高等数学资料：3 3 反常积分
反常积分知识点总结框架
反常积分知识点总结框架一、反常积分的基本定义1.1 反常积分的概念反常积分是指积分区间为无穷区间或者积分函数在有限区间内存在间断点的积分。
对于无穷区间的积分，通常是指当积分区间的上限或下限取到无穷大时的情况。
而对于间断点处的积分，则是指在积分区间内，积分函数出现无穷大或不可导的情况。
1.2 反常积分的分类反常积分通常分为第一类和第二类两种情况。
第一类反常积分是指在无穷区间上的积分，通常是指当积分上限或下限趋于无穷大时的情况。
第二类反常积分是指在有限区间内积分函数发生间断的情况，通常是指积分函数在积分区间内出现无穷大或不可导的情况。
1.3 反常积分的性质反常积分有一些特殊的性质，包括线性性、可加性和可积性等。
具体来说，对于具体的积分函数和积分区间，可以根据这些性质来简化对反常积分的计算过程。
同时，这些性质也为我们理解和分析反常积分提供了重要的指导。
二、反常积分的计算方法2.1 无穷远点处的反常积分对于无穷远点处的反常积分，通常采用极限的方法进行计算。
具体而言，可以将无穷远点处的反常积分转化为极限形式，然后利用极限的性质和计算方法来求解反常积分的值。
这种方法通常比较直观和简单，适用于各类函数的反常积分计算。
2.2 间断点处的反常积分对于间断点处的反常积分，通常需要对积分区间进行分段讨论，然后将积分函数在每个子区间上进行化简和求解。
同时，还需要对积分函数在间断点附近的性质进行详细分析，以确保反常积分的计算过程是正确有效的。
2.3 特殊函数的反常积分一些特殊函数的反常积分计算通常需要依赖于一些特殊的方法和技巧。
例如，对于Gamma函数和Beta函数的反常积分计算，可以利用递推关系和变量替换等方法来简化计算过程，从而得到反常积分的精确解析表达式。
三、反常积分的应用3.1 物理学中的应用反常积分在物理学中有着重要的应用。
例如，在热力学和电磁学中，经常需要对一些特殊的物理量进行积分计算，而这些积分往往是反常积分。
高数大一最全知识点
高数大一最全知识点高等数学作为大一学生的必修课程，是一门基础而又重要的学科。
掌握好高数知识点，不仅对后续的学习有着重要的影响，也对提高数理思维和解决实际问题具有重要的帮助。
下面将为大家整理总结大一高数中最全的知识点。
第一章：函数与极限1. 函数的概念和性质函数定义、定义域和值域、函数的图像和性质等。
2. 极限的概念和性质数列极限、函数极限、几何意义以及重要的极限性质。
3. 连续与间断连续函数的概念、连续函数的性质、间断点和间断函数等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念和计算导数的定义、导数的计算方法、各种函数导数的计算公式等。
2. 高阶导数与导数的应用高阶导数的定义、高阶导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。
3. 微分学基本定理微分中值定理、极值与最值、凹凸性等重要的微分学定理。
第三章：积分与不定积分1. 定积分和不定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的计算、不定积分的定义和基本积分表等。
2. 定积分的应用定积分的几何应用、定积分的物理应用、定积分的概率统计应用等。
3. 反常积分反常积分的概念和性质、反常积分判敛方法、特殊函数的反常积分等。
第四章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、初值问题、解的存在唯一性定理等。
2. 一阶常微分方程解法可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等解法。
3. 高阶线性微分方程高阶线性齐次和非齐次微分方程的解法、常系数线性微分方程等。
第五章：多元函数与偏导数1. 多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念。
2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义以及全微分近似等。
3. 隐函数与参数方程隐函数的存在定理、隐函数的求导、参数方程的定义和性质等。
第六章：多元函数的积分学1. 二重积分的概念和性质二重积分的定义、二重积分的计算、二重积分的性质等。
2. 三重积分和曲线、曲面积分三重积分的定义、三重积分的计算、曲线积分、曲面积分的概念与计算等。
高等数学工科类教材答案
高等数学工科类教材答案一、导数和微分1. 基本概念和性质1.1 导数的定义和解释1.2 导数的性质1.3 微分的定义和计算方法2. 常用基本函数的导数2.1 幂函数2.2 指数函数2.3 对数函数2.4 三角函数2.5 反三角函数3. 高阶导数与高阶微分3.1 高阶导数的定义和计算方法3.2 高阶微分的应用二、积分与不定积分1. 不定积分的基本概念1.1 不定积分的定义与性质1.2 基本积分公式与常规积分计算方法2. 定积分的基本概念2.1 定积分的定义与性质2.2 定积分的计算方法2.3 定积分的应用：面积、弧长、物理问题等3. 反常积分3.1 反常积分的定义与性质3.2 收敛性与发散性3.3 反常积分的计算方法三、级数和幂级数1. 数项级数1.1 数项级数的定义与性质1.2 数项级数的敛散性判别法2. 幂级数的基本概念2.1 幂级数的收敛半径和收敛域2.2 幂级数的求和与收敛域的求取2.3 幂级数的应用：泰勒级数与函数展开四、多元函数与偏导数1. 多元函数的基本概念1.1 多元函数的定义与性质1.2 多元函数的极限与连续性2. 偏导数的概念与计算方法2.1 偏导数的定义与性质2.2 偏导数的计算方法与几何意义3. 高阶偏导数与混合偏导数3.1 高阶偏导数的定义与计算方法3.2 混合偏导数的计算方法与应用五、多元函数的微分与全微分1. 多元函数的微分1.1 多元函数的全微分定义与计算方法1.2 多元函数微分的应用2. 隐函数与参数方程的微分2.1 隐函数的微分法与几何意义2.2 参数方程的微分法与几何意义六、多元函数的积分和曲线积分1. 二重积分的基本概念1.1 二重积分的定义与性质1.2 二重积分的计算方法与应用2. 三重积分的基本概念2.1 三重积分的定义与性质2.2 三重积分的计算方法与应用3. 曲线积分的基本概念3.1 第一类曲线积分的定义与性质 3.2 第二类曲线积分的定义与性质3.3 曲线积分的计算方法与应用七、向量场和曲面积分1. 向量场的基本概念与性质1.1 向量场的定义与表示1.2 向量场的运算与性质2. 曲面的参数方程与切向量场2.1 曲面的参数方程与性质2.2 曲面的切向量场与法向量3. 曲面积分的基本概念3.1 曲面积分的定义与性质3.2 曲面积分的计算方法与应用八、无穷级数1. 数项级数的收敛性判定1.1 正项级数的比较判别法1.2 正项级数的比值判别法1.3 正项级数的根值判别法1.4 交错级数的收敛性判别法2. 无穷级数的运算与性质2.1 无穷级数的加法与乘法2.2 绝对收敛级数与条件收敛级数2.3 级数的收敛域与收敛半径九、常微分方程1. 一阶常微分方程1.1 可分离变量的方程1.2 首次线性的方程1.3 齐次的方程1.4 Bernoulli方程和Ricatti方程2. 二阶常系数线性微分方程2.1 齐次线性微分方程2.2 非齐次线性微分方程2.3 常系数齐次线性微分方程的特解3. 高阶常系数线性微分方程3.1 齐次线性微分方程3.2 非齐次线性微分方程3.3 常系数齐次线性微分方程的特解以上为《高等数学工科类教材答案》的大致目录。
7反常积分——反常积分的概念和计算
7反常积分——反常积分的概念和计算反常积分是微积分中的一个重要概念，是对一些函数在一些区间上的积分进行无穷求和的过程。
与定积分不同，反常积分是对未能被定积分求解的函数进行求解的方法，常见于一些函数在一些点上无界或不连续。
本文将详细介绍反常积分的概念和计算方法。
一、反常积分的概念反常积分是对一些在一些点不连续或无界的函数进行积分求解的方法。
在实际应用中，我们常遇到一些函数在一些点附近出现无穷大的情况，或者在其中一点上不连续的情况，这时就需要用到反常积分进行求解。
具体来说，反常积分可以分为以下两种情况：1.类型一：函数在积分区间其中一点附近无界的情况。
设函数f(x)在区间(a,b]上有定义，且x=b是f(x)的发散点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = lim┬(t→b)〖∫[a,t] f(x)dx〗即求解函数在区间[a,t]上的定积分，然后将t无限趋近于b来求解该反常积分。
2.类型二：函数在积分区间其中一点不连续的情况。
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且x=c是f(x)的不连续点，则反常积分的定义为：∫f(x)dx = ∫[a,c) f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx即将不连续点c拆分成两个积分区间，在每个区间上分别求解定积分，然后求和。
需要注意的是，反常积分只在函数在一些点附近出现无界或不连续时才有意义。
如果函数在积分区间上连续且有界，那么反常积分与定积分是等价的。
二、反常积分的计算方法对于类型一的反常积分，我们可以通过以下几种方法进行计算：1.无界函数的积分计算当函数f(x)在x=b附近无界时，我们可以通过计算一个足够大的正数M，使得对于任意t>b有，f(x)，<M。
然后计算定积分∫[a,t] f(x)dx，再令t无限趋近于b，即可求得反常积分的值。
2.函数在无穷远点（正无穷和负无穷）处的积分计算如果函数在正无穷远点处无界且不连续，可以将反常积分转化为辐角积分的形式。
反常积分的几种计算方法
反常积分的几种计算方法目录摘要 (1)关键词 (1)A b s t r a c t (1)K e y w o r d s (1)0前言 (1)1反常积分的定义 (1)1.1无穷积分的定义 (1)1.2瑕积分的定义 (2)2反常积分的计算方法 (3)2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分 (3)2.2利用变量替换法计算反常积分 (3)2.3利用分部积分法计算反常积分 (5)2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7)2.5利用方程法计算反常积分 (7)2.6利用级数法计算反常积分 (9)2.7利用待定系数法计算反常积分 (10)结束语 (11)参考文献 (11)反常积分的几种计算方法摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的灵活使用.关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法Several calculation methods of abnormal integral Abstract:This paper mainly sums up the calculation methods of abnormalintegral. This paper emphasizes on describing the flexible use of variousmethods in the calculation.Keywords: Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral;Series method; the method of undetermined coefficient0前言反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。
本文不仅介绍了常见的三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法，还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法，通过引用一些经典例题使我们对这些方法有更加深刻的认识。
反常积分的概念与计算
反常积分的概念与计算反常积分是微积分中一个非常重要的概念，在实际问题中经常会遇到需要计算反常积分的情况。
本文将介绍反常积分的概念、性质和计算方法。
1. 反常积分的概念反常积分是指定积分区间上函数不满足某些条件而导致积分值无法直接计算的情况。
它分为两类：第一类反常积分和第二类反常积分。
1.1 第一类反常积分第一类反常积分是指函数在积分区间上存在无穷间断点或者设置大量的函数间断点的情况。
这导致在这些间断点处，函数的积分值无法定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{x}$，在区间(0,1)上，f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第一类反常积分。
为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
1.2 第二类反常积分第二类反常积分是指函数在积分区间上的某些点奇异或无界的情况。
这导致函数在这些点上的积分值为无穷大或无定义。
举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}}$，在区间(0,1)上，函数f(x)在x=0处无穷大。
因此，这个积分称为第二类反常积分。
同样地，为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。
然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。
2. 反常积分的计算方法反常积分的计算方法主要有两种：换元法和分部积分法。
2.1 换元法换元法也被称为变量代换法，它适用于一类特殊的反常积分。
换元法的基本思想是将变量进行替换，将一个难以计算的函数变成一个简单的形式。
通常情况下，我们选择适当的变量替换来简化积分的计算。
具体步骤如下：1.选择一个适当的替换变量，使得被积函数转化为一个更简单的表达式。
「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性
「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性反常积分：反常积分又叫做广义积分，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，也就是分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。
无穷区间上的反常积分：设f(x)在区间[a,∞)上连续，称为f(x)在[a,+∞)上的反常积分.如果右边极限存在，称此反常积分收敛；如果右边极限不存在，就称此反常积分发散。
无界函数的反常积分：设f(x)在区间[a,b)上连续，且f(x)在趋向于点b上的极限为∞，成为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分)，使f(x)极限为∞的点b称为f(x)的奇点(也称瑕点)，这个点上是无法积分的。
图一如图所示，给出一个反常积分，并告诉我们该反常积分收敛，则我们可以得到哪些信息。
通过反常积分的概念，可以知道这道题指的是在无穷区间的反常积分（只要一看积分区间有∞存在，即可知道该反常积分为在无穷区间上的反常积分），如果右边的极限存在，就称该反常积分收敛，这个概念说明该反常积分存在极限，这道题反常积分的瑕点为1。
那我们便可以将该反常积分分为两个区间来计算，一个区间是位于(0,1)，另一个区间则是位于(1,+∞)，我们可以先对第一个区间进行判断，因为要让该反常积分收敛，必须让两个区间的积分都收敛才可以。
（一个是无界函数的反常积分，另一个则是无穷区间的反常积分。
）如果说这两个反常积分有一个不存在，就说明该反常积分不存在（发散），反之，要说明该反常积分存在（收敛），说明两个反常积分都要存在才可以。
由第一个区间判断可以得到，a<1；由第二区间判断可以得到当a+b>1时，收敛。
最后得到的结果便是，a<1，a+b>1，该反常积分收敛。
最后给出解答过程：图二虽然有这道实例的支撑，但我对反常积分还是不够理解，直到我看到了瑕积分的判敛性定理：定理一，f(x)在区间（a,b]上连续并且f(x)>=0，设该区间趋向于a 的极限存在，那就可以得到当x的幂次方小于1，该反常积分收敛，根据这个定理我们就能够得到a<1这个结果的存在。
重要反常积分公式收敛发散
重要反常积分公式收敛发散重要反常积分公式是微积分中的重要概念之一，它在求解一些特殊函数的积分时起到了重要的作用。
在本文中，我们将探讨重要反常积分公式的收敛和发散性质，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
我们来了解一下什么是反常积分。
在微积分中，反常积分是指在积分区间上存在无界或间断点的积分。
正常的积分是在有限的闭区间上进行的，而反常积分则允许在无穷远处或某些特殊点处存在不连续性或无穷大的情况。
反常积分可以分为两类：第一类是无界区间上的反常积分，第二类是函数在某些点上不连续的反常积分。
接下来，我们将详细讨论这两类反常积分的收敛和发散性质。
我们来看无界区间上的反常积分。
对于一个无界区间[a, +∞)，如果函数f(x)在[a, +∞)上连续且积分存在有限值，那么我们称该反常积分收敛。
反之，如果积分不存在有限值或者无界区间上的函数f(x)不连续，那么我们称该反常积分发散。
例如，对于函数f(x) = 1/x，在区间[1, +∞)上进行积分，我们可以发现积分值是无穷大。
因此，这个反常积分是发散的。
而对于函数f(x) = 1/x^2，在同样的区间上进行积分，我们可以得到一个有限的积分值为1。
因此，这个反常积分是收敛的。
接下来，我们来看函数在某些点上不连续的反常积分。
对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，如果在某些点c处不连续，那么我们需要将区间[a, b]分成多个子区间，每个子区间上的反常积分分别进行求解，然后将这些子区间上的积分值加起来。
对于这种情况，我们需要分别讨论每个子区间上的反常积分是否收敛。
如果所有子区间的反常积分都收敛，那么整个反常积分也收敛；如果存在某个子区间的反常积分发散，那么整个反常积分也发散。
例如，对于函数f(x) = 1/√x，在区间[0, 1]上进行积分，我们可以发现在x = 0处，函数不连续。
因此，我们需要将区间[0, 1]分成两个子区间：[0, ε]和[ε, 1]，其中ε是一个无穷小的正数。
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1 b
1
y 1 x2
A
1b
定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷 区间[a,) 上 的广义 积
分，记作 a
f
( x)dx .
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
b a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
lim arctana a
2
(3)
dx 1 x2
0 dx 1 x2
0
dx 1 x2
思考:
分析: 原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
例 求 xe xdx . 0
解: xe xdx xde x
f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
0 a
在区间(a, b]上的广义积分，记作ab f ( x)dx .
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
0 a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x) 在区间[a, b)上连续，
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
定义 2 设函数 f ( x) 在区间(a, b]上连续，而在
点a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限
b
lim
F (b) F () F () F ()
例 计算下列无穷积分
dx
0 dx
dx
(1) 0
1 x2 ,(2) 1 x2 ,(3) 1 x2 .
解: (1)
dx
0 1 x2 arctan x 0
lim arctanb
b
2
(2)
0
dx 1 x2
0 arctan x
设函数 f ( x) 在区间(,)上连续,如果
广义积分 0
f
(
x
)dx
和
0
f
( x)dx
都收敛，则
称上述两广义积分之和为函数 f ( x) 在无穷区间
(
,
)
上的广义积分，记作
f
(
x
)dx
.
0
f ( x)dx f ( x)dx 0 f ( x)dx
0
b
lim a a
f
(
x
)dx
lim
续，而在点c 的邻域内无界.如果两个广义积分
c
a
f
(
x
)dx
和 b c
f
( x)dx 都收敛，则定义
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0 a
0 c
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
而在点b 的左邻域内无界.取 0 ，如果极限
lim b f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
0 a
在区间[a, b)上的广义积分，
b
记作 f ( x)dx lim
b f ( x)dx .
a
0 a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
设函数 f ( x)在区间[a,b]上除点c (a c b)外连
练习 证明反常积分 e pxdx当 p 0时收敛， a 当 p 0时发散.
证
e pxdx a
lim
b
b
e
px
dx
a
e px b blim p a
lim e pa e pb
b p
p
e
ap
p
,
,
p0 p0
即当 p 0时收敛，当p 0 时发散.
二、无界函数的反常积分
0
0
xe x e xdx
0
0
lim beb ex 1
b
0
例求
1
dx .
0 (1 x2 )3
解: 设, x tant 则 t arctan x, dx sec2 tdt
当 x 0 时, t 0
当 x 时, t lim arctan x
x
2
于是
1
π
blimcos
1 b
cos
π 2
1.
例
1
讨论反常积分
1
解: 当 p 1时,
x p dx 的敛散性.
1
1 xp
dx
1 dx
1x
ln x
1
当 p 1时,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p
1
,
p
1
1
,
p1 p1
因此当 p 1时反常积分收敛，其值为 1 ；当
p1
p 1时反常积分发散.
时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x) 在区间(, b] 上连续，取
a
b
，如果极限 lim a
b
a
f
(
x)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷区间(, b] 上的广义积
分，记作 b
f
( x)dx.
b
f (a a
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
第三节 反常积分
常义积分
积分限有限 被积函数有界
推广 反常积分 (广义积分)
无穷限的反常积分 无界函数的反常积分
一、无穷限的反常积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A
lim
b
b 1
dx x2
lim b
1 x
b 1
lim 1 b
dx 2
1
sec2 tdt
0 (1 x2 )3
0 (1 tan2 t )3
2 cos tdt 1 0
例 计算反常积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2 π
1 x2
sin
1 x
dx
2 π
sin
1 x
d
1 x
lim b
b
2 sin
π
1 x
d
1 x
blimcos
1 x
b 2
b
0
f ( x)dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F(x)
f (x) dx F(x)
定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.
则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx
F (b )
F (a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx
F (b)
F (a
)
若 a , b 都为瑕点, 则
b f (x) dx F (b ) F (a )
a
注意: 若瑕点 c (a ,b), 则