曲线的凹凸性与拐点
§2.4.3 曲线的凹凸性与拐点
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1
一、曲线的凹凸性与拐点
观察下列两图的特点：
yf(x)
y
B
A
y
yf(x)
A
B
o
x
o
x
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2
１.曲线凹凸性的定义
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
oa
bx
定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切
线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的, (a,b) 为曲线的凹 区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲 线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间.
函数凹凸性
凹凸区间
凹凸区间分界点（拐点）
怎样判断曲线的拐点呢？
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8
前已述及:
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0 凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
所以: 拐点
凹凸性分界点
f (x)单调性分界点
f(x)0的点f或 (x)不存在的
立一 不但 定反 成向
例如 f(x)x4
4
(2) 令 f ( x ) 0 ,得 x 1 0 ,x 2 2 (3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点:
x f"(x) f (x)
(-∞,0) ＋ 凹0 (0,2) 2(2, +∞)
0
－
0
＋
拐点 (０，–５)
凸
拐点 （2，–17）
凹
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11
， 例3 已 ( 1 ,3 知 ) 为 y a 点 3 x b 2 的 x 求 拐 a 和 b 的 点
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5
定理2.12 设函数y = f (x)在区间 (a,b)内的二阶导数 存在
(1)若在(a,b)内 f (x) > 0 ,则曲线 y = f (x) 在区间(a,b)
内是凹的；
(2)若在(a,b)内 f (x)< 0 ,则曲线 y = f (x)在区间(a,b)
内是凸的。
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6
例1 判断曲 y线 x3的凹凸 . 性
(3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干 个小区间，考察每个小区间上f“ (x)的符号；从而判断曲 线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点.
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10
例2 求曲线 f(x)x44x32x5的凹凸区间及拐点． 解 (1) 函数的定义域为 (,)
f(x)4x31x 2 22 f(x ) 1x 2 2 2x 4 1x (2 x 2 )
解 y3x2, y6x, 当x0时，y 0,
曲线 在( ,0]为凸的； 当x0时， y 0,
曲线 在[0, )为凹的；
注意到： 点(0,0)是曲线由凸变凹的分 点.界
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7
定义2.7 连续曲线y = f (x)上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点. 曲 线 yx3 的 拐 点 (0,0是 )
注意：拐点一定在曲线上。
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3
在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸 性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢?
2.曲线凹凸性的判定
y
yf(x) B
A
上图可见：
oa
bx
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0
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4
yf(x)
y
B
A oa
bx
上图可见：
凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
例如 f (x)x3
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9
总，之 曲y线 f(x)的 拐 点f(一 x)0 定 的是 点 或 f(x)不 存 在 ，但的 f(x)点 0的 点 f(x 或 )不 存
的 点 不y 一 f(x)定 的是 拐 点
据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤:
(1)求函数y=f(x)的定义域;
(2)求出f“(x)，找出定义域内使f”(x)=0的点和f“ (x)不存在 的点；
解 因为拐点一定在曲线上，所以
3 a b
y3ax22bx y6ax 2b
从而有 06a2b 即
3 a b 0
(1)式和(2)式联立解得:
a3,b 9 22
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( 1 ) ( 2 )
12
3、小结
精选课件
13
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曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
凹
x
o
x
弦在曲线上方
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1 )
凸
f ( x)
y
f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 x 2 x x 2 2
o
x1 x1 x 2 2
x2 x
o
x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
一、曲线凹凸的定义
对 I 上任意两点x1 , x2， 定义1：若函数 f ( x)在区间 I上连续，
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) （1）如果恒有 f ( 2 ) 2 那么称 f ( x)在 I 上的图形是凸的。
_
（2）如果恒有 那么称
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
f ( x )的极值点. 拐点：
凹
f ( x) 0
凸
f ( x) 0
f ( x )
f ( x )
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
四、计算凹凸区间与拐点的步骤
1）求函数的定义域； 2）求 f ( x)； 3）求出 f ( x) 0的点，和 f ( x) 不存在的点；
曲线的凹凸性与拐点
4
4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
例5 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
y
4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
(2) f (x) 0,则 f (x) 在[a,b] 上的图形是凸的.
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
方法1:
设函数f (x)在x0的邻域内二阶可导 ,且f (x0 ) 0,
(1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点;
(2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
例3 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及
(2) lim f ( x) a 存在,但 lim[ f ( x) ax] 不存在,
x x
x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例1 求 f ( x) 2( x 2)( x 3) 的渐近线. x1
解 D : (,1) (1,).
lim f ( x) , x1
2 2
1
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
4.6 曲线的凹凸性和拐点
4.6 曲线的凹凸性和拐点当前讲授一、什么是曲线的凹与凸及拐点从直观上看，图中左侧的函数曲线称为凹的，右侧的函数曲线称为凸的．思考：函数，，有没有凹凸性？函数是直线，不存在凹与凸，是凹的，在内是凸的，在内是凹的．定义：设函数在区间I内可导，如果是递减的，则称曲线在区间I上是凸的（上凸的）；如果是递增的，则称曲线在区间I上是凹的（下凸的）；曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点．在下面这张图中．曲线在AB段是凸的，在BC段是凹的．凹与凸的分界点B就是拐点．二、曲线的凹凸性与二阶导数的关系定理一：若在内有，则曲线在上是凹的；若在内有，则曲线在上是凸的；两侧二阶导数异号的点是拐点．可简记为：曲线凹（开口向上）曲线凸（开口向下）定理二（拐点的必要条件）：若点是曲线的拐点，且处二阶导数存在，则必有．反之，二阶导数为零的点未必是拐点．例如函数，在内其二阶导数处处为零，但曲线无拐点．此外，二阶导数不存在的点也可能是拐点．例如的二阶导数，在内，曲线是凹的；在内，曲线是凸的，所以原点是拐点，但在处二阶导数不存在．三、求曲线凹凸区间及拐点的步骤拐点隐藏在那些二阶导数为0和二阶导数不存在的点中．判定曲线凹凸性及求拐点的步骤：（1）求定义域（如果题目指定了区间，则此步骤可省略）．（2）求二阶导数为零的点及不存在的点．（3）列表分析．以上述点划分定义域，在各子区间确定的符号，从而确定曲线的凹凸区间，进而确定拐点．注意：拐点是曲线上的点，应表示为的形式．典型例题例4.6.1判定曲线的凹凸性．提示>>解定义域：，，在内，，曲线在内是凹的．例4.6.2讨论曲线的凹凸性，并求出它的拐点．提示>>解定义域：令，得二阶导数为零的点为，．无二阶导数不存在的点．－0 －0 +不对应拐点对应拐点可见：曲线在区间上是凸的，在区间上是凹的．有一个拐点，此拐点的横坐标，纵坐标，即曲线的拐点为．例4.6.3已知的拐点为，且在处有极值．求a、b、c．提示>>解：，∵是函数的极值点，且函数在该点可导，∴必然是驻点，于是有，即 (1)，∵点为拐点，且函数在该点二阶可导，∴在处函数的二阶导数必然为零，于是有，即 (2)又即 (3)联立求解方程（1）（2）（3），即可解得：，，．。
曲线的凹凸性与拐点
曲线上的
七、作业
知识回顾 Knowledge Review
若函数上连续在内具有一二阶导数则1若果在内有2若果在内有拐点三拐点拐点
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
yoxFra bibliotekox
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
那么称 f (x)在 I上的图形是凹的。
二、曲线凹凸的判定
观察：
y
y
o
x
凹：切线的的斜率递增 f (x) 递增，即 f (x) 0
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则
（1）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的.
（2）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
4）判断二阶导数在上述点左右两侧的符号，确定曲 线的凹凸区间和拐点。
五、应用举例
例判断函数 f (x) 2x3 3x2 36x 25的凹凸区间与拐点.
六、小结
1.凹凸的定义：曲线与弦的位置关系 点和弦上点的位置关系 2.凹凸的判定：二阶导数的符号；
经济数学3.3曲线的凹向与拐点
ESC
二. 曲线凹凸与拐点的求法
例5 与拐点. 求曲线 y 2 ( x 4) 的凹凸区间
1 3
， 解 函数的连续区间为（， ） 2 5 1 2 ( x 4) 3 ( x 4) 3 y y 3 9 y 在 (,) 内恒不为零，但 x 4 时， y 不存在． x 在4的左侧邻近时， y 0 ； 在4的右 侧邻近时， y 0 .即 y在 x 4两侧异号，所 以 (4,2)是曲线的拐点. ESC
二. 曲线凹凸与拐点的求法
4） （， 曲线的凹区间是（ ， ，凸区间是 4 ）
练习：
1、求曲线
y (x 1)31 的拐点。
2、 确定曲线
y x x 的凹凸区间与拐点.
3
ESC
内容小结
本节重点讲了： 一. 曲线凹凸与拐点的定义 二.曲线凹凸与拐点的求法 求拐点的一般步骤： ①求函数定义域； ②求函数的二阶导数 f (x) ； ③令 f ( x) 0，解出全部根，并求出所 有二阶导数不存在的点；
二. 曲线凹凸与拐点的求法
例2 (续)
结论: 在区间 (0, b)内,曲线凹; 2 在区间 ( b ,) 内, 曲线凸; 2 曲线的拐点是 ( b , Ae2).
设一消费品的需求 Q 是消费者的收入 x 的函数
Q Ae
b x
(A 0, b 0).
Q
试讨论该需求收入曲线的凹凸区间与拐点.
(3)判定:在各个部分区间内讨论导 数 (x) 的符号:设, b) I 的一个 是 f (a 部分区间,当 (a, b) 时,若(x) 0, x f (2)求二阶导数 (a (1)确定 f (x), 解方程 求其 则曲线在区间, b) 内凹;若 函数的 f (a 根.(x) 0, 其根将 (x) 0, 则曲线在区间, b) 内凸 f 连续区间; 又假设 I, 且有(x ) 0, 若在 x0 f 0 函数连续区间 分成 I 点 的左右邻近(x) 的符号相反, f 0 若干个部分区间; 则曲线上的点, f (x0)) 是曲线的拐 (x0 点; 若在点 的左右邻近(x) 的符 f 0 号相同,则在 处,曲线没有拐点. 0 ESC
曲线的凹凸性与拐点
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则 （1）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的. （2）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1)
f (x) f (x2 )
那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
三、拐点
拐点
凸
f (x) 0
凹
f (x) 0
凸
f (x) 0
f (x)
f (x)
f (x)
拐点：f (x)的极值点.
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
凸
y
f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o x1 x1 x2 2
x2 x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
o x1
x1 x2
曲线的凹凸性、拐点
凹凸性定义：
设y f ( x)在区间I上连续，若： （ ）任意一点的切线总在曲线弧下方，则曲线弧在I上是凹的; 1
（2）任意一点的切线总在 曲线弧上方，则曲线弧 I上是凸的。 在
拐点定义： 曲线凹与凸的分界点( x0 , f ( x0 ))
曲线凹凸性的判别法：
设曲线f ( x)在(a, b)内有二阶导数，则：
解：f ( x)定义域x R
f ' ( x) 3 x 2 - 6 x - 6
令f ' ' ( x) 0,
f ' ' ( x) 6 x - 6
且f (1) -6
得x 1,
列表：
x
f ' ' ( x)
f (x)
(-,1)
1
0
拐点（ ，线f ( x) 3 x的拐点
（ ）求定义域 1
（2）求f ' ' ( x), 找出令f ' ' ( x) 0的点和f ' ' ( x)不存在的点x0
（3）在点x0的左右两侧判断f ' ' ( x)的符号，若异号，则( x0 , f ( x0 )) 为曲线的拐点
例1：求曲线f ( x) x 3 - 3x 2 - 6 x 2的凹凸区间及拐点
解：f ( x)定义域x R
1 -3 f ' ( x) ( x )' x 3
5 1 2 -3 2 1 2 1 f ' ' ( x) (- ) x 9 3 x5 9 x 3 x2 3 3
1 3
2
当x 0时，f ' ' ( x)不存在，且f (0) 0
曲线的凹凸与拐点概述课件
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .