浅谈用放缩法证明数列中的不等关系

(1 3 )
n －1
n －1
（ n ≥ 2） ，
1 1 1 + +… + a1 a2 an 1 － ＜ 评注
(1 3 )
1 1 － 3
＜
3 （ n ≥ 2） ． 2
第 （ 2 ） 问要证明不等关系成立 ， 1 = an
“根源 ”是通过放缩回到基本的等比数列 ， 通 过结论 1 、 结 论 2 来 进 行 放 缩 处 理． 从
｛ a n ｝ 满足 a1 = 1 ， a n +1 = 3 a n + 1 ． （ 1 ） 证 明 a n + 1 是 等 比 数 列 ，并 求 2 ｛ a n ｝ 的通项公式 ； （ 2 ） 证明 ： 解 ʑ ʑ 1 1 1 3 + +… + ＜ ． a1 a2 an 2 1 2
评注
首先看不等关系式不包含相等关系 ， 所以不 1 = 考虑 从 数 列 单 调 性 去 证 明 ． 其 次 从 an 1 通项特征的形式可以看出 ， 它具备 n（ 2 n + 1 ） 了裂项求和的形式 ， 但裂项求和的通项必须 满足分裂出的两项的 n 前面的系数要相同这 条根源 ； 再根据所需证明的不等关系 ， 可以对 它进行适当的放缩达到要求 ． 为此 ， 可以选择 下面两种方法进行放缩 ． 方法 1 ： － 1 ； n +1 方法 2 ： 1 1 2 = = ＜ 2 n（ 2 n + 1 ） an n（ 2 n + 1 ） 1 1 1 1 = ＜ = a n n（ 2 n + 1 ） n（ n + 1 ） n
x
数 f （ x） 的单调性 ； 方法 2 侧重分析临界情况 （ 直线 y = ax 与曲线 y = e 相切 ） ； 方法 3 、 方
· 15·
高中数学教与学
ʑ 1 1 1 1 + + +…+ ＜ 1． a1 a2 a3 an 第 （ 2 ） 问要证明不等关系成立 ， 例2
2017 年
（ 2014 年 全 国 高 考 题 ） 已 知 数 列
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
易知说法 B 正确 ， 说法 C 错误 ． 分析选项 D： 结合函数 f （ x） 的单调性 （ 前 可知 f （ x） 有极小值点 x0 = 述方法一已给出 ） ， ln a． 又由 e
x1
法 4 均侧重于构造新函数 （ 出发点不同 ： 前者 分离参数 ， 后者两边取对数 ） ， 并利用新函数 C 时， 的图象和性质 ． 分析选 项 B、 需要借助 “换元 ” ， “x1 ， x 2 ”的不等式问题 有利于将关于 “t ”的不等式问题 ， 巧妙地转化为关于 以便灵 活运用导数知识加以思考 （ 方法 1 的思维出发 点是利用作差法比较大小 ， 然后分解因式 、 构 造函数 ； 方法 2 的思维出发点是利用分析法转 化目标问题 ， 然后构造函数 ） ． 分析选项 D 时， 需要先求得 x0 ， 再由题设得到关于零点的两个 等式 ， 以便结合目标问题灵活求解 ．
（ 2 ） 若 a n +1 － a n ≤ d 对 n ∈ N * 恒成立 ，
* 则 a n ≤ a1 + （ n － 1 ） d 对 n ∈ N 也恒成立 ．
结论 4
对于数列 ｛ a n ｝ ，
（ 1 ） 若 a n +1 － a n ＞ d 对 n ∈ N * 恒成立 ， n ∈ N * 也恒 则 a n ＞ a1 + （ n － 1 ） d 对 n ≥ 2 ， 成立 ． （ 2 ） 若 a n +1 － a n ＜ d 对 n ∈ N * 恒成立 ， n ∈ N * 也恒 则 a n ＜ a1 + （ n － 1 ） d 对 n ≥ 2 ， 成立 ． 例3 （ 2014 年全国高考题 ） 函数 ax （ a ＞ 1） ． x+a
2 2 a） ， 则 f ' （ x） ＞ 0 ，f （ x） 单调增 ； 若 x ∈ （ a －
1 1 1 ； 结论 3 （ 2 ） 可以得到 ≤ 1 + （ n － an 2 2 2 2 ＞ 得以解决 ． 同理可 n +1 n +2
1） ， 问题 a n ≥
2 a， 0 ） ，则 f ' （ x） ＜ 0 ，f （ x） 单调减 ； 若 x ∈ （ 0 ，+ ɕ ） ，则 f ' （ x） ＞ 0 ，f （ x） 单调增 ． （ ii ） 当 a = 2 时， f ' （ x） ≥ 0 ， f（ x） 在（ － 1 ， + ɕ ） 内是增函数 ． （ iii ） 当 a ＞ 2 时 ， 0） ， 若 x ∈ （ － 1， 则 f ' （ x） ＞ 0 ， f （ x） 单调增 ； 若 x ∈ （ 0 ，a2 － 2 a） ，
2 2
首 先 利 用 第 （ 1 ） 问 的 结 论， 得 到 a n +1 ＞ 立， 2an ； 再经过适当的放缩 ， 通过两边取倒数 an + 2 变形 ， 放缩成等差数列的形式 ， 得到 ＜ 1 1 － a n +1 an
+ ɕ ） ，f ' （ x） =
（ i） 当 1 ＜ a ＜ 2 时， 若 x ∈ （ － 1 ，a －
a1 q n －1 对 n ≥ 2 ， n ∈ N * 也恒成立 ．
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第7 期
结论 3 对于数列 ｛ a n ｝ ， 有
*
高中数学教与学
ln（ a n + 1 ） ＞ 2an 1 1 1 ， － ＜ ． 2 a n + 2 a n +1 a n
（ 1 ） 若 a n +1 － a n ≥ d 对 n ∈ N 恒成立 ，
{
}
(a {a
n
（ 1 ） ȵ a n +1 = 3 a n + 1 ，
n +1
+
) = 3( a
n
+
1a1 + 公比为 2 2 2
}
3 的等比数列 ， ʑ an + 1 3 1 = ·3 n －1 = ·3 n ， 2 2 2 an = 1 1 ·3 n － ． 2 2
a1 q n －1 对 n ∈ N * 也恒成立 ． a n +1 * （ 2） 若 ≤ q 对 n ∈ N 恒成立 ， 则 an ≤ an a1 q n －1 对 n ∈ N * 也恒成立 ． 结论 2 对于正项数列 ｛ a n ｝ ， a n +1 （ 1） 若 ＞ q 对 n ∈ N * 恒成立 ， 则 an ＞ an a1 q
证明
（ 1 ） 由条件， 得
a n +1 an = + 2， n +1 n
an a n +1 a － = 2， 所以数列 n 是首项为 3 ， n +1 n n （ 2 ） 由（ 1 ） 知 an = 3 + （ n － 1） ˑ 2 = 2n + 1， n ʑ ʑ a n = n（ 2 n + 1 ） ， 1 1 1 = ＜ an n（ 2 n + 1 ） n（ n + 1 ） = ʑ 1 1 ， － n n +1
（ 2 ） 只证 n ≥ 2 时的情形 ． 易得 a n +1 ＞ 3 a n ＞ 0， 所以 1 1 1 ＜ · ． 由结论 2 ， 得 a n +1 3 an 1 ＜ an 所以
2 1 1 = － ． （ 2n － 1） （ 2n + 1） 2n － 1 2n + 1 它们都可以使问题得以解决 ． 放缩选择放大还是选择缩小 ， 要根据不 “根源 ”还是分 等关系来决定 ． 实际上 ， 例1 的 裂变量求和的思想 ， 只有把分裂变量求和法 的实质弄清楚了 ， 才能进行适当的放缩达到 要求 ． 下面给出几个容易证明的常用结论 ： 结论 1 （ 1） 若 对于正项数列 ｛ a n ｝ ， a n +1 * ≥ q 对 n ∈ N 恒成立 ， 则 an ≥ an
* 则 a n ≥ a1 + （ n － 1 ） d 对 n ∈ N 也恒成立 ．
由结论 3 （ 2 ） ， 得 1 1 2 2 an ≥ ＞ ． ≤ 1 + （ n － 1） ， 2 an n +1 n +2 f（ x） 在（ 0 ， 由 （ 1 ） 的结论知 ， 当 a = 3 时， 3 ） 内是减函数 ， 所以 f （ x） ＜ f （ 0 ） = 0 （ 0 ＜ x ＜ 3） ， 即 ln （ x + 1 ） ＜ a n +1 = ln（ a n + 1 ） ＜ 由结论 3 （ 1 ） ， 得 1 1 3 an ≤ ， ≥ 1 + （ n － 1） ， an 3 n +2 所以 评注 2 3 ＜ an ≤ ． n +2 n +2 第（ 2 ） 问要证明数列不等关系成 3x （ 0 ＜ x ＜ 3） ， 所以 3 +x 3an 1 1 1 ， － ＞ ． a n + 3 a n +1 a n 3
n ∈ N 也恒成立 ． 对 n ≥ 2， a n +1 ＜ q 对 n ∈ N * 恒成立 ， 则 an ＜ an
*
1 ＜ an
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n －1
（ n ≥ 2） ， 问题得
（ 2） 若
以解决 （ 此题还可以用数学归纳法进行证明 ， 留给读者去证 ， 两种方法可以进行对照 ） ． 类似地 ， 容易证明 ．
{ }
公差为 2 的等差数列 ．
{ an }是等差数列；
n
+ (1 － 1 2 ) 1 1 1 1 1 = － － )+ ( － )+… + ( (1 2 3 3 4 n n + 1) 1 1 1 1 + + +…+ ＜ a1 a2 a3 an 1 － 1 ＜ 1． n +1