高等数学@5-4反常积分
合集下载
D5_4反常积分
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x) C ( , b] , 则定义
目录
上页
下页
返回
结束
若 f ( x) C ( , ) , 则定义
f ( x) dx lim f ( x) dx a a b c lim
目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算反常积分
t pt 解: 原式 e p
1 pt 2e p 1 2 p
1 p t e dt p 0
目录
上页
下页
返回
结束
二、无界函数的反常积分
引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的
开口曲边梯形的面积可记作
y
1 y x
提示: P260 题2 d(ln x ) dx 2 x (ln x) k 2 (ln x) k dx 1 当 k 1 时, I (k ) 2 k x (ln x) (k 1)(ln 2) k 1
令 f (k ) (k 1)(ln 2)
k 1
, 求其最大值 .
0
1
目录
上页
下页
返回
结束
例6. 证明反常积分 时发散 .
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
证 : 当 q = 1 时,
当 q≠1 时
ln x a
1 q
a
b
q 1 q 1
( x a) 1 q
(b a)1q , b 1 q a ,
高数54反常积分
区间可加性
对于两个相邻的无穷区间或瑕点区间，其反常积分可以拆分为两个单独的反常积分进行 计算。
绝对收敛与条件收敛
对于无穷积分和瑕积分，如果其绝对值积分收敛，则称该反常积分绝对收敛；如果原积 分收敛但绝对值积分发散，则称该反常积分条件收敛。
04
反常积分的收敛与发散
收敛性判断
01
02
03
柯西准则
比较判别法
高数54反常积分
• 引言 • 反常积分的类型与判断 • 反常积分的计算与性质 • 反常积分的收敛与发散 • 反常积分的应用举例 • 总结与展望
01
引言
反常积分的定义与性质
无界函数的反常积分
如果函数在积分区间内的某点或某段上无界，则称此 积分为无界函数的反常积分，也称为瑕积分。
无穷区间的反常积分
或无穷区间上进行积分的情况。研究反常积分有助于解决这些实际问题。
03
推动相关学科发展
反常积分与微分方程、复变函数等学科密切相关，研究反常积分有助于
推动这些相关学科的发展。
02
反常积分的类型与判断
无穷积分
定义
无穷积分是反常积分的一种，指 含有无穷上限或下限的积分，或 被积函数中含有无穷大的积分。
性质
研究成果总结
01
反常积分理论体系的 完善
通过对反常积分的深入研究，完善了 其理论体系，包括了对反常积分的定 义、性质、收敛性等方面的系统阐述 。
02
求解方法的创新
针对不同类型的反常积分，提出了多 种有效的求解方法，如分部积分法、 变量替换法、留数定理等，这些方法 在解决实际问题中具有重要的应用价 值。
瑕积分的计算方法
对于瑕积分，通常采用换元法或分部积分法将其转化为普通定 积分进行计算。在计算过程中，需要注意瑕点的处理以及积分
对于两个相邻的无穷区间或瑕点区间，其反常积分可以拆分为两个单独的反常积分进行 计算。
绝对收敛与条件收敛
对于无穷积分和瑕积分，如果其绝对值积分收敛，则称该反常积分绝对收敛；如果原积 分收敛但绝对值积分发散，则称该反常积分条件收敛。
04
反常积分的收敛与发散
收敛性判断
01
02
03
柯西准则
比较判别法
高数54反常积分
• 引言 • 反常积分的类型与判断 • 反常积分的计算与性质 • 反常积分的收敛与发散 • 反常积分的应用举例 • 总结与展望
01
引言
反常积分的定义与性质
无界函数的反常积分
如果函数在积分区间内的某点或某段上无界，则称此 积分为无界函数的反常积分，也称为瑕积分。
无穷区间的反常积分
或无穷区间上进行积分的情况。研究反常积分有助于解决这些实际问题。
03
推动相关学科发展
反常积分与微分方程、复变函数等学科密切相关，研究反常积分有助于
推动这些相关学科的发展。
02
反常积分的类型与判断
无穷积分
定义
无穷积分是反常积分的一种，指 含有无穷上限或下限的积分，或 被积函数中含有无穷大的积分。
性质
研究成果总结
01
反常积分理论体系的 完善
通过对反常积分的深入研究，完善了 其理论体系，包括了对反常积分的定 义、性质、收敛性等方面的系统阐述 。
02
求解方法的创新
针对不同类型的反常积分，提出了多 种有效的求解方法，如分部积分法、 变量替换法、留数定理等，这些方法 在解决实际问题中具有重要的应用价 值。
瑕积分的计算方法
对于瑕积分，通常采用换元法或分部积分法将其转化为普通定 积分进行计算。在计算过程中，需要注意瑕点的处理以及积分
高等数学5-4反常积分
电磁学
在电磁学中，反常积分用于计算电磁波的传播 和散射特性。
热力学
在热力学中，反常积分用于计算热传导、热辐射和热对流等过程的热能分布。
在概率论中的应用
随机过程
在随机过程中，反常积分用于计算随机事件 的概率分布和概率密度函数。
统计推断
在统计推断中，反常积分用于计算样本数据 的统计特征和参数估计。
贝叶斯推断
05
反常积分的注意事项
计算过程中的常见错误
1 2 3
积分区间选择不当
在计算反常积分时，选择正确的积分区间至关重 要。如果积分区间选择不当，可能会导致计算结 果不准确或错误。
积分上限或下限错误
在计算反常积分时，需要注意积分上限或下限的 取值。如果取值错误，会导致计算结果偏离正确 值。
积分函数处理不当
感谢您的观看
THANKS
比较法
通过比较两个反常积分的敛散性来判断其敛散性。如果两个反 常积分具有相同的敛散性，则可以判断它们的敛散性。
如何处理无界函数和瑕点
无界函数的处理
在处理无界函数时，需要将其限制在 有界区间内进行积分。这样可以避免 无界函数对积分结果的影响。
瑕点的处理
在处理瑕点时，需要将其排除在积分 区间外。这样可以避免瑕点对积分结 果的影响。
Байду номын сангаас
反常积分的可加性
定义
如果两个反常积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 和 $int_{c}^{d}f(x)dx$ 的极限都存在， 且 $lim_{x to a+}(F(x)-F(a))=lim_{x to c+}(F(x)-F(c))$，则称反常积分具 有可加性。
应用
在处理反常积分时，可加性可以帮助 我们简化计算，将复杂的积分拆分成 几个简单的积分进行处理。
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.4 反常积分
解
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
高等数学上5.4反常积分
下页 结束
P260
作业 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; ;
提示: 提示 P260 题2 +∞ +∞ d(lnx) dx d(ln x ∫2 x (ln x)k = ∫2 (ln x)k +∞ dx 1 = 当k > 1时 I (k) = ∫2 , k x (ln x) (k −1)(ln 2)k −1
首页 上页 返回 下页 结束
1 = ∫ 2
1 +1 +∞ x2 0 1 + x2 x2
dx
1 +∞ 1 1 = ∫ d (x − ) 2 2 0 ( x − 1) + 2 x
x
=
1 2 2
arctan
x−1 x 2
+∞ 0+
P260
首页 上页 返回
作业 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2;
y=
1 x2
A
1
b
1− 1 = lim =1 b→+∞ b
首页 上页 返回 下页 结束
定义1. 设 f (x) ∈C[a, + ∞) , 取b > a, 若 定义
b→ +∞
lim ∫ f ( x )d x
a
b
无穷限反常积分 反常积分, 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分 记作
上页 返回 下页 结束
首页
2. 试证 解:
∫0
+∞
dx x d x , 并求其值 . =∫ 4 4 0 1+ x 1+ x
令 t =1 x
+∞
+∞
P260
作业 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; ;
提示: 提示 P260 题2 +∞ +∞ d(lnx) dx d(ln x ∫2 x (ln x)k = ∫2 (ln x)k +∞ dx 1 = 当k > 1时 I (k) = ∫2 , k x (ln x) (k −1)(ln 2)k −1
首页 上页 返回 下页 结束
1 = ∫ 2
1 +1 +∞ x2 0 1 + x2 x2
dx
1 +∞ 1 1 = ∫ d (x − ) 2 2 0 ( x − 1) + 2 x
x
=
1 2 2
arctan
x−1 x 2
+∞ 0+
P260
首页 上页 返回
作业 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2;
y=
1 x2
A
1
b
1− 1 = lim =1 b→+∞ b
首页 上页 返回 下页 结束
定义1. 设 f (x) ∈C[a, + ∞) , 取b > a, 若 定义
b→ +∞
lim ∫ f ( x )d x
a
b
无穷限反常积分 反常积分, 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分 记作
上页 返回 下页 结束
首页
2. 试证 解:
∫0
+∞
dx x d x , 并求其值 . =∫ 4 4 0 1+ x 1+ x
令 t =1 x
+∞
+∞
高等数学5.4反常积分
b b a
这时也称反常积分
a
f x dx 收敛
如果上述极限不存在，则称反常积分 发散．
a
f x dx
设函数 f x 在区间 , b 上连续，如果 类似地，
f x dx，（a b）存在，则称此极限为函数 极限 alim a
b
f x 在无穷区间
解法二：利用被积函数是奇函数，积分区间是以原点 为心的对称区间的特性，得 xdx A xdx 因此积分收敛. lim 0 0， 2 1 x 2 Alim A 1 x A 我们说，上述两种方法都是错误的.
例2计算积分
-
一、无穷限的反常积分
定义1 设函数 f x 在区间 a , 上连续， 取b>a，
f x f x dx 则称此极限为函数 存在， 如果极限 blim a
b
在无穷区间 a , 上的反常积分，记作 即
a
f x dx，
a
f x dx lim f x dx .
类似可记 注: 式子
b
f x dx lim F x . F x F b x
b
lim F x lim F x f x dx F x x x
c
lim f x dx
b b
c a
lim f x dx .
这时也称反常积分
这时也称反常积分
a
f x dx 收敛
如果上述极限不存在，则称反常积分 发散．
a
f x dx
设函数 f x 在区间 , b 上连续，如果 类似地，
f x dx，（a b）存在，则称此极限为函数 极限 alim a
b
f x 在无穷区间
解法二：利用被积函数是奇函数，积分区间是以原点 为心的对称区间的特性，得 xdx A xdx 因此积分收敛. lim 0 0， 2 1 x 2 Alim A 1 x A 我们说，上述两种方法都是错误的.
例2计算积分
-
一、无穷限的反常积分
定义1 设函数 f x 在区间 a , 上连续， 取b>a，
f x f x dx 则称此极限为函数 存在， 如果极限 blim a
b
在无穷区间 a , 上的反常积分，记作 即
a
f x dx，
a
f x dx lim f x dx .
类似可记 注: 式子
b
f x dx lim F x . F x F b x
b
lim F x lim F x f x dx F x x x
c
lim f x dx
b b
c a
lim f x dx .
这时也称反常积分
5-4应用高等数学(曾庆柏)
1
1 xp dx
1 dx
ln |
x|
.
1x
1
当 p 1 时，
1
1 xp
d
x
x1 p
1
p
1
,
1 p 1
,
p 1; p 1.
*被积函数有无穷间断点
定义4 设函数 f x 在区间a,b 上连续，且
lim f x , 取 0, 若极限lim b f xdx 存在，
数 f x 在无穷区间 (, b] 上的反常积分，记作
b f xdx, 即
b f xd x lim b f xd x.
a a
这时也称反常积分 b f xd x 收敛；若上述极限不存
在，则称反常积分 b f xd x 发散．
定义3
若反常积分 0 f xd x 和 f xd x
b
2
上述反常积分的几何意义是：它表示由曲线
y 1 和直线 x 0,y 0 围成的“开口”曲边梯形的 1 x2
面积（图5-8）等于
O
b
x
若 f (x) 的原函数为 F (x),
则
x
f (x)d x F (x) F (a).
a
若记
F() lim F(x), F() lim F(x)
f xdx lim b f xd x.
a
b a
这时也称反常积分 f xd x 收敛；若上述极限不存 a
在，则称反常积分 f xd x 发散． a
定义2 设函数 f x在区间 (, b] 上连续，任取
a b, 若极限 lim b f xd x 存在，则称此极限为函 a a
再令b , 得
15000te0.2t d t lim b15000te0.2t d t
第五章 积分 5-4 反常积分
b
1
t (x a) p d x
|
1 1
p
(x
a) 1
p
b
,
t
p1 ,
|
ln
(x
a)
b
,
t
p1
《高等数学》课件 (第五章第四节)
所以
b
1
lim
ta
t
(x a) p d x
1 (b a) 1 p , 1 p ,
p1 p1,
,
p1
所以, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散. 类似地, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散.
《高等数学》课件 (第五章第四节)
5.4.1 无限区间上的反常积分 y
考虑由直线 x = a, y = 0 和曲线
y = f (x) ( 0) 围成的平面无穷区域
f (x)
的面积 A.
x Oa
视面积 A 为有限区域 0 y f (x), y
a x b 面积 A b
b f ( x) d x 的极限,
xa _
a 为 f (x) 的奇点或暇点. 同样若函数 f (x) 在 a < 0 附近有定义,
且 lim f (x) , 则称 x a 为 f (x) 的奇点或暇点.
xa
定义 5-4 设函数 y = f (x) 在 [a, b) 连续, b 是 f 的奇点, 若
t
lim f ( x) d x
0
解
In
x ne x d x
0
x n d e x
0
| x n e x
n
x n1 e x d x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( x)dx
发散
.
y f (x)
s
a
b
x
b
定义
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .
a a
右端极限存在,
则称 反 广常 义积分
b
f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
b
f
( x)dx
发散
.
2
f ( x)dx
定义
0
f ( x)dx
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)
f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
(a 0)
解.
x
3a 是
x 3a2
x
2
的无穷间断点
.
3a x dx
0
3a2 x2
( 3a)
3a2 x2
0
(0 3a) 3a . #
上限 (
3 a)
代入的含义是
lim
x( 3 a)
3a2 x2 .
13
例6.
1 1 1 x
解:
[ arctan x ]|0
[ arctan x ]|
0 22
思考:
分析:
原积分发散 !
注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
6
例 3.
I ekx sin x dx 0
1
e kx
cos
b f (x)dx
F(x)
a
F (b ) F (a（) b是瑕点）
b
a f ( x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx
F(x)
F(c ) F(a) F(b) F(c )(c是瑕点)
F(x)
12
例5.
3a 0
x dx 3a2 x2
x
0
(k 0)
k
2
e kx
sin
x
0
0
k
2 2
e kx
sin
x
dx
1
(0
1)
k
2
(0
0)
k
2 2
I
1
k
2 2
I.
解出
I
k
2
2
.
7
例4.
1
dx xp
当 p 1时 ,
1
dx xp
x1 p 1 p
1
1 p
1
.
1
dx xp
收敛 ,
当 p 1时 ,
1
dx xp
ln x . 1
1
dx xp
发散 ,
当 p 1时 ,
1
dx xp
x1 p 1 p
1
.
1
dx xp
发散 .
(
p
积分
) 1
ln(x a)ba .
lim ln( x a) . 反常积分发散 .
xa
当 1时 ,
b dx a ( x a)
b
1
(1 ) (x a) 1 a
.
反常积分发散 .
b dx a ( x a)
4
例1.
e
x
dx
0
e xdx
e xdx
0
ex 0 ex
0
e0 lim e x lim e x e0
x x
(1 0) (0 1) 2 .
5
例2:计算广义积分
b
f ( x)dx
定义
c
f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
c
右端两广义积分都收敛 , 称广义积分 b f (x) dx 收敛 , a
否则称
b
a
f
(
x)
dx
发散
.
(
右端积分只要有一个发散
,
就称
b
a
f
(
x
)
dx
发散
.
)
无界函数的积分又称作第二类广义积分, 无界点常称 为瑕点(奇点) .
,
x
a 是其无穷间断点
.
当0 1时 ,
b dx a ( x a)
(x a)1 b (b a)1 .
1 a
1
反常积分收敛 .
15
b dx a ( x a)
(b a , 0)
当 1时 ,
b dx a ( x a)
x
)
dx
收敛
,
否则称
b
a
f
(
x
)
dx
发散
.
f ( x) 在 (b , b) 无界 ,
b
b f ( x)dx
定义
a
lim
0
a
f (x) dx
右端极限存在
,
则称广反义常积积分
(瑕积分)
b
a
f
(
x)
dx
收敛
,
否则称
b
a
f
(
x
)
dx
发散
.
9
f ( x) 在 (c , c ) 无界 , (a c b) .
d x 发散
.
14
以后计算定积分
b
a
f
(
x ) dx
时
,
要先检查
f ( x) 在[a,b]
上是否连续 , 是否有无穷间断点 , 有间断点要分段积分 ,
若有无穷间断点,
则
b
a
f
(
x)
dx
是反常积分
.
例7.
b dx a ( x a)
(b a , 0)
解.
(x
1 a)
在 (a, b] 上连续
f ( x)dx .
0
右端两广义积分都收敛 , 则称广义积分
f (x) dx
收敛 , 否则称 f ( x)dx 发散 .
(
右端两积分有一个发散则
f
(
x
)
dx发散
.
)
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
3
引入记号
第四节 广义积分
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
广义积分 (反常积分)
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
1
一、无穷限的广义积分
定义
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .
a
b a
右端极限存在,
则称 广反义常积分
a
f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.
例如,
11
引入记号
F (a ) lim F (x) ; F (b ) lim F (x)
xa
xb
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
b f (x)dx
F(x)
a
F (b) F (a )(a是瑕点)
dx ln
x
1
0 .
1
错 ! 忽视了 x 0 是被积函数的无穷间断 点 .
111x d
x
01 dx
1 x
11 dx
0x
0
1
ln x ln x
1
0
因为 lim ln x , x 0
所以
0 1dx发散 , 1 x
1 1 1 x
dx xp
1 p 1
(收敛 )
(发散 )
p 1 p1
8
二、无界函数的广义积分
f ( x) 在 (a , a ) 无界 ,
b
f ( x)dx
定义
a
lim
0
b
f (x) dx
a
右端极限存在,
则称
广反义常积分
(瑕积分)
b
a
f
(
(b a)1
1
(收敛 )
(发散 )
0 1
1
16
,
1
17
内容小结