10-(3)毕奥—萨伐尔定律
毕奥萨伐尔定律
1820年，法国物理学家比奥特（Biot）和萨瓦特（Savart）通过实验，测量了一条长直电流线附近的小磁针的力定律，并发表了一篇论文，题为“传递给运动中的金属的电的磁化力”。
后来被称为比奥-萨瓦特定律。
后来，在数学家拉普拉斯（Laplace）的帮助下，该定律以数学公式表示。
毕奥-萨伐尔定律：载流导线上的电流元Idl在真空中某点P的磁感度dB的大小与电流元Idl的大小成正比，与电流元Idl和从电流元到P点的位矢r之间的夹角θ的正弦成正比，与位矢r的大小的平方成反比。
dB的方向垂直于Idl和r所确定的平面，当右手弯曲，四指从方向沿小于π角转向r时，伸直的大拇指所指的方向为dB的方向，即dB、Idl、r三个矢量的方向符合右手螺旋法则。
叠加原理：
与点电荷的场强公式相似，毕奥——萨伐尔定律是求电流周围磁感强度的基本公式．磁感强度B也遵从叠加原理．因此，任一形状的载流导线在空间某一点P的磁感强度B，等于各电流元在该点所产生的磁感应强度dB的矢量和。
特点：
从课程论和物理学课自身特点的角度来分析毕奥-萨伐尔定律，它体现的学科特点有以下几点：（1）是稳恒电流磁场的关键知识点；（2）具有高度的抽象性；（3）使用数学工具的复杂性；（4）掌握“方法”比掌握“内容”更重要；（5）在探索知识的过程中体现“把握本质联
系，揭示事物发展内在规律性”的唯物辩证法观点。
毕奥-萨伐尔定律及其应用
sin d
0 I
4a
(cos1
cos2 )
若导线长度远大于点P到直导线的垂直距离（L a），则导 线可视为无限长。此时，θ1＝0 ， θ2＝π，P点的磁感应强度为
B 0I
a
上式表明，无限长载流直导线周围的磁场 B 1/ a。这一正 比关系与毕奥－萨伐尔的早期实验结果是一致的。
【例8-2】设在半径为R的圆形线圈上通有电流I，求载流圆 形线圈轴线上一点P的磁感应强度。
有电流元在P点的磁感应强度B的方向 都相同，所以P点的磁感应强度的大小 等于各电流元在P点产生的dB的大小 之和，即
B dB 0 Idl sin
L
L 4 r2
由上图所示可知有以下几何关系
r a
sin( )
l a cos( )
r a
sin
dl
a
sin2
d
于是可得
B
2 1
0 I
4a
但是应当注意的是，磁感应强度是矢量，上式的积分是
矢量积分。在进行具体积分运算时，要首先分析载流导线上 各电流元所产生的磁场dB的方向，若各个dB的方向不同，则 应先求出dB沿3个坐标轴的分量dBx、dBy、dBz，然后对其分 量进行积分，即
Bx L dBx
By L dBy
Bz L dBz
B
dBx
dB sin
0 Idl
4r 2
r
40IrR3 dl
设P点的坐标为（x，0，0），则
所以
r R2 x2
B
0 IR
dl
0 IR
2R 0IR2
4 R2 x2 3/2
4 R2 x2 3/2
2 R2 x2 3/2
10-3 毕奥-萨伐尔定律-2
B0
0I
4 R2
0I
4 R1
0I
4 π R1
22
10.3 毕奥—萨伐尔定律
第10章 稳恒磁场
例：直电流和圆电流的组合。 求：圆心 o 点的磁感应强度。
解： I
OR
B
μ 0
I
4R
R
I
O
B 0 I 2 0 I 4R 4 R
I
OR
B
μ 0
I
8R
23
10.3 毕奥—萨伐尔定律
例：直电流和圆电流的组合。 求：圆心 O 处的磁感应强度。
I
B 0 I (cos 1) 4a
P
a
8
10.3 毕奥—萨伐尔定律
第10章 稳恒磁场
B
μ0 I（cos 4πa
θ1
cos θ2）
4）载流导线延长线上任一点的磁场:
Idl //
r,
Idl
r
0
B 0
a
P
I
9
10.3 毕奥—萨伐尔定律
B
μ0 I（cos 4πa
θ1
cos θ2）
2
解：O 点的 B 是由四条载流边分别 产生的，它们大小相等、方向相同，
θ2
B = B1+ B2+ B3+ B4 = 4B1
B
B
0I 4 a
cos1
cos 2
I 1 o
θ1
π 4
,
θ2
3π 4
b
B 4 μ0 I cos π cos 3π 2 2 μ0 I
4πb / 2 4
4 πb
11
Ib
cI d
1200
简述毕奥萨伐尔定律
简述毕奥萨伐尔定律
毕奥萨伐尔定律（Biossa-Fawer's law）是建筑物力学中的一项定律，它说明：支撑结构的垂直载荷或拉力大小与支撑结构的尺寸（或它的力学状态）之间存在着一定的关系。
换句话说，支撑结构的尺寸可以用来测量它所体现的垂直载荷或拉力的大小。
这个定律的定义是：一个结构件的最大垂向力（准确来说是最大结构备载）等于其端点的距离乘以另一个剪切力。
它可以用数学表达式来描述：F=Ld，其中F是结构的最大垂向力，L是其端点的距离，d是另一个剪切力。
毕奥萨伐尔定律还可以用来测量结构或系统的弯曲和扭转力，它可以用来确定结构或系统的最大受力情况，以便更好地设计其结构和系统。
这个定律也可以用来建立系统的力学分析，以便确定每个受力点的力和力矩。
毕奥-萨伐尔定律
几何关系的确定
把电流分割成 许多电流元
df Idl
还和几何因素如
r, 有关
毕奥－萨伐尔定律
• 任一电流元Idl 在空间某点P处产生的磁 感应强度 dB 的大小与电流元Idl 的大小 成正比，与电流元Idl 所在处到 P点的矢 径r和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比， 而与电流元Idl 到P点的距离的平方成反 比 。 dB的方向垂直于dl和矢径r所组成的 平面，指向由电流元Idl 经小于180°的角 转向r时右螺旋前进的方向。
奥斯特的实验 装置：
电流方向
直导线
电流方向
结论：
1. 通电导体周围存在 着磁场
2. 电流的磁场方向跟 电流方向有关
奥斯特实验意义
• 揭示了电现象与磁现象的联系 • 宣告电磁学作为一个统一学科诞
生 • 历史性的突破 • 此后迎来了电磁学蓬勃发展的高
潮
• 二、毕奥－萨伐尔定律的发现
奥斯特做了有关的实验，于1820年7月21日发现了电流 的磁效应。随后实验物理学家毕奥和萨伐尔根据奥斯特 的发现提出了自己的想法，并通过两个相关的实验验证 了他们有关电流磁效应的假设。在1820年，毕奥和萨伐 尔，通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律， 发表了题为“运动中的电传递给金属的磁化力”的论文， 在数学家拉普拉斯的帮助下，将电流载体转换为电流元 的情况，并得出了毕奥-萨伐尔定律的数学表达式。因
磁 场： 取 Idl
dB
B 4
Idl
r
3
r
dB
方向：右螺旋法则
P
r
Idl
大小：
dB
0
4
Idl sin r2
毕奥萨伐尔定律
在静磁学中，毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-Savart Law）描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
定律文字描述：电流元Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度 dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比，与电流元Idl 所在处到 P点的位置矢量和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl 到P点的距离的平方成反比。
该定律在静磁近似中是有效的，并且与Ampère的电路规律和磁性高斯定律一致，以Jean-Baptiste Biot和FélixSavart命名。
定义在静磁学中，毕奥-萨伐尔定律（英文：Biot-Savart Law）描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。
定律文字描述：电流元Idl 在空间某点P处产生的磁感应强度dB 的大小与电流元Idl 的大小成正比，与电流元Idl 所在处到 P点的位置矢量和电流元Idl 之间的夹角的正弦成正比，而与电流元Idl 到P点的距离的平方成反比。
该定律在静磁近似中是有效的，并且与Ampère的电路规律和磁性高斯定律一致，以Jean-Baptiste Biot和FélixSavart命名。
电流（沿闭合曲线）毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。
这电流是连续流过一条导线的电荷，电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失。
采用国际单位制，用方程表示：电流（整个导体体积）当电流可以近似为穿过无限窄的电线时，上面给出的配方工作良好。
如果导体具有一定厚度，则适用于Biot-Savart定律（再次以SI为单位）：Biot-Savart：毕奥萨伐尔定律定律是实验定律，以一些简单的典型的载流导体产生的磁场为基础，经分析、归纳出的定律，而不是由电流元直接得出的，实际上不可能得到单独的电流元。
毕奥萨伐尔定律公式
毕奥萨伐尔定律公式1埃尔维·毕奥萨伐尔定律埃尔维·毕奥萨伐尔定律（Erwin Bolza's Law）是一个定理，由德国数学家埃尔维·毕奥萨伐尔（Erwin Bolza）在1847年提出，指出把一个复数函数系统化为一个多项式来得到方程的解。
在这里，复数是表示多个自变量聚集在一起形成的函数，而多项式是一组关于自变量的有限阶多项式，当满足相应条件时，就可以将复数函数简化为多项式，从而得出所有的解决方案。
由于埃尔维·毕奥萨伐尔定律是一个常规的、可证明的定理，因此它被广泛应用于各种数学领域，包括几何、计算机科学和物理学等。
对于具有多个变量的函数系统，它可以比较快速地将复数函数简化为多项式，从而更容易求解。
2毕奥萨伐尔定理的原理埃尔维·毕奥萨伐尔定理的核心原理是，在满足一定条件的情况下，可以将一个复数函数简化为多项式，从而得出它的解。
首先，毕奥萨伐尔定理要求复数函数系统有@n@个自变量，其中每个自变量由特定的多项式表示，而这@n@个多项式的系数必须是一定的，唯一的属性是他们的阶数可以不同。
接下来，当@n@个多项式被联合起来时，它们就可以形成一个复数函数，其中也可以得到它们关于每个自变量的解。
但是，由于有许多系数参与到计算当中，这样的计算过程可能很耗时。
这时，埃尔维·毕奥萨伐尔定理的核心原理就起作用了：它可以把复数函数系统改写成一个多项式，这样就更容易求解，而@n@个多项式的系数也可以任意调整，以获得最优的解。
3应用由于埃尔维·毕奥萨伐尔定理对于多项式的变量以及联合变量的计算有重要的应用，因此它在多个领域中都有广泛应用。
例如，它可以用于求解一元二次方程组——一组有两个自变量的方程组——的解。
在这里，一元二次方程组有两个多项式，其中每个多项式有两个系数，这里也就是有两个自变量。
通过把它们简化成一个多项式，就可以求出来它们的解。
此外，埃尔维·毕奥萨伐尔定理还可以用于比较两个物体的动力学性质，因为它可以有效地求出这两个物体的总运动方程，以及这两个物体的动力学特性。
毕奥萨伐尔定律
磁力发电机
磁力发电机是一种利用磁场产生电能的装置。根据毕奥萨 伐尔定律，当导体在磁场中运动时，会在导体中产生感应 电流。磁力发电机通过转子产生的旋转磁场与定子绕组相 对运动，使定子绕组中产生感应电流，实现发电的目的。
磁力发电机广泛应用于风力发电、水力发电、汽车发动机 等领域，为可再生能源的开发和节能减排做出了重要贡献 。
06
毕奥萨伐尔定律的未来研 究与展望
磁场产生的原因与机制
磁场产生的原因
毕奥-萨伐尔定律指出，运动电荷或电流会产生磁场，这是磁场产生的根本原因。
磁场产生的机制
磁场的产生与电荷或电流的运动有关，当电荷或电流运动时，会激发周围的磁场 ，磁场的大小和方向与电荷或电流的运动状态有关。
磁场对物质的作用与影响
核磁共振成像等磁现象在医疗领域具有广泛的应用前景，同时磁 约束核聚变等前沿技术也在积极探索中。
磁现象在太阳能领域的应用
太阳能电池板在吸收太阳能时，利用磁性原理可以提高太阳能利 用率。
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THANKS
磁场强度的方向与单位
磁场强度的方向
在右手螺旋定则中，拇指指向电流的方向 ，四指环绕的方向就是磁场的方向。
VS
磁场强度的单位
安培/米(A/m)，国际单位制中，磁场强度 的单位是安培/米。
03
毕奥萨伐尔定律的实验验 证
实验设计思路
确定实验目标
验证毕奥萨伐尔定律在特定情况下 的适用性，即通过实验手段测量物 理量以验证理论的准确性。
总结词
描述电磁场基本规律的方程组。
详细描述
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，其 中包括了电场、磁场和电荷密度等物理量的关系。毕 奥萨伐尔定律是麦克斯韦方程组的一个推论，它描述 了磁场与电流之间的关系。此外，麦克斯韦方程组还 预言了电磁波的存在，即光、无线电波等。
毕奥撒法尔定律
毕奥撒法尔定律
毕奥-萨伐尔定律（也被称为电场定律）是电学中的一个重要定律，它描述了电荷之间的相互作用力与它们所带电荷量的乘积以及它们之间距离之间的关系。
具体来说，毕奥-萨伐尔定律表明在真空中，静止的点电荷所产生的电场强度与它们所带电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
公式表示为：$\frac{E}{q} = \frac{k}{r^{2}}$，其中E是电场强度，q是源电荷的电荷量，k是常数，r是源电荷与试探电荷之间的距离。
这个定律是英国物理学家约瑟夫·安培的学生，法国物理学家奥古斯汀·毕奥和其时的科学家萨伐尔共同发现的。
他们在研究电流产生的磁场时，通过实验和理论推导得出了这个定律。
这个定律不仅适用于点电荷产生的电场，还适用于任何形状的电荷分布产生的电场，以及多个电荷共同产生的电场。
需要注意的是，毕奥-萨伐尔定律是在静止电荷产生的电场中得出的，对于随时间变化的磁场，需要使用麦克斯韦方程组来描述。
毕奥-萨伐尔定律
x
l 2
17
B
I0 I0
从以上分析可以看出长直载流螺线管的磁场 分布情况：在螺线管中心区域为均匀磁场，在 管端口处，磁场等于中心处的一半，在螺线管 外部距管轴中心约七个管半径处，磁场就几乎 等于零了。
18
例4. 在半径R=2cm的无限长的半圆形金属薄片中， 有电流I=6A自下而上的通过，如图求 圆柱轴线上任一点的磁感应强度。
位矢量，指向与电流的方向满足右螺旋关系。
多匝平面线圈电流I 应以线圈的总匝数与每匝
线圈的电流的乘积代替。
0 m m 0 圆电流 B n 3 3 2π x 2x
10
三 磁矩
m ISen
2
I
例2 中圆电流磁感强度 公式也可写成
S
en
m
B
0 IR
2x
3
0 IR 2
0 IR 2
a
4π a
25
例7 在玻尔的氢原子模型中，电子绕原子核运动相 当于一个圆电流，具有相应的磁矩（称为轨道磁 矩）。求轨道磁矩 与轨道角动量之间的关系。 解： 设电子的轨道半径为r，每秒转速为ν。 电流：
I e 2 磁矩： IS e πr
圆电流面积： S π r 2
4π d
R
o （ 3） I R
B0
0 I
4R
R2
*o
B0
o
0 I
8R
B0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
13
例3 载流直螺线管的磁场 如图所示，有一长为 l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流 I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
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2、 4、 6、 8 点 ：
外 6
dB
0 Id l
4π R
0 sin 45 2
4
二 运动电荷的磁场
S Id l
r
v
P
0 I d l r0 dB 4 r2
dB
n,q dl
dl dl v v
单位时间通过横截面S的电荷量即等于电流。
I
电流元的磁场：
4π
x
l
r2
0 IR 2 π R Bx dl 3 0 4πr
0 IR 2R 4（x R ）2
2 2 3
dB
dB x
0 I cosdl
4π r
2
0 IR 2 2 （x R ）2
2 2 3
13
I
o
R
x
*
B
x
B
0 IR 2
2 （x R ）2
10-3 毕奥—萨伐尔定律
1
一 毕奥─萨伐尔定律 (实验规律 1820)
在真空中，载流导线上任一电流元Idl，在真空中给定点 P所产生的磁感应强度dB的大小与电流元的大小Idl成正比， 与电流元到P点的矢量r之间的夹角的正弦 (sinα)成正比；与 电流元到P点的距离的平方(r2)成反比；dB的方向垂直于dl和 r所组成的平面，其指向由右手螺旋定则确定。 毕奥─萨伐尔定律
电流元中的运动电荷总数均为dN=nSdl
则每个运动电荷产生的电流元在P点产生的磁感应强度为：
dB 0 qv r0 运动电荷的磁场： B dN 4 r 2
适用条件： v <<C
6
运动电荷的磁场
0 qv r0 B 4π r2
大小：
v , r0 ) 0 q v si n ( B 4 r2
S
j ds qnvS
0 (qnvS) d l r0 dB 4 r2
5
电荷的定向移动速度v与dl的方向相同， 则：
0 (qnvS)dl r 0 dB 4 r2
dl dl v v
0 (qnSdl)v r0 dB 4 r2
I
0 0
I d l r dB 4 r 2
dB
Id l
真空磁导率 0 4 10 7T m / A
常用单位： 亨利/米 (H/m) 量纲：I-2LMT-2
r
P
2
毕奥─萨伐尔定律
电流元 的磁场 整段电流
0 I d l r0 dB 4 r2
14
例：一个电子作圆周运动，求在圆心处产生的磁场。
ve 0 0 ve 0 I 2 R B0 4R 2 2R 2R
▲ 部分弧段在x=0处磁场，弧长为l，
8
例1 载流长直导线的磁场。 解：
z
D
dB 方向均沿
0 Idz sin
4π r2
x 轴的负方向
dz
z I
x o
C
r
a
1
2
dB
dB
sin cos r a sec
P y
z atg
dz a sec d
2
9
0 Ia se c d cos 0 I dB cos d 2 2 4 a se c 4a
3
B Bx i By j Bz k
0 Idl r0 毕奥—萨伐尔定律 dB 2 4π r
例1 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
1、5 点 ：dB 0
2
×内
外
外 7
8
dB 3、 7点 ：
0 Id l
4 π R2
Idl
R
4 5
3×内
2
0 I 0 I B dB cos d (sin 2 sin 1 ) 4a 4a
2 1
方向：沿 x 轴的负方向。 无限长载流长直导线的磁场。
z
D
1
π 2 2
2
I
B
0 I
2πa
o
x
C
1 P y
10
2
B
╳
无限长载流长直导线的磁场
I
dB
0 I d l r B dB L L 4 r2
Id l
r
P
磁感强度叠加原理 – 符合矢量叠加原理
分量式： dB dBx i dBy j dBz k
Bx L dBx
整段电流
By L dBy
Bz L dBz
Idl
P
dB
Bx
r
o
R
r
dB
P
Bx
x
I
μ0 Idl dB 4π r2
解 根据对称性分析
B B x dB cos
12
Idl
cos sin R
r
R
o
r
x
0 Id l4π r2 Nhomakorabea
P
r 2 R2 x 2 dB
Bx
0 I cosdl
2 2 3
讨论：
(1) 若线圈有N匝
B
N0 IR
2
2 3
2 （x R ）2
2
(2) x<0, B的方向不变 ( I和B成右螺旋关系） (3) x=0
B
0 I
2R
0 I l (4) 部分弧段在x=0处磁场，弧长为l， B 2 R 2R 2 0 IS IR 0 (5) x>>R B 3 2x 2 π x3
r 方向：垂直于 v 和 0所确定的平面，右手螺旋关系
q+ v r0 ×B
q
r0
v
B
在同样的条件下，正、负运动电荷形成的磁场方向相反。
7
三 毕奥─萨伐尔定律的应用 --几种常见电流的磁场
(1)
(2)
(3) (4)
取电流元 Idl ，计算由 Idl 产生的 dB 的大小： 0 Idl sin dB 4 r2 dB x 判断 dB 的方向， 把 dB 进行分解：dB dB y B x dB x 对各分量分别积分： B dB y y 求积分。
I
×
B
0 I
2πa
I
B
B
电流与磁感应强度成右手螺旋关系 半无限长载流长直导线的磁场
1 0
π 2 2
0 I B (sin 2 sin 1 ) 4a
BP
0 I
4πa
I
o
a
* P11
例2 圆形载流导线的磁场。 真空中半径为R的载流导线，通有电流I，称为圆电流 求: 其轴线上一点P的磁感强度的方向和大小。