人教版高中数学选修1-1教案：3.3.1函数的单调性与导数
高二数学 (人教a版)选修1-1教案：3.1函数的单调性与导数
§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）教学环节教学活动设计意图情景引入过程从高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数：2() 4.9 6.510h t t t=-++分析运动动员的运动过程：上升→最高点→下降运动员瞬时速度变换过程：减速→0→加速从实际问题中物理量入手学生容易接受实际意义向函数意义过渡从函数的角度分析上述过程：()h t先增后减'()h t由正数减小到0，再由0减小到负数将实际的量与函数及其导数意义联系起来，过渡自然，突破理解障碍引出函数单调性与导数正负的关系通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系'()10f x↔=>增函数0'()2x<0f x∞↔=(-，)减函数进一步的函数单调性与导数正负验证，加深两者之间的关系(0'()2x0f x∞↔=>，+)增函数200'()3x0f x∞∞↔=>U(-,)(,+)增函数210'()<0f xx∞↔=-(-，)减函数21'()<0f xx∞↔=-(0，+)减函数我们能否得出以下结论：在某个区间（a,b）内，如果'()0f x>，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果'()0f x<，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减答案是肯定的从导数的概念给出解释'()0f x>表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右上，因此在x附近单调递增'()0f x<表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下，因此在x附近单调递减用导数的几何意义理解导数正负与单调性的内在关系，帮助理解与记忆课后练习：1、函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ),0(+∞B )1,(-∞C ),(+∞-∞D ),1(+∞ 答案C '2310y x =+>对于任何实数都恒成立2、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ),3[]3,(+∞--∞YB ]3,3[-C ),3()3,(+∞--∞YD )3,3(-答案B '2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，24120a a ∆=-≤⇒≤3、函数xx y 142+=单调递增区间是（ ） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),21(+∞ D ),1(+∞答案C 令3'222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -=-=>-++>>4、对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>答案C 当1x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；当1x <时，'()0f x ≤，()f x 在(,1)-∞上是减函数，故()f x 当1x =时取得最小值，即有(0)(1),(2)(1),f f f f ≥≥得(0)(2)2(1)f f f +≥5、函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________ 答案2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '22320,0,3y x x x x =-+===或 6、函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________ 答案5(,),(1,)3-∞-+∞ '253250,,13y x x x x =+-><->令得或7、已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得4259()122f x x x =-+（2）'3()1090,0,f x x x x x =-><<>或单调递增区间为()+∞。
高中数学选修1-1优质学案：3.3.1 函数的单调性与导数
§3.3导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0【预习评价】思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？提示必要不充分条件.知识点2利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【预习评价】函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋2的单调增区间是________.[解析] f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3，故f (x )的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). [答案] (－∞，－1)，(3，＋∞)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例1】 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).【训练1】 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1＜0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0， 解得x <－33或0<x <33.又∵x>0，∴0<x<33.∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).(4)f′(x)＝3x2－3t.令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，由x2＞t解得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t，函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).综上，当t≤0时，f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当t＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－t)，(t，＋∞)，减区间是(－t，t).规律方法求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间.【训练2】求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解方法一函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).方法二 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)；令f ′(x )＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).【例3－1】 已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a＝16时，f′(x)＝2x3－16x2≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16].方向2利用函数的单调性证明不等式【例3－2】已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：a b＞b a.证明当b＞a＞e时，要证a b＞b a，只要证b ln a＞a ln b，即只要证ln aa＞ln bb.构造函数y＝ln xx(x＞0)，则y′＝1－ln xx2.因为当x＞e时，y′＝1－ln xx2＜0，所以函数y＝ln xx在(e，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以ln aa ＞ln bb.故a b＞b a.规律方法(1)已知函数的单调性，求函数[解析]式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练3】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立. 因此Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.课堂达标1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 [解析] ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0，6)上单调递增. [答案] A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )[解析] 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数；当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.[答案] D3.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.a＝1C.(－∞，1]D.(0，1)[解析]∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0，1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0，1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.[答案] A4.函数y＝x2－4x＋a的增区间为______，减区间为______.[解析]y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；令y′<0，得x<2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).[答案](2，＋∞)(－∞，2)5.若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________.[解析]f′(x)＝1x－ax－2＝－ax2＋2x－1x.因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解.又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内有解.①当a＞0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a＜0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a ＞0，解得－1≤a ＜0， 而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1＜a ＜0；③当a ＝0时，显然符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞). [答案] (－1，＋∞)课堂小结1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.。
高中数学选修1-1优质学案5：3.3.1 函数的单调性与导数
3.3.1 函数的单调性与导数一、学习目标1.会熟练用求导,求函数单调区间,证明单调性;2.会从导数的角度解释增减及增减的快慢情况二、复习引入例题精讲例1：求函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间．例2：设函数f (x )＝ax －a x－2ln x . (1)若f ′(2)＝0，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．三、巩固练习1．函数y ＝4x 2＋1x单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞) 2．函数y ＝2－3x 2在区间(－1,1)上的增减性为( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增 3．求函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间． 4.已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2.(1)求y ＝f (x )的[解析]式；(2)求y ＝f (x )的单调递增区间．四、课堂小结1.函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )＞0，那么y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减；如果恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)在这个区间内为常函数．2．用导数判断函数的单调性和求单调区间，实际上就是在函数的定义域范围内解决导数的正负问题，对于含有字母参数的函数，要注意对参数进行分类讨论——★ 参 考 答 案 ★——：例题精讲例1：解：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝()2231x x-. 由f ′(x )>0，即3x 2－1x >0，得x >33， ∴函数f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞， 由f ′(x )<0，即3x 2－1x <0，得0<x <33， ∴f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫0，33， ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎫0，33. 例2：解： (1)∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(2)＝0，且f ′(x )＝a ＋a x 2－2x， ∴a ＋a 4－1＝0，∴a ＝45. ∴f ′(x )＝45＋45x 2－2x ＝25x2(2x 2－5x ＋2)， 由f ′(x )＞0结合x ＞0，得0＜x ＜12或x ＞2， ∴f (x )的递增区间为(0，12]和[2，＋∞)， 递减区间为(12，2). (2)若f (x )在定义域上是增函数，则f ′(x )≥0对x ＞0恒成立，∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋a x 2， ∴需x ＞0时ax 2－2x ＋a ≥0恒成立化为a ≥2x x 2＋1对x ＞0恒成立， ∵2x x 2＋1＝2x ＋1x≤1，当且仅当x ＝1时取等号． ∴a ≥1，即a ∈[1，＋∞).三、巩固练习1．[解析]由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2. 令8x －1x 2＞0，得x ＞12. [答案]C2．[解析] y ′＝－6x ，故当x ∈(－1,0)时，y ′＞0；当x ∈(0,1)时，y ′＜0，所以原函数在区间(－1,1)上先增后减．[答案] C3．解：函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ，令y ′＝x －1x≤0得0＜x ≤1， ∴函数的单调减区间为(0,1].4.解：(1)由题意得：f (0)＝1，f ′(1)＝1，f (1)＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，4a ＋2b ＝1，a ＋b ＋c ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝52，b ＝－92，c ＝1.∴f (x )＝52x 4－92x 2＋1 (2)f ′(x )＝10x 3－9x ，由10x 3－9x ＞0得x ＞31010或－31010＜x ＜0， ∴f (x )的单调增区间为(－31010，0)，(31010，＋∞)．。
人教版高中数学选修1-1教案：3.3.1函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数1、教材分析“函数单调性与导数”是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1第三章《导数及其应用》的内容。
本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。
由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。
通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。
根据新课标要求和教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标：2、教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系。
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。
过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法。
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
对于函数单调性与导数，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和教学大纲的要求，我确定了本节课的重点和难点。
3．教学的重点和难点教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
4、教学方法：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
5、教学手段：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
人教版高中数学优质教案1：3.3.1 函数的单调性和导数 教学设计
3.3.1 函数的单调性与导数教学目标重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系;⒉如何用导数判断函数的单调性. 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法.2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.教具准备：多媒体课件,三角板 课堂模式：学案导学 一.引入新课师：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断2x y =的单调性，如何进行？ 生：用定义法、图像法.师：因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有没有需要注意的地方？ 生：注意定义域.师：如果遇到函数x x y 33-=，如何判断单调性呢？你能画出该函数的图像吗？ 师：定义是解决问题的最根本方法，但定义法较繁琐,又不能画出它的图像，那该如何解决呢？揭示并板书课题：函数的单调性与导数【设计意图】通过复习回顾，巩固旧知.从已学过的知识（判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣.师：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢? 二．探究新知师：如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 生：通过观察图像，可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【设计意图】从具体的实际情景出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系.为学生提供一个联想的“源”，巧妙设问，把学习任务转移给学生；让学生完成对函数单调性与导数关系的第一次认识，明确研究课题.师：导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数x y =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数01/>=y ； （2）函数2x y =的定义域为R ，在),(+∞-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增；而x y 2/=，当0<x 时，其导数0/<y ；当0>x 时，其导数0/>y ；当0=x 时，其导数0/=y ．（3）函数3x y =的定义域为R ，在定义域上为增函数；而2/3x y =，若0≠x ，则其导数032>x ，当0=x 时，其导数032=x ；（4）函数x y 1=的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞，在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递减,而2/1xy -=，因为0≠x ,所以0/<y .师：以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间),(b a 内,如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减.【设计意图】从具体的函数出发，体会数形结合思想的运用.让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心. 三. 理解新知师：如图，导数'0()f x 表示函数)(x f 在点00(,)x y 处的切线的斜率．观察图像回答，函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？生:在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数)(x f 在0x 附近单调递增；在1x x =处，0)(1/<x f ，切线是“左上右下”式的，这时，函数)(x f 在1x 附近单调递减．师生共同总结：函数的单调性与导数的关系: 在某个区间),(b a 内，如果0)(/>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)(/<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减．说明：如果0)(/=x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内是常函数．【设计意图】通过导数的几何意义来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论.让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系. 四．运用新知例1、已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图所示． 学生思考，并在纸上画出函数图像教师投影若干学生的作业情况,学生共同分析.【设计意图】让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的,这是今后利用 导函数研究函数的必备技能.这里让学生切实理解，为今后学习扫清障碍. 例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以，()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图2所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-<因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x >，即时，函数2()23f x x x =--； 当'()0f x <，即时，函数2()23f x x x =--； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图4所示．【设计意图】让学生初步体会用导数的方法确定函数单调性的简便. 【师生活动】总结求()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 例3．已知函数xx y 1+=，试讨论出此函数的单调区间. 解：2222//)1)(1(111)1(x x x x x x x x y +-=-=-=+=２令0)1)(1(2>+-xx x . 解得11-<>x x 或∴xx y 1+=的单调增区间是：),1()1-,(+∞-∞和 令0)1)(1(2<+-x x x ，解得1001<<<<-x x 或 ∴xx y 1+=的单调减区间是：)1,0()0,1(和-五.课堂小结（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数()yf x =单调区间【设计意图】通过师生共同反思，优化学生的认知结构. 六. 布置作业 必做：课本A 组 1,2【设计意图】体现了分层、有梯度的教学，学生动手练习,加强学生的应用意识. 七、板书设计。
人教版高中数学选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数 课件 (共15张PPT)
试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.
解:
当1 < x < 4 时, f '(x) >0,可知 f (x) 在此区间内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0 ,可知 f (x) 在此区间内单调递减;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0 .
y
(这两点比较特殊，我们称他们为
“临界点”) 综上, 函数 f (x) 图象的大
致形状如右图所示.
O1
4
x
二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图，则其原函
数可能为( C )
(A) y y=f(x) (B) y y=f(x) o 1 2x o 1 2x
y y f '(x)
1.3.1 函数的单调性与 导数
主讲人：陈桂凤
一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的？
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时，都有f(x1)>f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数;
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。
2.怎样用定义判断函数的单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
3.怎样用图形判断函数的单调y性？
数学选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 越大 越小 函数的图象 比较 _______ (向上或向下) “陡峭” 比较“平缓” _______ (向上或向下)
【解析】
1 (1)y′＝3x －2x－1，令 y′>0，得 x<－3或 x>1，所以函数的单调
2
1 递增区间为－∞，－3和(1，＋∞).
1 π (2)令 f′(x)＝1－2cos x>0，则 cos x<2，又 x∈(0，π)，解得3<x<π，所以函数
π 的单调增区间为3，π.
(2)函数的定义域为(0，＋∞). 3x2－1 2 f′(x)＝6x－x ＝2· x . 3x2－1 令 f′(x)＞0，即 2· x ＞0， 3 3 解得－ 3 ＜x＜0 或 x＞ 3 .
3x2－1 3 又 x＞0，∴x＞ 3 ；令 f′(x)＜0，即 2· x ＜0， 3 3 解得 x＜－ 3 或 0＜x＜ 3 ， 3 又 x＞0，∴0＜x＜ 3 .
利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 的 解集.如果在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)是常函数；如果在某个区间内只有 有限个点使 f′(x)＝0，其余点恒有 f′(x)＞0(f′(x)＜0)，则 f(x)仍为增函数(减函数).
∴f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为 0， 3 ，＋ ∞ ， 3
3 . 3
a (3)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋x . a ①当 a＞0 时，f′(x)＝x＋x ＞0 恒成立，这时函数只有单调递增区间为(0，＋ ∞)； a a ②当 a＜0 时，由 f′(x)＝x＋x ＞0，得 x＞ －a；由 f′(x)＝x＋x ＜0，得 0＜x ＜ －a，所以当 a＜0 时，函数的单调递增区间是 －a，＋∞ ，单调递减区间 是(0， －a). 综上，当 a＞0 时，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当 a＜0 时，单调递增区间为( －a，＋∞)，单调递减区间为(0， －a).
高中数学选修1-1优质学案4：3.3.1 函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数学习目标：1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．核心扫描1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点)2．利用导数证明一些简单不等式．(难点)3．常与不等式、方程等结合命题.课前探究学习自学导引1．函数的单调性与其导函数的正负间的关系设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导想一想：在区间(a，b)答：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”．3．利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的取值范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．名师点睛1．理解函数的单调性与其导数的关系需注意的问题(1)根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．(2)在某个区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f ′(x )＝0，不会影响函数f (x )在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f (x )＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f ′(x )＝3x 2知，f ′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f ′(x )>0.可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零．2．利用导数求函数的单调区间需注意的问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“∪”连接，可用“逗号”或“和”字隔开． 课堂讲练互动：题型一 利用导数判断函数的单调性例1：证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数．规律方法 关于利用导数证明函数单调性的判断问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥(或≤)0.变式1：试证明：函数f (x )＝sin xx在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题型二 利用导数求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3－x ； (2)y ＝e x －x ＋1.规律方法 利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，不等式的解集就是函数的单调区间．注意：如果函数的单调区间不止一个时，单调区间应用“，”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．变式2：求函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间．题型三 已知函数单调性求参数的取值范围例3：已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．规律方法 已知函数的单调性，求函数[解析]式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f (x )在区间Ⅰ上单调递增(或减)，转化为不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间Ⅰ上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．变式3： (1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值． (2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．题型四 用单调性与导数关系证不等式例4：当x ＞0时，证明不等式ln x ＞x －12x 2.题后反思：要证明不等式f (x )>g (x )(x ∈(a ，b ))成立，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，然后利用导数证明函数F (x )＝f (x )－g (x )在(a ，b )上是增函数，若F (a )－g (a )≥0.由增函数的定义可知，当x ∈(a ，b )时，f (x )－g (x )>0，从而证明了不等式f (x )>g (x )．变式4：当0＜x ＜π2时，求证：x －sin x ＜16x 3.方法技巧 转化与化归思想在单调性中的应用运用导数这个工具研究函数的单调性，体现了转化与化归的数学思想，凸显了导数在研究函数单调性方面的优越性，在平时的学习中应予以高度重视．示例：已知a >0，且a ≠1，证明函数y ＝a x －x ln a 在(－∞，0)内是减函数．方法点评本题体现了转化与化归的思想．证明函数的单调性当然可以利用定义法，但过程冗长繁琐．利用导数来研究函数的性质，过程比较简洁，学习中应认真总结体会．本题中还需注意对a 的讨论，否则证明过程会出现纰漏．——★ 参 考 答 案 ★——：例1：证明：∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1.∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0， 故f (x )在区间(0，e)上是单调递增函数． 变式1：证明：f ′(x )＝x cos x －sin x x2，又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数． 例2：解：(1)f ′(x )＝3x 2－1＝(3x ＋1)(3x －1)， 令f ′(x )>0，则x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞，令f ′(x )<0，则x ∈⎝⎛⎭⎫－33，33. ∴f (x )＝x 3－x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33. (2)y ′＝e x －1，令y ′>0，即e x －1>0，则x ∈(0，＋∞)，令y ′<0，即e x －1<0，则x ∈(－∞，0)， ∴y ＝e x －x ＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．变式2：解：函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2(3x 2－1)x.由f ′(x )>0，即3x 2－1x >0，得x >33，∴函数f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，由f ′(x )<0，即3x 2－1x <0，得0<x <33，∴f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫0，33， ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎫0，33. 例3：解：f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min . ∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16]．变式3：解：(1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ， 由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集． ∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根， ∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间， ∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a >0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)． 例4：证明：令f (x )＝ln x －x ＋12x 2，则f ′(x )＝1x－1＋x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34x.当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 于是当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，∴当x ＞0时，不等式ln x ＞x －12x 2成立．变式4：证明：设g (x )＝x －sin x －16x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， g ′(x )＝1－cos x －12x 2＝2⎣⎡⎦⎤sin 2x 2－⎝⎛⎭⎫x 22. ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0＜sin x ＜x ， ∴sin 2x 2＜⎝⎛⎭⎫x 22，∴g ′(x )＜0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0，∴x －sin x ＜16x 3.方法技巧 转化与化归思想在单调性中的应用示例：解：y′＝a x ln a－ln a＝ln a(a x－1) 当a>1时，∵ln a>0，a x<1，∴y′<0，即y在(－∞，0)内是减函数；当0<a<1时，∵ln a<0，a x>1，∴y′<0，即y在(－∞，0)内是减函数．综上，函数在(－∞，0)内是减函数．。
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运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区 别？
通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加，
ห้องสมุดไป่ตู้
1
即 h(t ) 是增函数．相应地， v(t ) h' (t ) 0 ． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少， 即 h(t ) 是减函数．相应地， v(t ) h' (t ) 0 ． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
解： （1）因为 f ( x) x3 3x ，所以，
f ' ( x) 3x2 3 3( x2 1) 0
因此， f ( x) x3 3x 在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示．
4
（2）因为 f ( x) x2 2x 3 ，所以， f ' ( x) 2x 2 2 x 1 当 f ' ( x) 0 ，即 x 1 时，函数 f ( x) x2 2x 3 单调递增； 当 f ' ( x) 0 ，即 x 1 时，函数 f ( x) x2 2x 3 单调递减； 函数 f ( x) x2 2x 3 的图像如图 3.3-5（2）所示． （3）因为 f ( x) sin x x x (0, ) ，所以， f ' ( x) cos x 1 0 因此，函数 f ( x) sin x x 在 (0, ) 单调递减，如图 3.3-5（3）所示． （4）因为 f ( x) 2x3 3x2 24 x 1 ，所以 当 f ' ( x) 0 ，即 当 f ' ( x) 0 ，即 时，函数 f ( x) x2 2x 3 时，函数 f ( x) x2 2x 3 ． ； ；
'
（4） 解不等式 f ( x) 0 ， 解集在定义
'
域内的部分为减区间． 三．典例分析 例 1．已知导函数 f ( x) 的下列信
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息： 当 1 x 4 时， f ' ( x) 0 ； 当 x 4 ，或 x 1 时， f ' ( x) 0 ； 当 x 4 ，或 x 1 时， f ' ( x) 0 试画出函数 y f ( x) 图像的大致形状． 解：当 1 x 4 时， f ' ( x) 0 ，可知 y f ( x) 在此区间内单调递增； 当 x 4 ，或 x 1 时， f ' ( x) 0 ；可知 y f ( x) 在此区间内单调递减； 当 x 4 ，或 x 1 时， f ' ( x) 0 ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界 点” ． 综上，函数 y f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示． 例 2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） f ( x) x3 3x ； （3） f ( x) sin x x x (0, ) ； （2） f ( x) x2 2x 3 （4） f ( x) 2x3 3x2 24 x 1
教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调 区间
教学 多媒体课件 准备 一、导入新课：
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型， 研究函数时， 了解函数的赠与减、 增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的． 通过研究函数的 这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数 研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．
3.3.1 函数的单调性与导数
项目 内容
修改与 课题 （共 2 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 教学 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不 目标 超过三次。 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区
教学重、 间 难点
课时） 创新
函数 f ( x) 2x3 3x2 24 x 1 的图像如图 3.3-5（4）所示． 注： （3） 、 （4）生练
例 3．如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四 种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数 关系图像．
教学过 程
二、讲授新课： 1 ． 问 题 ： 图 3. 3-1 （ 1 ） ，它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数
h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 v 随
时间 t 变化的函数 v(t ) h (t ) 9.8t 6.5 的图像．
如图 3.3-3，导数 f ' ( x0 ) 表示函
数 斜率．
f ( x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的
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在 x x0 处， f ' ( x0 ) 0 ， 切线是 “左下右上” 式的， 这时， 函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增； 在 x x1 处， f ' ( x0 ) 0 ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间 ( a , b) 内，如果 f ' ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内单 调递增；如果 f ' ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减． 说明： （1）特别的，如果 f ' ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内是常 函数． 3．求解函数 y f ( x) 单调区间的步骤： （1）确定函数 y f ( x) 的定义域； （2）求导数 y ' f ' ( x) ； （3）解不等式 f ( x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间；