第二章第9讲函数与方程

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北师大版数学九年级下册第二章 2.5二次函数与一元二次方程

北师大版数学九年级下册第二章 2.5二次函数与一元二次方程一、二次函数1. 二次函数的定义二次函数是指具有如下形式的函数：y=ax2+bx+c其中，a、b、c是常数，且a eq0。

二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口向上或向下取决于系数a的正负。

2. 抛物线的顶点二次函数的图像以抛物线的形式出现，其中最高点或最低点被称为顶点。

对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点的横坐标和纵坐标分别为：$$x = -\\frac{b}{2a}$$$$y = f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$$3. 抛物线的对称轴对于二次函数y=ax2+bx+c，其图像的对称轴的方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。

对称轴是抛物线的中线，将抛物线分为两个完全对称的部分。

4. 抛物线的焦点和准线焦点和准线是与抛物线相关的两个重要概念。

在二次函数y=ax2+bx+c中，焦点的横坐标为 $x = -\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $y = -\\frac{D}{4a}$，其中D=b2−4ac是二次函数的判别式。

准线是与抛物线平行的一条直线，其纵坐标等于焦点的纵坐标减去$\\frac{1}{4a}$，即 $y = -\\frac{D}{4a} - \\frac{1}{4a}$。

5. 抛物线的开口方向二次函数中的参数a决定了抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线开口向上。

当a<0时，抛物线开口向下。

6. 抛物线与坐标轴的交点对于二次函数y=ax2+bx+c，抛物线与x轴的交点可以通过求解该函数的根来得到。

设抛物线与x轴的交点为(x1,0)和(x2,0)，则有以下关系成立：ax12+bx1+c=0ax22+bx2+c=0二、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax2+bx+c=0其中，a、b、c是常数，且a eq0。

2. 一元二次方程的求解求解一元二次方程的一般步骤如下：(1)将方程转化为标准形式：ax2+bx+c=0(2)计算方程的判别式D=b2−4ac(3)根据判别式的值确定方程的解的情况：•当D>0时，方程有两个不相等的实数解；•当D=0时，方程有两个相等的实数解；•当D<0时，方程没有实数解；(4)根据判别式的值，使用求根公式求解方程的根：•当D>0时，方程的两个根为 $x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{D}}{2a}$ 和$x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{D}}{2a}$；•当D=0时，方程的唯一解为 $x = \\frac{-b}{2a}$；•当D<0时，方程没有实数解。

高中数学讲义第二章函数A (超级详细)

分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．
（1）解： y x2 4x 2 (x 2)2 2 ， x [0,3) ，函数的值域为[2, 2] ；
（2）
解法一：由
y
x2 x2 1
1
x
1 2
1
，
0
1 x2 1
1 ，则 1
1 x2 1
0
， 0
y
1，故函
数值域为[0,1) ．
解法二：由
求函数的值域应注意新元的取值范围．
第 3页【辅导专用】共 16页
【反馈演练】
1．函数 f(x)＝ 1 2 x 的定义域是__(____,_0_]___．
2．函数
f
(x)
1 log 2 (x 2
4x
3)
的定义域为___(_1_, _2_)___(_2_, _3_)___．
3.
函数
y
1 1 x2
它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．
例 2.求下列函数的定义域：① y 1 x 2 1 ； 2 x
② f (x)
x
；
log 1 (2 x)
2
解：（1）①
2 由题意得：
x
0, 解得 x 1且 x
2 或 x
1且 x
2，
x2 1 0,
1．设有函数组：① y x ，y
x2 ；② y x ，y 3 x3 ；③ y
x ，y
x x
；④
y
1 1
(x 0),
，
(x 0),
y x ；⑤ y lg x 1 ， y lg x ．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式课件新人教A版必修第一册

B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
解析：P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2a－2b－2c＝(a－1)2＋(b－1)2 ＋(c－1)2≥0.∵a，b，c不全相等，∴P－Q>0，∴P>Q.
二、填空题(每小题5分，共20分) 8．已知两实数a＝－2x2＋2x－10，b＝－x2＋3x－9，a，b分别对应数轴上两点A，B，则点A在点B的__左__边__ (填“左边”或 “右边”)．
甲乙丙
维生素A(单位/kg) 600 700 400
维生素B(单位/kg) 800 400 500
成本(元/kg)
11 9 4
若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混
合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单
位维生素B.试用x、y表示混合食物的成本c(单位：元)，并写出x、
——基础巩固——
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h，
行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，则用不等式
表示为( B )
A．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h
v≤120 km/h， B.d≥10 m D．d≥10 m
解析：∵a－b＝－2x2＋2x－10－(－x2＋3x－9)
＝－2x2＋2x－10＋x2－3x＋9＝－x2－x－1＝－(x＋
1 2
)2－
3 4
<0，
∴a<b，∴点A在点B的左边．
9．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200km，写成不等式为___8_(x_＋__1_9_)_>_2_2_0_0__；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原8x来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为____9_<_x_－__1_2_<_1_0__.

第9讲、指数与指数函数(教师版)2025高考数学一轮复习讲义

第9讲指数与指数函数知识梳理1、指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn a a a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0m m m ab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2、指数函数xy a =01a <<1a >图象性质①定义域R ，值域(0)+∞，②01a =，即时0x =，1y =，图象都经过(01)，点③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤0x <时，1x a >；0x >时，01x a <<0x <时，01x a <<；0x >时，1x a >⑥既不是奇函数，也不是偶函数【解题方法总结】1、指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1(xy a=的图象关于y 轴对称．必考题型全归纳题型一：指数运算及指数方程、指数不等式【例1】（2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）3327⎛=⎪ ⎪⎝⎭（）A ．9B ．19C ．3D ．39【答案】B【解析】()33333323132739-⎛⎛=====⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（）A ．设0,a >则4334a a a⋅=B ．若82m =，则m =C ．若13a a -+=，则1122a a -+=D 2π=-【答案】B【解析】对于A ，根据分式指数幂的运算法则，可得443325334412a a a a a +⋅==≠，选项A 错误；对于B ，82m =，故m =B 正确；对于C ，13aa+=，112122()2325a a a a --+=++=+=，因为0a >，所以1122a a -+=C 错误；对于D 22ππ=-=-，选项D 错误.故选：B ．【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）()130.52443392221633-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．πB ．2π+C ．4π-D ．6π-【答案】B【解析】()130.524433922422π242π163333-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯=+-+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．=1x -或2x =【答案】D【解析】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，甲写错了常数b ，所以14和174是方程20t ct m ++=的两根，所以1179442c ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，乙写错了常数c ，所以1和2是方程20t nt b ++=的两根，所以1b =⨯22=，则可得方程29202t t -+=，解得12142,t t ==，所以原方程的根是=1x -或2x =故选：D【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）若关于x 的方程19310x x m ++-+=有解，则实数m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],3-∞D ．(]1,3【答案】A【解析】方程19310x x m ++-+=有解，2(3)3310x x m ∴+⨯-+=有解，令30x t =>，则可化为2310t t m +-+=有正根，则231t t m +=-在()0,∞+有解，又当()0,t ∈+∞时，230t t +>所以101m m ->⇒>，故选：A ．【对点训练5】（2024·上海青浦·统考一模）不等式23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】(3,2)-【解析】函数2x y =在R 上单调递增，则22233(1)233(1)212(22233(1)2xx x x x x x x x -------<<--⇔--⇔<，即260x x +-<，解得32x -<<，所以原不等式的解集为(3,2)-.故答案为：(3,2)-【对点训练6】（2024·全国·高三专题练习）不等式10631x x x --≥的解集为___________.【答案】[)1,+∞【解析】由10631xxx--≥，可得1631101010xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为163101010,,xxxy y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⎭=均为R 上单调递减函数则()f x 在R 上单调逆减，且()11f =，()()1f x f ∴≤，1x ∴≥故不等式10631x x x --≥的解集为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.【解题总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20x x a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质【例2】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）函数()()22x xa f x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.当0a =时，()2x f x =，图象A 满足；当1a =时，()122x x f x =+，()02f =，且()()f x f x -=，此时函数是偶函数，关于y 轴对称，图象B 满足；当1a =-时，()122xxf x =-，()00f =，且()()f x f x -=-，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）已知()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]1,0﹣【解析】∵()f x =R ，∴22131x ax +--≥0对任意x ∈R 恒成立，即220313xax a+-≥=恒成立，即220x ax a +-≥对任意x ∈R 恒成立，2440a a ∴∆=+≤，则10a ≤≤﹣．故答案为[]1,0﹣．【对点训练8】（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数()2421x x f x +=--，[]0,3x ∈，则其值域为_______．【答案】[]5,31-【解析】令2x t =，∵[]0,3x ∈，∴18t ≤≤，∴()2241(2)5g t t t t =--=--，[]1,8t ∈又()y g t =关于2t =对称，开口向上，所以()g t 在[)1,2上单调递减，在(]2,8上单调递增，且8221->-，2t ∴=时，函数取得最小值，即()min 5g t =-，8t =时，函数取得最大值，即()max 31g t =，()[]5,31f x ∴∈-.故答案为：[]5,31-.【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()0,1xf x a a a =>≠在[]1,2内的最大值是最小值的两倍，且()()31,1log 1,01f x xg x x x ⎧+≥=⎨-<<⎩，则()123g g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______【答案】3或34-【解析】当1a >时，函数()f x 在[]1,2内单调递增，此时函数()f x 的最大值为()22f a =，最小值为()1f a =，由题意得22a a =，解得2a =，则()321,1log 1,01x x g x x x ⎧+≥=⎨-<<⎩，此时()23112log 121333g g ⎛⎫+=-++= ⎪⎝⎭；当01a <<时，函数()f x 在[]1,2内单调递减，此时函数()f x 的最大值为()1f a =，最小值为()22f a =，由题意得22a a =，解得12a =，则()311,12log 1,01xx g x x x ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<<⎩，此时()2311132log 113324g g ⎛⎫⎛⎫+=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：3或34-.【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】由指数函数定义知2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，所以解得3a =.故选：C【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数()()2e axf x b =-的大致图像如图，则实数a ，b 的取值只可能是（）A ．0,1a b >>B ．0,01a b ><<C ．0,1a b <>D ．0,01a b <<<【答案】C【解析】若0a >，e ax y b =-为增函数，且,,()x y f x →+∞→+∞→+∞，与图象不符，若0a <，e ax y b =-为减函数，且2,,()x y b f x b →+∞→-→，与图象相符，所以0a <，当()0f x =时，e ax b =，结合图象可知，此时0x <，所0ax >，则0e e 1ax >=，所以1b >，故选:C.【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()41x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x ，y 的方程()40,0mx ny m n +=>>，则12m n+的最小值为（）A ．8B ．24C ．4D ．6【答案】C【解析】因为函数()()410,1x f x a a a -=+>≠图象恒过定点()4,2又点A 的坐标满足关于x ，y 的方程()40,0mx ny m n +=>>，所以424m n +=，即22m n +=所以()121121412444222m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4m nn m =即21n m ==时取等号；所以12m n+的最小值为4．故选：C ．【对点训练13】（多选题）（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)n n P P k k =+>-，其中n P为预测期人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内人口年增长率，n 为预测期间隔年数，则（）A ．当()1,0k ∈-，则这期间人口数呈下降趋势B ．当()1,0k ∈-，则这期间人口数呈摆动变化C ．当01,23n k P P =≥时，n 的最小值为3D ．当011,32n k P P =-≤时，n 的最小值为3【答案】AC【解析】00,011P k ><+<，由指数函数的性质可知：0(1)(1)nn P P k k =+>-是关于n 的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A 正确，B 不正确；0014,233nn k P P P ⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，所以423n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以()43log 2N n n ≥∈，()43log 22,3∈，所以n 的最小值为3，故C 正确；00121,332n n k P P P ⎛⎫=-=≤ ⎪⎝⎭，所以2231n⎛⎫ ⎪≤⎝⎭，所以()231log N 2n n ≥∈，()23321log log 21,22=∈，所以n 的最小值为2，故D 不正确；故选：AC.【对点训练14】（多选题）（2024·山东聊城·统考二模）已知函数()221xx f x =+，则（）A ．函数()f x 是增函数B ．曲线()y f x =关于0,12⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的值域为0,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =有且仅有两条斜率为15的切线【答案】AB【解析】根据题意可得()2112121x x xf x ==-++，易知121x y =+是减函数，所以()1121x f x =-+是增函数，即A 正确；由题意可得()211221x x x f x ---==++，所以()()2121121x x x f x f x -+=+=++，即对于任意x ∈R ，满足()()1f x f x -+=，所以()y f x =关于0,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，即B 正确；由指数函数值域可得()211,x+∈+∞，所以()10,121x∈+，即()()10,1112x f x =-∈+，所以函数()f x 的值域为()01,，所以C 错误；易知()()2ln 1222x xf x '=+，令()15f x '=，整理可得()()20215ln 222xx--+=⋅，令()20,x t =∈+∞，即()25ln 2210t t +-=-，易知()25ln 224∆=--，又因为524423236 6.25 2.5e ==<<<，即542e <，所以5ln 24<，即05ln 222-<<，因此()25ln 2240∆=--<；即关于t 的一元二次方程()25ln 2210t t +-=-无实数根；所以()()20215ln 222xx --+=⋅无解，即曲线()y f x =不存在斜率为15的切线，即D 错误；故选：AB【解题总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2,R x f x x =∈，若不等式2()()0f x f x m +->在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是________.【答案】(,0]-∞．【解析】令2()(0),(),0,f x t t H t t t t =>=+>因为211()()24H t t =+-在区间(0,)+∞上是增函数，所以()(0)0.H t H >=因此要使2t t m +>在区间(0,)+∞上恒成立，应有0m ≤，即所求实数m 的取值范围为(,0]-∞．故答案为：(,0]-∞.【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）设()222x xf x --=，当R x ∈时，()()210f x mx f ++>恒成立，则实数m 的取值范围是____________.【答案】(2,2)-【解析】由函数111(22)[2(]22222()2x x x x x x f x --=--=⋅-=，1212,2xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭均为在R 上的增函数，故函数()f x 是在R 上的单调递增函数，且满足1111()22()22()x x x x f x f x --------=-=-=-，所以函数()f x 为奇函数，因为2()(1)0f x mx f ++>，即2()(1)(1)f x mx f f +>-=-，可得21x mx +>-恒成立，即210x mx ++>在R x ∈上恒成立，则满足240m -<，即24m <，解得22m -<<，所以实数m 的取值范围是(2,2)-.故答案为：(2,2)-.【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知不等式4220x x a -⋅+>，对于(,3]a ∈-∞恒成立，则实数x 的取值范围是_________．【答案】(-∞，0)(1⋃，)∞+【解析】设2x t =，0t >，则220t at -+>，对于(a ∈-∞，3]恒成立，即2a t t<+，对于(a ∈-∞，3]恒成立，∴23t t+>，即2320t t -+>，解得2t >或1t <，即22x >或21x <，解得1x >或0x <，综上，x 的取值范围为(-∞，0)(1⋃，)∞+．故答案为：(-∞，0)(1⋃，)∞+﹒【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）若[1,)x ∈-+∞，不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】(,2)-∞【解析】令2x t =，∵[1,)x ∈-+∞，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵4210x x m -⋅+>恒成立，∴11,,2m t t t ⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，∵12t t+≥，当且仅当1t =时，即0x =时，表达式取得最小值，∴2m <，故答案为(,2)-∞．【对点训练18】（2024·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）已知函数()331x x bf x +=+是定义域为R 的奇函数.(1)求实数b 的值，并证明()f x 在R 上单调递增；(2)已知0a >且1a ≠，若对于任意的1x 、[]21,3x ∈，都有()22132x f x a -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）因为函数()331x x bf x +=+是定义域为R 的奇函数，则()1002b f +==，解得1b =-，此时()31213131x x x f x -==-++，对任意的x ∈R ，310x +>，即函数()f x 的定义域为R ，()()()()33131133113331x xx xx xx x f x f x --------====-+++，即函数()f x 为奇函数，合乎题意，任取1t 、2t ∈R 且12t t <，则12033t t <<，所以，()()()()()121212122332211031313131t t t t t t f t f t -⎛⎫⎛⎫-=---=< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，则()()12<f t f t ，所以，函数()f x 在R 上单调递增.（2）由（1）可知，函数()f x 在[]1,3上为增函数，对于任意的1x 、[]21,3x ∈，都有()22132x f x a -+≥，则()2231122x a f --≤=，222x a -∴≤，因为[]21,3x ∈，则[]221,1x -∈-.当01a <<时，则有12a -≤，解得112a ≤<；当1a >时，则有2a ≤，此时12a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解题总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题【例4】（2024·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数()121122441x x f x x =++++--，则不等式()()223f x f x +>的解集为（）A ．()()2,11,-⋃+∞B ．()()1,13,-+∞ C ．()1,13,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()()3,13,-+∞ 【答案】B【解析】依题意，1x ≠，()2441x x xf x x =+--，故()()1111111121212211112244444444x x x x x x x x f x f x x x +-+++-++++-=++++-=++=----，故函数()f x 的图象关于()1,1中心对称，当1x >时，122x y =+，244x y =-，111y x =+-单调递减，故()f x 在()1,+∞上单调递减，且()1211122441xx f x x =+++>+--，函数()f x 的图象关于()1,1中心对称，()f x 在(),1-∞上单调递减，()1f x <，而()()223f x f x +>，故2231x x +<<或2123x x <<+或2123x x <+<，解得11x -<<或3x >，故所求不等式的解集为()()1,13,-+∞ ，故选：B.【对点训练19】（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设()1122xx f x a ⎛⎫+ -⎝=⎪⎭.若函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞ ，则关于x 的不等式()xa f a ≥的解集为__________.【答案】[)1,+∞【解析】若0a ≤，对任意的x ∈R ，20x a ->，则函数()f x 的定义域为R ，不合乎题意，所以，0a >，由20x a -≠可得2log x a ≠，因为函数()y f x =的定义域为{}1x x ≠，所以，21log a =，解得2a =，所以，()11222xf x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则()()211222222f a f ⎛⎫==+= -⎝⎭，由()xa f a ≥可得22x ≥，解得1x ≥.因此，不等式()xa f a ≥的解集为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.【对点训练20】（2024·河南安阳·统考三模）已知函数()21(0)2xa f xb a a-=+>-的图象关于坐标原点对称，则a b +=__________.【答案】32/1.5【解析】依题意函数()f x 是一个奇函数，又20x a -≠，所以2log x a ≠，所以()f x 定义域为{}2|log x x a ≠，因为()f x 的图象关于坐标原点对称，所以2log 0a =，解得1a =.又()()f x f x -=-，所以112121-⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭xx b b ，所以212121⎛⎫-=-+ ⎪--⎝⎭x x x b b ，即212211121221=-==----x x x x x b ，所以12b =，所以32a b +=.故答案为：32.【对点训练21】（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()e x f x =，则满足()()21f x f x +≥的x 的取值范围是______________．【答案】1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由函数性质知()()22f x f x =，()()()212f x f x f x +≥= ，∴()()2,211f x f x x x +≥≥+，即()()2212x x +≥，解得113x -≤≤，∴1,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【对点训练22】（2024·河南信阳·校联考模拟预测）已知实数a ，b 满足423a a +=，22log 3b +=，则32a b +=__________．【答案】1【解析】因为22log 3b =，化简得()()2log 31313b b +++=．所以()()2log 3122log 313b b +++=，又242223a a a a +=+=，构造函数()2xf x x =+，因为函数2x y =，y x =在(),-∞+∞上都为增函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递增函数，由()13f =，∴()22log 311a b =+=，解得12a =，13b =，∴312a b +=．故答案为：1.【对点训练23】（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点()11,M x y 在函数e x y =的图象上，当[)10,1x ∈，则1111y x +-可能等于（）A ．-1B ．2-C ．3-D ．0【答案】BC 【解析】由1111y x +-表示()11,M x y 与点(1,1)A -所成直线的斜率k ，又()11,M x y 是e x y =在[)0,1x ∈部分图象上的动点，图象如下：如上图，(1,e)B ，则(,2]k ∞∈--，只有B 、C 满足.故选：BC。

高考数学重难点第9讲-函数的定义域、解析式与值域8大题型(新高考用)(解析版)(全国通用)(老师专用

重难点第9讲函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。

函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。

在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。

二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

高考数学重难点第9讲函数的定义域、解析式与值域8大题型(原卷版及答案)新高考用)(全国通用)

在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。

高中数学知识点顺口溜速记口诀

高中数学知识点顺口溜速记口诀（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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新人教A版版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数函数与方程教案文

一、知识梳理１．函数的零点函数零点的概念对于函数y ＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y ＝f（x）（x∈D）的零点方程的根与函数零点的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点函数零点的存在性定理函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f （b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１，0），（x２，0）（x１，0）无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，３）Ｃ．错误!和（３，４）Ｄ．（４，＋∞）答案：B２．（必修１P88例１改编）f（x）＝e x＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案：B３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（）（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（）（４）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略限制条件致误；（２）错用零点存在性定理致误．１．函数f（x）＝（x—１）ln（x—２）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．由x—２>0，得x>２，所以函数f（x）的定义域为（２，＋∞），所以当f（x）＝0，即（x—１）ln（x—２）＝0时，解得x＝１（舍去）或x＝３．２．已知函数f（x）＝２ax—a＋３，若∃x0∈（—１，１），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．解析：依题意可得f（—１）·f（１）<0，即（—２a—a＋３）（２a—a＋３）<0，解得a<—３或a>１．答案：（—∞，—３）∪（１，＋∞）函数零点所在区间的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝log３x＋x—２的零点所在的区间为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（２，３）Ｄ．（３，４）【解析】法一（定理法）：函数f（x）＝log３x＋x—２的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f（１）＝—１<0，f（２）＝log３２>0，f（３）＝２>0，根据零点存在性定理可知，函数f（x）＝log３x＋x—２有唯一零点，且零点在区间（１，２）内．法二（图象法）：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log３x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１，２）．故选Ｂ．【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f（x）＝３x—x２，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）Ａ．[0，１] Ｂ．[１，２]Ｃ．[—２，—１] Ｄ．[—１，0]解析：选Ｄ．因为f（x）＝３x—x２，所以f（—１）＝３—１—１＝—错误!<0，f（0）＝３0—0＝１>0，所以f（—１）·f（0）<0．函数零点个数的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0【解析】法一（方程法）：由f（x）＝0，得错误!或错误!解得x＝—２或x＝e.因此函数f（x）共有２个零点．法二（图形法）：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有２个零点．【答案】B错误!判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f（x）＝错误!则f（x）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．当x>１时，令f（x）＝ln（x—１）＝0，得x＝２；当x≤１时，令f（x）＝２x—１—１＝0，得x＝１．故选Ｃ．函数零点的应用（师生共研）设函数f（x）＝错误!（１）若a＝１，则f（x）的最小值为；（２）若f（x）恰有２个零点，则实数a的取值范围是．【解析】（１）若a＝１，则f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为—１．（２）当a≥１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足２１—a≤0，即a≥２，所以a≥２；当a<１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足错误!解得错误!≤a<１．综上，实数a的取值范围为错误!∪[２，＋∞）．【答案】（１）—１（２）错误!∪[２，＋∞）错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤（１）常用方法（２）一般步骤１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１，２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，３）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，３）Ｄ．（0，２）解析：选Ｃ．由题意，知函数f（x）在（１，２）上单调递增，又函数一个零点在区间（１，２）内，所以错误!即错误!解得0<a<３，故选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，则实数m的取值范围是．解析：画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．由于函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，结合图象得0<m<１，即m∈（0，１）．答案：（0，１）３．若函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，则实数a的取值范围是．解析：因为函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，所以方程４x—２x—a＝0在[—１，１]上有解，即方程a＝４x—２x在[—１，１]上有解．方程a＝４x—２x可变形为a＝错误!错误!—错误!，因为x∈[—１，１]，所以２x∈错误!，所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案：错误!核心素养系列５直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f（x＋２）＝f（x），则y＝f（x）是以２为周期的周期函数，１正确；当—１≤x≤0时，0≤—x≤１，f（x）＝f（—x）＝错误!错误!，函数y＝f（x）的部分图象如图所示：由图象知２正确，３不正确；当３<x<４时，—１<x—４<0，f（x）＝f（x—４）＝错误!错误!，因此４正确，故正确命题的序号为１２４．【答案】１２４错误!作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log２（—x）<x＋１成立的x的取值范围是．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１，0）．【答案】（—１，0）错误!f（x），g（x）之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—２a|≥错误!x＋a—１对x∈R恒成立，则a的取值范围是．【解析】作出y＝|x—２a|和y＝错误!x＋a—１的简图，依题意知应有２a≤２—２a，故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f（x）＝２x＋x，g（x）＝log３x＋x，h（x）＝x—错误!的零点依次为a，b，c，则（）Ａ．a<b<cＢ．c<b<aＣ．c<a<bＤ．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝２x，y＝log３x，y＝—错误!的图象，如图，观察它们与y＝—x的交点可知a<b<c，故选Ａ．【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．１．函数f（x）＝|x—２|—ln x在定义域内的零点的个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y１＝|x—２|（x>0），y２＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为２．２．已知函数f（x）＝错误!若f（a２）<f（２—a），则实数a的取值范围是．解析：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递增，所以a２<２—a，解得—２<a<１，故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）[基础题组练]１．（２0２0·福州期末）已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（x）＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．令f（x）＋３x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝—１，所以函数y＝f（x）＋３x 的零点个数是２．故选Ｃ．２．下列函数中，在（—１，１）内有零点且单调递增的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝２x—１Ｃ．y＝x２—错误!Ｄ．y＝—x３解析：选Ｂ．函数y＝log错误!x在定义域上单调递减，y＝x２—错误!在（—１，１）上不是单调函数，y＝—x３在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝２x—１，当x＝0∈（—１，１）时，y＝0且y＝２x—１在R上单调递增．故选Ｂ．３．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）方程log４x＋x＝7的解所在区间是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（３，４）Ｃ．（５，6）Ｄ．（6，7）解析：选Ｃ．令函数f（x）＝log４x＋x—7，则函数f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数，且是连续函数．因为f（５）<0，f（6）>0，所以f（５）·f（6）<0，所以函数f（x）＝log４x＋x—7的零点所在区间为（５，6），所以方程log４x＋x＝7的解所在区间是（５，6）．故选Ｃ．４．（２0２0·内蒙古月考）已知函数f（x）＝x２—２|x|—m的零点有两个，则实数m的取值范围为（）Ａ．（—１，0）Ｂ．{—１}∪（0，＋∞）Ｃ．[—１，0）∪（0，＋∞）Ｄ．（0，１）解析：选Ｂ．在同一直角坐标系内作出函数y＝x２—２|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝—１时，直线y＝m与函数y＝x２—２|x|的图象有两个交点，即函数f（x）＝x２—２|x|—m有两个零点．故选Ｂ．５．已知函数f（x）＝x e x—ax—１，则关于f（x）的零点叙述正确的是（）Ａ．当a＝0时，函数f（x）有两个零点B．函数f（x）必有一个零点是正数Ｃ．当a<0时，函数f（x）有两个零点Ｄ．当a>0时，函数f（x）只有一个零点解析：选Ｂ．f（x）＝0⇔e x＝a＋错误!（x≠0），在同一直角坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!7．（２0２0·新疆第一次适应性检测）设a∈Z，函数f（x）＝e x＋x—a，若x∈（—１，１）时，函数有零点，则a的取值个数为．解析：根据函数解析式得到函数f（x）是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈（—１，１）时，函数有零点，需要满足错误!⇒错误!—１<a<e＋１，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，１，２，３．答案：４8．已知f（x）＝x２＋（a２—１）x＋（a—２）的一个零点比１大，一个零点比１小，则实数a的取值范围是．解析：法一：设方程x２＋（a２—１）x＋（a—２）＝0的两根分别为x１，x２（x１<x２），则（x１—１）（x２—１）<0，所以x１x２—（x１＋x２）＋１<0，由根与系数的关系，得（a—２）＋（a２—１）＋１<0，即a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围为（—２，１）．法二：函数f（x）的图象大致如图，则有f（１）<0，即１＋（a２—１）＋a—２<0，得a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）9．设函数f（x）＝ax２＋bx＋b—１（a≠0）．（１）当a＝１，b＝—２时，求函数f（x）的零点；（２）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（１）当a＝１，b＝—２时，f（x）＝x２—２x—３，令f（x）＝0，得x＝３或x＝—１．所以函数f（x）的零点为３或—１．（２）依题意，f（x）＝ax２＋bx＋b—１＝0有两个不同的实根，所以b２—４a（b—１）>0恒成立，即对于任意b∈R，b２—４ab＋４a>0恒成立，所以有（—４a）２—４×（４a）<0⇒a２—a<0，解得0<a<１，因此实数a的取值范围是（0，１）．１0．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），满足f（0）＝２，f（x＋１）—f（x）＝２x—１．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，求m的取值范围．解：（１）由f（0）＝２得c＝２，又f（x＋１）—f（x）＝２x—１，得２ax＋a＋b＝２x—１，故错误!解得a＝１，b＝—２，所以f（x）＝x２—２x＋２．（２）g（x）＝x２—（２＋m）x＋２，若g（x）的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，则满足错误!⇒错误!解得１<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]１．（一题多解）函数f（x）＝２x—错误!零点的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．法一：当x<0时，f（x）＝２x—错误!>0恒成立，无零点；又易知f（x）＝２x—错误!在（0，＋∞）上单调递增，最多有一个零点．又f错误!＝错误!—２<0，f（１）＝２—１>0，所以有一个零点．故选Ｂ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝２x和y＝错误!的图象，如图所示．函数f（x）＝２x—错误!的零点等价于２x＝错误!的根等价于函数y＝２x和y＝错误!的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选Ｂ．２．已知命题p：“m＝２”是“幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f（x）＝ln x＋３x—8的零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＋b＝５．则下列命题为真命题的是（）Ａ．p∧qＢ．（﹁p）∧qＣ．﹁qＤ．p∧（﹁q）解析：选Ａ．对于命题p，若幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数，则错误!解得m＝２，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f（x）＝ln x＋３x—8在（0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝ln ２—２<0，f（３）＝ln ３＋１>0，所以零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＝２，b＝３，a＋b＝５，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q 是真命题，（﹁p）∧q，﹁q，p∧（﹁q）都是假命题．故选Ａ．３．设函数f（x）＝错误!（x>0）．（１）作出函数f（x）的图象；（２）当0<a<b，且f（a）＝f（b）时，求错误!＋错误!的值；（３）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：（１）如图所示．（２）因为f（x）＝错误!＝错误!故f（x）在（0，１]上是减函数，而在（１，＋∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）＝f（b），得0<a<１<b，且错误!—１＝１—错误!，所以错误!＋错误!＝２．（３）由（１）中函数f（x）的图象可知，当0<m<１时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是（0，１）．４．（创新型）已知函数f（x）＝—x２—２x，g（x）＝错误!（１）求g（f（１））的值；（２）若方程g（f（x））—a＝0有４个实数根，求实数a的取值范围．解：（１）利用解析式直接求解得g（f（１））＝g（—３）＝—３＋１＝—２．（２）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（—∞，１）上有２个不同的解，则原方程有４个解等价于函数y＝g（t）（t<１）与y＝a的图象有２个不同的交点，作出函数y＝g （t）（t<１）的图象，如图，由图象可知，当１≤a<错误!时，函数y＝g（t）（t<１）与y＝a有２个不同的交点，即所求a的取值范围是错误!.。

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第9讲函数与方程 1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系

Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象

与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数两个一个零个

1．辨明两个易误点 (1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件． 2．会用判断函数零点个数的三种方法 (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 3．明确三个等价关系(三者相互转化) 1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( ) A．0，2 B．0，12

C．0，－12 D．2，－12 解析：选C.因为2a＋b＝0，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．

所以零点为0和－12. 2．(必修1 P92习题3.1A组T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用零点存在性定理判定图中函数零点的是( )

答案：A 3．已知函数y＝f(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝2＋42

＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点所在的区间为________．答案：(2，3) 4．(必修1 P112复习参考题A组T1改编)若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则 ①函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内； ②函数f(x)在(3，5)内无零点； ③函数f(x)在(2，5)内有零点； ④函数f(x)在(2，4)内不一定有零点； ⑤函数f(x)的零点必在(1，5)内．以上说法错误的是________(填序号)．答案：①②③ 考点一函数零点所在区间的确定[学生用书P39] (2014·高考北京卷)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞) [解析] 由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1

＝2>0，f(4)＝64－log24＝32－2＝－12<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点． [答案] C

判断函数零点所在区间的方法 (1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；

(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断； (3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．

1.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析：选B.易知f(x)为增函数．

因为f(－1)·f(0)＝－52＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(－1，0)．

考点二函数零点个数的问题[学生用书P40] (1)(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( ) A．{1，3} B．{－3，－1，1，3} C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3} (2)若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)

＝110x在0，103上的根的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析] (1)令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋7＞0(舍去)或x＝－2－7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1，3}． (2)因为f(x)为偶函数，所以当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2. 又f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，

故f(x)是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝110x在0，

3上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，

故方程f(x)＝110x在0，103上有三个根．故选C. [答案] (1)D (2)C 若将本例(2)中“110x”变为“110|x|”，则方程f(x)＝110|x|在[－3，3]上所有根的和为________．解析：由本例(2)解析知f(x)＝110|x|在[－3，3]上有六个不同根，不妨设为x1由图象关于y轴的对称性知x1＋x6＝0，x2＋x5＝0，x3＋x4＝0，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5

＋x6＝0.

答案：0

函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点； (2)零点存在性定理； (3)利用图象交点的个数． [注意] 若已知f(x)有几个零点，则用数形结合法，转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题，数形结合求解．

2.(1)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为( ) A.12，0 B．－2，0 C.12 D．0 (2)(2016·天津河东一模)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：(1)选D.当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；

当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0. (2)选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. 考点三函数零点的应用(高频考点)[学生用书P40] 高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，且主要有以下两个命题角度： (1)已知函数的零点或方程的根求参数值或范围； (2)利用函数零点比较大小． (1)(2016·郑州质检)设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( ) A．g(a)<0C．0(2)(2015·高考湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． [解析] (1)依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0，1)内，即00，函数g(x)的零点在区间(1，2)内，即1f(1)>0.又函数g(x)在(0，1)内是增函数，因此有g(a)g(a)<0(2)由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，则当0[答案] (1)A (2)(0，2)

函数零点应用问题的常见类型及解题策略 (1)已知函数零点求参数，根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围． (2)已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法． (3)借助函数零点比较大小，要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．

3.(1)已知函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( ) A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)

(2)已知函数f(x)＝0，x≤0，2x，x>0，则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是( ) A．[0，1) B．(－∞，1) C．(－∞，0]∪(1，＋∞) D．(－∞，1]∪(2，＋∞) 解析：(1)选C.因为f(x)在(1，2)内单调递增，依题意有f(1)·f(2)<0，所以(－a)·(3－a)<0，所以0(2)

选C.函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，作出h(x)＝x，x≤0，2x＋x，x>0的图象，如图所示，观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．

,[学生用书P41]) 交汇创新——方程的根与函数极值点的交汇