＝f (3a n ＋1)＝a n ＋1＝3n ＋1.(2)证明 因为b n ＝a n S n ＝(3n －2)(3n ＋1)， 所以1b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝⎛⎭⎫13n －2－13n ＋1， 所以T n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n ＋1<13. (3)解 由(2)知T n ＝n 3n ＋1， 所以T 1＝14，T m ＝m 3m ＋1，T n ＝n 3n ＋1，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 3m ＋12＝14·n 3n ＋1，即6m ＋1m 2＝3n ＋4n . 当m ＝2时，134＝3n ＋4n，n ＝16，符合题意； 当m ＝3时，199＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝4时，2516＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝5时，3125＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ＝6时，3736＝3n ＋4n，n 无正整数解； 当m ≥7时，m 2－6m －1＝(m －3)2－10>0， 则6m ＋1m 2<1，而3n ＋4n ＝3＋4n>3， 所以，此时不存在正整数m ，n ，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．综上，存在正整数m ＝2，n ＝16，且1<m <n ， 使得T 1，T m ，T n 成等比数列．。
浙江省宁波市九校(余姚中学2024学年高三数学试题学生分层训练题
浙江省宁波市九校（余姚中学2024学年高三数学试题学生分层训练题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{y |y 21x =-}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ） A ．[0，12） B ．（﹣∞，0）∪[12，+∞） C ．（0，12） D ．（﹣∞，0]∪[12，+∞） 2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．843．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( ) A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-5．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．16．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3πD ．2π 7．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ．D ． 8．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E -BCD 的体积有最大值和最小值；（2）存在某个位置，使得AE BD ⊥；（3）设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠；（4）AE 的中点M 与AB 的中点N 连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ） A ．18- B ．63-C ．18 D ．6310．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则AB =( ) A ．{}32x x -<<B ．{}22x x -<<C ．{}62x x -<<D ．{}12x x -<<11．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立12．过点6(26)2P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A ．23-B ．23+C ．23+或23-D ．23-或31-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学中档题1,4
高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。
2015届高三理科数学二轮复习中档题压轴题训练10份
高考中档题训练(一)1.(2014嘉兴二模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且=.(1)若C=π,求角B的大小;(2)若b=2,≤C<,求△ABC面积的最小值.解:(1)由正弦定理,得==,则sin B=sin 2C=sin π=.故B=(B=舍去).(2)由(1)中sin B=sin 2C,可得B=2C或B+2C=π.又B=2C时,≤C<,B≥π,即B+C≥π,不符合题意.所以B+2C=π,π-A-C+2C=π,即A=C.设△ABC的边AC上的高为h,则S△ABC=hb=tan C≥,即当C=时,S△ABC的最小值是.2.(2014浙江省“六市六校”联考)已知等差数列{an}的公差不为零,其前n项和为Sn ,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{}的前n项和为Tn ,求证:≤Tn<.解:(1)设等差数列公差为d(d≠0), 由题知即解得a1=6,d=4或a1=14,d=0(舍去),所以数列的通项公式为an=4n+2.(2)由(1)得Sn=2n2+4n,则==(-),则Tn=(1-+-+-+…+-+-)=(1+--)=-(+),由(+)>0可知-(+)<,即Tn<,由Tn+1-Tn=(-)>0可知{Tn}是递增数列,则Tn≥T1=,可证得:≤Tn<.3.(2014浙江建人高复模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD ∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)若二面角M BQ C为30°,设=t,试确定t的值.(1)证明:法一∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD.∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.法二∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°.∵ PA=PD,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.∵ AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1);Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0). 设M(x,y,z),则=(x,y,z-),=(-1-x,-y,-z),∵=t,∴∴在平面MBQ中,=(0,,0),=(-,,),∴平面MBQ的一个法向量为m=(,0,t).∵二面角M BQ C为30°,∴cos 30°===,∴t=3.高考中档题训练(二)1.(2014嘉兴一模)设数列{an }的前n项和为Sn,4Sn=+2an-3,且a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,当n≥11时,an>0.(1)求证:当n≥11时,{an}成等差数列;(2)求{an }的前n项和Sn.(1)证明:由4Sn =+2an-3,4Sn+1=+2an+1-3,得4an+1=-+2an+1-2an,(an+1+an)(an+1-an-2)=0,当n≥11时,an >0,所以an+1-an=2,所以当n≥11时,{an}成等差数列.(2)解:由4a1=+2a1-3,得a1=3或a1=-1,又a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,所以an+1+an=0(n≤10),q=-1,而a11>0,所以a1>0,从而a1=3.当1≤n≤10时,Sn==[1-(-1)n],当n≥11时,a11,a12,…,an成等差数列首项a11=3,公差d=2,于是Sn =S10+a11+…+an==n2-18n+80.所以Sn=2.(2013高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cosC=.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=³+³=.由正弦定理=,得AB=²sin C=³=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2³130t³(100+50t)³=200(37t2-70t+50).由于0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=²sin A=³=500(m).乙从B出发时,甲已走了50³(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[,](单位:m/min)范围内.3.(2013高考北京卷)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC;(2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D,使得AD ⊥A 1B.并求的值.(1)证明:因为AA 1C 1C 为正方形, 所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC, 所以AA 1⊥平面ABC.(2)解:由(1)知AA 1⊥AC, AA 1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4, 所以AB ⊥AC.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz, 则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4). 设平面A 1BC 1的法向量为n=(x,y,z), 则即令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B 1BC 1的一个法向量为m=(3,4,0). 所以cos<n,m>==.由题知二面角A 1BC 1B 1为锐角, 所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为. (3)证明:设D(x 1,y 1,z 1)是线段BC 1上一点, 且=λ.所以(x 1,y 1-3,z 1)=λ(4,-3,4).解得x1=4λ,y1=3-3λ,z1=4λ.所以=(4λ,3-3λ,4λ). 由²=0,得9-25λ=0, 解得λ=.因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,=λ=.高考中档题训练(三) 1.已知函数f(x)=4cos xsin(x+)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值. 解:(1)∵f(x)=4cos xsin(x+)-1=4cos x(sin x+cos x)-1=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤.∴当2x+=时,即x=时,f(x)取得最大值2,当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.2.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m,则y=45x+180(x-2)+180²2a=225x+360a-360.由已知xa=360,得a=,∴y=225x+-360(x>0).(2)∵x>0,∴225x+≥2=10800.∴y=225x+-360≥10440.当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小.最小总费用是10440元.3.(2014温州期末)如图,四边形ABCD为矩形,∠AEB=,BC⊥平面ABE,BF⊥CE,垂足为F.(1)求证:BF⊥平面AEC;(2)已知AB=2BC=2BE=2,在线段DE上是否存在一点 P,使二面角P AC E为直二面角,如果存在,请确定P点的位置,如果不存在,请说明理由.解:以A为原点,AB为y轴,AD为z轴,建立直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,1),E(,,0),F(,,),(1)∵=(,-,),=(0,2,1),=(,,0),∴²=0,²=0,所以BF⊥平面AEC.(2)设=t(0≤t≤1),∴=+t=(0,0,1)+t(,,-1)=(t,t,1-t),设平面APC的法向量为n=(x,y,z),∵=(0,2,1),∴令y=1,则z=-2,x=,而平面AEC的一个法向量是=(,-,),∴²--1=0,解得t=,所以存在点P,且DP=DE.高考中档题训练(四)1.(2014温州一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+bcos A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,b=1,求△ABC的面积.解:(1)由asin B+bcos A=0得sin Asin B+sin Bcos A=0,tan A=-1,A=.(2)由=得=,sin B=,B=,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=³+³=,S △ABC =absin C=³³1³=.2.(2013江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a 1,1=1,a 2,3=6,a 3,2=8.a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 … a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 … a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 … a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4 … … … … … … (1)求数列{a n,2}的通项公式; (2)设b n =+(-1)n a 1,n (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a 2,3=qa 1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6, a 3,2=q 2a 1,2=q 2(1+d)⇒q 2(1+d)=8,解得d=1,q=2,所以a 1,2=2,a n,2=2³2n-1=2n . (2)由(1)得a 1,n =n,所以b n =+(-1)n n,S n =(+++…+)+[-1+2-3+…+(-1)n n],记T n =+++…+,则T n =+++…+,两式相减得,T=+++…+-n=1-,=2-,所以Tn=+2-,所以n为偶数时,Sn=-+2-.n为奇数时,Sn3.(2013高考广东卷)如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=.(1)证明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′CD B的平面角的余弦值.解:(1)由题意,易得OC=3,AC=3,AD=2.连接OD,OE.在△OCD中,由余弦定理可得OD==.由翻折不变性可知A′D=2,所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE,又OD∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)法一(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H,连接A′H,如图.因为A′O⊥平面BCDE,所以A′H⊥CD,所以∠A′HO为二面角A′CD B的平面角.结合OC=3,∠BCD=45°,得OH=,从而A′H==.所以cos∠A′HO==,所以二面角A′CD B的平面角的余弦值为.法二(向量法)以O点为原点,建立空间直角坐标系O xyz,如图所示,则A′(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以=(0,3,),=(-1,2,).设n=(x,y,z)为平面A′CD的一个法向量,则即解得令x=1,得n=(1,-1,),即n=(1,-1,)为平面A′CD的一个法向量.由(1)知=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos<n,>===,即二面角A′CD B的平面角的余弦值为.高考中档题训练(五)1.(2014嘉兴一模)已知函数f(x)=2sin(x+)cos x.(1)若x∈[0,],求f(x)的取值范围;(2)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)=,b=2,c=3,求cos (A-B)的值.解:(1)f(x)=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+,∵x∈[0,],∴2x+∈[,],-≤sin(2x+)≤1.∴f(x)∈[0,1+].(2)由f(A)=sin(2A+)+=,得sin(2A+)=0,又A为锐角,所以A=,又b=2,c=3,所以a2=4+9-2³2³3³cos =7,a=.由=,得sin B=,又b<a,从而B<A,cos B=.所以,cos (A-B)=cos Acos B+sin Asin B=³+³=.2.如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|³S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y 最少.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=①当0<c≤时,y是关于v的减函数,=20-.故当v=10时,ymin②当<c≤5时,在(0,c]上,y是关于v的减函数,在(c,10]上,y是关于v的增函数.=.故当v=c时,ymin3.(2014杭州外国语学校)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形,AE>1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC, BD=CD,且BD⊥CD.(1)若AE=2,求证:AC∥平面BDE;(2)若二面角A DE B为60°,求AE的长.(1)证明:分别取BC,BA,BE的中点M,F,P,连接DM,MF,FP,DP,则MF∥AC,FP∥AE,且FP=AE=1,因为BD=CD,BD⊥CD,BC=2,M为BC的中点,所以DM⊥BC,DM=1.又因为平面BCD⊥平面ABC,所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC,所以DM∥AE,所以DM∥FP,且DM=FP,因此四边形DMFP为平行四边形,所以MF∥DP,所以AC∥DP.又AC⊄平面BDE,DP⊂平面BDE,所以AC∥平面BDE.(2)解:法一取BC中点M,过M作MN⊥ED,交ED的延长线于N,连接BN,AM,DM,因为BC⊥AM,BC⊥DM,所以BC⊥平面DMAE,因为ED⊂平面DMAE,所以BC⊥ED.所以ED⊥平面BMN,又BN⊂平面BMN,所以ED⊥BN.所以∠MNB为二面角A ED B的平面角,即∠MNB=60°,在Rt△BMN中,BM=1,则MN=,BN=.在Rt△MND中,DN=.设AE=h+1,则DE=,所以NE=+,又BE=,在Rt△BNE 中,BE2=BN2+NE2,即(h+1)2+22=()2+(+)2,解得h=,所以AE=+1.法二由(1)知DM⊥平面ABC,AM⊥MB,建立如图所示的空间直角坐标系M xyz.设AE=h,则M(0,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),A(0,,0),E(0,,h), =(-1,0,1),=(-1,,h),设平面BDE的法向量n1=(x,y,z),则所以令x=1,所以n1=(1,,1).又平面ADE的法向量n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>===. 解得h=+1, 即AE=+1.高考压轴题训练(一)1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1)用d 表示a 1,a 2,并写出a n+1与a n 的关系式;(2)若公司希望经过m(m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).解:(1)由题意得a 1=2000(1+50%)-d=3000-d, a 2=a 1(1+50%)-d=a 1-d=4500-d.a n+1=a n (1+50%)-d=a n -d.(2)由(1)得a n =a n-1-d=(a n-2-d)-d=()2a n-2-d-d=…=()n-1a 1-d[1++()2+…+()n-2].整理得a n =()n-1(3000-d)-2d[()n-1-1]=()n-1(3000-3d)+2d. 由题意,知a m =4000, 即()m-1(3000-3d)+2d=4000,解得d==.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.2.(2014宁波二模)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为,其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3.两条直线l1,l2交于点F,其斜率k1,k2满足k1k2=-.设l1交椭圆Γ于A、C两点,l交椭圆Γ于B、D两点.2(1)求椭圆Γ的方程;的函数表达式,并求四边形ABCD的面积S的最(2)写出线段AC的长|AC|关于k1大值.解:(1)设右焦点F(c,0)(其中c=),依题意=,a+c=3,所以a=2,c=1.所以b==,故椭圆Γ的方程是+=1.(2)由(1)知,F(1,0).将通过焦点F的直线方程y=k(x-1)代入椭圆Γ的方程+=1,可得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0,其判别式Δ=(8k2)2-16(k2-3)(3+4k2)=144(k2+1).特别地,对于直线l1,若设A(x1,y1),C(x2,y2),则|AC|==|x1-x2|=² ,k 1∈R且k1≠0.又设B(x3,y3),D(x4,y4),由于B、D位于直线l1的异侧,所以k1(x3-1)-y3与k1(x4-1)-y4异号.因此B、D到直线l1的距离之和d=+===²|x3-x4|=².综合可得,四边形ABCD的面积S=|AC|²d=.因为k1k2=-,所以t=+≥2|k1k2|=,于是S=f(t) ==6=6当t∈[,+∞)时,f(t)单调递减,所以当t=,即或时,四边形ABCD的面积取得最大值.高考压轴题训练(二)1.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.解:(1)因为f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即a<0.由a2≥1知a≤-1,因此,a的取值范围为(-∞,-1].(2)记f(x)的最小值为g(a),则有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|=错误！未找到引用源。
2014年高考数学有答案高三数学中档题2
高三数学中档题21．有3张奖券，其中2张可中奖，现有3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是2．若函数a x x x f +-=3)(3有3个不同 的零点，则实数a 的取值范围是 ，3．已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4(),1()4(,2)(x x f x x f x ，那么)5(f = ；4．如图所示的算法流程图中第3个输出的数 是 ；5．若a,b ≤恒成立，则m 的最小值是 ．6．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足 0)()()(<c f b f a f ，若实数d 是方程0)(=x f的一个解，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >中，有可能成立的个数为7．已知椭圆C 以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆C 以抛物线216x y =的焦点为焦点,以双曲线221169y x -=的焦点为顶点,则椭圆C 的标准方程为8．若直线022=+-by ax ),(R b a ∈始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ab 的最大值是9．函数)13(log )(222++-=a ax x x f 的定义域为A ，值域为B ； （1）若1∈A ，求a 的范围；（2）若B=R ，求a 的范围；D 1C 1A CBA10．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、A 1C 的中点。
（1）证明：E F ∥平面AA 1D 1D ；（2）当A 1A=AD 时，证明：E F ⊥平面A 1CD 。
11．如图所示，一条直角走廊宽为2米。
现有一转动灵活的 平板车，其平板面为矩形ABEF ，它的宽为1米。
直线EF 分别交直线AC 、BC 于M 、N ，过墙角D 作DP ⊥AC 于P ， DQ ⊥BC 于Q ；⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠θ=CAB ，试求平板 面的长l (用θ表示)；⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多 少米?AB中档题2答案1．32，2、（-2，2），3、8，4、2，5，6、3，7、2，8、0； 9、（1）a >2或a <1；（2）52≥a 或52-≤a11、（1）DM=θsin 2，DN=θcos 2，MF=θcot ，EN=θtan ，l =EF=DM+DN -MF -EN=θsin 2+θcos 2-θcot -θtan =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+ （20πθ≤≤）（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角θ（20πθ≤≤），平板车的长度不能超过l ，即平板车的长度min l <；记,cos sin t =+θθ 21≤≤t ，有θθcos sin =212-t ，l =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+=1242--t t =)(t f ，此后研究函数)(t f 的最小值，方法很多；如换元（记m t =-24，则42+=m t ）或直接求导，以确定函数)(t f 在]2,1[上的单调性；当2=t 时l 取得最小值224-。