第三讲-刚体转动汇编
刚体定点转动知识点总结
刚体定点转动知识点总结一、刚体定点转动的基本概念1. 刚体的定义刚体是指物体的每一点在运动中的位置都相对于其他点保持不变的物体。
即刚体在运动中不会发生形变，它的形状和大小保持不变。
2. 定点转动的定义定点转动是指刚体绕着固定的轴线或固定的点进行旋转运动的情况。
在定点转动中，刚体的每一点都绕着同一个轴线或固定点进行圆周运动。
3. 转动的描述在描述刚体定点转动时，我们通常使用角度来描述刚体的旋转情况。
角度是用来表示两条射线之间夹角大小的物理量，它可以用弧度或角度来表示，其中弧度是圆周的一个长度单位，而角度是圆周的1/360。
二、刚体定点转动的基本原理1. 牛顿定律牛顿定律是刚体定点转动的基本原理之一。
在刚体绕固定点进行旋转运动时，牛顿第一定律描述了刚体的转动惯量，即刚体在旋转运动时会保持直线运动状态，除非受到外力的作用。
2. 角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体定点转动的另一个基本原理。
它描述了在刚体围绕固定轴旋转时，刚体的角动量在没有外力作用的情况下会保持不变。
三、刚体定点转动的基本特点1. 轴线转动和定点转动刚体定点转动包括轴线转动和定点转动两种情况。
轴线转动是指刚体在绕着固定轴线进行旋转运动，而定点转动是指刚体在绕着固定点进行旋转运动。
这两种转动情况在物理上有着不同的特点和规律。
2. 角速度和角加速度在刚体定点转动中，角速度和角加速度是描述刚体旋转情况的重要物理量。
角速度表示刚体绕着轴线或固定点旋转的快慢，而角加速度表示刚体旋转速度的变化率。
3. 转动惯量转动惯量是刚体定点转动中一个重要的物理量，它描述了刚体围绕固定轴线或固定点进行旋转运动时所具有的惯性。
转动惯量的大小和刚体的形状、质量分布等因素有关，它是刚体定点转动的重要参数之一。
四、刚体定点转动的相关定律和公式1. 角速度公式在刚体定点转动中，角速度与线速度之间存在着一定的关系。
当刚体绕固定轴线旋转时，它的线速度v和角速度ω之间存在着以下关系：v = rω其中，v表示刚体上某一点的线速度，r表示该点到轴线的距离，ω表示角速度。
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
第三章刚体定点转动
第三章刚体定点转动§3.1定点转动运动学一、什么是定点转动？刚体转动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，这种运动叫刚体的定点转动。
由于做定点转动时刚体上有一点固定不动，一般以定点为基点。
陀螺、回转罗盘（用于航空和航海方面）等，都是刚体绕定点转动的实例。
它们都只有一点不动。
如图3.1.1所示的常平架中的圆盘可绕对称轴z O ′转动，对称轴固结在内悬架上，内悬架可绕固结于外悬架的图3.1.1此，ON 轴转动而外悬架又可绕固定轴Oz 转动，此三轴的交点O 则是始终不动的，所以这种运动和定轴转动的情形不同。
二、定点转动和定轴转动的联系与区别1．联系：定点转动可以看成绕瞬时轴的定轴转动。
把某一瞬时角速度ω的取向，亦即在该瞬时的转动轴叫转动瞬轴。
跟转动瞬心相仿，转动瞬轴在空间和刚体内各描绘一个定点在O 的锥面，前者叫空间极面，后者则叫本体极面。
刚体绕固定点的转动，也可看作时本体极面在空间极面上作无滑动的滚动，如图3.1.2所示。
2．区别：（1）关于转轴：定点转动的轴恒通过一定点，但其在空间的取向随着时间的改变而改变，定轴转动的转轴在空间的取向不变。
（2）关于角速度：定点转动矢量的量值和方向都是时间的函数。
而定轴转动的角速度方向恒沿着固定的转动轴，量值可以是时间的函数。
ω三、定点转动时刚体上任一点的速度r dt r d v v vv ×==ωυ （3.1.1）P图3.1.3如图3.1.3所示,刚体上任一点P 的运动可以看成是绕瞬时轴的转动,所以其速度在圆周的切线方向,大小为R ωυ=.四、定点转动时刚体上任一点的加速度由加速度的定义知r r r dtd r r dt d r dt d dt d a vv v v v vv v v v v v v v v v v 2)()(ωωωωωωωυωωυ−⋅+×=××+×=×+×==而 R r r v v v v v 22)(ωωωω−=−⋅则R r dtd a v v v v 2ωω−×= (3.1.2)上式中的第一项r dtd vv×ω为转动加速度,第二项R v 2ω−为向轴加速度. 例:半径为a 的碾盘在水平面上做无滑滚动,长为b 的水平轴OA 绕竖直轴OE 以匀角速度1ω转动,如图3.1.4所示.求碾盘最高点P 的速度和加速度.x图3.1.4解: 碾盘绕定点O 运动,取如图所示的直角坐标系,OA=b,AB=OE=a,j a i b r P ˆˆ+−=v 要使碾盘在水平面上做无滑滚动,则瞬时角速度的方向为BO 方向,且iab j j i ˆˆˆˆ1121ωωωωω+=+=v.则 kb j a i b i ab j r P P ˆ2)ˆˆ()ˆˆ(111ωωωωυ=+−×+=×=vv v . 或用瞬轴法:P 点速度大小:b PD P 12ωωυ=⋅=. 方向:oz 轴方向.加速度: ja b i b r dt d dt d a P P Pˆˆ321221ωωυωωυ−=×+×==v v v v v v§3.2定点转动刚体对定点的动量矩一、刚体的动量矩图3.2.1刚体是一特殊的质点系，刚体作定点转动时对定点O 的动量矩（角动量）等于刚体上的各质点对定点O 的动量矩之和（矢量和）。
高中物理竞赛讲座：第三章刚体的转动1
A
o x dm=dx
d
x
平行轴定理: J O J O md
2
其中: JO:刚体对过质心轴的转动惯量 JO’:刚体对平行于过质心轴的轴的转动惯量 d:两平行轴间的距离
定轴转动中的动能定理
1 2 : A Ek 2 Ek1
1 1 2 2 J 2 J1 2 2
2
1
1
J d
d J d dt
2
1
2
1
J d
2
1
M d
微分形式
dA M d
积分形式 A
2
1 1 2 2 M d J2 J1 2 2
•
1 对M： TR ( MR 2 ) 2
对m : mg T ma
a m
运动学关系： a R
81.7(rad / s 2 )
T 9.15( N )
mg
1 2 2 解2：将M,m视为整体 J MR mR 2 M mg R
M J
§3-3 刚体转动中的功能关系
o
x x dm=dx
解: dJ0= x2dm = x2dx
1 J O dJ0 x dx x 3 1 l 3 1 ml 2 l / 2 3 12 l / 2 12
l/2 2
l /2
(2).绕过棒端与棒轴的转动惯量 l l 1 x 3 1 3 1 2 2 J A x dx l ml 0 3 3 0 3
物理刚体的转动
例题
均匀圆环 ： m i
JC mi R R
2
2
m
i
C R
J C mR
2
例题
均匀圆盘：
m dm ds 2 R ds 2rdr
2 R 0
面密度rJ 源自 dm r 2 2 rdr R4
2
1 2 mR 2
半径为R质量为M的均匀圆盘联结一长为L质量为m 的均匀直棒，写出刚体对O轴的转动惯量。（O轴垂直 纸面）
J
r
2
dm
转动惯量与下列三个因素有关：
⑴形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。 ⑵总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。 ⑶同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转 动惯量不同。
4、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia 例题:三个质量为m的质点，A、B、C由三个长为L的 轻杆相联结。求该质点系通过A点和O点，且垂直于 三个质点所在平面的转轴的转动惯量。
4、刚体的一般运动
A r 1
A' B r 2
o1
o2
B'
刚体的一般运动可看作 是平动和转动的叠加
5、角速度矢量：
z
, α
v
angular velocity vector
刚体作定轴转动时，各质元 的线速度、角加速度一般是 不同的，但由于各质元的相 对位置保持不变，所以描述 各质元的角量，如角位移、 角速度、角加速度都是一样 的。因此描述刚体的整体运 动时，用角量最为方便
⑶ v R 78.5m s
1
a R an R 2
2 a a2 a n 6.16 m s 1
刚体旋转知识点总结图解
刚体旋转知识点总结图解一、刚体的定义刚体是指形状和大小在一定范围内不改变，结构完整，部分不会随着外力的作用而发生形变的物体。
刚体的旋转是指刚体绕着某个固定轴线旋转的运动。
二、刚体的转动定律1. 刚体的角位移：刚体绕固定轴线旋转时，每个质点的位移方向都与该质点的运动轨迹相切，并且线速度不同，但角速度相同。
2. 刚体的角加速度：刚体绕固定轴线旋转时，各质点的加速度虽然大小不同，但方向都垂直于该质点的运动轨迹，并与其对应的线速度方向一致。
3. 刚体的角动量：刚体绕固定轴线旋转时，当刚体的转动轴不经过质心时，刚体的角动量等于该点相对于质心的角动量之和。
三、刚体的转动定律1. 角动量定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的角动量与外力矩之和等于刚体对旋转轴的角动量的变化率。
2. 动能定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的动能等于刚体的角动量的变化率与角速度的乘积之和。
3. 动量矩定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的角动量改变的原因是外力矩。
如果外力矩为零，则刚体的角动量是守恒的。
四、刚体的转动惯量1. 刚体的转动惯量：刚体绕固定轴线旋转时，刚体对于该轴线的转动惯量等于各质点到该轴线距离的平方与质点质量乘积之和。
2. 转动惯量的计算方法：刚体对于不同轴线的转动惯量计算是以刚体某一坐标轴为基准，按照平行轴定理或垂直轴定理进行转动惯量的计算。
3. 转动惯量的应用：刚体绕固定轴线旋转时，转动惯量的大小决定了刚体旋转的惯性大小。
转动惯量越大，刚体绕轴旋转越困难。
五、刚体的转动动力学1. 合力与合力矩：刚体绕固定轴线旋转时，合力是刚体质心的动力学性质，而合力矩是刚体绕轴线旋转的动力学性质。
2. 麦克尔斯定理：刚体绕固定轴线旋转时，如果刚体受到合力矩的作用，则该合力矩等于刚体在质心处受到的效力矩与刚体到该轴的距离的乘积。
3. 角动量矩定理：刚体绕固定轴线旋转时，角动量矩定理描述了刚体对旋转轴的角动量的变化率等于刚体受到的外力矩。
六、刚体的平衡与稳定1. 刚体的平衡：刚体绕固定轴线旋转时，刚体处于平衡状态可以分为静平衡和动平衡，其中静平衡是指刚体的合外力和合外力矩均为零，而动平衡是指刚体的合外力为零。
3-1 刚体的转动
或者说刚体内任意两点间的
连线总是平行于它们的初始
位置间的连线。
3 – 1 刚体的运动
பைடு நூலகம்
第三章 刚体的定轴转动
刚体在平动时，在任意一段
时间内，刚体中所质点的位
移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加
速度也都是相同的。所以刚
体内任何一个质点的运动，
都可代表整个刚体的运动。
刚体平动
质点运动
3 – 1 刚体的运动
第三章
刚体的定轴转动
刚体的运动 刚体的定轴转动定律 刚体定轴转动的动能定理 角动量守恒定律
§3-1
刚体的运动
3 – 1 刚体的运动
第三章 刚体的定轴转动
1
刚体及刚体的运动
刚体： 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的 物体。（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 刚体的运动形式： (1)平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同，
3 – 1 刚体的运动
第三章 刚体的定轴转动
c 2 t 2 (π 75) rad s 3
1 2 π ct rad s 3t 2 转子的角速度 2 150 d π rad s 3t 2 由角速度的定义 dt 150 t π 3 2 得 0 d 150 rad s 0 t dt π 3 3 有 rad s t 450
第三章 刚体的定轴转动
(3) 刚体的平面运动 刚体上各点的运动都平行于某一固定平面的运动。
3 – 1 刚体的运动
第三章 刚体的定轴转动
(4) 一般运动： 刚体不受任何限制的的任意运动。 刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
3 – 1 刚体的运动 2 角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 θ> 0 r
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
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A）必然不会转动
B）转速必然不变
C）转速必然改变
D）转速可能改变，也可能不变。
7、如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，
有该一物绳体其原上以一角端速连度结此在物距体孔，为另R一的端圆穿周过上桌转面动中，心今的将小绳孔从，小孔
缓慢往下拉，则物体
A）动能不变，动量改变
[E]
B）动量不变，动能改变
F = 98N 的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于
39.2rad/s2，此飞轮的转动惯量为（ 0.5kgm2
）
Fr J J Fr 0.5kgm2
F
15、对下图几种情形，动量、角动量和机械能分别满足：
o
o
o'
v
v
m
动量守恒； 角动量守恒；
机械能不守恒 .
12
动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机动的质点角动量是否一定守恒？
B P2
A P1
m
D
2
1
r1
r2
O 不一定为零；一定守恒；只对圆心角动量守恒。
练习题
3. 若把电子视为经典粒子，电子绕核 作圆周运动时，电子的动量是否守恒？ 对圆心的角动量是否守恒？
动量不守恒；对圆心的角动量守恒。
4. 小球摆动的过程中，小球的
动量、动能、机械能以及对细
转动定律 M r F J
力矩的功 A b M d a
知识点回顾
质点的运动
• 动量
动量定理：F
d(mv )
dt
动量守恒：
mivi C
动能
i
Ek
1 2
mv2
动能定理：
b a F dr Ek
机械能守恒：
Ek Ep const.
刚体的定轴转动
• 角动量
角动量原理：M z
[C ]
9 、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平 地二哑铃．在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、 哑铃与转动平台组成的系统的
A）机械能守恒，角动量守恒． B）机械能守恒，角动量不守恒． C）机械能不守恒，角动量守恒．
D）机械能不守恒，角动量也不守恒．［ C ］
10、均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定 光滑轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒 摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？
D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大．［ D］
12、一半径为R、质量为M的圆盘可绕中心轴旋转。圆盘上距离
转轴为R/2处站有一质量为m的人。设开始时圆盘与人相对于地
面以角速度ω0匀速转动，则此人走道圆盘边缘时，人和圆盘一
起转动的角速度为（
2M m 2M 4m
0）
L0
1 2
MR20
m
R 2
2
0
L 1 MR2 mR2
2
13、一轻绳绕于半径为 r 的飞轮边缘，并以质量为m的物体挂在
绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量
为J，若不计算摩擦，飞轮的角加速度β = (
mgr J mr2
)
Tr J
mg T ma mr
14、一轻绳绕于半径 r = 0.2m 的飞轮边缘，并施以
练习题
1. 一半径为R、质量为m 的匀质圆盘，以角速度ω绕其中心 轴转动，现将它平放在一水平板上，盘与板表面的摩擦因 数为μ. (1) 求圆盘所受的摩擦力矩. (2) 问经多少时间后，圆盘转动才能停止？
分析 圆盘各部分所受的摩擦力的力臂不同，总的摩擦力矩 应是各部分摩擦力矩的积分.
为此，可考虑将圆盘分割成许多同心圆环，圆环的摩擦力矩 dM ＝r ×dFf ，其方向沿转动轴，则圆盘所受的总摩擦力矩 M ＝∫ dM.
v
r
C）相对小孔角动量不变，动量不变
f
D）相对小孔角动量改变，动量改变
E）相对小孔角动量不变，动能、动量都改变
f
8、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关 B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关． C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． D）取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关
d(Jω ) dt
角动量守恒：
J
C
转动动能
Ek
1 2
J 2
动能定理：
b a
M
d
Ek
机械能守恒：
Ek EpC const.
练习题
1、若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩 为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能
三个量中一定守恒的量是 ．
1）不一定 2）动量
2. 作匀速直线运动的质点角动量是否一定为零？一定守恒？
则由角动量定理MΔt ＝Δ(Jω)，可求得圆盘停止前所经历的 时间Δt.
练习题
解： (1) 由分析可知，圆盘上半径为r、宽度为dr 的同心圆 环所受的摩擦力矩为
式中k 为轴向的单位矢量. 圆盘所受的总摩擦力矩大小为
普通物理专题
第三讲：刚体转动
深圳大学 物理科学与技术学院
王斌
知识点回顾
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度
质v点的d运r动
加速度
a
dt
dv
dt
质量m, 力F
刚体的定轴转动
角速度 d
dt
角加速度 d
dt
转动惯量 J r2dm , 力矩M
牛顿定理 F ma
b
力的功 A F dr a
绳悬点的角动量是否守恒？
o
F合外 0
动量不守恒； 动能不守恒；
W外 W内非保 0 机械能守恒；
M外 0
对圆心的角动量不守恒
练习题
5. 下列说法正确的是： [ B]
1. 作用于质点系的外力的矢量和为零，则外力矩之和
也为零。
力偶矩
2. 质点的角动量不为零，作用于该质点上的力一定不
为零。
依赖于原点的选择
3. 质点系的动量为零，则质点系的角动量为零，质点
系的角动量为零，则质点系的动量也为零。
4. 不受外力作用的系统，它的动量和机械能必然同时
守恒。
A) 1正确 B) 都不正确 C) 都正确 D) 2和4正确
×
× × ×
练习题
6、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个
力的矢量和为零，则此刚体 [ D ]
A）角速度从小到大，角加速度从大到小． B）角速度从小到大，角加速度从小到大． C）角速度从大到小，角加速度从大到小．
D）角速度从大到小，角加速度从小到大． [ A ］
M J
M mg l cos
θ
2
mg
11、 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， A）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变． B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小． C）它受热或遇冷时，角速度均变大．