如何求实际问题中自变量取值范围
求函数自变量取值范围的方法
求函数自变量取值范围的方法一、函数自变量取值范围的重要性。
1.1 函数就像一个小机器呀，自变量是我们喂给这个小机器的原料。
自变量取值范围呢，就决定了哪些原料是这个小机器能接受的。
要是给错了原料，这小机器可就没法正常运转啦，就像“巧妇难为无米之炊”一样。
这个取值范围是函数的一个基本属性，它能让我们准确地理解函数的意义和行为。
1.2 比如说在实际生活中，我们要计算一个圆形的面积，函数是面积关于半径的表达式。
那半径这个自变量就不能是负数，因为现实中不存在负的半径呀，这就是自变量取值范围在实际问题中的体现。
如果不考虑取值范围，算出的结果可能就成了无稽之谈。
二、整式函数自变量取值范围。
2.1 对于整式函数，那可就简单得像吃豆腐一样。
整式函数自变量取值范围通常是全体实数。
因为整式在任何实数的代入下都能顺利进行计算，没有什么特殊的限制。
比如说函数y = 3x + 5，x可以取任何实数，就像一个大门敞开着，所有的数都可以进去溜达一圈。
2.2 再比如y = x² 2x + 1，不管x是正数、负数还是零，这个函数都能算出一个对应的y值。
就像一个包容万象的大家庭，什么数来都欢迎。
三、分式函数自变量取值范围。
3.1 分式函数就有点小脾气啦。
分式函数分母不能为零，这是铁的纪律。
因为分母为零的时候，这个分式就没有意义了，就像盖房子没有地基一样。
比如说函数y = 1/(x 2)，x就不能等于2。
要是x等于2了，那就像捅了马蜂窝一样，整个式子就乱套了。
3.2 我们得把让分母为零的那些值排除在自变量取值范围之外。
就像筛选珍珠一样，把那些不好的、会让函数出问题的值筛掉，留下的才是自变量合适的取值。
四、根式函数自变量取值范围。
4.1 根式函数呢，这里面有个小门道。
对于二次根式函数，根号下的数得是非负的。
就像我们要保护小树苗一样，根号下的数要是负数，在实数范围内就没有意义啦。
比如说y = √x，x必须大于等于0才行。
要是x是负数，那就像在沙漠里找鱼一样，根本就不存在对应的实数y值。
初中数学_如何确定函数自变量的取值范围
初中数学_如何确定函数自变量的取值范围确定函数自变量的取值范围是数学中的一个重要问题。
在解决数学问题和应用函数时，我们需要正确地确定自变量的取值范围，以保证问题的有效性和解决方案的正确性。
本文将介绍一些常见的确定函数自变量取值范围的方法。
首先，我们需要明确函数的定义域。
函数的定义域是指可以使函数有意义的自变量的取值范围。
根据函数的性质和实际问题的限制，我们可以用以下几种方法确定函数的定义域。
1.代数方法：根据函数的代数表达式，我们可以通过排除无意义或不符合要求的值来确定函数的定义域。
常见的情况包括分母不能为零、平方根函数的被开方数不能为负数等。
例如，对于函数f(x)=1/x，在这个函数中，分母不能为零，所以我们可以排除x=0。
因此，定义域可以表示为x≠0。
2.几何方法：通过函数的几何意义，我们可以确定自变量的取值范围。
例如，对于平方根函数y=√x，我们知道平方根函数的被开方数不能为负数。
因此，自变量的取值范围是x≥0。
3.实际问题的限制：在解决实际问题时，问题本身可能对自变量的取值范围有限制。
例如，一些问题要求在一个已知的范围内解决，那么自变量的取值范围可以限定在这个已知范围内。
其次，我们需要注意函数图像的特点，以确定函数自变量的取值范围。
1.函数的增减性：考虑函数的增减性可以帮助我们确定自变量的取值范围。
例如，对于一个递增函数，在这个函数中，随着自变量的增加，函数值也会增加。
因此，自变量的取值范围可以是无穷大或有实数限制的有界范围。
2.函数的奇偶性：如果函数是奇函数，那么函数图像关于原点对称，即f(x)=-f(-x)。
如果函数是偶函数，那么函数图像关于y轴对称，即f(x)=f(-x)。
根据函数的奇偶性可以帮助我们确定函数自变量的取值范围。
例如，如果函数是奇函数，那么自变量的取值范围可以限定在非负数范围内。
最后，我们可以通过函数的应用问题来确定自变量的取值范围。
1.题目限定：在解决应用问题时，问题本身可能对自变量的取值范围有限制。
1变量与函数如何确定自变量的取值范围
如何确定自变量的取值范围学习了函数以后就会经常遇到求自变量的取值范围的问题，那么如何才能正确地确定自变量的取值范围呢？一般可以从以下几个方面去考虑：一、当解析式是整式时，自变量的取值范围是一切实数例1 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）y ＝2x +3；（2）y ＝－3x 2+1.分析 由于这两个函数的解析式都是整式型的，所以自变量的取值范围是一切实数. 解（1）自变量x 的取值范围是一切实数；（2）自变量x 的取值范围是一切实数. 说明 求解时首先应判断函数是否属于是整式型的.二、当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数例2 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）y ＝21x +；（2）y ＝－22x x x --. 分析 这两道题都是属于分式型的，所以分母不等于零即可.解（1）因为x +1≠0，所以x ≠－1.即y ＝21x +中的自变量x 的取值范围是x ≠－1. （2）因为x 2－x －2≠0，即(x +1)( x －2)≠0，所以x ≠－1且x ≠2.即y ＝－22x x x --中的自变量x 的取值范围是x ≠－1且x ≠2.说明 这里在处理（2）时应特别注意文字“或”与“且”的使用.三、当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不是负数的一切实数例3 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）y （2）y . 分析 这两道题都是属于根式型的，所以只要被开方数不是负数，即是非负数.解（1）因为x +2≥0，即x ≥－2，所以y x 的取值范围是x ≥－2.（2因为2x －3≥0且3－2x ≥0，即x ≥32且x ≤32，所以x ＝32，所以y +x 的取值范围是x ＝32. 说明 在求解第（2）小题时，应保证使每一个根式都同时有意义.四、当解析式是由上述几种形式组合而成，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分例4 求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）y+x ；（2）y ＝1x -. 分析 这两道是属于复合型的，要使函数有意义，必须保证每一个式子都有意义. 解（1）因为根式要分母上，所以只要满足3x +5＞0，即x ＞－53，所以y +x 中的自变量x 的取值范围是x ＞－53.（2）要使函数有意义，必须满足①x +2≥0，②x －1≠0，即x ≥－2且x ≠－1.说明 在处理复合型函数自变量的取值范围时一定要根据题目的结构特征，分清每一部分的意义，只有保证每一部分都有意义了，才能从整体上保证函数有意义.五、当函数涉及到实际问题时，自变量的取值范围必须保证实际问题有意义例5 一次劳动技术课上，老师要求同学们制作一个周长为20cm 的等腰三角形.请你帮助同学们写出底边长y (cm ）与一腰长x (cm ）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.分析 一个等腰三角形有两条腰，一个底边，腰与底的和等于周长，而腰长，即自变量的取值范围必须受到图形本身的限制，一方面边长应是正值，另一方面应满足三角形的两边之和大于第三边.解 依据题意，得2x +y ＝20，即底边长y (cm ）与一腰长x (cm ）的函数关系式为y ＝20－2x .因为x +x ＝2x ＞y ，所以0＜y ＝20－2x ＜2x ，即5＜x ＜10.所以y ＝80－2x （5＜x ＜10）.说明 在求解本题中自变量x 的取值范围得注意两个问题：一是边长x 应是正值，二是应满足三角形的两边之和大于第三边，缺一不可.下面几道习题选自全国部分省市的中考试卷，供同学们练习.1，（广东省）函数y ＝11x +中自变量x 的取值范围是 ( ) A A.x ≠－l B.x ＞－1 C.x ＝－1 D.x ＜－12，（潍坊市）函数y ＝12x -中，自变量x 的取值范围是（ ）D A.x ≥－2 B . x ＞2 C.x ＞－1且x ≠2 D. x ≥－1且x ≠23，（苏州市）下列函数中，自变量x 的取值范围是x ＞2的函数是（ ）CA.yB.y ＝C.yD.y。
自变量的取值范围
如何求函数自变量的取值范围求函数自变量的取值范围是初中数学的重点内容、是历年中考的重要内容。
现将有关求函数自变量的取值范围的几种形式综合如下，供参考。
一、整式、奇次根式形式 其自变量的取值范围是全体实数例1 求下列函数中，自变量 x 的取值范围:(1) y=5x 2-2x+1 (2) y=332-x解：（1）（2）中 x 取任意实数，3x 2-2x+1与312-x 都有意义。
∴（1）（2）中 x 的取值范围为一切实数。
练习：（1） 函数y=3x 3-5x 2-7x-8中，自变量 x 的取值范围是____________。
(2) 函数y= 3723--x x 中,自变量 x 的取值范围是____________二、偶次根式形式 其自变量的取值范围是使被开方式的值为非负例2 若36x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是A ．2x -≥B ．2x ≠-C ．2x ≥D ．2x ≠ （2010南通市中考题） 解：由3x-6≥0 ∴x ≥2 故选C练习：（１）函数y=12-x 中,自变量 x 的取值范围是______。
函数y=x -1中,自变量 x 的取值范围是______。
（２）函数y=32+x 中,自变量 x 的取值范围是______。
三、分式形式 其自变量的取值范围是使分母不为零的实数例3函数的自变量x 的取值范围是( )A ．x ≠0B ．x ≠1C ．x ≥1D ．x ≤1 (2010苏州市中考题） 解：令x-1≠0 ∴x ≠1 故选B(2) 练习：（1）函数y=11+x 中,自变量 x 的取值范围是______。
四、0指数幂的形式 其自变量的取值范围是底数不等于零的一切实数例4 求使(2x-3)0有意义的x 的范围解：令2x-3≠0 ∴x ≠3/2练习：求使(3x-2)0+2x-1有意义的x 的范围五、综合形式 其自变量的取值范围是使组成这个函数的各个小部分都有意义 例5 函数y=2+x ＋31-x 中,自变量 x 的取值范围是______。
变量的关系函数自变量的取值范围的确定方法
一、自变量的取值范围的确定方法
①当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；
②当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；
③当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
④当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
二、变量及函数的定义
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个自变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
变量：
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量：函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。
三、变量的关系：
1.在具体情境中，感受两个变量之间的关系，就是一个变量随着另一个变量的变化情况，例如随着一个变量的变化，有的变量是呈匀速变化的，有的变量是呈不匀速变化的；
2.进而发现实际情景中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量和因变量，会用运动变化的基本观点观察事物。
也就是说，在两个有相依关系的变量中，其中一个是自变量，另一个是因变量；
3.自变量和因变量之间的变化关系可以用表格来刻画，也可以用图象来描述，并能对未来的趋势加以预测。
四、函数自变量的取值范围的确定方法：
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数自变量的取值范围．。
(完整版)如何求实际问题中自变量取值范围
如何求实际问题中自变量取值范围一般地求实际问题中的自变量取值范围，可以从静止和运动变化的角度去考虑，下面举例说明．一、用静止的观点求自变量的取值范围．由于学生认识能力有限，运动的变化观念和意识尚不成熟，他们往往习惯于用静止的观点看问题．学生在求自变量取值范围时，一般喜欢用静止的观点来求．从静止的角度考虑这个问题一般遵循以下原则：1．尊重事实．现实世界，“人数”“字数”等均用零和自然数表达，线段的长度，时间均为非负数，这些都是不可违背的事实．例1设电报费标准是每字0.14元，电报纸每张0.20元，写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系及x的取值范围．解：y＝0.14x＋0.20，x取正整数．例2矩形周长20，一边长x，面积为y，试写出y与x关系及x取值范围．解：y＝10x－x2，一边长为x，另一边长为10－x，由于边长不能为负，则x＞0，10－x＞0，∴0＜x＜10．2．遵循定律公理等．例3等腰梯形腰长和底长均为x，下底长y，其周长为20，写出y与x之间函数关系及x的取值范围．解：y＝20－3x，根据两点间距离线段最短，有：x＋x＋x＞y，例4等腰三角形腰长x，底边长y，周长30，写出y与x的函数关系及自变量的取值范围．解：y＝30－2x，因三角形两边之和大于第三边，∴x＋x＞y，3．符合题目要求例5一根弹簧，不挂物体时长12厘米，挂上物体以后，它伸长的长度(不超过22厘米)与所挂重物质量成正比．如果挂3千克重物，弹簧总长13.5厘米．求弹簧总长y与所挂重物质量x之间的函数关系，并写出自变量取值范围．解：y＝12＋0.5x，因为最长伸长y不超过22厘米，∴12＋0.5x≤22，x≤20，又∵x≥0，∴x的取值范围是0≤x≤20．二、用运动变化的观点求自变量取值范围．1．让两变量对应的图形或值进行大小变化，从而确定自变量最大值和最小值或者临界值．例6等腰三角形底角为x，顶角为y，写出y与x之间函数关系及x取值范围．解：y＝180°－2x，我们让x变大，x不可大到90°，让x变小x不能小到0°，这里0°就是x的临界值，∴x的取值范围是0°＜x＜90°．例7拖拉机油箱里有油54千克，使用时平均每小时耗油6千克，求箱中剩下油y(千克)与使用时间t(小时)之间函数关系及自变量的取值范围．解：y＝54－6t．当拖拉机不使用时，t＝0；开始使用，t在增加，y在减小，到油耗干时，y＝0，54－6t＝0，t＝9，这里，0和9是它的最大值和最小值．∴t 的取值范围是0≤t≤9．2．让动点动起来．B点运动到C点，设PB＝x，四边形APCD面积为y，写出y与x之间的函数关系及x的取值范围．例9如图2，在矩形ABCD中，边CD上有一动点P(异于C、D)，设DP＝x，AD＝a，AB＝b，△APD和△QCP面积之和为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．从靠近C点向D点靠近时，Q沿BC延长线上迅速远离C点，x则由大变小，∴0＜x＜b．3．让某部分图形整体移动．例10如图3，OM⊥ON，AB＝a，点A、B分别在ON、OM上滑动．设OB＝x，△OAB面积为y，写出y与x的函数关系及x的取值范围．逐渐提起，A点仍不离ON，并向左推动，此过程x在减小，当AB竖立在ON 线上时，x＝0，∴0≤x≤a．例11如图4，△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC边上点，E是AB边上点，∠ADE＝∠B，设AD＝x，AE＝y，则x与y之间函数关系式是[ ]＝0°，不符合题意．在∠ADE向下平移过程中，x在增大，当顶点D到达C处，且∠BDE＝∠B，x＝4，故0＜x≤4，故选(C)．总而言之，求实际问题中的自变量取值范围，如果用静止观点研究，必须遵守三条原则，如果用运动观点研究，动点必须在一定的轨道上运动，而且要时刻兼顾到图形其它的部分的变化．当然，对于此类问题，有时也可动静结合综合考察．。
函数自变量的取值范围的确定
已知点A(6,0),点P(x,y)在第一象限，且x+y=8,设∆OPA的面积为S. （1）求S关于x的函数表达式； （2）求x的取值范围； （3）求S=12时，点P的坐标.
求下列函数的自变量x的取值范围：
y 1 (x≠0) x
y 1 (x≠-1) x 1
y x (x≥0) y 4x 5
(x为一切实数）
y x2
(x≥2)
y3 x2
(x为一切实数）
二、实际问题中自变量的取值范围．
在实际问题中确定自变量的取值范围，主要 考虑两个因素：
⑴自变量自身表示的意义．如时间、用油量 等不能为负数．
老张讲数学
函数自变量的取值
一、函数关系式中自变量的取值范围
在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考 虑以下四种情况：
⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为 全体实数；
⑵函数关系式为分式形式：分母的全体不为零 ⑶函数关系式含算术平方根：被开方数的全体
为非负数； ⑷函数关系式含零指数的：底数的全体不，租用汽车接送234名学生和6名教 师集体外出活动，共租车6辆。甲、乙两车载客量和租金如下 表：
甲种车辆 乙种车辆
载客量（单位：人/辆） 45
30
租金（单位：元）
400
280
设租用甲种车x辆，租车费用为y元，求y与x的函数关系式，并 写出自变量x的取值范围．
三、几何图形中函数自变量的取值范围
⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不 等式组来确定自变量的取值范围．
例1.用总长为60m的篱笆围成长方形场地,求 长方形面积S(m2)与边长x(m)之间的函数关系 式,并指出式自变量的取值范围？
初二函数自变量的取值范围方法和经典题型
班级_______ 姓名______ 耀华学号______ 分数___________中考宝典之----确定函数自变量的取值范围的秘诀：（1）关系式为整式时，自变量的取值范围为全体实数；如：27y x =- 中，x 可以取任意实数（2）关系式分母含有变量时，整个分母不等于零；如：y =中，分母含有变量x ，分母为 1x + ，故分母10x +≠（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；中，被开方数为 21x -，则 210x -≥（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；即：()010a a =≠，如：()01y x =+ ，底数为1x + ，则 10x +≠ （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
如：某汽车的油箱内装有200 升的油，行驶时每百公里耗油10升，设行使的里程为 x （百公里），则油箱中所剩下的油 y (升）与 x 之间的函数关系式是：20010y x =-，则自变量 x 的范围是 020x ≤≤我一定都能过关！1、（2009·哈尔滨中考）函数y ＝22x x -+的自变量x 的取值范围是 . 2、（2010黑龙江哈尔滨）函数21-+=x x y 的自变量的取值范围是 。
3、（2010江苏苏州）函数11y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≠1 C ．x ≥1 D ．x ≤1 4、（2009·桂林中考）在函数y =x 的取值范围是 ．5、函数x x y 中自变量1-=的取值范围是 ，当2=x 时，函数值y= .6、（2010·威海中考）在函数x y -=3中，自变量x 的取值范围是 ．7、（2010湖南常德）函数y =x 的取值范围是 .8、函数y =x 的取值范围是___________.9、（2010广东湛江）函数1-=x y 的自变量x 的取值范围是（ ）A.1≥xB. 1-≥xC. 1-≤xD. 1≤x10、（2009·牡丹江中考）函数12y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 11、函数y=11+x 中自变量x 的取值范围是____________.12、函数中，自变量的取值范围应是（ ）、 、 、 、13、在函数3y x =-中，自变量x 的取值范围是 。
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如何求实际问题中自变量取值范围
一般地求实际问题中的自变量取值范围，可以从静止和运动变化的角度去考虑，下面举例说明．
一、用静止的观点求自变量的取值范围．
由于学生认识能力有限，运动的变化观念和意识尚不成熟，他们往往习惯于用静止的观点看问题．学生在求自变量取值范围时，一般喜欢用静止的观点来求．从静止的角度考虑这个问题一般遵循以下原则：
1．尊重事实．现实世界，“人数”“字数”等均用零和自然数表达，线段的长度，时间均为非负数，这些都是不可违背的事实．
例1设电报费标准是每字0.14元，电报纸每张0.20元，写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系及x的取值范围．
解：y＝0.14x＋0.20，x取正整数．
例2矩形周长20，一边长x，面积为y，试写出y与x关系及x取值范围．
解：y＝10x－x2，一边长为x，另一边长为10－x，由于边长不能为负，则x＞0，10－x＞0，∴0＜x＜10．
2．遵循定律公理等．
例3等腰梯形腰长和底长均为x，下底长y，其周长为20，写出y与x之间函数关系及x的取值范围．
解：y＝20－3x，根据两点间距离线段最短，有：x＋x＋x＞y，
例4等腰三角形腰长x，底边长y，周长30，写出y与x的函数关系及自变量的取值范围．
解：y＝30－2x，因三角形两边之和大于第三边，∴x＋x＞y，
3．符合题目要求
例5一根弹簧，不挂物体时长12厘米，挂上物体以后，它伸长的长度(不超过22厘米)与所挂重物质量成正比．如果挂3千克重物，弹簧总长13.5厘米．求弹簧总长y与所挂重物质量x之间的函数关系，并写出自变量取值范围．
解：y＝12＋0.5x，因为最长伸长y不超过22厘米，∴12＋0.5x≤22，x≤20，又∵x≥0，∴x的取值范围是0≤x≤20．
二、用运动变化的观点求自变量取值范围．
1．让两变量对应的图形或值进行大小变化，从而确定自变量最大值和最小值或者临界值．
例6等腰三角形底角为x，顶角为y，写出y与x之间函数关系及x取值范围．
解：y＝180°－2x，我们让x变大，x不可大到90°，让x变小x不能小到0°，这里0°就是x的临界值，∴x的取值范围是0°＜x＜90°．
例7拖拉机油箱里有油54千克，使用时平均每小时耗油6千克，求箱中剩下油y(千克)与使用时间t(小时)之间函数关系及自变量的取值范围．
解：y＝54－6t．当拖拉机不使用时，t＝0；开始使用，t在增加，y在减小，到油耗干时，y＝0，54－6t＝0，t＝9，这里，0和9是它的最大值和最小值．∴t 的取值范围是0≤t≤9．
2．让动点动起来．
B点运动到C点，设PB＝x，四边形APCD面积为y，写出y与x之间的函数关系及x的取值范围．
例9如图2，在矩形ABCD中，边CD上有一动点P(异于C、D)，设DP＝x，AD＝a，AB＝b，△APD和△QCP面积之和为y，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
从靠近C点向D点靠近时，Q沿BC延长线上迅速远离C点，x则由大变小，∴0＜x＜b．
3．让某部分图形整体移动．
例10如图3，OM⊥ON，AB＝a，点A、B分别在ON、OM上滑动．设OB＝x，△OAB面积为y，写出y与x的函数关系及x的取值范围．
逐渐提起，A点仍不离ON，并向左推动，此过程x在减小，当AB竖立在ON 线上时，x＝0，∴0≤x≤a．
例11如图4，△ABC中，AC＝4，AB＝5，D是AC边上点，E是AB边上点，∠ADE＝∠B，设AD＝x，AE＝y，则x与y之间函数关系式是[ ]
＝0°，不符合题意．在∠ADE向下平移过程中，x在增大，当顶点D到达C处，且∠BDE＝∠B，x＝4，故0＜x≤4，故选(C)．
总而言之，求实际问题中的自变量取值范围，如果用静止观点研究，必须遵守三条原则，如果用运动观点研究，动点必须在一定的轨道上运动，而且要时刻兼顾到图形其它的部分的变化．当然，对于此类问题，有时也可动静结合综合考察．。