甘肃省天水市2018届高三数学上学期第三学段考试试题 Word版 含答案
2018年甘肃省天水一中高考数学三模试卷(文科)
2018年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 命题p:∃x0∈R，f(x0)≥2，则￢p为（）A.∀x∈R，f(x)≥2B.∀x∈R，f(x)<2C.∃x0∈R，f(x)≤2D.∃x0∈R，f(x)<2【答案】B【考点】命题的否定【解析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p:∃x0∈R，f(x0)≥2，则￢p为：∀x∈R，f(x)<2．2. 复数z=i1−i（i为虚数单位）在复平面内关于虚轴对称的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z=i1−i在复平面内关于虚轴对称的点的坐标得答案．【解答】∵z=i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+i2，∴复数z=i1−i 在复平面内关于虚轴对称的点的坐标为(12,12)，位于第一象限．3. 下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b // 平面α，直线a⊂平面α；所以直线b // 直线a，在这个推理中()A.大前提正确，结论错误B.小前提与结论都是错误的C.大、小前提正确，只有结论错误D.大前提错误，结论错误【答案】D【考点】演绎推理【解析】演绎推理的错误有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误，要判断推理过程的错误原因，可以对推理过程的大前提和小前提及推理的整个过程，细心分析，不难得到正确的答案．【解答】解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误，结论错误．故选D.4. 设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【考点】等差数列的通项公式【解析】先求出B的度数，再根据余弦定理和等比数列的性质可得a=c，即可判断．【解答】∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，∴∠B=60∘，又sinA、sinB、sinC成等比数列，∴sin2B=sinA⋅sinC，∴b2=ac，由余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB，∴a2+c2−2ac=0，∴a=c∴三角形为等边三角形，5. 运行如图所示的程序框图，若输出的S是254，则①应为（）A.n≤5？B.n≤6？C.n≤7？D.n≤8？【答案】C【考点】程序框图【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值，并输出满足循环的条件．【解答】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+...+26+27=254，故①中应填n≤7．6. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度后，所得图象与函数y=g(x)的图象重合，则（）A.g(x)=2sin(2x+π3)B.g(x)=2sin(2x+π6)C.g(x)=2sin2xD.g(x)=2sin(2x−π3)【答案】A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】此题暂无解析【解答】解：根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的部分图象可得3T 4=34⋅2πω=2π3−(−π12)=3π4，则ω=2．∵2sin(2×2π3+φ)=−2，∴4π3+φ=3π2+2kπ，k∈Z，则φ=π6+2kπ，k∈Z．∵|φ|≤π2，∴φ=π6，即函数f(x)=2sin(2x+π6)．∵将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度后，所得图象与函数y=g(x)的图象重合，∴ g(x)=2sin [2(x +π12)+π6]=2sin (2x +π3)． 故选A ．7. 某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.100π9B.9πC.100π27D.10π【答案】 A【考点】由三视图求体积 【解析】判断三视图对应的几何体的形状，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积． 【解答】解：由三视图知，该几何体为三棱锥，高为3，其一个侧面与底面垂直，且底面为等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的侧面的三角形高上， 设球半径为R ，则(3−R)2+1=R 2，解得R =53， 所以球的表面积为：S =4π⋅R 2=100π9．故选A ．8. 已知直线x +y −5=0与两坐标轴围成的区域为M ，不等式组{y ≤5−xx ≥0y ≥3x 所形成的区域为N ，现在区域M 中随机放置一点，则该点落在区域N 的概率是（ ） A.34B.12C.14D.23【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】由题意画出图形，求出M 、N 的面积，结合几何概型求得答案． 【解答】由题意画出图形如图，直线x +y −5=0与两坐标轴围成的区域为M 为三角形AOB 及其内部区域，其面积为12×5×5=252；不等式组{y ≤5−xx ≥0y ≥3x 所形成的区域为N 为图中阴影部分，联立{y =3xx +y =5，解得C(54, 154)， 其面积为12×5×154=758．由几何概型可得：点落在区域N 的概率是758252=34．9. 两个正数a 、b 的等差中项是72，一个等比中项是2√3，且a <b ，则双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率e 等于（ ） A.34B.152C.54D.53【答案】D【考点】双曲线的离心率 【解析】由数列知识求出a ，b ，由双曲线性质求出c ，由此可求出双曲线的离心率e ． 【解答】由题设知{a +b =7ab =120<a <b ，解得a =3，b =4， ∴ c =√a 2+b 2=5， ∴ e =ca =53．10. 如图α⊥β，AB ⊂α，AC ⊂β，∠BAD =∠CAD =45∘，则∠BAC =( )A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘ 【答案】 B【考点】三面角、直三面角的基本性质 【解析】作BO ⊥AD ，交AD 于O ，连结CO ，BC ，设AO =a ，则AO =BO =CO =a ，从而AB =AC =BC =√2a ，由此能求出∠BAC ． 【解答】作BO ⊥AD ，交AD 于O ，连结CO ，BC ，∵α⊥β，AB⊂α，AC⊂β，∠BAD=∠CAD=45∘，∴设AO=a，则AO=BO=CO=a，BO⊥AO，CO⊥AO，BO⊥CO，∴AB=AC=BC=√2a，∴∠BAC=60∘．11. 魔术师用来表演的六枚硬币a，b，c，d，e，f中，有5枚是真币，1枚是魔术币，它们外形完全相同，但是魔术币与真币的重量不同，现已知a和b共重10克，c，d共重11克，a，c，e共重16克，则可推断魔术币为（）A.aB.bC.cD.d【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：5枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，c，d中一定有一个为魔术币，假设c为魔术币，则真硬币的重量为5克，则c的重量为6克，满足a，c，e共重16克，故假设成立，若d为魔术币，则真硬币的重量为5克，则d的重量为6克，不满足a，c，e共重16克，故假设不成立，则d是真硬币．故选C．12. 已知双曲线x23−y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，且M为抛物线的准线与x轴的交点，N为抛物线上的一点，且满足|NF|=√32|MN|，则点F到直线MN的距离为（）A.12B.1C.√3D.2【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】由已知双曲线方程求得抛物线的焦点坐标及M的坐标，设N(a, 2√2a)，则|NF|=|NP|=a+2，结合|NF|=√32|MN|，可得|MN|=2√33(a+2)，求得|PM|=2√2a，在Rt△MPN中，利用勾股定理求得a，再由点到直线的距离公式求点F到直线MN的距离．【解答】双曲线x23−y2=1的右焦点坐标为F(2, 0)，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2, 0)，准线与x轴的交点为M(−2, 0)，由|NF|=√32|MN|，得|MN|=2√33|NF|，作NP⊥准线，与准线交于点P，设N(a, 2√2a)，则|NF|=|NP|=a+2，∴|MN|=2√33(a+2)，|PM|=2√2a，直线MN的方程为：y=2√2aa+2(x+2)，即2√2ax−(a+2)y+4√2a=0，∴点F到MN的距离d=√2a+4√2a|2=√2a√a2+12a+4，在Rt△MPN中，PM2+PN2=MN2，∴8a+(a+2)2=[2√33(a+2)]2，解得a=10+4√6，或a=10−4√6，∴点F到MN的距离d=√2a√a2+12a+4=2．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.用秦九韶算法求多项式f(x)=x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x，当x=2时多项式的值为________．【答案】240【考点】秦九韶算法【解析】由于函数f(x)=x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x=(（（（(x+2)x+3）x+4）x+5）x+6)x，当x=2时，带入计算即可得出．【解答】由于函数f(x)=x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x=(（（（(x+2)x+3）x+4）x+5）x+6)x，当x=2时，可得f(2)=(（（（(2+2)2+3）2+4）2+5）2+6)2=240，已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m // β，n // β，则α // β；③如果m⊂α，nα，m，n是异面直线，则n与α相交；④若α∩β=m．n // m，且nα，nβ，则n // α，且n // β其中正确确命题的序号是________（把正确命题的序号都填上）【答案】①④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系【解析】①由面面垂直的判定理判断．②由面面平行判定定理判断③也可能平行④若由线面平行的判定定理判断．【解答】①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，由面面垂直的判定理知正确．②若m ⊂α，n ⊂α，m // β，n // β，则α // β；两条相交直线才行，不正确． ③如果m ⊂α，nα，m ，n 是异面直线，则n 与α相交；也可能平行，不正确．④若α∩β=m ．n // m ，且nα，nβ，则n // α，且n // β由线面平行的判定定理知正确．已知向量a →=(1, λ)，b →=(3, 1)，c →=(1,2)，若向量2a →−b →与c →共线，则向量a →在向量c →方向上的投影为________． 【答案】 0【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：a →=(1,λ)，b →=(3,1)，2a →−b →=(−1,2λ−1)，∵ 向量2a →−b →与c →=(1,2)共线，∴ 2λ−1=−2， 即λ=−12． ∴ a →=(1,−12)，∴ 向量a →在向量c →方向上的投影为 |a →|⋅cos⟨a →,c →⟩=a →⋅c →|c →|=1−2×12√5=0．故答案为：0．若直角坐标平面内两点P,Q 满足条件：①P,Q 两点分别在函数y =f(x)与y =g(x)的图象上；②P,Q 关于y 轴对称，则称(P,Q)是函数y =f(x)与y =g(x)的一个“伙伴点组”（点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”）．若函数f(x)={ln x,x >0,−√−x,x ≤0与g(x)=|x +a|+1有两个“伙伴点组”，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (e,+∞) 【考点】函数与方程的综合运用 函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设点(x,y)在f(x)上，则点(−x,y)所在的函数为ℎ(x)={ln (−x),x <0,−√x,x ≥0,则g(x)与ℎ(x)有两个交点．g(x)的图象由y =|x|+1的图象左右平移产生， 当ℎ(x)=1时，x =−e ，如图，所以当y =|x|+1的图象左移超过e 个单位时， g(x)与ℎ(x)能产生两个交点， 所以a 的取值范围是(e,+∞)． 故答案为：(e,+∞)． 三、解答题已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n ，且数列{Snn}是公差为2的等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝(−1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】由数列{Snn}是公差为2的等差数列， 可得Snn=1+2(n −1)＝2n −1， 即S n ＝n(2n −1)，n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝n(2n −1)−(n −1)(2n −3)＝4n −3， 对n ＝1时，上式也成立． 故a n ＝4n −3；b n ＝(−1)n a n ＝(−1)n ⋅(4n −3)．当n 为偶数时，前n 项和T n ＝−1+5−9+13−...−(4n −7)+(4n −3) ＝4×n2=2n ；当n 为奇数时，前n 项和T n ＝T n−1+(−4n +3) ＝2(n −1)−4n +3＝1−2n ． 则T n ={2n,n1−2n,n． 【考点】等差数列的通项公式 数列的求和 【解析】（1）运用等差数列的通项公式，可得S n ＝n(2n −1)，再由n ≥2时，a n ＝S n −S n−1，即可得到所求通项；（2）求得b n ＝(−1)n a n ＝(−1)n ⋅(4n −3)．讨论n 为偶数，n 为奇数，结合等差数列的求和公式计算即可得到所求和．【解答】由数列{Snn}是公差为2的等差数列， 可得Snn=1+2(n −1)＝2n −1， 即S n ＝n(2n −1)，n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝n(2n −1)−(n −1)(2n −3)＝4n −3， 对n ＝1时，上式也成立． 故a n ＝4n −3；b n ＝(−1)n a n ＝(−1)n ⋅(4n −3)．当n 为偶数时，前n 项和T n ＝−1+5−9+13−...−(4n −7)+(4n −3) ＝4×n2=2n ；当n 为奇数时，前n 项和T n ＝T n−1+(−4n +3) ＝2(n −1)−4n +3＝1−2n ． 则T n ={2n,n1−2n,n．前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，如表为2014∼2017年中国百货零售业销售额（单位：亿元，数据经过处理，1∼4分别对应2014∼2017）：（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测2018年我国百货零售业销售额；（3）从2014∼2017年这4年的百货零售业销售额及2018年预测销售额这5个数据中任取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率．参考数据：∑=i=14yi 800,∑=i=14xiyi 2355，√∑(y i −y)24i=1≈158.9,√5≈2.236参考公式：相关系数r =n i=1i i √∑(x i −x)2n i=1∑(y i −y)2n i=1，回归方程y ^=a ^+b ^x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(x i −x)2n i=1，a ^=y −b ^x ．【答案】由表中的数据和参考数据得x =2.5,y =200， ∑4i=1(x i −x)2=5,√∑(y i −y)24i=1≈158.9， ∑4i=1(x i −x)(y i −y)=∑−i=14xiyi x ∑=i=14yi 2355−2.5×800=355，∴ r ≈3552.236×158.90≈0.999；因为y 与x 的相关系数近似为0.999，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系；由y =200及（1）得b ^=∑(4i=1x i −x)(y i −y)∑(x i −x)24i=1=3555=71，a ^=y −b ^x =200−71×2.5=22.5，所以y 关于x 的回归方程为y ^=22.5+71x ；将2018年对应的x =5代入回归方程得y ^=22.5+71×5=377.5， 所以预测2018年我国百货零售业销售额为377.5亿元； 从这5个数据中任取2个数据，结果有：(95, 165)，(95, 230)，(95, 310)，(95, 377.5)，(165, 230)，(165, 310)，(165, 377.5)，(230, 310)， (230, 377.5)，(310, 377.5)共 10个；所取2个数据之差的绝对值大于200亿元的结果有： (95, 310)，(95, 377.5)，(165, 377.5)共3个， 所以所求的概率为P =310．【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由表中的数据和参考数据求得相关系数，从而判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）计算回归系数，即可写出y 关于x 的回归方程，再利用回归方程计算2018年对应的函数值；（3）用列举法计算基本事件数，求出所求的概率值． 【解答】由表中的数据和参考数据得x =2.5,y =200， ∑4i=1(x i −x)2=5,√∑(y i −y)24i=1≈158.9， ∑4i=1(x i −x)(y i −y)=∑−i=14xiyi x ∑=i=14yi 2355−2.5×800=355，∴ r ≈3552.236×158.90≈0.999；因为y 与x 的相关系数近似为0.999，说明y 与x 的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系；由y =200及（1）得b ^=∑(4i=1x i −x)(y i −y)∑(x i −x)24i=1=3555=71，a ^=y −b ^x =200−71×2.5=22.5，所以y 关于x 的回归方程为y ^=22.5+71x ；将2018年对应的x =5代入回归方程得y ^=22.5+71×5=377.5， 所以预测2018年我国百货零售业销售额为377.5亿元； 从这5个数据中任取2个数据，结果有：(95, 165)，(95, 230)，(95, 310)，(95, 377.5)，(165, 230)，(165, 310)，(165, 377.5)，(230, 310)，(230, 377.5)，(310, 377.5)共10个；所取2个数据之差的绝对值大于200亿元的结果有：(95, 310)，(95, 377.5)，(165, 377.5)共3个，所以所求的概率为P=310．在三棱锥P−ABE中，PA⊥底面ABE，AB⊥AE，AB=AP=12AE=2，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且AC=√5，连接PC，PD，CD．（1）求证：CD // 平面PAB；（2）求点E到平面PCD的距离．【答案】因为12AE=2，所以AE=4．又AB=2，AB⊥AE，所以在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=√AB2+AE2=√22+42=2√5．因为AC=√5=12BE，所以AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线．所以C是BE的中点．又因为D是AE的中点，所以直线CD是Rt△ABE的中位线，所以CD // AB．又因为CD平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD // 平面PAB．由（1）得，CD=12AB=1．又因为DE=12AE=2，DE⊥CD．所以S△CDE=12CD∗DE=12×1×2=1．又因为AP=2，所以V三棱锥P−CDE =13S△CDE∗AP=13×1×2=23．由题意得PD=2√2，且PD⊥CD，所以S△CDP=12CD∗PD=12×1×2√2=√2．设点E到平面PCD的距离为d，则由V三棱锥P−CDE=V三棱锥E−PCD，得13S△CDP∗d=23，即13×√2×d=23，解得d=√2．故点E到平面PCD的距离为√2．【考点】点、线、面间的距离计算【解析】（1）求出AE=4．由勾股定理得BE=2√5．推导出AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线，从而C是BE的中点．进而直线CD是Rt△ABE的中位线，CD // AB．由此能证明CD // 平面PAB．（2）由V三棱锥P−CDE=V三棱锥E−PCD，能求出点E到平面PCD的距离．【解答】因为12AE=2，所以AE=4．又AB=2，AB⊥AE，所以在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE=√AB2+AE2=√22+42=2√5．因为AC=√5=12BE，所以AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线．所以C是BE的中点．又因为D是AE的中点，所以直线CD是Rt△ABE的中位线，所以CD // AB．又因为CD平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD // 平面PAB．由（1）得，CD=12AB=1．又因为DE=12AE=2，DE⊥CD．所以S△CDE=12CD∗DE=12×1×2=1．又因为AP=2，所以V三棱锥P−CDE =13S△CDE∗AP=13×1×2=23．由题意得PD=2√2，且PD⊥CD，所以S△CDP=12CD∗PD=12×1×2√2=√2．设点E到平面PCD的距离为d，则由V三棱锥P−CDE=V三棱锥E−PCD，得13S△CDP∗d=23，即13×√2×d=23，解得d=√2．故点E到平面PCD的距离为√2．已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点F与抛物线N:y2=4x的焦点重合，且M经过点(1,32)．（1）求椭圆M的方程；（2）已知斜率大于0且过点F的直线l与椭圆M及抛物线N自上而下分别交于A，B，C，D，如图所示，若|AC|=8，求|AB|−|CD|．【答案】易知F的坐标为(1, 0)，所以c=1，所以{1a2+94b2=1a2−b2=1，解得a2=4，b2=3，所以椭圆M的方程为x24+y23=1．设直线l的方程为y=k(x−1)(k>0)，代入y2=4x，得k2x2−(2k2+4)x+k2=0，设A(x1, y1)，C(x2, y2)，则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2，因为|AC|=x1+x2+2=4+4k2=8，k>0，所以k=1．将y=x−1代入x24+y23=1，得7x2−8x−8=0．设B(x3, y3)，D(x4, y4)，则x3+x4=87,x3x4=−87，所以|BD|=√1+1√(x3+x4)2−4x3x4=247，故|AB|−|CD|=|AC|−|BD|=8−247=327．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）易知F的坐标为(1, 0)，所以c=1，通过已知条件求出a，b即可求出椭圆方程．（2）设直线l的方程为y=k(x−1)(k>0)，代入y2=4x，设A(x1, y1)，C(x2, y2)，利用韦达定理以及弦长公式，设B(x3, y3)，D(x4, y4)，转化求解|AB|−|CD|即可．【解答】易知F的坐标为(1, 0)，所以c=1，所以{1a2+94b2=1a2−b2=1，解得a2=4，b2=3，所以椭圆M的方程为x24+y23=1．设直线l的方程为y=k(x−1)(k>0)，代入y2=4x，得k2x2−(2k2+4)x+k2=0，设A(x1, y1)，C(x2, y2)，则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2，因为|AC|=x1+x2+2=4+4k2=8，k>0，所以k=1．将y=x−1代入x24+y23=1，得7x2−8x−8=0．设B(x3, y3)，D(x4, y4)，则x3+x4=87,x3x4=−87，所以|BD|=√1+1√(x3+x4)2−4x3x4=247，故|AB|−|CD|=|AC|−|BD|=8−247=327．已知函数f(x)=e x+ax−a（a∈R且a≠0）．(1)若函数f(x)在x=0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[−2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)=e x+a，f′(0)=e0+a=0，∴a=−1．在(−∞,0)上f′(x)<0，f(x)单调递减；在(0,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增．所以x=0时，f(x)取极小值，所以f(x)在[−2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增．又f(−2)=1e2+3，f(1)=e,f(−2))>f(1)，∴f(x)在[−2,1]上的最大值为1e+3．(2)f′(x)=e x+a，由于e x>0，①当a>0时，f′(x)>0，f(x)是增函数，且当x>1时，f(x)=e x+a(x−1)>e+a(x−1)>0；当x<0时，f(x)=e x+a(x−1)<1+a(x−1)，令1+a(x−1)<0，解得x<−1a+1，取x=−1a ，则f(−1a)<1+a(−1a−1)=−a<0．所以函数f(x)存在零点．②a<0时，f′(x)=e x+a=0,x=ln(−a)．在(−∞,ln(−a))上f′(x)<0，f(x)单调递减；在(ln(−a)++∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增．所以x=ln(−a)时f(x)取最小值．f(x)min=f(ln(−a))>0，解得−e2<a<0．综上所述：所求的实数a的取值范围是(−e2,0)．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)函数f(x)的定义域为R ，f ′(x)=e x +a ， f ′(0)=e 0+a =0，∴ a =−1．在(−∞,0)上f ′(x)<0，f(x)单调递减； 在(0,+∞)上f ′(x)>0，f(x)单调递增． 所以x =0时，f(x)取极小值，所以f(x)在[−2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增． 又f(−2)=1e 2+3，f(1)=e,f(−2)>f(1)， ∴ f(x)在[−2,1]上的最大值为1e 2+3．(2)f ′(x)=e x +a ，由于e x >0，①当a >0时，f ′(x)>0，f(x)是增函数，且当x >1时，f(x)=e x +a(x −1)>e +a(x −1)>0； 当x <0时，f(x)=e x +a(x −1)<1+a(x −1)， 令1+a(x −1)<0，解得x <−1a +1，取x =−1a ，则f (−1a )<1+a (−1a −1)=−a <0．所以函数f(x)存在零点．②a <0时，f ′(x)=e x +a =0,x =ln (−a)． 在(−∞,ln (−a))上f ′(x)<0，f(x)单调递减； 在(ln (−a)++∞)上f ′(x)>0，f(x)单调递增． 所以x =ln (−a)时f(x)取最小值．f(x)min =f(ln (−a))>0，解得−e 2<a <0． 综上所述：所求的实数a 的取值范围是(−e 2,0)．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosθy =sinθ （θ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=3． （1）求曲线C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；（2）直线θ=π3与曲线C 1，C 2分别交于第一象限内的A ，B 两点，求|AB|． 【答案】曲线C 1的参数方程为{x =1+cosθy =sinθ （θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x −1)2+y 2=1． 转换为：x 2+y 2=2x ，转化为极坐标方程为：ρ=2cosθ．曲线C 2的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=3． 转换为直角坐标方程为：x 2+(y −2)2=7．直线θ=π3与曲线C 1，C 2分别交于第一象限内的A ，B 两点，则：{ρ=2cosθθ=π3 ，解得：ρ1=1． {ρ2−4ρsinθ=3θ=π3，解得：ρ2=√3±√6（负值舍去）． 故：|AB|=|ρ1−ρ2|=√6+√3−1． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用极坐标方程组求出极径的长． 【解答】曲线C 1的参数方程为{x =1+cosθy =sinθ （θ为参数），转换为直角坐标方程为：(x −1)2+y 2=1． 转换为：x 2+y 2=2x ，转化为极坐标方程为：ρ=2cosθ．曲线C 2的极坐标方程为ρ2−4ρsinθ=3． 转换为直角坐标方程为：x 2+(y −2)2=7．直线θ=π3与曲线C 1，C 2分别交于第一象限内的A ，B 两点， 则：{ρ=2cosθθ=π3，解得：ρ1=1． {ρ2−4ρsinθ=3θ=π3，解得：ρ2=√3±√6（负值舍去）． 故：|AB|=|ρ1−ρ2|=√6+√3−1． [选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|x +1|+|2x −4|． (Ⅰ)求不等式f(x)<7的解集；(Ⅱ)若f(x)≥a(x −32)在R 上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）当x ≤−1时，由f(x)=−x −1−2x +4=−3x +3<7，得−43<x ≤−1； 当−1<x <2时，由f(x)=x +1−2x +4=−x +5<7，得x >−2，所以−1<x <2；当x ≥2时，f(x)=x +1+2x −4=3x −3<7，得2≤x <103，所以不等式f(x)<7的解集为(−43,103)． （2）由(Ⅰ)得f(x)={−3x +3,x ≤−1−x +5,−1<x <23x −3,x ≥2，作出f(x)的图象如图所示，要使f(x)≥a(x −32)在R 上恒成立，只需y =f(x)图象上的点在直线y =a(x −32)上或其上方，当y =a(x −32)经过点A(−1, 6)时，a =−125，当y =a(x −32)经过点B(2, 3)时，a =6>3，所以a 最大为3， 由图象可知−125≤a ≤3．【考点】绝对值三角不等式 【解析】(Ⅰ)通过去掉绝对值符号，转化求解不等式组的解集即可．(Ⅱ)画出f(x)的图象，要使f(x)≥a(x −32)在R 上恒成立，只需y =f(x)图象上的点在直线y =a(x −32)上或其上方，即可求解实数a 的取值范围． 【解答】（1）当x ≤−1时，由f(x)=−x −1−2x +4=−3x +3<7，得−43<x ≤−1； 当−1<x <2时，由f(x)=x +1−2x +4=−x +5<7，得x >−2，所以−1<x <2；当x ≥2时，f(x)=x +1+2x −4=3x −3<7，得2≤x <103，所以不等式f(x)<7的解集为(−43,103)． （2）由(Ⅰ)得f(x)={−3x +3,x ≤−1−x +5,−1<x <23x −3,x ≥2 ，作出f(x)的图象如图所示，要使f(x)≥a(x −32)在R 上恒成立，只需y =f(x)图象上的点在直线y =a(x −32)上或其上方，当y =a(x −32)经过点A(−1, 6)时，a =−125，当y =a(x −32)经过点B(2, 3)时，a =6>3，所以a 最大为3， 由图象可知−125≤a ≤3．。
甘肃省天水市一中高三数学上学期第三次考试试题 理(含解析)新人教A版
数学（理科）试卷说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，请将你所做各题答案写在试卷后面的答题卡上.一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1、已知集合{}0,2|>==x y y M x ，{}2|lg(2)N x y x x ==-，则N M 为（ ）（A ）(1,2) (B) ),1(+∞ (C) ),2[+∞ (D) ),1[+∞ 【答案】A 【解析】{}{}|2,0|1x M y y x y y ==>=>，{}{}2|lg(2)=|02N x y x x x x ==-<<，所以{}|12MN x x =<<。
选A 。
2.函数cos622x x xy -=-的图像大致为（ ）【答案】D【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令0=y 得06cos =x ，所以ππk x +=26，ππ612k x +=，函数零点有无穷多个，排除C,且y 轴右侧第一个零点为)0,12(π，又函数x x y --=22为增函数，当120π<<x 时，022>-=-xx y ，06cos >x ，所以函数0226cos >-=-xx xy ，排除B ，选D.。
3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β 【答案】D【解析】A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β，错误，γβ与可能平行，也可能相交；B ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β，错误，αβ与可能平行，也可能相交，要判断两个平面平行，需要两个平面内的两条相交直线相互平行；C ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α，错误，可能是n ∥α，也可能是n ⊂α；D ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β，正确。
2018年甘肃省天水一中高考数学三模试卷(理科)-普通用卷
2018年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题p：∃x0∈R，f（x0）≥2，则￢p为（）A. ∀x∈R，f（x）≥2B. ∀x∈R，f（x）＜2C. ∃x0∈R，f（x）≤2D. ∃x0∈R，f（x）＜22.复数（i为虚数单位）在复平面内关于虚轴对称的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；所以直线b∥直线a，在这个推理中（）A. 大前提正确，结论错误B. 小前提与结论都是错误的C. 大、小前提正确，只有结论错误D. 大前提错误，结论错误4.设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sin A、sin B、sin C成等比数列，则这个三角形的形状是（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形5.运行如图所示的程序框图，若输出的S是254，则①应为（）A. n≤5？B. n≤6？C. n≤7？D. n≤8？6.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）A. g（x）=2sin（2x+）B. g（x）=2sin（2x+）C. g（x）=2sin2xD. g（x）=2sin（2x-）7.某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. 9π C. D. 10π8.已知变量x、y满足约束条件，则≥的概率是（）A. B. C. D.9.已知倾斜角为135°的直线交双曲线（a＞0，b＞0）于A，B两点，若线段AB的中点为P（2，-1），则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.10.在三棱锥P-ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P-BC-A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为（）A. B. C. D.11.魔术师用来表演的六枚硬币a，b，c，d，e，f中，有 5 枚是真币，1 枚是魔术币，它们外形完全相同，但是魔术币与真币的重量不同，现已知a和b共重 10 克，c，d共重 11 克，a，c，e共重 16 克，则可推断魔术币为（）A. aB. bC. cD. d12.如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（2，4），圆，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|+4|QM|的最小值为（）A. 23B. 42C. 12D. 52二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.用秦九韶算法求多项式f（x）=x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x，当x=2时多项式的值为______．14.下列4个命题①已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞6）=0.15，则P（2≤ξ＜4）等于0.3②设a=（2x-e x）dx，则a=2-e③二项式（-x2）10的展开式中的常数项是45④已知x∈（0，4]，则满足log2x≤1的概率为0.5其中真命题的序号是______15.已知向量=（1，λ），=（3，1），若向量2-与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为______．16.若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q两点分别在函数y=f（x）与y=g（x）的图象上；②P，Q关于y轴对称，则称（P，Q）是函数y=f（x）与y=g（x）的一个“伙伴点组”（点组（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．若函数与g（x）=|x+a|+1有两个“伙伴点组”，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：．18.前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，如表为2014～2017年中国百货零售业销售额（单位：亿元，数据经过处理，1～4分别对应2014～2017）：（）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的回归方程，并预测2018年我国百货零售业销售额；（3）从2014～2017年这4年的百货零售业销售额及2018年预测销售额这5个数据中任取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率．参考数据：，参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．19.如图，在几何体ABCDE中，CD∥AE，∠EAC=90°，平面EACD⊥平面ABC，CD=2EA=2，AB=AC=2，，F为BD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求直线AB与平面BDE所成角的正弦值．20.已知椭圆M：的一个焦点F与抛物线N：y2=4x的焦点重合，且M经过点．（1）求椭圆M的方程；（2）已知斜率大于0且过点F的直线l与椭圆M及抛物线N自上而下分别交于A，B，C，D，如图所示，若|AC|=8，求|AB|-|CD|．21.已知函数f（x）=x lnx，g（x）=（-x2+ax-3）e x（a为实数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）若存在两不等实根x1，x2∈[，e]，使方程g（x）=2e x f（x）成立，求实数a 的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为，求的值．23.若关于x的不等式|3x+2|+|3x-1|-t≥0的解集为R，记实数t的最大值为a．（1）求a；（2）若正实数m，n满足4m+5n=a，求的最小值．答案和解析【答案】1. B2. A3. D4. A5. C6. A7. A8. C9. C10. A11. C12. A13. 24014. ②③④15. 016. （e，+∞）17. 解：（Ⅰ）由数列{a n}满足．可知数列为等差数列，且首项为，公差为2，故．（Ⅱ）证明：依题可知=，n＞1，所以=（2-）=-，故．18. 解：（1）由表中的数据和参考数据得，，，∴；因为y与x的相关系数近似为0.999，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）由及（1）得，，所以y关于x的回归方程为；将2018年对应的x=5代入回归方程得，所以预测2018年我国百货零售业销售额为377.5亿元；（3）从这5个数据中任取2个数据，结果有：（95，165），（95，230），（95，310），（95，377.5），（165，230），（165，310），（165，377.5），（230，310），（230，377.5），（310，377.5）共 10个；所取2个数据之差的绝对值大于200亿元的结果有：（95，310），（95，377.5），（165，377.5）共3个，所以所求的概率为．19. 证明：（Ⅰ）取BC中点G，连接FG，AG，又∵F为BD的中点，CD=2EA，CD∥AE，∴，且FG∥AE，∴四边形AGFE是平行四边形，∴EF∥AG，而且EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC；解：（Ⅱ）∵∠EAC=90°，平面EACD⊥平面ABC，且交于AC，∴EA⊥面ABC，由（Ⅰ）知FG∥AE，∴FG⊥平面ABC，又∵AB=AC，G为BC中点，∴AG⊥BC，如图，以GA，GB，GF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），，，E（1，0，1），∴，，，设平面BDE的法向量为，则，即，令y=1，得，∴直线AB与平面BDE所成角的正弦值为．20. （1）易知F的坐标为（1，0），所以c=1，所以，解得a2=4，b2=3，所以椭圆M的方程为．（2）设直线l的方程为y=k（x-1）（k＞0），代入y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），C（x2，y2），则，因为，k＞0，所以k=1．将y=x-1代入，得7x2-8x-8=0．设B（x3，y3），D（x4，y4），则，所以，故．21. 解：（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（-x2+5x-3）-e x，g（1）=e．g′（x）=（-x2+3x+2）-e x，故切线的斜率为g′（1）=4e∴切线方程为：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e；f x=ln x+1①当时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，∴f（x）min=f（t）=t lnt；②当时，在区间上f（x）为减函数，在区间上f（x）为增函数，∴；（Ⅲ）由g（x）=2e x f（x），可得：2x lnx=-x2+ax-3，，令，．，h（1）=4，h（e）=．．∴使方程g（x）=2e x f（x）存在两不等实根的实数a的取值范围为．22. 解：（Ⅰ）由，消去t，可得曲线C1的普通方程为4x+3y-2=0；由ρcos2θ=sinθ，两边同时乘以ρ，可得ρ2cos2θ=ρsinθ，∴曲线C2的直角坐标方程为：y=x2；（Ⅱ）C1的参数方程的标准形式为为参数）代入y=x2得9t2-80t+150=0，设t1，t2是A、B对应的参数，则．∴．23. 解：（1）因为|3x+2|+|3x-1|-t≥0，所以|3x+2|+|3x-1|≥t，又因为|3x+2|+|3x-1|≥|（3x+2）+（1-3x）|=3，所以t≤3，从而实数t的最大值a=3．（2）因为=，所以，从而y≥3，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3．【解析】1. 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，f（x0）≥2，则￢p为：∀x∈R，f（x）＜2．故选：B．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2. 解：∵=，∴复数在复平面内关于虚轴对称的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内关于虚轴对称的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3. 解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误，结论错误．故选：D．演绎推理的错误有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错误，要判断推理过程的错误原因，可以对推理过程的大前提和小前提及推理的整个过程，细心分析，不难得到正确的答案．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误．4. 解：∵△ABC的三内角A、B、C成等差数列，∴∠B=60°，又sin A、sin B、sin C成等比数列，∴sin2B=sin A•sin C，∴b2=ac，由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B，∴a2+c2-2ac=0，∴a=c∴三角形为等边三角形，故选：A．先求出B的度数，再根据余弦定理和等比数列的性质可得a=c，即可判断．本题考查数列与三角函数的综合以及考查了正弦定理和余弦定理，属于中档题．5. 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254，故①中应填n≤7．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6. 解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象，可得==+，∴ω=2，根据+φ=2•（-）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．故选：A．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再根据y=A sin （ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7. 解：由三视图知，该几何体为三棱锥，高为3，其一个侧面与底面垂直，且底面为等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的侧面的三角形高上，设球半径为R，则（3-R）2+1=R2，解得R=，所以球的表面积为：S=4π•R2=，故选：A．判断三视图对应的几何体的形状，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．本题考查三视图的应用，几何体的外接球的表面积的求法，考查计算能力．8. 解：由约束条件画出可行域如图，则≥的几何意义是可行域内的点与Q（-1，0）连线的斜率超过，由图形可知：直线x=3与直线x-2y+1=0的交点为：（3，2），直线x-2y+3=0与x=3的交点（3，3），∴则≥的概率：=，则≥的概率是：1-=．故选：C．由约束条件作出可行域，利用≥的几何意义，转化求解概率即可．本题考查了简单的线性规划，训练了数形结合的解题思想方法，是难题．9. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的中点为P（2，-1），所以，又两式相减并整理可得k AB===-1=tan135°．解得2c2-2a2=a2，可得：e=．故选：C．设出AB的坐标，利用中点坐标公式，化简，通过平方差法求出直线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．10. 解：取BC中点O，连结AO，PO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，则A（，0，0），B（0，1，0），C（0，-1，0），P（-，0，），=（，1，-），=（-，-1，0），设异面直线PB和AC所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线PB和AC所成角的余弦值为．故选：A．取BC中点O，连结AO，PO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O作平面ABC 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB和AC所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11. 解：5枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，c，d中一定有一个为魔术币，假设c为魔术币，则真硬币的重量为5克，则c的重量为6克，满足a，c，e共重16克，故假设成立，若d为魔术币，则真硬币的重量为5克，不满足a，c，e共重16克，故假设不成立，则d是真硬币，故选：C．依题意可知，c，d中一定有一个为魔术币，分别假设c为魔术币，或d为魔术币，去判断假设是否成立，问题得以解决．本题考查了合情推理的问题，关键是利用反证法，属于基础题．12. 解：设抛物线的方程：y2=2px（p＞0），则16=2p×2，则2p=8，∴抛物线的标准方程：y2=8x，焦点坐标F（2，0），由直线PQ过抛物线的焦点，则+==，圆C2：（x-2）2+y2=1圆心为（2，0），半径1，|PN|+4|QM|=|PF|+1+4（|QF|+1）=|PF|+4|QF|+5=2（|PF|+4|QF|）×（+）+5=2（5++）+5≥2（5+2）+5=23，∴|PN|+4|QM|的最小值为23，故选：A．设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得+=，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．13. 解：由于函数f（x）=x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x=（（（（（x+2）x+3）x+4）x+5）x+6）x，当x=2时，可得f（2）=（（（（（2+2）2+3）2+4）2+5）2+6）2=240，故答案为：240由于函数f（x）=x6+2x5+3x4+4x3+5x2+6x=（（（（（x+2）x+3）x+4）x+5）x+6）x，当x=2时，带入计算即可得出．本题考查了秦九韶算法计算函数值，考查了计算能力，属于基础题．14. 解：①已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）=P（ξ＞6）=0.15，可得曲线的对称轴为x=4，则P（2≤ξ＜4）=0.5-0.15=0.35，①不正确；②设a=（2x-e x）dx=（x2-e x）|=1-e-（0-1）=2-e，②正确；③二项式（-x2）10的展开式中的通项公式为T r+1=（）10-r（-x2）r=（-1）r x，由=0，解得r=2，可得常数项是=45，③正确；④已知x∈（0，4]，则满足log2x≤1即0＜x≤2的概率为=0.5，④正确．故答案为：②③④．求得曲线的对称轴为x=4，由正态分布的概率特点，计算即可判断①；求得被积函数，计算可得所求定积分，即可判断②；运用二项式展开式的通项公式，化简整理，计算可得常数项；求得对数不等式的解，由几何概率公式，计算可得所求值，即可判断④．本题考查正态分布的特点、定积分的求法和二项式定理的运用、几何概率的求法，考查运算能力，属于中档题．15. 解：向量=（1，λ），=（3，1），向量2-=（-1，2λ-1），∵向量2-与=（1，2）共线，∴2λ-1=-2，即λ=．∴向量=（1，-），∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞===0．故答案为：0．根据向量共线求出λ，计算•，代入投影公式即可．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．16. 解：g（x）=|x+a|+1的关于y轴对称的函数为h（x）=g（-x）=|-x+a|+1，∵f（x）与g（x）有两个“伙伴点组”，∴h（x）与f（x）的函数图象有2个交点．作出f（x）与h（x）的函数图象如图所示：∴a＞e时f（x）与h（x）的图象有2个交点．故答案为：（e，+∞）．求出g（x）关于y轴对称的函数h（x），令h（x）与g（x）的函数图象有2个交点即可得出a的范围．本题考查了函数图象交点个数的判断，函数的对称变换，属于中档题．17. （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，通过裂项相消法数列的和即可．本题考查数列求和，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．18. （1）由表中的数据和参考数据求得相关系数，从而判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）计算回归系数，即可写出y关于x的回归方程，再利用回归方程计算2018年对应的函数值；（3）用列举法计算基本事件数，求出所求的概率值．本题考查了相关系数与线性回归方程的应用问题，也考查了列举法求古典概率的应用问题．19. （Ⅰ）取BC中点G，连接FG，AG推导出四边形AGFE是平行四边形，从而EF∥AG，由此能证明EF∥平面ABC；（Ⅱ）推导出EA⊥面ABC，FG⊥平面ABC，AG⊥BC，以GA，GB，GF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面BDE所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20. （1）易知F的坐标为（1，0），所以c=1，通过已知条件求出a，b即可求出椭圆方程．（2）设直线l的方程为y=k（x-1）（k＞0），代入y2=4x，设A（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，设B（x3，y3），D（x4，y4），转化求解|AB|-|CD|即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21. （Ⅰ）把a=5代入函数g（x）的解析式，求出导数，得到g（1）和g′（1），由直线方程的点斜式得切线方程；（Ⅱ）利用导数求出函数f（x）在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e x f（x），分离变量a，然后构造函数，由导数求出其在[，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．本题考查了导数在求函数最值中的应用，关键在于由导函数的符号确定原函数的单调性，考查利用构造函数法求解含字母系数的范围问题，解答的技巧是分类字母系数，是高考试卷中的压轴题．22. （Ⅰ）由，消去t即可得曲线C1的普通方程为4x+3y-2=0；把ρcos2θ=sinθ两边同时乘以ρ，结合公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可求得曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）化C1的参数方程的标准形式为为参数），代入y=x2得9t2-80t+150=0，然后利用根与系数的关系结合参数t的几何意义求解的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题．23. （1）问题转化为|3x+2|+|3x-1|≥t，求出|3x+2|+|3x-1|的最小值，从而求出t的范围即可；（2）根据柯西不等式的性质求出函数的最小值即可．本题考查了绝对值的意义，考查柯西不等式的性质，是一道中档题．。
甘肃省天水市高三数学上学期开学考试试题文(扫描版)(2021学年)
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甘肃省天水市２018届高三数学上学期开学考试试题文(扫描版)天水市一中2015级高三暑假作业检测题答案数学(文科）一、选择题(每小题只有一个正确选项,将你所选选项涂在答题卡相应位置;每小题4分共4０分)１．A2.Ｃ3.C【解析】由三角形正弦定理sin sin b c B C =可知4020sin sin sin60B B B =∴=无解,所以三角形无解,选C.4．A【解析】∵由指、对函数的性质可知: 1122log 3log 10a =<=, 0.21013b ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭ , 1321c => ∴有a b c <<。
5．Ｃ【解析】考查函数的定义域和集合的基本运算。
由解不等式1—ｘ>０求得M=（—∞,1)，由解不等式1＋ｘ>0求得N=(-１,+∞),因而M ⋂Ｎ=(—1,1），故选C 。
6．B【解析】试题分析:当0x >时,'()22ln 20x f x x =+>，知2()2x f x x =+在(0,)+∞上单调递增，又()f x 是定义在Ｒ上的奇函数,所以2()2x f x x =+在R 上为单调递增函数.所以22a a ->，解得21a -<<．7．Ｄ【解析】试题分析:当0x >时,()12f x x x =+≥=;当0x <时,()1[()]2f x x x =--+≤-=--，所以函数()1f x x x =+的值域是(][),22,-∞-+∞．故选Ｄ。
甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第三阶段考试数学试题(含答案解析)
甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第三阶段考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}{}2||1|2,|40,R A x x B x x x x =-≤=->∈，则R ()A B = ð（）A ．[-1，3]B ．[0，3]C ．[-1，4]D ．[0，4]2．设i 是虚数单位，则复数43iiz -=的虚部为A ．4i B ．4C ．-4iD ．-43．已知π02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，4cos 5x =，则tan 2x 等于（）A ．724B ．724-C ．247D ．247-4．设变量x ，y 满足约束条件0{1030y x y x y ≥-+≥+-≤，则z=2x+y 的最大值为A ．—2B ．4C ．6D ．85．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．83B ．43C．8+D．2+6．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100，那么318a a ⋅的最大值是A ．50B ．25C ．100D ．7．已知点()1,2A ，()3,1B ，则线段AB 的垂直平分线方程为（）A ．4250x y +-=B ．4250x y --=C ．250x y +-=D ．250x y --=8．阅读如图的算法框图，输出的结果S 的值为（）AB ．0CD ．9．已知菱形ABCD 的对角线AC 长为1，则AD AC ⋅=A ．4B ．2C ．1D ．10．已知双曲线22x a －22y b=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P 在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为A ．53B ．43C ．2D ．7311．已知,,l m n 表示两条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①m αβ= ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥③//,,//m n n m βααβ⊥⇒⊥；④若,,,//,l m n l αββγγαγ⋂=⋂=⋂=，则//.m n 其中正确的命题个数有个A ．1B ．2C ．3D ．412．三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PC 互相垂直，1PA PB ==，M 是线段BC 上一动点，若直线AM 与平面PBC 2，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积是（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π13．函数sin ()()x f x e x ππ=-≤≤的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题14．命题“0,x ">都有sin 1x ≥-”的否定：_______________________________．15．函数()cos 22sin ()f x x x x R =-∈的值域为____________.16．已知方程x 2＋10tan sin x θθ-=有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．17．已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表．x 1-045()f x 1221()f x 的导函数()'y f x =的图象如图所示：下列关于()f x 的命题：①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 在[]0,2是减函数；③如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是______．三、解答题18．已知ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，其中10c =，且cos 4cos 3A bB a ==.(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧上 AC ，60PAB ∠=︒.求四边形ABCP 的面积.19．设数列{}n a 满足132(2,*)n n a a n n N -=+≥∈，且12a =．(1)求2a ，3a ，4a 的值．(2)证明：数列{}1n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的前n 项和n T ．(3)若数列3log (1)n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．20．（理科）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，E 是MN 的中点.(1)求证：平面AEC ⊥平面AMN ；(2)求二面角M -AC -N 的余弦值.21．（文科）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，45BAD ∠=，1,AD AB ==PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面PBD.(1)求证：PA BD ⊥；(2)求三棱锥P -BCD 的体积.22．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值．23．已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8.(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标.24．已知函数()2ln 2a f x x x x =-（a R ∈）．（Ⅰ）若0x >，恒有()f x x ≤成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()()g x f x x =-有两个相异极值点1x ，2x ，求证：12112ln ln ae x x +>．25．已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈．（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(]0,e 上至少存在一点0x ，使得()00f x <成立，求实数a 的取值范围．26．已知直线l的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．27．已知函数()|21||2|x f x x a =-+-.(1)当2a =时，求不等式()2f x <的解集；(2)当x ∈R ，()32f x a ≥+时恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案：1．B【分析】由题意可得13{|}A x x =-≤≤，{|0B x x =<或4}x >，R {|04}B x x =≤≤ð，再根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为{}||1|2{|13}A x x x x =-≤=-≤≤，{}2|40,R {|0B x x x x x x =->∈=<或4}x >，所以R {|04}B x x =≤≤ð，所以R ()A B = ð{|13}x x -≤≤⋂{|04}{|03}x x x x ≤≤=≤≤，即R ]()[0,3A B ⋂=ð.故选：B.2．D【详解】因为243i i(43i)34i i i z --===--，其虚部为4-，故选D.3．D【详解】试题分析：∵(,0)2x π∈-，4cos 5x =，∴3sin 5x =-，∴sin 3tan cos 4x x x ==-，∴22tan 24tan 21tan 7x x x ==--．考点：平方关系、倍角关系．4．C【详解】解析：不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点B （3,0）的时候，z 取得最大值65．C【分析】根据三视图还原几何体，再计算各个面的面积即可得几何体的表面积.【详解】解：根据三视图还原几何体，如图所示：由题意可得,ABM BCM V V 均为直角三角形，且90CM AM MAB MCB ==∠=∠=︒,又因为12222ADM S =⨯⨯=V ,12222CDM S =⨯⨯=V ,122BCM S =⨯⨯ ,122ABM S =⨯⨯=V 224ABCD S =⨯=,所以该四棱锥的表面积2248ADM CDM BCM ABM ABCD S S S S S S =++++=+++=+V V V V .故选：C.6．B【详解】由等差数列前n 项和公式可得：()()12020120318318201010100,102a a S a a a a a a +=⨯=+=+=∴+=，结合题意和均值不等式的结论有：2318318252a a a a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当318a a =时等号成立.本题选择B 选项.7．B【分析】应用两点式求线段AB 的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合AB 中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.【详解】由题设，121312AB k -==--，故线段AB 的垂直平分线的斜率为2，又AB 中点为3(2,2，所以线段AB 的垂直平分线方程为32(2)2y x -=-，整理得：4250x y --=.故选：B 8．B【详解】试题分析：由程序框图知，该程序的功能是计算22015sinsinsin 333πππ+++ 的值，由函数的周期性，知该等式中每连续6个的值等于0，而201533565=⨯+，所以这个值等于前5个的和，即2345sinsinsin sin sin 033333πππππ++++=，故选B ．考点：1、程序框图；2、周期函数．【方法点睛】函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．9．D【分析】根据平面向量的数量积定义，写出AD AC，由零星的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义、以及||cos ||AD DAC AO ∠=，即可得到答案．【详解】解：菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点，则AC BD ⊥，且1122AO AC ==．由平面向量的数量积定义可知：11||||cos ||||122AD AC AD AC DAC AC AO =∠==⨯=，故选：D ．10．A【分析】先设P 的坐标（x ，y ），焦半径得丨PF 1丨＝ex +a ，丨PF 2丨＝ex ﹣a ，根据|PF 1|＝4|PF 2|，进而可得e 的关于x 的表达式．根据p 在双曲线右支，进而确定x 的范围，得到e 的范围．【详解】设P （x ，y ），由焦半径得丨PF 1丨＝ex +a ，丨PF 2丨＝ex ﹣a ，∴ex +a ＝4（ex ﹣a ），化简得e ＝53ax，∵p 在双曲线的右支上，∴x ≥a ，∴e ≤53，即双曲线的离心率e 的最大值为53.故选A ．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的灵活运用．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中,,a b c 与椭圆中,,a b c 的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得e ；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将b 用,a c 表示,令两边同除以a 或2a 化为e 的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．11．C【详解】对于①来说，要得到αβ⊥，需要n ⊥β，但n 只垂直平面β内一条直线m ，故得不到n ⊥β，错误;对于②来说，若m ⊥α，且m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，又由n ⊥β，可得α⊥β，故②正确；对于③来说，若//,,m n n β⊥则m β⊥，又//m α，∴αβ⊥，故③正确；对于④来说，由,//l γ，n γα⋂=，l α⊂可知//l n ，同理//l m ，∴//m n ，故③正确，故选C 12．B【详解】M 是线段BC 上一动点，连接PM ，∵,,PA PB PC 互相垂直，∴AMP ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角，当PM 最短时，即PM BC ⊥时直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大．此时AP PM =PM =PBC 中，··3PB PC BC PM PC PC =⇒=⇒=三棱锥-P ABC 2=，∴三棱锥-P ABC 的外接球的半径为1R =，∴三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为244R ππ=．选B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．13．D【分析】求出函数的导数，根据导数求出函数的单调性，即可判断.【详解】函数sin ()()x f x e x ππ=-≤≤，sin ()cos x f x e x '= ，,2x ππ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭和,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，只有D 符合.故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.14．0,x ∃>使得sin 1x <-【详解】试题分析：特称命题的否定式全称命题，否定时将结论加以否定，sin 1x ≥-的否定为sin 1x <-，所以命题的否定为0,x ∃>使得sin 1x <-考点：全称命题与特称命题15．33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】()22132212sin 2sin 22f x cos x sinx sin x x x ⎛⎫=-=--=-++⎪⎝⎭由于1sin 1x -≤≤∴当1sin 2x =-时，()f x 有最大值32当sin 1x =时，()f x 有最小值3-故函数()()22f x cos x sinx x R =-∈的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．相切.【详解】分析：由题意得过,A B 两点的直线方程为()0a b x y ab +--=，利用圆心到直线的距距等于半径，即可判定直线与圆的位置关系．详解：由题意可知过,A B 两点的直线方程为()0a b x y ab +--=，圆心到直线AB的距离为d =11,tan sin a b ab θθ+=-=-，因此d =1d =，故直线与圆相切．点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．17．②⑤【分析】首先由导函数的图像和原函数的关系画出原函数的大致图像,然后结合着函数的性质以及零点即可求解.【详解】由图得：①为假命题，因为周期函数的定义域为R ，而()f x 的定义域为[]1,5-，所以①为假命题．②为真命题．因为在[]0,2上导函数为负，所以原函数为递减．③为假命题．当5t =时，也满足()1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2．④为假命题．当a 靠近1时，对于第二个图，()y f x a =-有2个零点．也可以是3个零点．⑤为真命题．当3a =时有0个零点，当()21a f =<时有1个零点，由④知存在2个零点，3个零点，当()22f a <<时有4个零点．答案为：②⑤．18．(1)证明见解析；(2)18+.【分析】（1）结合已知及正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，结合二倍角公式得sin 2sin 2A B =，根据,A B 的取值范围得π2A B +=，进而求得C 的值，即可完成证明；（2）由ABCP ACB PAC S S S =+ ，根据三角形的面积公式求四边形ABCP 的面积．【详解】（1）根据正弦定理得：cos sin cos sin A BB A =，整理为sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，22A B ∴=或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，而4,3b a =∴π2A B +=，即π2C =，故ABC 是直角三角形.（2）由（1）得：6a =，8b =.在Rt ACB △中，3sin 5BC CAB AB ∠==,4cos 5CAB ∠=.∴()sin sin 60sin 60cos cos 60sin PAC CAB CAB CAB︒∠=-∠=︒⋅∠-︒⋅∠()4131352510=-⨯=.连接PB ，在Rt APB 中cos 5AP AB PAB =⋅∠=.∴四边形ABCP 的面积12ABCP ACB PAC S S S ab =+=+ 1sin 2AP AC PAC ⋅⋅∠246=+-18=+19．(1)28a =，326a =，480a =；(2)证明见详解，13322n n T n +=--；(3)1n nS n =+.【分析】（1）根据递推公式132n n a a -=+与12a =，直接代入可求得每一项的值；（2）由132n n a a -=+推得()1131n n a a -+=+，满足等比数列的概念，再求首项，进而求出n a ，据此再求出n T ；（3）()3log 1n n b a n =+=，11111n n b b n n =-⋅++，裂项求和即可．【详解】（1）12a =，21328a a =+=，323226a a =+=，433280a a =+=.（2）由132n n a a -=+，得()1131n n a a -+=+，又113a +=，可知{}1n a +是首项为3，公比为3的等比数列，13n n a ∴+=，故31n n a =-，12313131nn T ∴-+-++=- 12333nn +++=- ()31313n n -=--13322n n +=--.（3）由（1）得，()3log 1n n b a n =+=，∴11111n n b b n n =-⋅++，11111122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .20．(1)证明见解析(2)13【分析】(1)由题意可得AM AN MN NC MC =====，从而可得AE ⊥MN ，CE ⊥MN ，进而可得MN ⊥平面AEC ,即可证明结论；(2)连接BD 交AC 与点O ，连接MO ，NO ，由题意可知,MAC NAC V V三角形，从而得NOM ∠为二面角M -AC -N 的平面角，在MNO 中，由余弦定理求解即可.【详解】（1）证明：因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，所以MD ∥NB ，又因为1MD NB ==，四边形ABCD 是边长为1的正方形，所以四边形MDBN 为矩形，所以AM AN MN NC MC ====，又因为E 是MN 的中点，所以AE ⊥MN ，CE ⊥MN ，又因为AE CE E =I ，所以MN ⊥平面AEC ,又因为MN ⊂平面AMN 所以平面AEC ⊥平面AMN ；（2）解：连接BD 交AC 与点O ，连接MO ，NO ，则O 为AC 中点，因为,MAC NAC V V 的等边三角形，所以,OM AC ON AC ⊥⊥,所以NOM ∠为二面角M -AC -N 的平面角，在MNO 中，2MN OM ON ===，所以2221cos 23OM ON MN MON OM ON +-∠=⋅⋅.21．(1)见解析；.【分析】(1)取PD 中点E ，连接AE ，由题意可得⊥AE 平面PBD ，进而可得AE BD ⊥，在ABD △中，先由余弦定理可得2BD =1，再由勾股定理的逆定理可得AD BD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，即可证明PA BD ⊥；(2)取AD 中点F ，连接PF ，由PAD 是边长为1正三角形及BD ⊥平面PAD ，可得PF ⊥平面BCD ，从而得PF 为三棱锥P -BCD 的高，再根据棱锥的体积公式计算即可.【详解】（1）证明：取PD 中点E ，连接AE ，因为PAD 是边长为1正三角形，所以AE PD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面PBD ，PD =平面PAD ⋂平面PBD ，所以⊥AE 平面PBD ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以AE BD ⊥①，又因为在ABD △中，45BAD ∠=，1,AD AB ==由余弦定理可得2222cos 451BD AD AB AD AB =+-⋅⋅⋅︒=，所以2222BD AD AB +==,所以AD BD ⊥②，又因为AE AD A ⋂=③，由①②③可得BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以PA BD ⊥；（2）解：取AD 中点F ，连接PF ，因为PAD 是边长为1正三角形，所以PF AD ⊥且PF =由(1)可知BD ⊥平面PAD ，PF ⊂平面PAD ，所以BD ⊥PF ，又因BD AD D Ç=，所以PF ⊥平面ABCD ，即有PF ⊥平面BCD ，所以PF 为三棱锥P -BCD 的高，又因为ABCD 为平行四边形，所以111122BCD ABD S S ==⨯⨯=V V ,所以111332P BCD BCD V S PF -=⋅=⋅=V 22．（Ⅰ）2219x y +=；（Ⅱ）38.【详解】（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以，c a =3c a =，所以3a =，c =所以，椭圆M的方程为.（Ⅱ）不妨设直线AB 的方程x ky m =+.由22,{1,9x ky m x y =++=消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=，设，，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+.①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以0CA CB ⋅=.由1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得1212(3)(3)0x x y y --+=.将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得.将①代入上式，解得125m =或3m =（舍）.所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点），所以1212ABC S DC y y ∆=-12=.设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆.所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值.23．(1)2218x y +=；(2)(3,3)【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出圆心到弦所在直线的距离，再利用弦长公式求出圆的半径即可求解；（2）设出直线和圆的切点，求出切点坐标和切线方程，求出切线方程和坐标轴的交点坐标，利用直角三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不等式求其最值．【详解】（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为d =，所以222228()4182r d =+=+=，所以圆C 的方程2218x y +=；（2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则220018x y +=，显然直线l 的斜率必存在且不为0，因为0OP yk x =，所以圆的切线的斜率为00x y -，则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=，则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y ，所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=，因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤，当且仅当003x y ==时，等号成立，因为00x >，00y >，所以00119x y ≥，所以00162162189S x y =≥=，所以当003x y ==时，S 取得最小值18，所以所求切点P 的坐标为(3,3).24．（1）22a e ≥;（2）见解析.【详解】试题分析：（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，（2）函数g （x ）=f （x ）-x 有两个极值点x 1、x 2，即导函数g′（x ）有两个不同的实数根x 1、x 2，对a 进行分类讨论，令21x t x =，构造函数φ（t ），利用函数φ（t ）的单调性证明不等式．试题解析：（Ⅰ）由0x >，恒有()f x x ≤，即ln 12a x x -≤，ln 12x a x -≤对任意0x >成立，记()ln 1x H x x -=，()22ln 'xH x x -=，当()20,x e ∈，()'0H x >，()H x 单调递增；当()2,x e ∈+∞，()'0H x <，()H x 单调递减，()H x 最大值为()221H e e =，∴212a e ≥，22a e≥．（Ⅱ）函数()()g x f x x =-有两个相异的极值点1x ，2x ，即()'ln 0g x x ax =-=有两个不同的实数根．①当0a ≤时，()'g x 单调递增，()'g x 不可能有两个不同的实根；②当0a >时，设()ln h x x ax =-，则()1'axh x x-=，当10x a<<时，()'0h x >，()h x 单调递增；当1x a>时，()'0h x <，()h x 单调递减，∴1ln 10h a a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，∴10a e <<，不妨设210x x >>，∵()()12''0g x g x ==，∴22ln 0x ax -=，11ln 0x ax -=，()2121ln ln x x a x x -=-，先证12112ln ln x x +>，即证21212112ln ln 2x x x x x x x x -+<-，即证2222121112121ln 22x x x x x x x x x x ⎛⎫-<=- ⎪⎝⎭，令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，设()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()221'02t t tϕ--=<，函数()t ϕ在()1,+∞单调递减，∴()()10t ϕϕ<=，∴12112ln ln x x +>，又10a e<<，∴1ae <，∴12112ln ln ae x x +>．25．（1）()f x 取得极小值为1，()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)；（2）a ∈()1,,e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ .【分析】（1）求函数()1ln f x x x=+的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数()f x 的导数和驻点，然后列表讨论，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若在区间(]0,e 上存在一点0x ，使得()00f x <成立，其充要条件是()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在区间(]0,e 上的最小值，先求出导函数()f x '，然后讨论研究函数在(]0,e 上的单调性，将()f x 的极值点与区间(]0,e 的端点比较，确定其最小的极值点．【详解】解：1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈的定义域为(0,)+∞，因为()'2211a ax f x x x x -=-+=，（1）当1a =时，()'21x f x x-=，令()'0f x =，得1x =，又()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表:x()0,11()1,+∞()'f x -0+单调递减极小值单调递增所以1x =时，()f x 取得极小值为1．()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)．（2）因为()'2211a ax f x x x x -=-+=，且0a ≠．令()'0f x =，得1x a=，若在区间(]0,e 上存在一点0x ，使得()00f x <成立，其充要条件是()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0即可．()i 当10x a=<，即a<0时，()'0f x <对()0,x ∈+∞成立，所以，()f x 在区间(]0,e 上单调递减，故()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln f e a e a e e=+=+，由10a e +<，得1a e <-，即1,a e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭．()ii 当10x a =>，即0a >时，若1e a≤，则()'0f x ≤对(]0,x e ∈成立，所以()f x 在区间(]0,e 上单调递减，所以，()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln 0f e a e a e e=+=+>，显然，()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0不成立．若10e a <<，即1a e >时，则有x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()'f x -0+()f x 单调递减极小值单调递增所以()f x 在区间(]0,e 上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，得1ln 0a -<，解得a e >，即(),a e ∈+∞．综上，由()i ()ii 可知a ∈()1,,e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 符合题意．【点睛】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力；较难．26．（1）220x y +-+=；（2）【分析】（1）在圆C 的极坐标方程为ρ=2cos （θ+4π）的两边同时乘以ρ，即可得圆的直角坐标方程，从而求圆心的直角坐标.（2）先把切线长表示出来再去求最小值.【详解】（1）∵ρθθ=-，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C 的直角坐标方程为220x y +=，即221x y ⎛⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴圆心直角坐标为⎝⎭．（2）直线上的点向圆C 引切线长是2∴直线上的点向圆C 引的切线长的最小值是【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，属于中档题．27．(1)15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)1,4∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出()|1|f x a ≥-，解不等式求出实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()43,1121221,121432x x f x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=-<<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩，.所以()2f x <可化为：1432x x ≥⎧⎨-<⎩或11212x ⎧-<<⎪⎨⎪<⎩或12432x x ⎧≤⎪⎨⎪-+<⎩解得：514x ≤<或112x -<<或1142x <≤.所以1544x <<.所以()2f x <的解集为15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）由绝对值三角形不等式可得：()|21||2||212||1|f x x x a x x a a =-+-≥--+=-.（当且仅当()()2120x x a --≤等号成立），所以R x ∀∈，都有()32f x a ≥+成立只需132a a -≥+，当320,a +≤，即23a ≤-时，上式成立；当320a +>，即23a >-时，()()22132a a -≥+，解得2134a -<<-.所以14a <-.所以实数a 的取值范围是1,4∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭.。
2018年高三最新 甘肃省天水三中2018届高三第一次月考理科数学试题 精品
天水市三中高三级第一次月考数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 复数（ii +-13）2= A. i 43-- B. i 43+- C. i 43- D. i 43+2.曲线2+=x x y 在点（1-，1-）处的切线方程为 A. 12+=x y B. 12-=x y C. 32--=x y D. 22--=x y 3. =--→)2144(2lim 2x x A. 1- B. 41-C. 41 D 1 4.某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为小x ，则x 的数学期望为A.100B.200C.300D.4005.已知x x f 1)(=，则xf x f x ∆-∆+→∆)2()2(0lim 的值是 A. 41- B. 2 C. 41 D. 2- 6.函数)cos(x y -=的导数是A.x cosB. x cos -C.x sin -D.x sin7.已知随机变量ξ服从正态分布N （0，σ2），若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξPA.0.477B.0.628C.0.954D.0.9778.若曲线21-=x y 在点（21,-a a ）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则a =A.64B.32C.16D.89.等比数列}{n a 中，4,281==a a ，函数))(()(21a x a x x x f --=…)(8a x -，则=)0('fA. 62B.92C. 122D. 15210.若函数423+-=ax x y 在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是A. 3≥aB. 3=aC. 3≤aD. 30<<a11.已知点p 在曲线14+=x e y 上，α为曲线在点p 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A.]4,0[π B. )2,4[ππ C. ]43,2(ππ D. ),43[ππ 12.设)(),(x g x f 是定义在R 上的恒大于零的可导函数，且0)(')()()('<-x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有A. )()()()(b g b f x g x f >B.)()()()(x g a f a g x f >C. )()()()(x g b f b g x f >D. )()()()(a g a f x g x f >二、填空题（每小题5分，共20分） 13. +++∞→231311(lim n …+=)31n 2 （0≤x ） 14.若函数=)(x f 在R 上连续，则实数a = x a cos 2-（0>x ）15.某射手射击所得环数ξ的分布列如下已知ξ的期望E ξ=8.9，则y 的值为16.已知函数)0(2>=x x y 的图像在点),(2k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1+k a ，其中N k ∈*，若161=a ，则531a a a ++的值是三、解答题（第17小题10分，其余各题各12分，共70分）17.某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若瓶盖内印有“奖励一瓶”字样为中奖，中奖概率为61，甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
甘肃省天水一中2018届高三上学期开学考试数学(理)试卷(含答案)
天水市一中2015级高三暑假作业检测题理科数学一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知2{|450}A x x x =--=，2{|1}B x x ==，则A B =I （ ）A ．{1}B ．{1,1,5}-C ．{1}-D ．{1,1,5}--2. sin 75sin15cos75cos15+o o o o 的值为（ ）A ． 1B ．0C ．12D ．2 3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知40b =，20c =，60C =o ，则此三角形的解的情况是（ ）A ． 有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定4.设0.84a =，0.48b =， 1.51()2c -=，则（ ）A ．a c b >>B ．b a c >> C. c a b >> D ．a b c >>5.对于定义在实数集R 上的函数()f x 图像连续不断，且()f x 满足'()0xf x <，则必有（ ）A ．(2)(1)(0)f f f -+>B ．(1)(1)2(0)f f f -+>C. (2)(1)(0)f f f -+< D ．(1)(1)2(0)f f f -+<6.函数()ln f x x =的图像与函数2()44g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）A ． 0B ．1 C. 2 D ．37.国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税，若某人共纳税420人，则这个人的稿费为（ ）A ． 3000元B ．3800元 C. 3818元 D ．5600元8.已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=，若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，则m 的取值范围（ ）A ．5162m -<<-B ．3142m -<< C. 12m << D ．23m << 9.设函数2,0()(),0x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是（ ） A ．14- B ．-4 C. 14D ．4 10.函数2x y x =•的部分图像如下，其中正确的是（ ）A ．B ．C. D ．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.函数14()12x x y -=-+，[3,2]x ∈-的值域是 ． 12.已知tan()24πα+=，则sin 2cos sin 2cos αααα+-的值是 ． 13.已知()x f x xe =，记'1()()f x f x =，'21()()f x f x =，…，'1()()n n f x f x +=，*n N ∈，则()n f x = ．（用x 表示）14.给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈，则称函数()y f x =在D 上封闭，若定义域(0,1)D =，则函数①1()31f x x =-；②2211()122f x x x =--+；③3()1f x x =-；④124()f x x =，其中在D 上封闭的是 ．（填序号即可）三、解答题 （本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设集合22{,,1}A a a b =-，{0,||,}B a b =，且A B =.（1）求,a b 的值；（2）求函数()a f x bx x=--的单调递增区间，并证明.16.已知函数23()cos cos 2f x x x x =++. （1）当[,]63x ππ∈-时，求函数()y f x =的值域； （2）已知0ω>，函数()()212x g x f ωπ=+，若函数()g x 在区间2[,]36ππ-上是增函数，求ω的最大值.17. 已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0f a f a -+-<，求a 的取值范围.18. 已知函数()[]|sin |2xf x x π=+，[1,1]x ∈-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.（1）试判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）求函数()f x 的值域.试卷答案(1)选择题（每小题只有一个正确选项，将所选选项涂在答题卡相应位置；每小题4分共40分）(3)C 2．C3．【解析】由三角形正弦定理sin sin b c B C =可知4020sin sin sin60B B B =∴=o 无解，所以三角形无解，选C.4．A 解：因为0.8 2.40.4 1.2 1.5 1.51a 42,b 82c ()22-======结合指数函数单调性可知选A5．D【解析】当x>0时，∵0)(<'x f x ，∴()0f x '<，即函数f(x)在（0，+∞）上单调递增, 当x<0时，∵0)(<'x f x ，∴()0f x '>，即函数f(x)在（-∞,0）上单调递减, ∴(0)(1),(0)(1)f f f f >->，相加得)0(2)1()1(f f f <+-，故选D6．C7．B【解析】由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为y ＝()0,8000.14800,80040000.11,4000x x x x x ≤⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩，显然由0.14(x －800)＝420，可得x ＝3800.8.A 9．A10．C【解析】试题分析：由于函数x x y 2⋅=不是奇函数，所以选项B ，D 不正确.由于00x y ==，所以A 选项不正确故选C.二、填空题(请将你的答案写在答题卡相应位置上，每小题4分，共16分)11．3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数[]2214()1(2)21213(2), 3,224-=-+=-+=-+∈-x xx x x y x 那么根据定义域可知函数的值域为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为3,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦．12．75-【解析】由tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得11tan 22tan tan 3ααα+=-⇒=，即cos 3sin αα=代入sin 2cos sin 2cos αααα+-可得sin 6sin 7sin 6sin 5αααα+=--，应填答案75-．13．x x ne xe +【解析】试题分析：()()()x x x xe e xe x f x f +===''1,()()()x xx x xe e xe e x f x f +=+==2''12,()()()x x x x xe e xe e x f x f +=+==32''23,……所以()x x xe ne x f +=n .14.解析：∵f 1(13)＝0∉(0,1)，∴f 1(x )在D 上不封闭．∵f 2(x )＝－12x 2－12x ＋1在(0,1)上是减函数，∴0＝f 2(1)＜f 2(x )＜f 2(0)＝1，∴f 2(x )适合．∵f 3(x )＝1－x 在(0,1)上是减函数，∴0＝f 3(1)＜f 3(x )＜f 3(0)＝1，∴f 3(x )适合．又∵f 4(x )＝x 在(0,1)上是增函数，且0＝f 4(0)＜f 4(x )＜f 4(1)＝1，故f 4(x )适合．答案：②③④三、解答题15.解：（1）两集合相等，观察发现a 不能为0，故只有210b -=，得1b =-或1b =，当1b =-时，故b 与a 对应，所以1a =-，如果1b =，则必有||1a =，B 不成立；故1a =-，1b =-.（2）由（1）得1()f x x x =+，因为x R ∈，当0x >时，1()2f x x x =+≥，当1x =时取得最小值， 函数1()f x x x=+的单调增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞；函数是奇函数，单调减区间为(1,0),(0,1)-， ①在[1,)+∞上是增函数，任取12,[1,)x x ∈+∞，令12x x <，12121211()()f x f x x x x x -=+--12121()(1)x x x x =-- ∵121x x ≤<， ∴120x x -<，又121x x >，故12110x x -> ∴1212121()()()(1)0f x f x x x x x -=--<， ∴12()()f x f x <， 故1()f x x x=+在[1,)+∞上是增函数. 因为函数1()f x x x =+是奇函数，所以(,1]-∞-上也是增函数； ②函数在(0,1)x ∈时，任取12,(0,1)x x ∈，令12x x <，12121211()()f x f x x x x x -=+--12121()(1)x x x x =-- ∵1201x x <<<，∴120x x -<，又1210x x >>，故12110x x -<， ∴1212121()()()(1)0f x f x x x x x -=-->， ∴12()()f x f x > 故1()f x x x=+在(0,1)上是减函数， 因为函数1()f x x x=+是奇函数，所以(1,0)-上也是减函数； 综上：函数1()f x x x =+的单调增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞；单调减区间为(1,0),(0,1)-. 16. （1）()1cos23sin2sin 222226x f x x x π+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭． ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴函数()y f x =的值域为3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当22,,?3633363x x πππωππωππω⎡⎤⎡⎤∈-+∈-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∵()g x 在2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且0ω>， ∴][2,2,2,336322k k k Z ωππωππππππ⎡⎤-++⊆-++∈⎢⎥⎣⎦， 即22332{2632k k ωππππωππππ-+≥-++≤+，化简得53{4112k k ωω≤-≤+， ∵0ω>，∴15,1212k k Z -<<∈，∴0k =，解得1ω≤，因此， ω的最大值为1()233sin cos cos 2f x x x x =++进行化简为再求其值域；第二问的求解过程中,充分借助函数的单调性,建立不等式组求得ω的最大值为1,进而使得问题获解.17. 解：22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩,∴01a <<18. 试题分析：（Ⅰ）因为()=11+1=0f --，11()=+1=2f ，所以1()1)(f f ≠-且(()1)1f f ≠--，因此函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（Ⅱ）[)[)1sin ,1,02sin (,0,1)=2,=12f x x x x x x ππ--∈-∈⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩当[)1,0x ∈-时，(0)<()()1f f x f -≤，即<(1)0f x -≤当[)0,1x ∈时，(0)()<()1f f x f ≤，即0<()<1f x ≤当=1x 时，()=2f x ，综上得函数()f x 的值域为(){}1,12-U ．。
《解析》甘肃省天水一中2018届高三上学期开学数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年甘肃省天水一中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知A={x|x2﹣4x﹣5=0}，B={x|x2=1}，则A∩B=（）A．{1}B．{1，﹣1，5}C．{﹣1}D．{1，﹣1，﹣5}【分析】求出集合A，B，然后求解交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣4x﹣5=0}={﹣1，5}，B={x|x2=1}={﹣1，1}，则A∩B={﹣1}．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的运算，是对基本知识的考查．2．（4分）sin75°sin15°+cos75°cos15°的值为（）A．1 B．0 C． D．【分析】直接利用两角和与差的余弦函数，通过特殊角的三角函数求解即可．【解答】解：sin75°sin15°+cos75°cos15°=cos（75°﹣15°）=cos60．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，特殊角是三角函数求值，考查计算能力．3．（4分）在△ABC中，已知b=40，c=20，C=60°，则此三角形的解的情况是（）A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定【分析】利用正弦定理列出关系式，将b，c，sinC的值代入求出sinB的值，即可做出判断．【解答】解：∵在△ABC中，b=40，c=20，C=60°，∴由正弦定理=得：sinB===＞1，则此三角形无解．【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（4分）设a=40.8，b=80.4，c=，则（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞d＞b D．a＞b＞c【分析】先将指数化成都以2为底，然后根据函数y=2x在R上单调性进行比较即可．【解答】解：a=40.8=21.6，b=80.4=21.2，c==21.5，根据函数y=2x在R上单调递增而1.2＜1.5＜1.6∴21.2＜21.5＜21.6，即b＜c＜a故选A．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性，解题的关键是将指数化成同底，属于基础题．5．（4分）定义在实数集R上的凼数f（x）图象连续不断，且f（x）满足xf′（x）＜0，则必有（）A．f（﹣2）+f（1）＞f（0）B．f（﹣1）+f（1）＞2f（0）C．f（﹣2）+f （1）＜f（0）D．f（﹣1）+f（1）＜2f（0）【分析】先由xf′（x）＜0便可得到，从而根据极大值的定义即可判断出f（0）是f（x）的极大值，并是最大值，从而f（﹣1）＜f（0），f（1）＜f（0），所以便得到f（﹣1）+f（1）＜2f（0）．【解答】解：由xf′（x）＜0得：x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0；∴f（0）是f（x）的极大值，也是最大值；所以对于任意x∈R，f（x）≤f（0）；∴；所以必有f（﹣1）+f（1）＜2f（0）．【点评】考查极大值的定义，以及利用导数判断极大值的过程，以及最大值的概念，及其求法．6．（4分）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x ﹣2）2的图象，数形结合可得结论．【解答】解：在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，如图所示：故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选C．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．7．（4分）国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费（扣税前）为（）A．2800元B．3000元C．3800元D．3818元【分析】根据题意求出稿费的函数表达式，然后利用纳税420元，求出这个人应得稿费（扣税前）．【解答】解：设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意得y=．如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴（x﹣800）×14%=420，∴x=3800．故选C．【点评】本题考查分段函数及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．8．（4分）已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0，若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，则m的取值范围（）A． B． C．1＜m＜2 D．2＜m＜3【分析】设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组求得m的范围．【解答】解：设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，则，解得﹣＜m＜﹣，故m的范围是（﹣，﹣），故选：A．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，函数零点判定定理的应用；体现了转化的数学思想，属于中档题．9．（4分）设函数若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（）A． B．﹣4 C． D．4【分析】由f（x）是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），再由x＜0时，f（x）=2x，求出g（x）的解析式，再求出g（2）的值．【解答】解：∵f（x）为奇函数，x＜0时，f（x）=2x，∴x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x=，即，．故选A．【点评】本题考查了利用奇函数的关系式求函数的解析式，再求出函数的值，注意利用负号对自变量进行范围的转化．10．（4分）函数y=x•2x的部分图象如下，其中正确的是（）A． B． C． D．【分析】判断四个选择项中哪三个图象反映的性质与函数y=x•2x的实际性质不符，即可排除之．【解答】解：当x=0时，y=0，所以A项不正确；当x＞0时，函数递增，所以D项不正确；又y′=2x•（1+xln2），显然x＜0时，导数符号可正可负，函数有增有减，所以B 项不正确．故选：C．【点评】本题考查函数的性质与识图能力，一般利用排除法求解．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11．（4分）函数，则它的值域为．【分析】先整理函数的解析式，进而设t=2x，根据x的范围确定t的范围，进而求得函数是关于t的一元二次函数，根据其性质及t的范围求得函数的最大和最小值．【解答】解：=（2x）2﹣2x+1设t=2x，∵x∈[﹣3，2]∴≤t≤4∴y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，开口向上，对称轴为x=，≤t≤4∴≤y≤13故函数的值域为故答案为．【点评】本题主要考查了函数的值域．解题的关键是利用了换元法，把函数解析式整理成一元二次函数．12．（4分）已知，则的值是．【分析】通过，利用两角和的正切函数，求出tanα，然后对表达式的分子、分母同除cosα，然后代入即可求出表达式的值．【解答】解：可得tanα=，因为===；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查三角函数的求值与化简，注意表达式的分子、分母同除cosα，是解题的关键．13．（4分）已知f（x）=xe x，记f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…f n+1（x）=f n′（x）（n∈N*），则f n（x）= n x+xe x（用x表示）．【分析】由已知中f（x）=xe x，记f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…f n+1（x）=f n′（x）（n∈N*），分析出f n（x）解析式随n变化的规律，可得答案．【解答】解：∵f（x）=xe x，f1（x）=f′（x）=e x+xe x，f2（x）=f1′（x）=2e x+xe x，f3（x）=f2′（x）=3e x+xe x，…由此归纳可得：f n（x）=f n′（x）=n x+xe x，﹣1故答案为：n x+xe x．【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．14．（4分）给出封闭函数的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．若定义域D=（0，1），则函数①f1（x）=3x﹣1；②f2（x）=﹣x2﹣x+1；③f3（x）=1﹣x；④f4（x）=，其中在D上封闭的是②③④．（填序号即可）【分析】利用函数的单调性求出值域，即可判断出结论．【解答】解：定义域D=（0，1），则函数①f1（x）=3x﹣1∈（0，2），不是封闭函数；②f2（x）=﹣x2﹣x+1=﹣+∈（0，1），属于封闭函数；③f3（x）=1﹣x∈（0，1），是封闭函数；④f4（x）=∈（0，1），是封闭函数．其中在D上封闭的是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了利用函数的单调性求函数值域、封闭函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（11分）设集合A={a，a2，b2﹣1}，B={0，|a|，b}，且A=B．（1）求a，b的值；（2）求函数的单调递增区间，并证明．【分析】（1）根据集合的相等关系求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的解析式，根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可．【解答】解：（1）两集合相等，观察发现a不能为0，故只有b2﹣1=0，得b=﹣1或b=1，当b=﹣1时，故b与a对应，所以a=﹣1，如果b=1，则必有|a|=1，B不成立；故a=﹣1，b=﹣1．（2）由（1）得，因为x∈R，当x＞0时，，当x=1时取得最小值，函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；函数是奇函数，单调减区间为（﹣1，0），（0，1），①在[1，+∞）上是增函数，任取x1，x2∈[1，+∞），令x1＜x2，=，∵1≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，又x1x2＞1，故，∴，∴f（x1）＜f（x2），故在[1，+∞）上是增函数．因为函数是奇函数，所以（﹣∞，﹣1]上也是增函数；②函数在x∈（0，1）时，任取x1，x2∈（0，1），令x1＜x2，=，∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，又1＞x1x2＞0，故，∴，∴f（x1）＞f（x2）故在（0，1）上是减函数，因为函数是奇函数，所以（﹣1，0）上也是减函数；综上：函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；单调减区间为（﹣1，0），（0，1）．【点评】本题考查了集合的相等，考查函数的单调性问题，考查单调性的定义，是一道中档题．16．（11分）已知函数f（x）=sinxcosx+cos2x+．（1）当x∈[﹣，]时，求函数y=f（x）的值域；（2）已知ω＞0，函数g（x）=f（+），若函数g（x）在区间[﹣，]上是增函数，求ω的最大值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦的定义域和值域求得f（x）的值域．（2）利用正弦函数的单调性、定义域和值域，求得ω的范围，可得ω的最大值．【解答】解：（1）．∵，∴，∴．∴函数y=f（x）的值域为．（2），当，有，∵g（x）在上是增函数，且ω＞0，∴．即，化简得，∵ω＞0，∴，k∈Z，∴k=0，解得ω≤1，因此，ω的最大值为1，【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．17．（11分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），且同时满足下列条件：（1）f（x）是奇函数；（2）f（x）在定义域上单调递减；（3）f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0．求a的取值范围．【分析】利用函数是奇函数，将不等式f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0转化为f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），然后利用函数的单调性进行求解．【解答】解：（1）（3）由f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0得f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2），∵函数y=f（x）是奇函数，∴﹣f（1﹣a2）=f（a2﹣1），即不等式等价为f（1﹣a）＜f（a2﹣1），∵y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，∴有，即，∴，解得0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键，综合考查函数的性质．18．（11分）已知函数f（x）=[x]+|sin|，x∈[﹣1，1]．其中[x]表示不超过x 的最大整数，例如[﹣3.5]=﹣4，[2.1]=2．（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可试判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求出函数f（x）的表达式，即可求函数f（x）的值域【解答】解：（Ⅰ）∵f（﹣1）=﹣1+1=0，f（1）=1+1=0，∴f（﹣1）≠f（1）且f（﹣1）≠﹣f（1），即函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；（Ⅱ）f（x）=[x]+|sin|=，当x∈[﹣1，0）时，f（0）＜f（x）≤f（﹣1），即﹣1＜f（x）≤0，当x∈[0，1）时，f（0）≤f（x）＜f（1），即0≤＜f（x）＜1，当x=1时，f（x）=2，综上得函数f（x）的值域为（﹣1，1）∪{2}．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数值域的求解，根据函数的定义求出函数的表达式是解决本题的关键．。
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甘肃省天水市2018届高三数学上学期第三学段考试试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1．设集合A={x||x －1|≤2}，B={x|x 2
－4x>0，x ∈R}，则A ∩（B C U ）= ( ) A. [－1，3]
B. [0，3]
C. [－1，4]
D. [0，4]
2．设i 是虚数单位，则复数43i
i
z -=
的虚部为（ ） A.4i B.4 C.-4i D.-4 3．已知(,0)2
x π
∈-，4
cos 5
x =
，则=x 2tan （ ） A ．
247 B ．247- C ．7
24 D ．724-
4．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+-≥03010
y x y x y 则y x +=Z 2的最大值为
A ．-2
B ．4
C ．6
D ．8
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
( )
A.
83 B. 4
3
C. 8+32242++ 6．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前20项和为100，那么318a a ⋅的最大值是( )
7．已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )． A ．4x ＋2y －5＝0 B ．4x －2y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y －5＝0 8．阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为（ ）
A B ．0 C ．-9．已知菱形ABCD 的对角线AC 长为1，则AD AC ⋅
=（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
2
1 10．（理科）已知双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，
且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A.
43 B.2
C.53
D. 73
10.（文科）已知,,l m n 表示两条不同的直线， ,,αβγ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：
①m αβ⋂=， n α⊂， n m ⊥，则αβ⊥； ②m α⊥， n β⊥， m n ⊥，则αβ⊥ ③//,,//m n n m βααβ⊥⇒⊥；
④若,,,//,l m n l αββγγαγ⋂=⋂=⋂=，则//.m n 其中正确的命题个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11.三棱锥P ABC -中， ,,PA PB PC 互相垂直， 1PA PB ==， M 是线段BC 上一动
点，若直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是2
，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（ ）
A. 2π
B. 4π
C. 8π
D. 16π
12．函数()ππ≤≤-=x e y x ,sin 的大致图像为（ ）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．命题“0,x ∀>都有sin 1x ≥-”的否定： ． 14．函数()()cos22sin f x x x x R =-∈的值域为____________. 15．已知方程2
x +
θtan x －θ
sin 1=0有两个不等实根a 和b ，那么过点),(),,(2
2b b B a a A 的直线与圆122=+y x 的位置关系是
16．已知函数()f x 的定义域为[]1;5-，部分对应值如表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，
下列关于()f x 的命题： ①函数()y f x =是周期函数； ②函数()y f x =在[]0,2上减函数；
③如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值是4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点；
⑤ 函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4． 其中正确命题的序号是________（写出所有正确命题的序号）． 三、解答题
17．（本小题12分）已知ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，
其中10c =，且
cos 4
cos 3
A b
B a ==. （1）求证： AB
C 是直角三角形；
（2）设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧上AC
，
60PAB ∠=︒.求四边形ABCP 的面积.
18．（本小题12分）设数列{}n a 满足()+-∈≥+=N n n a a n n ,2,231，且21=a ． （）求432,,a a a 的值．
（）证明：数列{}1+n a 为等比数列，并求出数列{}n a 的前n 项和n T ． （）若数列()
13log +=n
a
n b ，求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
∙+11n n b b 的前n 项和n S ．
19．（理科）（本小题12分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD=NB=1，E 是MN 的中点。
（1）求证：平面AEC ⊥平面AMN ； （2）求二面角M －AC －N 的余弦值。
19．（文科）（本小题12
分）如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，，
，，
是正三角形，平面
平面
．
（1）求证：； （2）求三棱锥的体积．
20．（理科）（本小题12分）已知椭圆1:2222=+b y a x M 的离心率为3
2
2，且椭圆上一点与
椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积
的最大值．
20.（文科）（本小题12分）已知直线20x y +-=被圆2
2
2
:C x y r +=所截得的弦长为8. （1）求圆C 的方程；
（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标.
21．（理科）（本小题12分）已知函数()2
ln 2
a f x x x x =-
（a R ∈）． （Ⅰ）若恒有()f x x ≤成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若函数()()g x f x x =-有两个相异极值点1x ， 2x ，求证： 12
11
2ln ln ae x x +>． 21．（文科）（本小题12分）已知函数1
()ln f x a x x
=
+(a ≠0,a ∈R) (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；
(Ⅱ)若在区间（0，e ］上至少存在一点0x ，使得0()0f x ＜成立，求实数a 的取值范围. 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是)(242222
是参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+==
，曲线C 的极坐标方程为)4
cos(2π
θρ+=．
（1）求曲线C 的直角坐标；
（2）由直线l 上的点向曲线C 引切线，求切线长的最小值．。