人教版第二十二章 一元二次方程基础知识
【初中数学精品资料】小升初数学总复习资料归纳第二十二章第1节一元二次方程
【典型例题】
例 1. 观察下列各方程： 3 1 1 ①－ x2－2x＝ ；②x2＋ －2＝0；③（x＋1） （2x＋1）＝0；④x＋ x2＋1＝1；⑤x2＋5＝ 2 3 x （x＋1） （x＋4） ；⑥ax2＋bx＝0． 其中是一元二次方程的是__________；不是一元二次方程的是__________． 分析：方程①③的两边都是整式，只含有一个未知数 x，且 x 的最高次数是 2，方程② ④的左边不是整式，⑤是一元一次方程，⑥中 a 的取值不确定． 解：①③；②④⑤⑥ 评析：一元二次方程的判定方法： （1）形如 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式．判断一元 二次方程的关键是二次项的系数 a 不为零．当 a＝0，b≠0 时，方程为一元一次方程； （2） 是否是整式方程； （3）是否含有一个未知数．
年
级
初三 安廷玲本
人教新课标版
内容标题 编稿老师
一元二次方程
【本讲教育信息】
一. 教学内容： 一元二次方程 1. 一元二次方程的概念及一般形式． 2. 进行简单的一元二次方程的试解． 3. 一元二次方程的简单应用． 4. 简单的实际问题中估算方程的解． 二. 知识要点： 1. 一元二次方程 （1）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程． （2）一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋ bx＋c＝0（a≠0） ．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2 是二次项，a 是二次项 系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 2. 能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做 解方程． 3. 一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代入方程，看方程 左右两边的值是否相等． 4. 估算很实用，对于某些比较简单的一元二次方程可以通过估算得到方程的解．但是对 于比较复杂的一元二次方程用估算求解就比较困难了． 三. 重点难点： 本讲重点是对于一元二次方程及其有关概念的认识， 难点是对简单实际问题列方程， 正 确识别一般式中的“项”及“系数” ．
第二十二章一元二次方程
（ 2）
x2 x1 x1 x2
（5）
x2 x1 x1 x2
（6） x1 x 2 2
（3）
1 1 x1 x 2
（4） x1
1 x2
1 x2 x 1
3.已知方程 5 x 2 kx 6 0 的一个根是 2，求它的另一个根 和 k 的值
典型例题 例 3、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边 跟踪训练 ，另三边用木栏围成，木栏长 35m。①鸡 1. 我市某企业为节约用水，自建污水净化站.7 月份净化污 靠墙（墙长 18m） 场的面积能达到 150m2 吗？②鸡场的面积能达到 180m2 水 3000 吨，9 月份增加到 3630 吨，求这两个月净化污水 吗？ 如果能， 请你给出设计方案； 如果不能， 请说明理由。 量的平均每月增长的百分率.
（4） x 2 7 x 2 0
- 10 -
跟踪训练
用配方法解下列方程： （1） x 2 4 x 2 （2） x 2 8 x 1 0
例 3.用配方法解下列方程： （1）2x2－8x+1=0 （2）3x +6x =2
2
（3） 2 x 2 6 x 2 0 （3） x 2 3x 4 （4） x 2 5 x 6 0
2.某钢铁厂今年 1 月份钢产量为 4 万吨，第一季度共生产 钢 13.24 万吨,问 2、3 月份平均每月的增长率是多少?
跟踪训练
要建成一面积为 130 ㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽 16 m ） ，并在与墙平行的一边开一个宽 1 m 的门，现有能 围成 32 m 的木板。求仓库的长与宽各是多少？ 3．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价 格．•某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
第二十二章 一元二次方程知识点复习以及单元测试
第二十二章 一元二次方程及单元测试：1.一元二次方程：定义：等式两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次项都是2的方程。
一般式ax 2+bx+c=0(a ≠0)2.一元二次方程的解法：（降元——二次转化为一次）①直接开平方法 ； ②配方法：把方程整理成（x+a ）2=b （b ≥0）；③公式法：x=(-b ±√b 2-4ac)/2a.（b 2-4ac ≥0）；④因式分解：把方程化成两个一次项的积，右边是0的形式，然后转化为求两个一元二次方程的解。
3.根与系数的关系：已知ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a —，x 1·x 2=ca4.根的判别式与方程根的关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根， ②当△=0时，方程有两个相等的实数根， ③当△＜0时，方程没有实数根。
注意：应用的前提条件是：a ≠0.5.实际问题与一元二次方程：（1）列一元二次方程解应用题的一般步骤：审，设，列，解，验，答。
（2）几种常见类型题：数字问题，几何图形问题，平均增长率（降低率）问题，利润问题。
化归思想：1.解方程：x 3=2x xx —2—22.已知实数a ，b 满足等式111+=a b a b—，求b a 的值。
方程思想：1.春秋旅行社为了吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下的收费标准，如果不超过25人，人均旅游费用为1000元，如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元。
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅游社旅游费用27000元，则该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？中考考点：1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A. x2+1／x2=0B.ax2+bx+c=0C. （x—1）（x+2）=0D.3x2—2xy—5y2=02.若x=2是一元二次方程x2—mx+8=0的一个解，则m的值时（）A. 6B. 5C. 2D. —63.方程（x+1）（x—2）=x+1的解是（）A. 2B. 3C.—1,2D.—1,34.一元二次方程a2—4a—7=0的解是5.关于x的方程x2+2kx+k—1=0,的根的情况描述正确的是（）A.k为任何实数，方程都没有实数根B.k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C.k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k的情况不同，方程根的取值也不同6.如果关于x的方程x2—2x+m=0，（m为常数）有两个相等的实数根，那么m=7.已知一元二次方程y2—3y+1=0，的两个实数根分别为y1，y2，则（y1—1）（y2—1）的值为8.2010年政府共投资2亿人民币建设廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同。
第二十二章二次函数与一元二次方程的关系
第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程【知识点梳理】1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点为(________________)。
2.抛物线与x轴的交点: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0 的_______________________。
3.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点____________；②有一个交点(顶点在轴上)_____________；③没有交点______________。
4.抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为A(x1,0)、B(x2,0)，由于x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，故_____________________,AB=_______________________________________。
A.基础过关1. 抛物线y=x2+x-6的图象与x轴的交点坐标为（）。
A. 1个B. 2个C.3个D.4个2.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的根的情况（）。
A. 有两个正根B. 有两个负根C. 有一正根一负根D.无法确定第2题图第7题图3.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴的交点的判断（）。
A.没有交点B. 只有一个交点，且它们位于y轴右侧C. 有两个交点，且它们位于y轴左侧 D有两个交点，且它们位于y轴右侧4.关于x的一元二次方程x2-x–n=0没有实数根，则抛物线y=x2-x–n的顶点在（）。
A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两根是（）。
A. x1=1,x2=-1 B. x1=1,x2=2 C. x1=1,x2=0 D. x1=1,x2=36. 函数y=mx2+2x+1（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是________________。
人教版九年级上册数学第22章 二次函数 二次函数与一元二次方程之间的关系
22.2二次函数与一元二次方程
第1课时二次函数与一元二 次方程之间的关系
1 课堂讲解 二次函数
一元二次方程 实数根的个数
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程， 认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节 我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识 二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面 的问题．
3 A．x1＜－1＜2＜x2B．－1＜x1＜2＜x2 4 C．－1＜x1＜x2＜2D．x1＜－1＜x2＜2
知2－导
知识点 2 二次函数与其图象与x轴的交点个数之间的关系
二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程x2+x-2=0,x2-6x+9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一 元 二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
由“数” 到“形”
由“形” 到“数”
图象
与x轴交点情况
完成教材中习题
解：无实根
知2－导
二次函数
与x轴交点坐 标
相应方程的根
y=x2+x-2 (-2,0),(3,0)
x1=x2=3
y=x2-x+1 无交点 无实根
归纳
知2－讲
通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知, (1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公 共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时, 函数的值为0,因此x=x0就是方程ax2+bx+ c=0的一个根.
九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结(新版)新人教版
九年级数学上册：第22章 二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2axy =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧，“左同右异”.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121中考回顾1.(2017天津中考)已知抛物线y=x 2-4x+3与x 轴相交于点A ,B (点A 在点B 左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M 平移后的对应点M'落在x 轴上,点B 平移后的对应点B'落在y 轴上,则平移后的抛物线解析式为( A )A.y=x 2+2x+1B.y=x 2+2x-1C.y=x 2-2x+1D.y=x 2-2x-12.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列说法正确的是( B )A. abc<0, b 2-4ac>0B. abc>0, b 2-4ac>0C. abc<0, b 2-4ac<0D. abc>0, b 2-4ac<03.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x 的方程x 2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m 的取值范围是 m<2 .4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点D ,点B 的坐标为(3,0),顶点C 的坐标为(1,4).备用图(1)求二次函数的解析式和直线BD 的解析式;(2)点P 是直线BD 上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点M ,当点P 在第一象限时,求线段PM 长度的最大值;(3)在抛物线上是否存在异于B ,D 的点Q ,使△BDQ 中BD 边上的高为2,若存在求出点Q 的坐标;若不存在请说明理由.解:(1)设二次函数的解析式为y=a (x-1)2+4.∵点B (3,0)在该二次函数的图象上, ∴0=a (3-1)2+4,解得:a=-1.∴二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3.∵点D 在y 轴上,所以可令x=0,解得:y=3. ∴点D 的坐标为(0,3).设直线BD 的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1. ∴直线BD 的解析式为y=-x+3.（2）设点P 的横坐标为m (m>0), 则P (m ,-m+3), M (m ,-m 2+2m+3),PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-, PM最大值为(3)如图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD于点H,则QH=2设Q(x,-x2+2x+3),则G(x,-x+3),QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|.∵△DOB是等腰直角三角形,∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°.∴sin∠1=,∴QG=4.得|-x2+3x|=4,当-x2+3x=4时,Δ=9-16<0,方程无实数根.当-x2+3x=-4时,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).模拟预测1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(D)A.k<3B.k<3,且k≠0C.k≤3D.k≤3,且k≠02.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-x2+2x上,则下列结论正确的是(C)A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2解:x=-2时,y1=-x2+2x=-(-2)2+2×(-2)=-2-4=-6,x=-1时,y2=-x2+2x=-(-1)2+2×(-1)=--2=-2,x=8时,y3=-x2+2x=-82+2×8=-32+16=-16.∵-16<-6<-2,∴y3<y1<y2.故选C.3.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是()解析:∵x1+x2=4,∴-=4.∴二次函数的对称轴为x=-=2.∵x1·x2=3,=3.当a>0时,c>0,∴二次函数图象交于y轴的正半轴.4.小明在用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:x…-2 -1 0 1 2 …y…-6-4 -2-2 -2…根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=-4.5.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为k=0或k=-1.6.抛物线y=-x2+bx+c的图象如图,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的解析式为.解析:由题中图象可知,对称轴x=1, 所以- =1,即b=2.把点(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3.故原图象的解析式为y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4,然后向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x. 答案:y=-x2-2x7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;(3)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.解:(1)∵抛物线L3:y=2x2-8x+4,∴y=2(x-2)2-4.∴顶点为(2,-4),对称轴为x=2,设x=0,则y=4,∴C(0,4).∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),∴L4的解析式为y=-2(x-4)2+4.∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.(3)a1=-a2,理由如下:∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上,∴可以列出两个方程由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,∴a1=-a2.。
2024九年级数学上册“第二十二章 二次函数”必背知识点
2024九年级数学上册“第二十二章二次函数”必背知识点一、二次函数的定义与表达式定义：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y = ax² + bx + c（a, b, c为常数，a ≠ 0）。
这样的函数称为二次函数，其中a决定函数的开口方向，b和a共同决定对称轴的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
三种表达式：1. 一般式：y = ax² + bx + c （a, b, c为常数，a ≠ 0）。
2. 顶点式：y = a(x - h)² + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，仅限于与x轴有交点A(x₁, 0)和B(x₂, 0)的抛物线。
二、二次函数的图像与性质图像：二次函数的图像是一条抛物线。
开口方向与大小：由二次项系数a决定。
当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
对称轴：1. 一般式：对称轴为直线x = -b/2a。
2. 顶点式：对称轴为直线x = h。
3. 交点式：对称轴为直线x = (x₁ + x₂)/2。
顶点坐标：1. 顶点式直接给出为(h, k)。
2. 一般式可通过公式计算得到(-b/2a, (4ac - b²)/4a)。
最值：1. 当a > 0时，函数有最小值，最小值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
2. 当a < 0时，函数有最大值，最大值为(4ac - b²)/4a，此时x = -b/2a。
三、二次函数与一元二次方程当二次函数y = ax² + bx + c中y = 0时，即转化为一元二次方程ax² + bx + c = 0。
函数图像与x轴的交点即为该方程的根。
根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断抛物线与x轴的交点个数：1. Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点。
【初中数学】精选初三上册数学第22章知识点复习：一元二次方程
【初中数学】精选初三上册数学第22章知识点复习：一元二次方
程
学好知识就需要平时的积累。
知识积累越多，掌握越熟练，数学网编辑了精选
初三
下册数学第22章知识点备考：一元二次方程，热烈欢迎参照!
1.一元二次方程的一般形式:a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究
一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b，、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的数学分析:一元二次方程的四种数学分析建议灵活运用，其中轻易
开平方法虽然直观，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围小，但排序较繁，极易出现
计算错误;因式分解法适用范围很大，且排序方便快捷，就是新宠方法;分体式方法采用较少.
3.一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0(a≠0)时，δ=b2-4ac叫一元二次方程根
的判别式.请注意以下等价命题：
δ=存有两个左右的实根;δ=0存有两个成正比的实根;δ=并无实根;
4.平均增长率问题--------应用题的类型题之一(设增长率为x)：
(1)第一年为a，第二年为a(1+x)，第三年为a(1+x)2.
(2)常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和。
只要这样踏踏实实顺利完成每天的计划和小目标，就可以自如地应付崭新自学，达至
长远目标。
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第二十二章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
1. 一元二次方程：等式两边都是 ，只含有 （一元），并且未知数的 的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程三要素：（1） （2） （3）
判断方法：先将方程化简，使等号的右边为0，然后观察是否具备三要素。
2. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式 ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。
3. 一元二次方程的根：能使一元二次方程 的 的值叫做一元二次方程的
解，也叫做一元二次方程的根。
22.2 降次----解一元二次方程
1. 直接开平方法：如果方程能化成p x =2或())0,0(2
≥≠=+p m p n mx 的形式，那么直接开平方得 或 。
2. 配方法：通过配成 来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
配方法解ax 2+bx+c=0（a ≠0）步骤：（1） ：将 移到方程的右边，即ax 2+bx =-c
（2） ：方程两边同时 ，即a
c x a b x -=+2。
（3） ：方程两边都加上 ，使方程左边变成一个完全平方式，即222)2()2(a
b a
c a b x a b x +-=++，整理得 。
（4） ：采用 解方程。
总结为：一 二 三 四 。
3. 公式法：把一元二次方程的 代入求根公式，直接求出方程的解，这样解一元二次方程的方法叫做公
式法。
求根公式：当∆≥0时，方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的实数根可写为x= 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的 。
公式法解ax 2+bx+c=0（a ≠0）步骤：（1）把方程化成 （2）确定 的值
（3）计算 的值（4）当ac b 42-≥0时，把a 、b 、c 及ac b 42-的值代入一元二次方程的 求根公式，求得方程的根；当ac b 42
-＜0时，方程
根的判别式：一般地，式子 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）根的判别式，通常用希腊字母
表示它，即∆= 。
判别式与根的关系：（1）∆＞0时，有 实数根，即x=
（2）∆=0时，有 实数根，即
（3）∆＜0时， 实数根
补充：（1）对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），a 、c 异号时，方程一定有 的实数根；
（2）当c=0时，方程一定有一个根为 。
4. 因式分解法：把一元二次方程的一变化为 ，而另一边 成两个一次因式的积， 进而转化为求两个 的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
依据是若0=∙b a ， 则a=0或b=0。
因式分解法解ax 2+bx+c=0（a ≠0）步骤：（1） ：将方程右边化为0
（2） ：把方程左边的因式分解成两个一次因式的积
（3） ：令每个因式都等于零，转化为两个一元一次方程
（4） ：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
6. 一元二次方程根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的两个根， 则1x +2x = ,1x 2x = 。
22.3 实际问题与一元二次方程
1. 列方程解应用题的一般步骤：（1） ：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以 及它们之间的数量关系；
（2） ：设出未知数；
（3） ：关键步骤，找出能够表达应用题全部含义的一个 ，然后列出方程；
（4） ：求出未知数的值；
（5）：检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意；
（6）：写出答案并作答。
2. 列一元二次方程常见题型：（1）增长率（降低率）问题
两次增长后总数= + +
两次降低后总数= - -
起始量为a，终止量为b，增长次数为n（通常为2次），设平均增长率（或降低率）为x，则存在的等量关系为。
（2）循环比赛问题
规定每两个队之间都要进行一场比赛，共赛a场，设有x个队，则每个队要赛场，x个队共比赛的场数为，则存在的等量关系为。
（3）商品销售问题
利润=
总利润= ×
若涨（降）a元，少（多）销售b件，则设若涨（降）ax元，少（多）销售bx件。
（4）传染问题
两轮传染后总数= + +
若传染源数为a个，两轮后总感染数为b个，设每轮一个平均传染x个，则存在的等量关系
为。
（5）面积问题
求解不规则图形的面积问题，往往把不规则图形成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程。
（简便方法平移）。