统计学 第五章 参数估计

101.0 107.5 123.5 95.4
136.8
102.8
101.5
98.4
93.3
例7.1的解
X ~ N ( , 10 2 ) , n 25 , 1 0.95 , 根据 解：已知
样本数据计算得：
由于
x 105.36
z
2

n
1.96
10 25
3.92
从而总体均值的0.95置信区间为
试建立
42 34 39 34
53 28 49 39
45 39 38 45
54 36 34 48
47 44 48 45
24 40 50 32
例7.2的解
解：由于 n 较大，可认为样本均值近似服从正态分布，
且总体方差应由样本方差代替.根据样本数据计算得：
x 39.5
由于
z2s n来自1.645 置信度 可以用频率来说明. 如果 是置信度 0.95 置信区间，当从总体中多次取样本容量为 n 的样本时， 则每次可得到一个置信区间，这些置信区间有的包含θ，而 有的则不包含θ，但平均来说，包含θ的置信区间的频率应 在 0.95 附近波动.
三. 评价估计量的标准 (一) 无偏性(unbiasedness)
第 五 章 参数估计
7.1 参数估计的一般问题
7.2 一个总体参数的区间估计
7.3 两个总体参数的区间估计 7.4 样本容量的确定
1，正态分布
P P P P
x x


1

68 .27 % x

2
95 .45 % x

x

3
99 .73 % x

x
1.96

95 % x

All normal density curves satisfy the following property which is often referred to as the Empirical Rule. 68.27% – of the observations fall within 1 standard deviation of the mean, that is, between and 95.45% – of the observations fall within 2 standard deviations of the mean, that is, between . 2 and 2x 99.73% – of the observations fall within 3 standard deviations of the mean, that is, between 3 and . 3 Thus, for a normal distribution, almost all values lie within 3 standard deviations of the mean.
9.945 500 100 z x 2 1.78分 500 - 1 100

课后作业： It is known that the standard deviation, for the days of absence per worker per year in an industry is 11 days. Construct 95.45 per cent and 99.73 per cent confidence intervals for the population mean given that a random sample of 100 workers gives a mean of 8 days’ absence.
每袋重量应为100克.
门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求. 现从某 天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如表72. 已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10 克. 试估计该批产品平均重量的0.95置信区间. 表7-2 112.5 102.6 100.0 116.6 25 袋食品的重量 103.0 95.0 102.0 97.8 102.0 108.8 101.6 108.6 100.5 115.6 102.2 105.0
7.77 36
2.13
从而总体均值的0.90置信区间为
39.5 2.13
即投保人平均年龄的0.95置信区间为 (37.37 , 41.63)
例3 某企业从长期的实践得知，其产品 直径X是正态随机变量，服从方差为0.0025的 正态分布（总体方差已知）。从某日产品中随 机抽取6个，测得其直径分别为14.8，15.3， 15.1，15，14.7，15.1厘米。在0.95的置信度 下，试求该产品直径的均值的信赖区间。
1 n 2 s n ( xi x) 2 n i 1 为样本二阶中心矩。
2. 区间估计(interval estimate)
设
x1 , x2 , , xn 是来自总体的一个样本，θ是总体
2
未知参数. 对给定的 (0 1) ，如能确定两个统计量 ˆ ˆ 和 ，满足
(二) 正态总体且方差未知、小样本
设 X ~ N ( , 2 ) ，则
t x s/ n ~ t (n 1)
(7.4)
对于给定的显著性水平 ，有
x P t ( n 1) t ( n 1) 1 s/ n 2 2
则总体均值 的置信度为 1 的置信区间为 s s ( x t (n 1) , x t (n 1) ) n n 2 2
2
z
X
~ N (0 , 1)
(7.1)

n
,
X z
2

n
2
)
(7.2)
当总体非正态但样本容量较大时近似可得上述的置信区
间。且当σ 未知时则可用 s 代替. s s ( X z , X z ) n n 2 2
2
(7.3)
例1
一家食品生产企业以生产袋装食品为主，按规定
为对产量质量进行监测，企业质检部

x
x

x


x

x
7.1 参数估计的一般问题
一. 估计量与估计值 二. 点估计与区间估计 三. 评价估计量的标准
一. 估计量与估计值 (estimator & estimated value)
用于估计总体参数的统计量称为总体参数的估计量，而
估计量的具体值则称为总体参数的估计值.
ˆ 参数若用 表示，估计量则用 表示.
ˆ 设 为未知参数θ的估计量，若
ˆ E ( )
则称 ˆ 为θ的无偏估计量。
(二) 有效性(efficiency)
ˆ ˆ 设 1 , 2 为θ 的两个无偏估计量，若
ˆ ˆ D(1 ) D( 2 )
ˆ 则称 1比 ˆ2 有效.
(三) 一致性(consistency)
二. 点估计与区间估计 1. 点估计(point estimate)
根据样本数据求得估计量的取值作为未知参数的估计值. 参数估计的主要方法有矩估计法、最大似然法、最小二 乘法等.
矩估计法
所谓矩估计就是用样本矩来估计相应的总体矩.
1 总体矩 (1) k 阶原点矩： E( X k ) 例如
E( X ) 为总体一阶原点矩。
(7.5)
图7-6 不同自由度的t分布与正态分布比较
Characteristics of t distributions t 分布的性质
A t distribution resembles the standard normal distribution (Z) in that both are symmetrical about a mean of zero. t 分布类似于标准正态分布，二者都是关于均值 0 对称的。 But t distributions are flatter and more spread out than the normal curve. 但是 t 分布比正态曲线较为平展。 However, as the sample size n increases, so too the number of degrees of freedom (n-1) increases, and the more closely do the t distributions resemble the standard normal curve.然而，随着样本容量的增加， 从而自由度数也增加， t 分布越来越接近于标准 正态曲线。
例5 某企业生产某种产品的工人有1000 人，某日采用不重复抽样从中随机抽取100 人（大样本）调查他们的当日产量，样本 人均产量为35件，产量的样本标准差为4.5 件，试以95．45％的置信度估计人均产量 的抽样极限误差和置信区间。
x 35件

x


n
N n 0.43 N 1
35 0.86 X 35 0.86

例6： 某大学500人进行某学科考试，随机不重复抽
取20％，（大样本）所得有关数据如表，试以 95．45％的概率度估计全部学生的平均成绩
x


n
N n N -1

.
s n
N n N -1
9.945 100
500 100 500 - 1
105.36 3.92
即这批袋装食品平均重量的0.95置信区间为 (101.44 , 109.28)
例7.2
一家保险公司收集到由36投保人组成的随机