快速绘制剪力图和弯矩图
多种方法快速绘制剪力图和弯矩图
多种方法快速绘制剪力图和弯矩图摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题，也是难点问题，对于初学的学生不易理解。
本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法，比较不同方法之间的区别，旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。
关键词：剪力图弯矩图面积法叠加法 1 引言直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度校核时，根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律，确定等截面弯曲梁的危险截面，因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。
绘制剪力图和弯矩图内容复杂，学生较难理解，容易出错。
不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等，在原有绘图方法的基础上，提出自己新的理解，可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。
2 直接绘制剪力图和弯矩图例：一外伸梁受力图如图1(a)所示，集中荷载qa/4作用在梁两端，BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载，CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷，绘出梁的剪力图和弯矩图。
解：(1)选取整个梁为研究对象，通过平衡方程获得支座反力，FBy=3qa/4，FDy=-qa/4。
(2) 绘制剪力图。
过A点建立水平方向的x轴，竖向的FS轴，方向向上为正。
从原点（0,0）即A+截面（过A点左横截面）开始，初始截面处于自由端，剪力为零。
遇到作用在A点向下的集中载荷，则剪力顺着箭头方向下降qa/4，下降值和集中载荷的大小相同，则对应于A-截面（过A点右横截面）的剪力图坐标为（0，-qa/4)。
AB段无荷载，所以剪力图保持直线，即B+截面处的剪力图坐标为（a，-qa/4)。
在B点处受到约束力FBy的作用，方向向上，B-截面处的剪力图坐标为（a，qa/2)，剪力变化值等于约束力FBy。
BC段梁受到向下均匀载荷的作用，剪力均匀下降，由点B-(a，qa/2)均匀下降到C(2a，-qa/2)，斜率为-q。
CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用，剪力均匀上升，由点C(2a，-qa/2)均匀上升到D(3a，qa/2)，斜率为q。
剪力图和弯矩图教程
（0<x<a）
M(x)FAyxFl b (0≤x≤a)
CB段：
F Q(x)F Ay FF l bFF l a (a<x<l) M (x)F Ax yF (xa )F l (la x) (0≤x≤l)
3.作剪力图和弯矩图
剪力图和弯矩图教程
例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。
3.作剪应力图和弯矩图
最大剪力发生在梁端，其值为
F 1ql
2 Qmax
最大弯矩发生在跨中，它的剪数力图值和弯为矩图M教程max
1 8
ql
2
例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAyFl b,FByFl a 2.列剪力方程和弯矩方程 AC段：
FQ(x)
FA
y
Fb l
剪力图和弯矩图教程
一、根据内力方程作内力图
剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系； 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此 梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ(x)F (0＜x＜l ) M(x)Fx (0≤x＜l)
d2M(x)
当q(x)朝上时， dx2 q(x)0 M图为上凸下凹。
剪力图和弯矩图教程
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M 图向下转折；反之，则向上转折。
(4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶 使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集 中力偶矩的大小。 3. 弯矩图与剪力图的关系
x
剪力图和弯矩图方法
剪力图和弯矩图方法
剪力图和弯矩图是结构力学中常用的分析工具，用于分析和设计结构的受力情况。
以下是剪力图和弯矩图的制作方法：
剪力图：
1. 绘制结构图：首先画出结构的几何形状和受力情况的示意图。
2. 确定剪力方向：根据结构受力情况，确定每个截面上的剪力方向，通常用箭头表示。
3. 确定剪力大小：根据结构受力平衡条件，确定每个截面上的剪力大小。
4. 画出剪力图：根据确定的剪力方向和大小，在结构示意图上相应位置上画出对应的剪力图。
弯矩图：
1. 绘制结构图：首先画出结构的几何形状和受力情况的示意图。
2. 确定截面位置：根据需要绘制弯矩图的位置，确定绘制弯矩图的截面位置。
3. 确定剪力大小：根据结构受力平衡条件，确定每个截面上的截面剪力大小。
4. 确定截面抵抗矩：根据截面形状，计算每个截面上的截面抵抗矩。
5. 计算弯矩：根据截面抵抗矩和截面剪力大小，计算每个截面上的弯矩大小。
6. 画出弯矩图：根据计算得到的弯矩大小，在结构示意图上相应位置上画出对应的弯矩图。
在绘制剪力图和弯矩图时，需要考虑结构的几何形状、支座条件、荷载情况等因
素，同时应满足受力平衡条件和连续性要求。
这些图形分析的结果可以帮助工程师评估结构的受力情况，进行结构设计和优化。
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
CB段： Ｆ
3、依方程而作图
简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和 弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
从左往右做图
在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线， 斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜， V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。 在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0（ ）向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0（ ）向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的 转向决定，逆上顺下。突变大小等于力偶矩的大小。 极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
Fs
RA
qx
1 2
ql
qx
(0<x<l)
3、依方程作剪力图和弯矩图
载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反 力
vv vv
vv v v
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。 2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下： （1）将梁正确分段 （2）根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状
怎样快速绘制剪力图和弯矩图
怎样快速绘制剪力图和弯矩图3毛和业(黔南职业技术学院机电系,贵州,都匀558022)摘 要:在工程构件中,最常见的变形形式是弯曲变形和弯扭组合变形。
它们的强度计算必须以剪力图和弯矩图的绘制来找到危截面为前提,而这一绘制过程复杂,计算量大。
根据各种载荷的剪力图和弯矩图规律对这一过程进行简化,可找到一种学生易于掌握,且准确率高的方法。
关键词:剪力图;弯矩图;绘制;快速中图分类号:T B23 文献标识码:B 文章编号:1005-6769(2005)03-0081-03How to D raw the Shear i n g Force D i a gram and Bend i n g M o m en t D i a gram Rap i dlyMAO He -ye(Mechanical and Electr onic Depart m ent,Q iannan Vocati onal and Technical College,Duyun 558022,China )Abstract:I n structural me mbers,the defor mati on is usually caused by bending or by a combinati on of bending and t orsi on .W e calculate their strength based on finding the critical secti on by drawing the shearing force diagra m and bending moment diagra m that is relatively comp lex and needs l ots of work .Theref ore,according t o the regulati ons of shearing f orce diagra m and bending moment diagra m caused by different l oad models,this paper si m p lifies the p r ocess and finds an easy and accurate method .Key words:shearing f orce diagra m;bending moment diagra m;dra w;rap id1 引言 《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课,特别对于机电类专业,学生学习质量的好坏,对后续课程的学习,如《机械原理》《机械零件》《汽车理论》等乃至于对今后的工作至关重要。
结构力学课件-快速作弯矩图的方法和技巧
快速作弯矩图
(Quick drawing of bending moment diagram)
➢ 一、直接绘M图的几点技巧 ➢ 二、本节例题
一、直接绘M图的几点技巧 1、充分利用M图的形状特征与横向荷载的关系
➢无横向荷载作用的直杆区段：弯矩图为直线；
➢有横向荷载作用的直杆区段：只要知道两杆端截面M值，用 区段叠加法作M图（熟记简支梁在常见荷载下M图）
l q q
主观题 10分
直接作出下图所示结构的弯矩图。
作答
3、充分利用刚结点的力矩平衡条件
➢无外力偶作用的两杆相交刚结点：两杆端弯矩竖标相等且位于同侧 （内侧或外侧）
MAC
MAB A
A MAC
MAB
A MAB
MAC MAB =MAC
A MAC
MAB MAB =MAC
➢有外力偶作用的两杆相交刚结点：两杆端弯矩竖标有突变；
M图
m=2.5ql2 C
1.5ql2
M DC
1 ql2 2
M CD ql 2
D
1 ql2 2
l
m=2.5ql2
C q
2ql Al
③作FS图：根据已作出的弯矩图，利用杆段的
F=2ql
平衡条件先求杆端剪力，从而作出剪力图
D q
ql2
C
FSCD
2ql
D 0.5ql2
FSDC
B l
MC 0
Fy 0
例：直接作图示结构的M图
G q
H q
I q
A 3a
B
C
DEF
2a a 2a a
1.125 4.5
4.5
4.5 4.5
2.25
4.5
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
简支梁受集中荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反 力
2、分段建立方 A程C段：
CB段： Ｆ
3、依方程而作图
简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和 弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示Ｆ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为 剪力图和弯矩图，简称Ｆ图和M图。绘图时一 般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪 力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯 矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。 下端受拉为正弯矩
A
C
D
B
FA
a
c
l
FA
b
FB
FB
FAa
FBb
a
F
F
Fa
a
5
kN
4
Fa kNm
2kN m
4m 3kN
kN
3
2.25
kNm
4kN m
6kN
4.5
1m
1m
4.5
1.5
4
8.5
7
2kN m
2m
5.5
kN
5.5 kNm
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
Fs
RA
qx
1 2
利用微分法快速绘制剪力图与弯矩图
《机电技术》2010年第3期 机电研究及设计制造利用微分法快速绘制剪力图与弯矩图陈小兰 陈晓波(鄂东职业技术学院，湖北 黄冈 438000)摘 要：本文根据载荷集度、剪力和弯矩三者的微分关系，介绍一种简易快速绘制剪力图和弯矩图的方法——微分关系法，省去了截面法“截、代、平”及建立剪力和弯矩方程的复杂过程，可以高效的、巧妙的绘制出剪力图和弯矩图。
关键词：微分法；剪力图；弯矩图；直梁弯曲中图分类号：TB301 文献标识码：A 文章编号：1672－4801(2010)03－060－03在高职教材《机械设计基础》材料力学这一篇中，直梁的弯曲变形是杆件的基本变形之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图（即将梁上所有横截面上的剪力和弯矩用函数图象的形式表示出来），以便清楚地看出梁各个横截面上剪力和弯矩的大小、正负以及危险截面（即弯矩最大值所在截面的位置）。
这一节内容往往是学生不容易掌握的，是教学的难点，但是它又是教学的重点，是后面章节尤其是轴的强度校核的基础。
所以学好梁的弯曲变形这一节内容显得非常重要。
而分析梁的弯曲变形主要就是绘制梁的各个横截面上的剪力和弯矩，即绘制剪力图和弯矩图。
因此剪力图和弯矩图的正确快速绘制是分析问题的关键。
本文根据载荷集度、剪力和弯矩三者的微分关系，介绍一种简易快速绘制剪力图和弯矩图的方法——微分关系法，省去了截面法“截、代、平”及建立剪力和弯矩方程的复杂过程，可以高效、巧妙地绘制出剪力图和弯矩图。
1 微分法绘制剪力图和弯矩图1.1 载荷集度、剪力和弯矩的微分关系载荷集度q 、剪力Q F 、弯矩M 三者存在的微分关系为：弯矩方程的一阶导数等于剪力方程，剪力方程的一阶导数等于载荷集度，即()()(),()Q Q dF x dM x F x q x dx dx==。
根据上式微分关系得出以下推论[1]： (1)在梁的某段，若无载荷作用，即()0q x =，则()Q F x =常数，剪力图是一条与x 轴平行的水平线，而()M x 为一次函数，弯矩图为一条斜直线，斜率为剪力的值。
浅谈材料力学中简易法快速画梁的剪力图和弯矩图
图1外伸梁AB承受图F B=3.8kN（↑）画剪力图。
从左到右画，对于平衡问题，剪到零结束。
A截面作用有向下的集中力，所以剪力图要向下突变，从零开始，突变值3kN，AC段没有分布荷载作用，线。
C截面有向上的集中力作用，图2剪力图图3弯矩图到零结束。
A 截面是自由截面且没有集中力偶作用，所以弯矩为零。
C 截面弯矩即AC 段-3kN ·m 。
AC 段没有分布荷载，弯矩CD 段有均布荷载作用，弯矩图抛物均布荷载箭头向下，所以抛物线向下凸。
画抛个截面，分别是均布荷载的起端、末端及剪力为零处对应的弯矩值即抛物线顶点。
由剪力图可求得剪力为零处的位置，根据积分关系就能求得该处的弯矩值为1.41kN ·弯矩值为-2.2kN ·m 。
D 截面处有集中力偶作用，矩图要发生突变。
集中力偶的方向是顺时针，而下，所以弯矩图向下突变，突变值到3.8kN ·m 。
DB 段没有分布荷载作用，图是斜直线。
B 截面是铰接处，没有集中力偶作用，弯矩为零。
标明弯矩的单位及正负号总结本文以横向分布力集度与剪力、弯矩的微分关系为基础，总结归纳了几种荷载作用下剪力图和弯矩图的特征，具体讲述了如何用简易法画内利用它们之间的积分关系，可由内力图面积快速求出控制截面的内力值。
掌握这些特征，就可以不用写内力方程而根据外力直接画出相应的内力图，简单、高效。
参考文献［1］邓宗白,陶阳,吴永端.材料力学［M ］.北京2013.［2］刘鸿文.材料力学(Ⅰ)［M ］.北京:高等教育出版社［3］孙训方.材料力学［M ］.(第5版)北京:高等教育出版社2009.. All Rights Reserved.。
剪力图与弯矩图的画法
RA
P1 2KN
m 10KN .m
将梁分为AC、CD、
q 1KN m
DB、BE 四段
A
c
D
RB
P2 2KN BE
剪力图
4m
4m
4m
3m
AC：向下斜的直线（）
CD：向下斜的直线 ( ) DB：水平直线 (—） Q =P2 -RB=- 3KN EB：水平直线 (—）
Q = - 3KN
+
CD段：向上凸的二次抛物线。
a 该段内弯矩没有极值。
bc
d
Md 0
例题 计算 下图中的梁 C、 E 两横截面上的 剪力和弯矩。
解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
q
A
B
CE
D
0.2
1.6
1
2
q
在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
80KN (b)
+
80KN
q
在CE段中，剪力图为三角形
A
B
CE
D
QC=80KN，MC=16KN.m
剪力图
AC段：水平直线 Q1 = RA = 80 KN
CD段： 向右下方的斜直线
DB段：水平直线
最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。
1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2
2
B D
80KN
+
80KN
弯矩图 AC段：
CD段： 其极值点在Q=0的中点E处的 横截面上。