§5.7 反常积分高等数学上课件

反常积分牛莱公式使用

反常积分是高等数学中的一个重要概念，而牛莱公式在其中发挥着关键作用。咱们今天就来好好聊聊这“反常积分牛莱公式使用”的那些事儿。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生瞪大了眼睛问我：“老师，这反常积分到底是个啥呀，怎么感觉这么玄乎？”我笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢捋清楚。”

先来说说反常积分，它其实就是积分的一种“特殊情况”。正常的积分，积分区间都是有限的，被积函数也都是比较“规矩”的。但反常积分可就不一样啦，要么积分区间是无穷的，要么被积函数在某些点附近变得“调皮捣蛋”。

而牛莱公式呢，原本在正常积分中那可是“大功臣”，能帮咱们轻松算出积分的结果。但在反常积分里，可不能直接拿来就用，得先看看是不是满足一定的条件。

比如说，对于无穷区间上的反常积分，如果被积函数是连续的，并且在无穷远处的极限存在，这时候就可以考虑用牛莱公式啦。但要是不满足这些条件，那可就得小心，不能盲目套用。

我再给大家举个例子哈。就像计算积分∫(从 1 到正无穷) 1/x^2 dx 。咱们先看看被积函数 1/x^2 ，它在 [1, +∞) 上是连续的，而且当 x 趋向于正无穷时，1/x^2 趋向于 0 。这就满足了使用牛莱公式的条件。用牛莱公式算出来就是：[-1/x] 从 1 到正无穷，算出来就是 1 。

但要是遇到像∫(从 0 到 1) 1/√x dx 这样的，被积函数在 0 这一点就不太“老实”了，这时候就得小心处理，不能直接用牛莱公式，得先做一些变换或者处理。

总之啊，在使用反常积分牛莱公式的时候，一定要瞪大眼睛，仔细分析被积函数和积分区间的特点，千万别稀里糊涂地就往上套。

就像我们生活中做事情一样，不能看到一个方法就盲目去用，得先看看适不适合当前的情况。比如说你去买衣服，不能看到一件衣服好看就买，还得看看尺码合不合适，风格搭不搭自己，对吧？

学习反常积分牛莱公式的使用也是这个道理，多思考，多分析，才能真正掌握好这把“解题利器”。希望大家在学习的过程中都能用心去体会，把这个知识点牢牢地掌握在手中！

反常积分

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瑕积分是被积函数带有瑕点的广义积分，参见如下定义。

[隐藏]

 1 定义1

 2 定义2  3 定义3

 4 参见

[编辑] 定义1

设函数f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点.取t>a，如果极限

存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分。

瑕积分仍然记作。

[编辑] 定义2

设函数f(x)在[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点。取t

存在，则称此极限为函数f(x)在[a,b)上的反常积分。

[编辑] 定义3

设函数f(x)在[a,b]上除点c(a

与

都收敛，则定义

[编辑] 参见

 积分、反常积分

 广义积分

来自“/w/index.php?title=%E7%91%95%E7%A7%AF%E5%88%86&oldid=19739034”

数学分析-反常积分讲稿

127 第十一章反常积分

§1 反常积分的概念

教学目的：掌握反常积分的定义和计算方法．

教学要求：掌握无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．

教学重点：无穷积分与瑕积分的定义与计算方法．

教学难点：讲清反常积分是变限积分的极限．

教学方法：系统讲授法．

教学程序：

一问题的提出

例1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，

要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速

度至少多大？

解设地球半径为R，火箭质量为m

地面重力加速度为g，有万有引力定理，

在距地心x处火箭受到的引理为

22()mgRFxx

于是火箭上升到距地心r处需要做到功为

22211()rRmgRdxmgRxRr

当r时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功

2222limrrRRmgRmgRdxdxmgRxx

再由能量守恒定律，可求得处速度0v至少应使

2001211.2(/)2mvmgRvgRkms

例2 从盛满水开始打开小孔，问需多

长时间才能把桶里水全部放完？

解由物理学知识知道，（在不计摩擦情

况下），桶里水位高度为hx时，水从小

孔里流出的速度为

2()vghx

设在很短一段时间t内，桶里水面降低的 Oxhx 128 高度为x，则有下面关系：

22Rxvrt

由此得 22,[0,]2()Rtxxhrghx

所以流完一桶水所需的时间应为

220(2()hfRtdxrghx

但是，被积函数在(0,]h上是无界函数，，所一我们取

2202222lim(2()22lim()ufuhuhRtdxrghxRhRhhugrgr

相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分．

二两类反常积分的定义

无穷限反常积分的定义

AaAF)(， aaFFf)()(.

7反常积分——反常积分的概念和计算

反常积分是微积分中的一个重要概念，是对一些函数在一些区间上的积分进行无穷求和的过程。与定积分不同，反常积分是对未能被定积分求解的函数进行求解的方法，常见于一些函数在一些点上无界或不连续。本文将详细介绍反常积分的概念和计算方法。

一、反常积分的概念

反常积分是对一些在一些点不连续或无界的函数进行积分求解的方法。在实际应用中，我们常遇到一些函数在一些点附近出现无穷大的情况，或者在其中一点上不连续的情况，这时就需要用到反常积分进行求解。

具体来说，反常积分可以分为以下两种情况：

1.类型一：函数在积分区间其中一点附近无界的情况。设函数f(x)在区间(a,b]上有定义，且x=b是f(x)的发散点，则反常积分的定义为：

∫f(x)dx = lim┬(t→b)⁡〖∫[a,t] f(x)dx〗

即求解函数在区间[a,t]上的定积分，然后将t无限趋近于b来求解该反常积分。

2.类型二：函数在积分区间其中一点不连续的情况。设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且x=c是f(x)的不连续点，则反常积分的定义为：

∫f(x)dx = ∫[a,c) f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx

即将不连续点c拆分成两个积分区间，在每个区间上分别求解定积分，然后求和。需要注意的是，反常积分只在函数在一些点附近出现无界或不连续时才有意义。如果函数在积分区间上连续且有界，那么反常积分与定积分是等价的。

二、反常积分的计算方法

对于类型一的反常积分，我们可以通过以下几种方法进行计算：

1.无界函数的积分计算

当函数f(x)在x=b附近无界时，我们可以通过计算一个足够大的正数M，使得对于任意t>b有，f(x)，

2.函数在无穷远点（正无穷和负无穷）处的积分计算

如果函数在正无穷远点处无界且不连续，可以将反常积分转化为辐角积分的形式。例如，对于 ∫[a,+∞) f(x)dx，我们可以通过令x=1/t进行变量代换，转化为 ∫[0,1/a) f(1/t)dt，然后进行类型二的反常积分计算。

反常积分 2

《数学分析》上册教案第十一章反常积分通化师范学院数学系

第十一章反常积分

§1 反常积分概念

教学目的：掌握函数作图的一般步骤，能分析初等函数图象性状。

重点难点：重点与难点为函数图象性态的列表表示法。

教学方法：讲练结合。

一问题提出

在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”，或是无界函数的“积分”，这便是本章的主题．

例1 (第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭(图11—1)，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度0v至少要多大？

设地球半径为R，火箭质量为)(Rx，地面上的重力加速度为g。按万有引力定律，在距地心)(Rr处火箭所受的引力为

.22xmgRF

于是火箭从地面上升到距离地心为)(Rx处需作的功为

).11(222rRmgRdxxmgRrR

当r时，其极限mgR只就是火箭无限远离地球需作的功．我们很自然地会把这极限写作上限为的“积分”：

.lim2222mgRdxxmgRdxxmgRrRrR

最后，由机械能守恒定律可求得初速度0v至少应使

.2120mgRmv

用)(10371.6)/(18.962mRsmg，代人，便得

)./(2.1120skmgRv

例2 圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔．试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间?

反常积分的概念与计算

反常积分是微积分中一个非常重要的概念，在实际问题中经常会遇到需要计算反常积分的情况。本文将介绍反常积分的概念、性质和计算方法。

1. 反常积分的概念

反常积分是指定积分区间上函数不满足某些条件而导致积分值无法直接计算的情况。它分为两类：第一类反常积分和第二类反常积分。

1.1 第一类反常积分

第一类反常积分是指函数在积分区间上存在无穷间断点或者设置大量的函数间断点的情况。这导致在这些间断点处，函数的积分值无法定义。

举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{x}$，在区间(0,1)上，𝑓(𝑥)在𝑥=0处无穷大。因此，这个积分称为第一类反常积分。为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。

1.2 第二类反常积分

第二类反常积分是指函数在积分区间上的某些点奇异或无界的情况。这导致函数在这些点上的积分值为无穷大或无定义。

举个例子，考虑函数$f(x)=\\frac{1}{\\sqrt{x}}$，在区间(0,1)上，函数𝑓(𝑥)在𝑥=0处无穷大。因此，这个积分称为第二类反常积分。同样地，为了计算这个反常积分，我们可以将它分解为两个部分，一个是从0到某个小正数$\\epsilon$的积分，另一个是从$\\epsilon$到1的积分。然后，我们可以取极限$\\epsilon$趋近于0，来计算反常积分的值。

2. 反常积分的计算方法

反常积分的计算方法主要有两种：换元法和分部积分法。

2.1 换元法

换元法也被称为变量代换法，它适用于一类特殊的反常积分。换元法的基本思想是将变量进行替换，将一个难以计算的函数变成一个简单的形式。通常情况下，我们选择适当的变量替换来简化积分的计算。具体步骤如下：

1. 选择一个适当的替换变量，使得被积函数转化为一个更简单的表达式。

「高等数学」反常积分的计算，并判断它的收敛性

反常积分：反常积分又叫做广义积分，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，也就是分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。

无穷区间上的反常积分：设f(x)在区间[a,∞)上连续，称为f(x)在[a,+∞)上的反常积分.如果右边极限存在，称此反常积分收敛；如果右边极限不存在，就称此反常积分发散。

无界函数的反常积分：设f(x)在区间[a,b)上连续，且f(x)在趋向于点b上的极限为∞，成为f(x)在区间[a,b)上的反常积分(也称瑕积分)，使f(x)极限为∞的点b称为f(x)的奇点(也称瑕点)，这个点上是无法积分的。

图一

如图所示，给出一个反常积分，并告诉我们该反常积分收敛，则我们可以得到哪些信息。

通过反常积分的概念，可以知道这道题指的是在无穷区间的反常积分（只要一看积分区间有∞存在，即可知道该反常积分为在无穷区间上的反常积分），如果右边的极限存在，就称该反常积分收敛，这个概念说明该反常积分存在极限，这道题反常积分的瑕点为1。

那我们便可以将该反常积分分为两个区间来计算，一个区间是位于(0,1)，另一个区间则是位于(1,+∞)，我们可以先对第一个区间进行判断，因为要让该反常积分收敛，必须让两个区间的积分都收敛才可以。（一个是无界函数的反常积分，另一个则是无穷区间的反常积分。）如果说这两个反常积分有一个不存在，就说明该反常积分不存在（发散），反之，要说明该反常积分存在（收敛），说明两个反常积分都要存在才可以。

由第一个区间判断可以得到，a<1；由第二区间判断可以得到当a+b>1时，收敛。

最后得到的结果便是，a<1，a+b>1，该反常积分收敛。

最后给出解答过程：

图二

虽然有这道实例的支撑，但我对反常积分还是不够理解，直到我看到了瑕积分的判敛性定理：

定理一，f(x)在区间（a,b]上连续并且f(x)>=0，设该区间趋向于a的极限存在，那就可以得到当x的幂次方小于1，该反常积分收敛，根据这个定理我们就能够得到a<1这个结果的存在。

定积分的反常积分

在高等数学中，定积分是一个重要的概念，它在众多领域中都有广泛的应用。但是，我们也常常遇到无法求出定积分的情况，这就需要引入反常积分的概念。

反常积分是对定积分的一种扩展，用来处理某些不是在有限区间上的函数的积分。它将有限区间上的定积分推广到无限区间上，或者解决某些被积函数在有限点上发散的问题。

一、无穷区间上的反常积分

如下式所示，当积分区间为无限区间时，即当a或b为无穷时，该积分被称为无穷区间上的反常积分。

$$\int_{a}^{\infty} f(x) dx= \lim_{t\rightarrow\infty} \int_{a}^{t}

f(x) dx$$

$$\int_{-\infty}^{b} f(x) dx= \lim_{t\rightarrow-\infty} \int_{t}^{b}

f(x) dx$$

对于一个无穷区间上的反常积分，如果该极限值存在，那么就称该反常积分收敛；否则，该反常积分发散。

例如，对于函数f(x)=1/x，当积分区间为[1, ∞)时，该反常积分为：

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{t\rightarrow\infty} \ln x

\Big|_{1}^{t}= \lim_{t\rightarrow\infty} \ln t= \infty$$

因此，该反常积分发散。

而对于函数f(x)=1/x²，同样当积分区间为[1, ∞)时，该反常积分为：

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{t\rightarrow\infty} -\frac{1}{x} \Big|_{1}^{t}= \lim_{t\rightarrow\infty} \Big(-\frac{1}{t}+1\Big) = 1$$

因此，该反常积分收敛。

二、有限点上的反常积分

《反常积分》的计算与收敛性的判定小结与课件节选

1、定义法求积分值与判定积分的敛散性

定义法计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限

基本思路与步骤：

(1)通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；

(2)对积分结果求极限；

(3)根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判定反常积分的敛散性。

2、反常积分收敛性的判定方法

高等数学课程中判定方法对照正项常值级数收敛性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分

(1) 无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论

(2) 无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于q-积分的结论

【注1】对于同时包含两类反常积分的积分，借助积分对积分区间的可加性，分别转换为两类反常积分计算积分值或判定积分的收敛性。

【注2】对于一个反常积分转换为几个基本的反常积分进行收敛性的判定时，值得注意的是，只要一项积分发散，则整个积分发散。

【注3】反常积分同样可以使用“偶倍奇零”化简积分计算，注意能够使用的前提是反常积分收敛。

【注4】具体内容与方法参考以下课件的部分内容和教材中的例题。

【注5】关于反常积分敛散性判定的基本思路、方法与步骤详细的讨论视频教学可以参见“第五届全国大学生数学竞赛初赛非数学竞赛试题解析”在线课堂中填空题第2题“一元函数反常积分敛散性判定的一般思路与方法”中的五个教学与学习视频！

●第1节：无穷限反常积分敛散性判定的定义法 ●第2节：无穷限反常积分敛散性判定的比较法

●第3节：无界函数的反常积分敛散性判定的定义法

●第4节：无界函数的反常积分敛散性判定的比较法

●第5节：反常积分敛散性判定的基本方法与步骤实例分析

【反常积分】图解普林斯顿微积分15

第20 章反常积分：基本概念(Improper Integrals: Basic

Concepts)

反常积分是普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分, 本章的内容:

• 反常积分、收敛和发散的定义;

• 关于没有边界区域的反常积分;

• 关于比较判别法、极限比较判别法、p 判别法和绝对收敛判别法的理论基础.

20.1 收敛和发散(Convergence and Divergence)

如果积分 ∫baf(x)dx 中 f 不是有界的: 当 x 在区间 [a,b] 内, 函数 f

在区间有一条垂直渐近线的时候, 函数会在渐近线附近变得很大, 且没有界限, 这就使该积分成了反常积分(improper).

积分区间如果是无界的, 如 [0,∞) 或 (-∞,∞), 也使这个积分为反常积分.

先来看第一种情况的图形:

为了研究什么情况下一块无限区域的面积会是有限的, 我们需要使用极限. 观察下面动图:

数 ε 越小, 我们对这块无限区域的估算就越接近于真实值, 也就是当在 x=a 处有破裂点有:

如果能找到这样的极限, 我们就说这个积分收敛; 否则认为该积分发散.

在实际中, 如果你知道积分是收敛的, 可以通过算法求得收敛值. 如果积分是发散的, 就要小心处理了.

20.1.1 反常积分的一些例子

考虑下面两个反常积分, 被积函数非常相似, 在 x=0 点都有垂直渐近线, 但一个是发散而另一个是收敛的, 现在观察图形.

1√x 的图像足够接近于 y 轴, 所以它所对应的积分是收敛的;

而 1x 没有那么接近于 y 轴, 所以它对应的积分是发散的. 但是对于所有 x=0 点有渐近线的函数, 很难区分, 需要分别对待每个积分.

一个反常积分在有界区间的收敛和发散是由接近破裂点的走势决定的, 所以下面几个积分都是发散的.

20.1.2 其他破裂点