选修1-2讲座

高中数学选修综合讲座参考公式：22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++，回归直线方程：a x b yˆˆˆ+=， 线性回归方程中b a ,的估计值x b y a ∧∧-=， =∧b ∑∑∑∑====--=---ni ini iini ini i ix n xyx n yx x xy y x x1221121)()())((【基础回归】1.设4)(+=ax x f ，若2)1(='f ，则=a （ ）A ．2B ． 2-C ．3D ． 3-2.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是（ ）A ． )2,(-∞B ．(0,3)C ．(1,4)D ．),2(+∞3.函数32+=x x y 的导数是（ ）A ． 22)3(6++x x xB ．362++x x xC ． 2)3(2+-x xD ． 22)3(63++xx x4. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）A.若K 2的观测值为k=6.635，在犯错误的概率不超过01.0的前提下认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B.由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过01.0的前提下认为吸烟与患肺病有关系，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C.若从统计量中求出在犯错误的概率不超过01.0的前提下认为吸烟与患肺病有关系，是指有1% 的可能性使得判断出现错误D.以上三种说法都不正确5. 根据上表可得回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A ．63.6万元B ．65.5万元C ． 67.7万元D ． 72.0万元6. 工人月工资y （元）依劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为ˆ=6090y x +，判断正确的是（ ）A.劳动生产率为1000元时，工资为50元B.劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C.劳动生产率提高1000元时，工资提高90元D.劳动生产率为1000元时，工资为90元 7. “∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是（ ）A. 正方形都是对角线相等的四边形B. 矩形都是对角线相等的四边形C. 等腰梯形都是对角线相等的四边形D. 矩形都是对边平行且相等的四边形8.为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1t 和2t ，已知两人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ） A ．1t 和2t 有交点(),s t B ．1t 与2t 相交，但交点不一定是(),s t C ．1t 与2t 必定平行D ． 1t 与2t 必定重合【能力提升】9.设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如图所示，则导函数y ＝f′(x)的图象可能为（ ）10. 有下列说法:①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好。

其中正确命题的个数是（ ） A.0 B.3 C.2 D.1 11.设函数321()252f x x x x =--+，若对于任意x ∈[－1，2]都有()f x m <成立，则实数m 的取值范围为为（ ）A ．（7，+∞）B ．（8，+∞）C ．[7，+∞）D ．（9，+∞）12.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t =（ ）A ．1B ．12C ． D13.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线C ：3103+-=x x y 上，且在第二象限内，已知曲线C 在P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为 .14.直线a y =与函数x x y 33-=的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是 15.观察下列等式 1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为16.在三棱锥ABC S -中，SB SA ⊥, SC SB ⊥, SC SA ⊥, 且SA 、SB 、SC 和底面ABC 所成的角 分别为1α、2α、3α，三侧面SBC ∆、SAC ∆、SAB ∆面积分别为1S 、2S 、3S ,类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想13. (2-，)15； 14.(2-， )2；【例题示范】〖例1〗已知函数x ax x x f ln )(2--=，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为2-，求a 的值以及切线方程。

解：（1）()()'''()x x xx f x x e x eexe =+=+ 。

（2）'(1)2k f e ==，当1x =时，y e =，因此，这个函数的图象在点1x =处的切线方程是 2(1)y e e x -=- ，即 20ex y e --= 。

〖例2〗假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y 万元有如下的统计资料 若由资料知y 对x 呈线性相关关系，试求：（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用大约是多少？〖例3〗设12)(23+++=bx ax x x f ,若函数)(x f y '=的图象关于直线21-=x 对称，且0)1(='f . (1)求实数a 、b 的值； (2)求函数)(x f 的极值。

解：(Ⅰ)2/22()626()66a a f x x axb x b =++=++-，函数的图象关于直线6a x =-对称，所以1362a a -=-⇒=， 又/(1)062012f ab b =⇒++=⇒=-； 5分(Ⅱ)由(Ⅰ)32/2()23121,()6612f x x x x f x x x =+-+=+-， 令/12()02,1f x x x =⇒=-=；所以函数()f x 在2x =-处取得极大值(2)21f -=，在1x =处取得极小值(1)6f =-。

〖例4〗某机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机测量了20人，得到如下数据（于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”，请根据上表数据完成下面的2×2列联表。

（2）根据（1）中的2×2列联表，在犯错误的概率不超过01.0的前提下，能否认为脚的大小与身高之间有关系某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求a 的值；(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．21.解：(Ⅰ)因为5x =时11y =，所以101122aa +=⇒=； 2分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量2210(6)3y x x =+--，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-；)6)(4(30)]6)(3(2)6[(10)(2--=--+-='x x x x x x f ；令/()0f x =得4x =函数()f x 在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当4x =时函数()f x 取得最大值(4)42f = 答：当销售价格4x =时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a（Ⅰ）求)(x f 的定义域； （Ⅱ）求)(x f 的单调增区间和减区间； （Ⅲ） 求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立。

（Ⅰ）定义域：0>x 2分 （Ⅱ）解：因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中，所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x-+'=-+=-由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞ 7分（Ⅲ） 证明：1)1(-=a f ，由已知1)1(-≥e f ，11-≥-∴e a ，即e a ≥，由（Ⅰ）知()[1,]f x e 在内单调递增， 要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，只要222(1)11,()f a e f e a e ae e=-≥-⎧⎨=-+≤⎩，解得.a e =。