07.08子荷方程不等式
不等式知识点总结.ppt
利 用 绝 对 值 的 几 何 意 义:
10.解不等式 (1)一元一次不等式
ax
b(a
x 0)
x
b
a b
(a (a
0) 0)
a
(2)一元二次不等式：
0, x x1 , x x2 (x1 x2 )
ax2
bx
c
0(a
0)
0, x b 2a
0, x R
(3)高次不等式： (x a1 )( x a2 ) (x an ) 0
ab
g(x) g(x)
ab
f(x) g(x)
a
g(x),或f (x) f (x) g(x)
b
g(x)
a1 a2 an a1 a2 an
平 方 法f (x) g(x) f 2 (x) g2 (x) 划 分 区 域 讨 论 法 ： 适 合于 两 个 或 两 个 以 上 绝 对值 号 的 不 等 式
整式不等式 可化为整式不等式的不等式
二.知识要点
1.两实数大小的比较 2.不等式的性质
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
对 称 性a b b a
传 加
递 法
性a 单调
b,b c a b 性a b a c
c b
c同
移 项 法 则a 向不等式相
7.绝对值的定义 8.绝对值的性质
a,(a 0)
a
0, (a
0)
a,(a 0)
a 0
a
b
a
b
a
b
a b
a
n
an
a b ab a b
a
1
a2
an
a1
a2
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT
答案:(1)A
(2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
延伸探究 例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最
大值.
解:∵a>0,b>0,4=a+4b≥2 4=4 ,
解得 ab≤1,当且仅当 a=4b=2,即
此时 ab 取得最大值 1.
1
a=1,b=2时等号成立.
答案:C
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
探究二利用基本不等式证明不等式
例 2(1)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> + + .
(2)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
求证:
1
-1
1
-1
1
-1
≥8.
分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本
=
≥
,
1
2 1
2
同理可得 -1≥
,
-1≥
.
∴-1=
由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,
1
-1
1
-1
1
2 2 2
得
-1 ≥
·
·
=8.
1
当且仅当 a=b=c= 时,等号成立.
3
1
1
1
故 -1
-1
-1 ≥8.
人教A版高中学案数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式性质、不等式性质、基本不等式
16
5
C. + 的最小值是6D.2 + 2 的最小值为
[解析]对于A选项, = ⋅ ⋅ ≤
+
⋅(
) =
A选项正确.对于B选项,( + )( + ) = +
由 =
,
=
,解得
对于C选项, + =
− ≥ ,当且仅当 = −, = 时取等号,故选C.
3.下列说法中，正确的个数是() B
①2 + 2 ≥ 2 成立的条件是 ≥ 0, ≥ 0②2 + 2 ≥ 2 成立的条件是, ∈
③ + ≥ 2 成立的条件是 > 0, > 0④ + ≥ 2 成立的条件是 > 0
等号成立,故有最大值−.故选C.
−
− = −,当且仅当− =
,即
−
= −时,
5.[2024扬州期末]对于实数,,,下列命题正确的是()
C
A.若 > ,则 2 > 2 B.若 > ,则2 > 2
−
C.若 > ,则|| > ||D.若 > > > 0,则
又 < ,∴ − < < ,− > ,∴ > − > > −.
2.已知 = 2 + 4 + 1, = − 2 + 2 − 4,则() C
A. > B. < C. ≥ D. ≤
不等式讲基本不等式及其应用课件pptx
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
不等式的性质与不等式证明
经济中的不等式问题
总结词
经济中的不等式问题涉及到资源的分配和优化，需要运用不等式性质和数学模型来解决。
详细描述
在经济中，不等式问题经常出现在生产计划、资源配置、市场分析等领域。例如，在生产计划中，比较不同生产 方案的成本和效益；在资源配置中，比较不同投资项目的回报率和风险；在市场分析中，比较不同产品的市场份 额和销售量。解决这类问题需要运用不等式性质和数学模型，如线性规划、整数规划等。
物理中的不等式问题
总结词
物理中的不等式问题涉及到物理量的比较和推理，需要运用物理原理和不等式性质来解 决。
详细描述
在物理中，不等式问题经常出现在力学、热学、电磁学等领域。例如，在力学中，比较 不同物体的速度、加速度和力的大小；在热学中，比较不同温度、压力和热量的大小； 在电磁学中，比较不同电场、磁场和电流的大小。解决这类问题需要运用物理原理和不
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代数恒等式
利用代数恒等式进行证明， 如平方差公式、完全平方 公式等。
代数不等式
通过代数运算和变换，将 不等式转化为更易于证明 的形式。
放缩法
通过放缩不等式的两边， 使不等式更容易证明。
几何证明方法
面积法
利用几何图形的面积关系 证明不等式，如三角形面 积与边长关系。
体积法
利用几何体的体积关系证 明不等式，如球体体积与 半径关系。
函数图像法
利用函数图像的性质和变 化趋势证明不等式。
反证法
Hale Waihona Puke 反证法的定义通过假设所要证明的不等式不成立， 然后推导出矛盾，从而证明不等式成 立。
反证法的步骤
反证法的应用
在难以直接证明不等式时，可以考虑 使用反证法。
代数方程不等式函数
代数方程不等式函数代数方程、不等式和函数是高中数学中重要的概念和工具，它们在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。
本文将依次介绍代数方程、不等式和函数的概念，并讨论它们之间的关系。
一、代数方程代数方程是含有未知数的数学等式，通常采用字母表示未知数。
代数方程的解即能够使方程成立的未知数的取值。
比如，对于一元一次方程ax + b = 0，其解为x = -b/a。
而对于二元一次方程ax + by = c，其解为x = (c - by) / a。
代数方程的解可以有一个或多个，也可能没有解。
二、不等式不等式是由不等号连接的两个代数式构成的数学表达式。
不等式描述了变量之间的大小关系，可以用来表示范围和条件。
比如，对于一元一次不等式ax + b > 0，其解为x > -b/a。
而对于二元一次不等式ax + by ≤ c，其解为x ≤ (c - by) / a。
不等式的解可以是一个区间、一个集合或一个条件。
三、函数函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数由定义域、值域和对应关系组成。
在代数中，函数通常用方程或不等式的形式表示。
函数的图像可以是一条曲线、一条直线或一组离散点。
函数在数学中有着广泛的应用，特别是在数学分析、微积分和概率统计中。
四、代数方程、不等式和函数的关系代数方程和不等式可以被看作是函数的特殊形式。
代数方程可以表示为y = f(x)的形式，其中y代表方程的解。
而不等式可以表示为y ≥ f(x)或y ≤ f(x)的形式，其中y代表不等式的解的范围或条件。
代数方程和不等式都是函数的具体实例，它们在数学分析和应用问题中经常被用到。
总结：代数方程、不等式和函数是高中数学中的重要概念。
代数方程表示了数学等式的解，不等式描述了变量之间的大小关系，函数则是一种特殊的关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
代数方程、不等式和函数之间具有密切的关系，代数方程和不等式可以被看作是函数的特殊形式，在数学和其他科学领域中都有重要的应用。
综合应用所学知识点总结
综合应用所学知识点总结在学习过程中，我们学到了许多不同的知识点，这些知识点涉及到不同的学科，如数学、物理、化学、生物、地理等。
在这篇文章中，我将对所学的知识点进行一个总结。
一、数学在数学中，我们学习了许多不同的知识点，如代数、几何、概率等。
代数是数学的一个重要分支，它研究的是数字、字母和符号之间的关系。
在代数中，我们学习了方程、不等式、函数等内容。
方程是代数的重要内容之一，它描述了一个等式中未知数的值。
不等式则是描述了一个不等式中未知数的值。
函数是代数中的又一个重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
几何是数学另一个重要分支，它研究的是空间中的形状和大小。
在几何中，我们学习了各种图形的性质，如三角形、四边形、圆等。
此外，我们还学习了三角函数、平面几何、立体几何等内容。
概率是数学的一个重要内容，它研究了随机事件的概率。
在概率中，我们学习了事件的概率、条件概率、排列组合等内容。
二、物理在物理学习中，我们学习了许多不同的知识点，如力学、热学、电磁学等。
力学是物理的一个重要分支，它研究的是物体的运动。
在力学中，我们学习了牛顿运动定律、重力、摩擦力等内容。
热学是物理的另一个重要分支，它研究的是热量和温度。
在热学中，我们学习了热力学定律、热传导、热辐射等内容。
电磁学是物理的又一个重要内容，它研究的是电荷和磁场。
在电磁学中，我们学习了静电场、静磁场、电流、电磁感应等内容。
三、化学在化学学习中，我们学习了许多不同的知识点，如原子结构、化学键、化学反应等。
原子结构是化学的一个重要内容，它研究了原子中的电子、质子和中子。
化学键是化学的另一个重要内容，它描述了原子之间的结合形式。
在化学键中，我们学习了共价键、离子键、金属键等内容。
化学反应是化学的又一个重要内容，它描述了原子和分子之间的转化过程。
在化学反应中，我们学习了化学平衡、化学反应速率、化学动力学等内容。
四、生物在生物学习中，我们学习了许多不同的知识点，如细胞、遗传、进化等。
基本不等式课件
均值不等式的证明
均值不等式的证明可以通过数学归纳法、柯西不等式等方法 进行。
其中，利用柯西不等式进行证明的方法较为简洁明了，可以 通过构造向量并应用柯西不等式得出结论。
均值不等式的应用
均值不等式在数学中有着广泛的应用，例如在证明不等式 、求最值、解决方程等问题中都可以发挥作用。
在实际应用中，均值不等式也可以用于解决一些实际问题 ，例如在经济学中的收入分配、物理学中的能量均分等问 题中都可以应用均值不等式进行分析和求解。
一元二次不等式的解集
满足不等式的 $x$ 的取值范围。
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一元二次不等式的图像
一元二次函数的图像在 $x$ 轴上方的部分或下方 的部分。
一元二次不等式的解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 4ac$，判断一元二次方程的根的 情况，从而确定不等式的解集。
配方法
通过配方将一元二次不等式转化为 完全平方的形式，然后利用平方根 的性质求解。
THANKS
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柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式的定义
对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$（$i=1,2,...,n$），有
$left( sum_{i=1}^{n} a_i^2 right) left( sum_{i=1}^{n} b_i^2 right) geq left( sum_{i=1}^{n} a_i b_i right)^2$
基本不等式的重要性
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数学基础
基本不等式是数学中的重 要内容，是后续学习不等 式解法、函数性质等的基 础。
实际应用
在实际问题中，经常需要 比较大小、求解最值等问 题，基本不等式是解决这 些问题的有效工具。
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1、下列方程组中是二元一次方程组的是（）
A．B．C．D．
2、已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（）
3、若关于x，y的方程组的解是，则|m﹣n|为（）
4、关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=﹣6的解，则k的值是（）
则12：00时看到的两位数是（）
6、分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”
处应放“”的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7、若a：b：c=2：3：7，且a﹣b+3=c﹣2b，则c值为何？（）
A．7 B．63 C．D．
8、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了_________朵．
9、玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元．玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
（2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．
甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动．已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人．经核算，若两校分别组团共需花费20 800元，若两校联合组团只需花费18 000元．（1）两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？
（2）两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？
1、实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误的是（）
A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＜1 D．a﹣b＜0
2、下列不等式总成立的是（）
A．4a＞2a B．a2＞0 C．a2＞a D．﹣a2≤0
3、若a＞b，则下列不等式成立的是（）
A．a﹣3＜b﹣3 B．﹣2a＞﹣2b C．D．a＞b﹣1
4、已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0．下列结论不一定正确的是（）
A．a+c＞b+c B．c﹣a＜c﹣b C．D．a2＞ab＞b2
5、如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）
A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．ac＞bc D．
6、若a+b＞0，且b＜0，则a，b，﹣a，﹣b的大小关系为（）
A．﹣a＜﹣b＜b＜a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣a＜b＜a＜﹣b D．b＜﹣a＜﹣b＜a
7、给出下列命题：
①若a＞b，则ac2＞bc2；②若ab＞c，则b＞；③﹣3a＞2a，则a＜0；④若a＜b，则a﹣c＜b﹣c．
其中正确命题的序号是（）
A．③④B．①③C．①②D．②④
8、如果（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，则m的取值范围是（）
．
A．m＜0 B．m＜﹣1 C．m＞﹣1 D．m是任意实数
9、关于x的不等式组的解集为x＜2，则a的取值范围是（）
A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a≤2 D．a≥2
10、若关于x的不等式mx＞1的解集为x＞，则m应满足（）
A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0
11、如果不等式组有解，那么m的取值范围是（）
A．m＞8 B．m＜8 C．m≥8 D．m≤8
12、若不等式无解，则m的取值范围是（）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
13、若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（）
14、若不等式组有解，则a的取值范围是（）
15、关于x，y的方程组的解满足x＞y，求m的最小整数值．
16、已知方程组的解满足不等式4x﹣5y＜9．求a的取值范围．
17、下列说法中错误的是（）
A．不等式x＜3的整数解有无数个B．不等式x＞﹣3的负整数解是﹣2，﹣1 C．﹣30是不等式3x＜﹣9的一个解 D．不等式3x＜﹣9的解集是x＞﹣3
18、已知x=3是不等式mx+2＜1﹣4m的一个解，如果m是整数，那么m的最大值是（）
19、．已知不等式4x﹣a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是_________．
20、关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是_________．
21、已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是_________．
22、已知不等式组有解，则a的取值范围为（）
23、关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）
24、已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数a的取值范围是_________．
25、已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是_________．
26某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有（）
A．29人B．30人C．31人D．32人
27、四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P，Q，R，S，如图所示，则他们的体重大小关系是（）A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q。