配对求和
数学小论文 配对求和更简便
配对求和更简便同学们，你听过德国著名数学家高斯的故事吗？他从小就聪颖过人，还在他8岁的时候，老师给班上同学出了一道题：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＝？8岁的高斯很快报出了得数：5050。
这个答案完全正确！那么，小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种巧妙的方法——配对求和。
什么是配对求和呢？下面老师向小朋友介绍一下！题目：计算5+7+9+11+13+15=？分析：这道加法算式的加数个数有6个，如果从左往右依次计算，也能正确得出计算结果，但速度比较慢，计算也比较烦。
有没有好方法呢？仔细观察上面加法算式中的几个加数，我们可以采用凑整的思路来计算：5+15=20，9+11=20，7+13=20，正好有3个20，所以结果是60。
（用线将每两个数连起来）5+7+9+11+13+15=（5+15）+（7+13）+（9+11）=20+20+20=20×3=60。
凑整是我们计算问题常用的一种简便思路。
对几个数连加时进行两两凑整，就是一种基本的配对求和方法。
题目：计算12+13+14+15+16+17+18=？分析：这道加法算式的加数有7个，还用上面的凑整思路试试看！12+18=30，13+17=30，14+16=30，还剩15。
这样3个30加15，得105。
（用线将每两个数连起来）12+13+14+15+16+17+18=（12+18）+（13+17）+（14+16）+15=31×4=124。
采用这种配对方法，要弄清加数的个数是不是双数，如果是双数，说明正好可以全部配对；如果是单数，就不能全部配对，留下的正好是中间数。
同学们，现在你明白小高斯是怎样算得快又对的了吗？你也算算看吧！。
配对求和(三年级适合)
配对求和专题简析：被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的结果。
小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2末项=首项＋公差×（项数－1）项数=（末项－首项）÷公差＋1配对求和例题1 你有好办法算一算吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数，我们可以把10个数分成5组：1＋10，2＋9，3＋8，……，每组两个数的和是11，它们的和就有5个11即11×5=55。
01小试牛刀1，计算：1＋2＋3＋4＋ (20)2，你能迅速算出结果吗？1＋2＋3＋4＋ (100)3，想一想，该怎样计算方便？21＋22＋23＋24＋ (50)例题2 你能迅速算出下列算式的结果吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9个数，如果我们还像例1那样两个数组成一组，就有一个数多出来，那怎样做呢？我们可以这样想：9个10是90，90是两组1加到9的和，它的一半是90÷2=45。
当加数个数成单时，我们可以用第一个数与最后一个数相加，乘这组数的个数，再除以2，其实这种方法也适用于加数个数成双的求和。
02小试牛刀用简单方法迅速算出下面的题。
1，1＋2＋3＋4＋ (55)2，1＋2＋3＋4＋ (99)3，56＋57＋58＋ (76)例题3 计算：（1）32＋34＋36＋38＋40＋42（2）203＋207＋211＋215＋219思路导航：（1）32、34、36、38、40、42共6个数相加，后一个数与前一个数相差都是2，我们可以把它们分为3组，每组的和都是74，那么几个数的和就是3个74即74×3=222；（2）203＋207＋211＋215＋219共5个数相加，后一个数与前一个数相差都是4，我们也可以仿照例2的方法进行计算，用第一个数和最后一个数相加203＋219=422，乘上数的个数5，即422×5=2110，再除以2得到2110÷2=1055。
配对求和(课件)-2024-2025学年三年级上册数学人教版
【银牌例题】 计算：19+28+37+46+55+64+73+82+91 =（19+91）×9÷2 = 495
【举一反三2】
计算：40＋41＋42＋…＋61
=（40+61）×（61-40+1）÷2 = 1111
【金牌例题】
计算：101-99＋97-95+…-7＋5-3＋1
＝（101＋97＋93＋…＋5＋1）-（99＋95＋…＋7＋3） ＝（101＋1）×26÷2-（99＋3）×25÷2 ＝ 1326-1275 ＝ 51
9、12、15、18、......、 ，第20项是几？
答6案6
12、15、18、......、306、309，这个数列有几项？ 答10案0
【铜牌例题】 计算：1＋3＋5＋7＋…＋197＋199
=（1+199）×100 ÷2 = 10000
【举一反三1】 计算：2＋4＋6＋8＋…＋98＋100 =（2＋100）×［（100-2）÷2＋1］÷2 = 102×50÷2 = 2550
配对求和
高斯是德国著名的数学家、物理学家和天文学家， 从小就聪明过人。他10岁时，老师给他和班上的同学出 了一道题：“1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？”小高斯很 快报出了得数。并且答案完全正确！这里，高斯用了一 种巧妙的方法——配对求和，即把1和100、2和99、3 和98……依次递推可知最后一项由最中间的两项配成一 对50与51，共有50对数，所以总和为101×50＝5050。 借助这种方法可以推出等差数列的求和公式。
1＋2＋3＋4＋…+97+98＋99＋100 101 50 = 5050
等差数列：一列数字中，后一个数与前一个数的差总 一样时，这一列数字叫等差数列。这个相等的差叫作 它们的公差。
第六讲 配对求和公开课课件教案教学设计
12+13+14+15+..... +？
.第1层：12根 第2层：13根 多11
12+13+14+...+31
第3层：14根
=（12+31）×20÷2 =43×10
...... 第20层： 20+11=31根
总结
1.用配对的方法求和，其实就是变加法为乘法； 2.只要这列数前后相差的数是一样的，不管这列数的个数是 单数个还是双数个，都可以用（首+尾）×个数÷2来算出这 列数的和是多少。一定要记住这个公式哦！
回家作业：
• P87：第1题到第7题
=430（根）
小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前 一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。问：这本小说共有多少页？
30、34、38、42、......、70
一共看了几11天天
每7也那0就天么页是比说比说前明30比一看页第天了多一7多了0天4页4页0多的页，了是，41多00÷+了141==011个10（（4页天天））====15（1105300000×（+÷1页7210）÷）2×11÷2
第六讲 配对求和
计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)×10÷2 =11×5 =55
计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+110
配对求和
配对求和专题简析：被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的结果。
小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2末项=首项＋公差×（项数－1）项数=（末项－首项）÷公差＋1例题1 你有好办法算一算吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数，我们可以把10个数分成5组：1＋10，2＋9，3＋8，……，每组两个数的和是11，它们的和就有5个11即11×5=55。
例题2 你能迅速算出下列算式的结果吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9个数，如果我们还像例1那样两个数组成一组，就有一个数多出来，那怎样做呢？我们可以这样想：9个10是90，90是两组1加到9的和，它的一半是90÷2=45。
当加数个数成单时，我们可以用第一个数与最后一个数相加，乘这组数的个数，再除以2，其实这种方法也适用于加数个数成双的求和。
例题3 计算：（1）32＋34＋36＋38＋40＋42（2）203＋207＋211＋215＋219思路导航：（1）32、34、36、38、40、42共6个数相加，后一个数与前一个数相差都是2，我们可以把它们分为3组，每组的和都是74，那么几个数的和就是3个74即74×3=222；（2）203＋207＋211＋215＋219共5个数相加，后一个数与前一个数相差都是4，我们也可以仿照例2的方法进行计算，用第一个数和最后一个数相加203＋219=422，乘上数的个数5，即422×5=2110，再除以2得到2110÷2=1055。
配对求和
配对求和
大家都听过数学家高斯小时侯算1加到100的故事吧，他能很快地算出答案，就是采用了配对求和的方法，后来被称为高斯定理。
今天就给大家介绍几种配对求和的方法。
一、首位配对法
例1：12+13+14+15+16+17+18+19
首尾两个数依次配对，可得4个31。
解：12+13+14+15+16+17+18+19
=（12+19）+（13+18）+（14+17）+（15+16）
=31×4
=124
二、取整配对法
例2：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
将能得到整十、整百、整千的数配对，这题中可以配对得到10。
解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+10+5
=5×10+5
=55
三、公式法
S=（A1+An）×n÷2这里的A1表示开头第一个数，An 表示最后一个数，n表示数的个数。
例3：2+4+6+8+……+98+100
解：2+4+6+8+……+98+100
=（2+100）×50÷2
=102×50÷2
=2550
配对求和要注意的是：一要弄清一串数中有几个数，可配成几对；二要根据一串数的特点进行合理配对。
练一练：
40+41+42+……+61+62
2+4+6+8+……+98+100。
凑整求和 配对求和 演示文稿1
计算：19+27+21+13
19+27+21+13 =（19+21）+（27+13） = 40+40 = 80
（凑整求和）例1： 计算：38+47 这样想：为了把38凑成40，我 们可以把47分成2和45，然后把 38和2先相加凑成40，再与45相 加。
38+47
=38+2+45
=40+45
=85
第2配对求和（分组求和）
凑整求和
知 识 要 点：凑整求和配对求 和。
重点及难点：灵活地进行凑整、 ＋8＋9＋10 将和为10的两个数一一配对，可配成4对， 另加一个10，一个5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
你还有别的方法配对吗？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋10 ＝10×4＋5＋10 ＝55
计算：9+19+29+39
这样想： 观察算式中的各个加数，容易发现 每个加数的个位数字都是9，我们可以给每 个加数都加上1，使其变成整十数，然后计 算这些整十数的和，最后再减去多加的1。
9+19+29+39 =10+20+30+40-4 =100-4 =96
巧妙计算下面各题
1+3+5+7+9
2+4+6+8 12+27+38+13+25+15
42+39
11+21+31+41
配对求和
配对求和数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。
如果一个数列从第二行起每一项与前一项的差是一个固定数，这样的数列叫做等差数列，这个差叫做这个数列的公差。
用配对的方法求和，其实则是变加法(连加)为乘法。
一般情况下，我们是把数列的首项和末项配位一对，一列数可以配成的对数=数的个数÷2。
计算时，我们可以根据“等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2”这一公式求和。
例1 计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10拓展一计算21+22+23+24+25+26+27+28+29拓展二计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+110例2 有一堆钢管叠在一起，一共有20层。
第一层有10根，第二层有11根，…，下面的每层都比它的上一层多一根。
你知道这一堆钢管共有多少根吗？拓展某小组有10名同学。
放假时，握手告别，每两人都握一次，问一共握多少次手？例3前25个自然数的和是325，即“1+2+3+4+5+…+25=325。
求接下来的25个自然数的和，即26+27+28+29+…+50=? (用两种方法计算)例4 将自然数按下面的形式排列，问第20行最左边的一个数是多少？12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25……拓展一计算1+3+5+7+9+…+49拓展二计算 1+3+5+7+…+25检测与应用1.计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+152.计算 11+12+13+14+15+16+17+18=193.计算 2+4+6+8+12+14+16+18+20+22+24+264.计算 63+65+67+69+71+73+755.计算 100+102+104+106+108+110+112+114+116+118+1206. 计算 21+22+23+24…+48+49+507.算 12+14+16+18…+48+508. 有10个数，第一个数是7，以后每个数都比前一个数大4.这10个数连加，和是多少？9. 一堆圆木共18层，第一层有9根，下面每层都比上一层多一根，这堆圆木共多少根？10.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下…十二点钟敲十二下，每逢半点钟敲一下。
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等差数列
若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中 第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第 二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项 与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项 数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 实质思路：求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2，在这里首项 +末项相当于配对和，项数÷2相当于配对的对数，关键是项数的确定 是难点！ 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项 数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1 有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项
提示 仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这 是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即 可解答。 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=
(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。 引申 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考
虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利 解决。
例题1 小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2 页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？
答：这个数列共有27项 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?
答: 这个数列共有19项 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?
答：这个等差数列共有29项。 例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项 是多少？ 提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以 这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式 即可解答 解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第 100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。 引申 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 答案：这个等差数列的第30项是117。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。 答案: 这个等差数列的第100项是299。 3、 一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 答案：它的末项是49。
=(3+30) × 10÷ 2 =33× 5 =165(根) 答：这个大的等边三角形中一共要放165根火柴棒。 3、用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下 面有多少个小立方体?
例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。 提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用 等差数列的求和公式来求。 解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(19902)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项 数÷2,解出2+4+6+8+…+1990=(2+1990)×995÷2=991020。 引申 1、 计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 解：1+2+3+4+…+53+54+55=(l+55)×55÷2=1540。 2、计算5+10+15+20+⋯ +190+195+200的和。
例【3】 计算：101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110 分析 此题中每个数里都包含了一个100，可以把这10个100分离
出来，转化为例【1】 解 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110 ＝100×10＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10） ＝1000＋11×5 ＝1055
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为: 3+4+5+…+9+10 =(3+10)×8÷2 =13×8÷ 2
=52(根)。 答：这堆钢管一共有52根。
引申 1、一些同样粗细的70根。一共有多少根圆木？
答案：2485根。 2、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按 下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能 放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?
例【4】 计算500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋ 29）
分析 先用配对的方法计算11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋ 27＋29
11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29 ＝（11＋29）＋（13＋27）＋（15＋25）＋（17＋23）＋（19＋21） ＝40×5 ＝200
答: （25+63）×20÷2=880（个） 3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?
答：这个等差数列共有29项。 例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少 根。
提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数 列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。 解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
提示 根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的 页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。要求这 本书共有多少页也就是求出这列数的和。 解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数
=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页） 答：这本书共有1470页。 引申 1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1 个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、 21。首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。所以，文丽在这些 天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个) 答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。 2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2 个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？
是多少。 答案:第12个数是91 2、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个 数。 答案：785是第88个数 3、在等差数列6,13,20,27,…中,从左到右数第几个数是1994?
答案：第285个数是1994。
配对求和
典型例题 例【1】 计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 分析1 在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数一一配
个数，要弄清这个数是几；有时，一串数虽然个数是双数，但为了计
算简便，往往把其中两个或者几个数放在一旁，将其余数配对，使每
对中两数的和恰好是整十或整百数。
以下例题没那么直接，比较灵活，关键是想明白什么道理即可！
特意精心择选，有能力爱思考的小朋友不妨试试！
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些
解 500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29） ＝500－200 ＝300
例【5】 有一垛电线杆叠堆在一起，一共有20层。第1层有12根， 第2层有13根……下面每层比上层多一根（如下图）。这一垛电线杆共 有多少根？
分析 因为这堆电线杆从第2层起，每层比上面一层多一根，共有 20层，所以，这垛电线杆的总数为：
例【2】 计算：11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19 分析 将11与19、12与18、13与17、14与16配成4对，再加15。 解 11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19
＝（11＋19）＋（12＋18）＋（13＋17）＋（14＋16）＋15 ＝30×4＋15 ＝135
解:首项=5,末项=200,公差=5,项数=(2005)÷5+1=40,5+10+15+20+…+190+195+200= (5+200)×40÷2=4100。 3、计算100+99+98+…+61+60的和 答：3280
例题4 计算（1+3+5+…+l99l)-（2+4+6+…+1990） 提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数 列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这 需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解 答。 解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和= (1+1991)×996÷2=992016;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减 数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式=992016991020=996。 引申 1、计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002) 答案: 1002 2、计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99) 答案：50 3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 答案：4 例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中 第几个数。 提示：仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于 3，所以这是一个以2为首项，以公差为3的等差数列，求80是这列数中 第几个数，实际上是求该数列的项数。 解：这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:项数=(末项-首 项)÷公差+1 即(80-2)÷3+1=27,所以80是该数列的第27项。 引申 1、 有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数