单调有界
单调有界数列必有极限证明
单调有界数列必有极限证明单调有界数列必有极限证明在数学中，单调有界数列必有极限是一个非常基础的定理。
它告诉我们，如果一个数列在数值上单调递增或单调递减，并且有一个上限和一个下限，那么它必然有一个极限。
这个定理使用起来非常广泛，它可以用于证明一些重要的数学结论，比如连续函数的中间值定理和柯西收敛原理等。
在本文中，我们将详细介绍单调有界数列必有极限的证明过程。
首先，我们来定义一下什么是单调有界数列。
如果一个数列满足以下两个条件，那么它就是单调有界数列：1. 数列单调递增或单调递减；2. 数列有一个上界和一个下界。
下面我们将证明：对于任意单调有界数列，它都有一个极限。
证明过程如下：1. 如果数列是单调递增的，那么我们将其上限定义为L。
因为数列有一个上界，所以L是有限的。
2. 接下来我们来证明，对于任意ε>0，都存在N，当n>N时，an和L的距离小于ε。
取N为大于L-ε的最小整数，那么有N>L-ε。
因为数列单调递增，所以对于任意n>N，an≥an-k （k=n-N>0）。
那么an≥an-N+1≥L-ε+1≥L-ε。
也就是说，an和L的距离小于ε，得证。
3. 如果数列是单调递减的，证明过程与上述类似。
我们将其下限定义为L，并证明对于任意ε>0，都存在N，当n>N时，an和L的距离小于ε。
取N为大于L+ε的最小整数，那么有N<L+ε。
因为数列单调递减，所以对于任意n>N，an≤an-k （k=n-N>0）。
那么an≤an-N+1≤L+ε-1≤L+ε。
也就是说，an和L的距离小于ε，得证。
综上所述，对于任意单调有界数列，它都有一个极限。
这个极限可以是数列的上限或下限。
证毕。
通过上述证明过程可以看出，该定理的证明并不是很复杂。
但这个定理的重要性在于它的应用广泛，特别是在数学分析中。
它奠定了数学分析的基础，为后来的柯西、威尔斯、阿贝尔等伟大的数学家打下了基础。
数分第一章第六节单调数列与单调有界原理
第一章 实数和数列极限第六节 单调有界原理与闭区间套定理我们知道，有界数列不一定收敛。
我们就问，对有界数列再加上什么条件，就能使它收敛呢。
在本节中将要引入一类特殊 的数列—单调数列；单调有界的数列必有极限，对单调数列而言，有界性和收敛性是等价的。
一 、单调数列 的概念 定义 1.8 设}{n a 是一个数列。
（1）如果数列}{n a 满足 1+≤n n a a ， ,2,1=n则称此数列为递增数列；（2）如果数列}{n a 满足 1+≥n n a a ， ,2,1=n 则称此数列为递减数列；（3）如果上面两个不等式都是严格的，即1+<n n a a （或1+>n n a a ）， ,2,1=n ， 则称此数列为严格递增的 （或严格递减的）。
（4）递增或递减的数列通称为单调数列 。
显然，递增的数列有下界， 递减的数列有上界。
显然，}{n a 是递增数列等价于}{n a -是递减数列。
（递增数列与递减数列两者可以互相转换，所以只讨论一种就可以了。
）例如 （1）na n 1211+++= ，*N n ∈，}{n a 是递增数列；（2）121211-+++=n n a ，*N n ∈，}{n a 是递增数列， （3）!1!211n s n +++= ，*N n ∈， }{n s 是递增数列 。
（4）}1{n 是递减数列，}{2n 是递增数列，}1{+n n 是递增数列 （11)1(1+-+++n n n n 0)1](1)1[(1>+++=n n ）。
例 设21=x ，并定义n n x x +=+21，*N n ∈则}{n x 是递增数列。
事实上 222+=x ，,,2223 ++=x可以从中观察出来有1321+<<<<<n n x x x x x ，*N n ∈；或者从考察1122-++-+=-n n n n x x x x)(22111---+++=n n n n x x x x ， 由此递推，得1321+<<<<<n n x x x x x ，*N n ∈； 故}{n x 是递增数列。
考研数学二----单调有界准则
一、 单调有界定理
单调数列的定义：
若数列{an }满足：an an1(an an1 ), n 1,2,3, 则称{an }是单调递增（递减）数列.
若数列{an }满足：an an1(an an1 ), n 1,2,3, 则称 {an }是单调递增（递减）数列.
23 n
（１）因为
1 n 1
ln 1
1 n
1 n
因此 1 ln n 1 ln n 1
n 1
n
1
n
1
ln n
1
ln
n
1 n
n
1
2
ln n
2 ln n
1
1 n 1
固有
n
1
3
ln n
⑵ xn1 xn xn yn xn xn2 xn 0,xn
yn1
yn
xn
2
yn
yn
0,yn
⑶
0
yn1 xn1
yn1
xn
yn
xn 2
yn xn1 yn1 xn1
2
22
LL
y1 x1 2n
lim ( yn1 xn1) 0, n
ln
n
1 n
1 1 ....... 1 ln n 1 1 1 .... 1
23
n 1
2
关于实数完备性的6个基本定理
1. 确界原理； 2. 单调有界定理； 3. 区间套定理； 4. 有限覆盖定理; 5. 聚点定理; 6. 柯西收敛准则； 在实数系中这六个命题是相互等价的 。
在有理数系中这六个命题不成立 。
1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集
必有上（下）确界。
反例：S {x | x2 2, x Q},sup S 2, inf S 2, 即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。
5. 聚点定理 实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。
反例： S {(1 1 )n | n Z }, n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,
因而在必含有收敛子列。
反例：
{
xn
}
{(1
1 )n n
}是有理数系中的有界无穷数列,
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 证明按以 下三条路线进行:
Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套 定理 Cauchy 收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限 复盖定理 区间套定理 .
任取H的有限个元素，构成集合H *,
H * {( x1 r1, x1 r1 ),( x2 r2 , x2 r2 ) ( xn rn , xn rn )}
由于H *中的开区间都不含 2，且2n个端点都是有理数， 设这2n个有理数中与 2最靠近的数为 r, 则在r与 2之间所有有理数都在上述n个区间之外。 即H的任意有限覆盖不能盖住[1,2]Q .
则 有理数域内构成闭区间套 [an,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
单调有界函数必收敛
单调有界函数必收敛
单调有界函数必收敛是指：对任意输入x，若存在一个有限的定义域D，使得f(x)在D上只有一个最大值或最小值，则称f(x)为有界函数。
如果f(x)的值不断逼近这个最大值或最小值，则称函数收敛，这种函数就叫做单调有界函数。
由单调性可知，当x无穷大或无穷小时，f(x)将不断朝有界界值而不断减小或增大，因此f(x)必将不断接近其有界值，即收敛，由此可知，单调有界函数必然收敛。
例子：
设函数f(x)=1/x^2-1, 这是一个单调有界函数，当x无穷大时，f(x)的值将不断向0靠拢，故势必收敛于0。
又如设函数f(x)=x/(x^2+1), 它的定义域为D，当x ->无穷时，f(x)的值将不断向0靠拢，故f(x)必然收敛于0.
综上所述，单调有界函数必然收敛，不管x取何值，只要判断函数是否是单调有界函数，可以根据它的有界值来判断，就可以确定函数是否会收敛，这就是单调有界函数必收敛的原理。
数学分析-单调有界定理及其应用
A2 3A, 解A 得 11,3A 11(3 舍去)
2
2
ln i m xn
1 13. 2
例2 求数列 ann!的极,限 a为任意给定.的实
解 :令 x 则 n|n当 a n !|n |a,|时 n , N xn* 1.xnn|a|1xn. 因此 {xn}是从某一项数 开,列 且 始有 递0下 减 .
记为 , 称为欧拉.常数 0.5772156649
欧拉常数是有理数还是无理数还是个开放问题
二、 闭区间套定理
定 4 .2 理 设 In[an,b n]n , N *,为一,列 满闭 足
（ 1 ） I1 I2 I3 In In 1
( 2 ) 区|间 I n | b n a n 长 0 ( n 度 ),
a n 1 a n n 1 1 ln n n 1 2 n 1 1 l1 n n 1 ( 1 )
1 1 0, n1 n1
单调
由不 （ 1 1 ） 等 n e ( 式 1 1 )n 1
n
n
左n 得 ln 1 1 ()： 1 ,即 ln 1 1 () 1
n
nn
右 1 ( n 得 1 )l1 n ： 1 ) ( 即 ,l1 n 1 ) ( 1 n nn 1
则称 {an } 是严格单调递增（递减）数列.
观察下面单调递增的有界数列 y
a an
O
n
定理4.1 单调有界数列必有极限.
证明 不妨 {an}递 设,有 增上 , 界
将各项 an用十进制数表示：
a1 A1 . p1 p2 p3 , a 2 A2 .q1q2q3 , a 3 A3 .r1 r2 r3 ,
所以 x极 ln ix m n存 限. 在 在 x n 1 x n n |a |1 两 n 边 ,得 x 令 x 到 0 0 . 所以 {xn}为无穷 , 从小 而ann!也是无穷. 小
第4节 单调有界定理及其应用PPT课件
Ai Z, pi ,qi ,ri {0,1,2,,9}, i 1,2,3,
.
考察 {Ai}由 , 于 {an}有界、递 可增 知 {An， }在某一行
N0达到最A大 ， 并值 不随行的增. 加而改变
再 考 察 p1,第 q1,r1, 二 ， 设 x列 1是 在 N0项 第后 本 出 现 的,最 设 大 出 的 现 N1项 , 在 易N 第 见 1N0.
可{a 知 nk}也有 .从 上 .而 .界 ....
11
例4 研究下面两数列的极限
sn11 1 !2 1 !3 1 ! n 1 !,
en
1
1 n n
解：（ 1） sn显然单调递增，且
s n 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 1 3 4 1 2 1 n
111 22 1 2 21 n 13
a2k11213141 7181 115 (2k1 1) (2k 11)
10
1224488(22kk 11)
12 1 14 1 18 1 1(2k 1 1) 1
12 1 1 2 1 1 2 2 1 1 k 1
1
1
1
k
21
1 21
21 21
. 1
表{a 明 n}的子 {a2k1列 }是有,上 而{界 a 由 n}递 的 ,增
3
对第三,列 第四列 ,重复同样的过 可 以程得 到，数
x2,x3,x4, 和相应N 的 1N 正 2N 整 3 数 .
下 a 证 A .x 1x 2 x k 就是 {a n }的 数 .极 列 限
（ xk表 示 {an数 }从列 N 第 k项 小 数 k项 点 都 xk ） 后
0,取 mN*, 1 0m,则 对 所 n有 Nm,的
数学分析-单调有界定理及其应用PPT课件
在物理学中，单调有界定理可用 于研究物理系统的动态演化过程， 例如在热力学、流体动力学等领
域。
在计算机科学中，单调有界定理 可用于研究算法的收敛性和稳定 性，例如在优化算法、控制算法
等方面。
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性。
02 单调有界定理的应用
在数列中的应用
总结词
确定数列收敛性
详细描述
单调有界定理在数列中主要用于判断数列的收敛性。如果一个数列是单调递增 且有上界，或者单调递减且有下界，那么这个数列就是收敛的。
在函数中的应用
总结词
研究函数性质
详细用于研究函数的性质，如函数的极限、连续 性和可导性等。通过单调有界定理，我们可以更好地理解函数的变化趋势和行为 。
数学分析-单调有界定理及其应用 ppt课件
contents
目录
• 单调有界定理简介 • 单调有界定理的应用 • 单调有界定理的扩展 • 案例分析 • 总结与展望
01 单调有界定理简介
单调有界定理的定义
总结词
单调有界定理是数学分析中的一个基本定理，它指出如果一个数列或函数在某个区间内单调增加或单调减少，且 存在上界或下界，则该数列或函数收敛。
单调有界定理的证明方法通常涉及到反证法 、序列的单调性和有界性以及极限的定义等 知识点。
详细描述
单调有界定理的证明方法通常采用反证法。 首先假设数列或函数不收敛，然后通过推导 得出矛盾，从而证明数列或函数的收敛性。 此外，还需要利用序列的单调性和有界性的 性质，以及极限的定义和性质等知识点来进 行证明。在具体证明过程中，需要注意逻辑 推理的严密性和准确性，以确保证明的正确
总结词
数列单调性的判断方法
单调有界定理
对任一数列{xn}，如果存在某个实数A使数列的所有项都满足不等式 恒成立，即，使得 则称这个数列是有下界的，实数A是数列的一个下界，记做；同样地，如果存在某个实数B使数列的所有项都 满足不等式 恒成立，即，使得 则称这个数列是有上界的，实数B是数列的一个上界，记做。 如果一个数列既有上界又有下界，则称这个数列是有界的。此时，存在一个正数M，使不等式 成立。 数列有界性的几何解释是：数列的所有项都包含在零点的M-邻域内。
应用
在一般的教科书中，单调有界定理是通过确界原理来证明的，即通过确界原理知道{xn}有上（下）确界α， 再证明{xn}收敛于α。事实上，单调有界定理与确界原理等价，既可以由确界原理得到单调有界定理，也可以由 单调有界定理得到确界原理。以下S非空有上界，将所有不小于S中的任一元素的有理数排成一个数列{rn}，并令 {xn}=min{r1,r2,r3...rn}。为更直观理解{xn}，举例如下：
定理
单调有界数列必有极限。具体地说： （i）若数列递增且有上界，则 （ii）若数列递减且有下界，则
证明
设数列{xn}单调递增且有上界，接下来用戴德金定理证明{xn}必有极限。 分类讨论，如果{xn}从第N项开始所有的项都相等（即数列有无穷多个相等的项），那么由于数列是单调递 增的，当n>N时，有xn=xN，因此对。即{xn}收敛到xN。 如果{xn}中只有有限项相等，即数列从某项开始严格单调递增，那么因为{xn}有上界，可取所有{xn}的上界 组成一个数集B，并取A=R/B。则： ①由取法可知数集B非空，而{xn}为严格单调递增数列，故。∴。 ②。 ③∵A中任何元素都不是{xn}的上界，∴。 又∵B中任何元素都是{xn}的上界，∴。 故必有。 ∴由戴德金定理可知，存在唯一实数η，使得η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。 但无论是哪种情况，。
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单调有界定理
2.4.3实数的连续性
实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性. 正因为实数集具有连续性，所以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。
定理2.4.3（单调有界定理）若数列{a n}单调增加且有上界，则数列{a n}收敛。
证明：我们不妨假设a n≥0，否则，存在某个有理数c>0，使a n′= a n+c≥0，从而由讨论数列{ a n}变为讨论数列{ a n′}。
由引理2.4.1知，数列{ a n}稳定于某个实数a＝，下面证明，a就
是数列{ a n}的极限。
＞0，n0N，当n≥n0时，＜。
由引理2.4.1知，
事实上，
a n 0…，a n k…，
对于充分大的n0，当n＞n0时，有
a n＝，
︱a n-a︱=︱- ︱
≤<，
即=a
推论4.1若数列｛a n｝单调减少（即a n≥a n+1），且有下界M（a n≥M），则数列｛a n｝收敛。
证明：令a n′＝-a n。
由于a n≥a n+1且有下界M′，则可得a n′≥a n+1 ′且a n′≤M＝- M′，由
定理2.4.3知′＝a′。
从而有= a = - a n′
例1设a0＞0，b>0，a n＝（），n=1，2，…，证明数列｛a n｝收敛，并求其极限。
证明：不难看出，n N，有a n＞0，根据几何平均不超过算术平均，n N，有
a n＝（）≥（）＝b，
即数列｛a n｝有下界。
n N，有
a n+1-a n＝（）- a n＝（b-a n2）≤0，
即数列｛a n｝单调减少。
根据推论4.1，数列｛a n｝收敛，设＝a，由极限的单调性，有a≥>0。
对等式a n+1＝（）两端取极限得a=（a+），因a>0，得a=。
注4.4当b=2时，是无理数，例1表明：若a0是一有理数，则有理数列｛a n｝
收敛于无理数。
求极限的方法小结
阮正顺
极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：
一、利用极限四则运算法则
对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。
例 1.
2.
二、利用两个重要极限
两个重要极限为：或使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。
例 1.
2.
三、利用夹逼准则求极限
关键在于选用合适的不等式。
例 1.
2. 设，且求
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
例1. 设，
求极限。
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1. 2.
六、利用函数连续性求极限
设在点处连续，则。
例 1. 2.
七、利用洛必达法则求极限
洛必达法则对求未定式的极限而言，是一种简便而又有效的方法，前面出现的许多极限都可以使用此法则。
使用时，注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法结合使用，可极大的简化运算。
例 1.
2.
3.
八、利用麦克劳林展式或泰勒展式求极限
设函数在的某个邻域内有定义，且存在，则对该邻域内任意点有如下表示式成立
此式称为的具有皮亚诺余项的阶麦克劳林展式，对某些教复杂的求极限问题，可利用麦克劳林展式加以解决。
必须熟悉一些常用的展式，如：
计算过程中，要注意高阶无穷小的运算及处理。
例
九、利用定积分定义及性质求极限
若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间。
例 1.
2.
十、利用级数收敛的必要条件求极限
级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。
例
十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier 级数）。
使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
例求。