分数指数幂
分数指数幂
分数指数幂
分数指数幂是一个数的指数为分数，如2的1/2次幂就是根号2。
分数指数幂是根式的另一种表示形式，即n次根号（a的m次幂）可以写成a的m/n次幂，（其中n是大于1的正整数，m是整数，a大于等于0）。
幂是指数值，如8的1/3次幂=2。
一个数的b分之a次方等于b次根号下这个数的a次方。
根式与分数指数幂的互化：
根号左上角的数当分数指数幂的分母，根号里面各个因式或因数的指数当分数指数幂的分子，注意，各个因式（因数）如果指数不同，要分开写。
即是内做子，外做母，同母可不同子。
有理指数幂的运算和化简：
找同底数幂，调换位置时注意做到不重不漏，接着就是合并同类项，同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，相除的话就是底数不变，指数相减。
同底数幂相加减，能化简的合并化简，不能的按照降幂或升幂排列。
小学数学分数指数幂课件
运算优先级：在数学表达式中，分数指数幂的运算优先级高于乘方运算，低于乘除运算。
03
分数指数幂的运算
分数指数幂的加法运算
分数指数幂的加法运算规则： a^m * a^n = a^(m+n)
分数指数幂在数学建模中的应用
分数指数幂在解 决实际问题中的 应用
分数指数幂在数 学建模中的重要 地位
分数指数幂与其 他数学知识的结 合
分数指数幂在数 学建模中的发展 前景
分数指数幂在解决复杂数学问题中的应用
分数指数幂在代数方程求解中的应用 分数指数幂在几何图形计算中的应用 分数指数幂在概率统计问题中的应用 分数指数幂在微积分问题中的应用
分数指数幂的运算性质
分数指数幂的乘法规则：a^(m/n) * a^(m'/n') = a^(m/n + m'/n') 分数指数幂的除法规则：a^(m/n) / a^(m'/n') = a^(m/n - m'/n') 分数指数幂的幂运算规则：a^(m/n)^k = a^(m/n * k) 分数指数幂与整数指数幂的转换：a^(m/n) = (a^m)^(1/n)
拓展练习题
计算： (2^3)^4 = _______．
计算：a^(3/4) × a^(1/3) = _______．
计算：8^(2/3) × 2^(1/3) = _______．
计算：log₂(16) = _______．
综合练习题
计算(2^(-3))^(-2) 计算(1/2)^(-3) 计算(1/3)^(-2) 计算(2^3)^(-1/2)
分数指数幂的运算法则
分数指数幂的运算法则在数学中，分数指数幂是一个常见的运算类型。
分数指数幂的运算法则是一组规则，它能够帮助我们正确地计算分数指数幂的结果。
以下是关于分数指数幂运算法则的全面解释。
首先，我们来看分数的幂运算。
如果一个数的分数幂如下所示：a^(m/n)其中a是一个实数，m和n是整数，且n不等于零。
可以将分数幂的幂表示为以下形式：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)这意味着我们将a的m次方根号取n次方，或者将a的n次方根号取m次方，得到相同的结果。
这个规则可以用来求解复杂的分数指数幂。
下一步是关于指数的运算法则。
假设有两个实数a和b，并且m和n是整数。
1.基本指数规则a^m×a^n=a^(m+n)a^m/a^n=a^(m-n)(a^m)^n=a^(m×n)这些规则使我们可以将相同底数的指数相加，相减和相乘。
例如，如果有一个表达式a^3×a^4，那么基本指数规则允许我们将它们相乘得到a^(3+4)=a^7。
2.负指数a^(-m)=1/a^m这个规则说明当指数为负整数时，它是相应正整数指数的倒数。
3.零指数a^0=1这说明当指数为0时，它的结果为1。
现在，我们来看看如何结合这些规则使用分数指数幂运算法则。
假设有一个数x，它的分数指数幂形式为：x^(m/n)要计算其结果，我们可以将其表示为以下形式：x^(m/n)=(x^m)^(1/n)然后，我们可以使用基本指数规则对x^m进行求解。
例如，如果有一个表达式：2^(2/3)我们可以将其表示为：(2^2)^(1/3)=4^(1/3)。
现在，我们可以使用零指数规则将其简化：4^(1/3)=1因此，2^(2/3)的结果为1。
简而言之，分数指数幂的运算法则是一组规则，它们使我们能够正确计算分数指数幂的结果。
这些规则包括基本指数规则，负指数规则，零指数规则和分数幂规则。
掌握这些规则可以帮助我们轻松地解决复杂的分数指数幂问题。
分数指数幂证明
为了证明分数指数幂，我们可以利用指数的定义和分数的性质。
假设我们有一个分数a/b，其中 a 和 b 都是整数，并且 b 不等于0。
根据指数的定义，a 的 b 次方可以表示为a^b。
因此，我们可以将分数指数幂表示为(a/b)^c = (a^c) / (b^c)。
现在，我们可以利用分数的性质来简化这个表达式。
假设 c 是一个正整数，那么我们可以将a^c 表示为(a^b)^c = a^(bc)，类似地，b^c 表示为(b^a)^c = b^(ac)。
因此，我们可以将分数指数幂进一步简化为(a/b)^c = a^(bc) / b^(ac)。
通过这个证明，我们可以看到分数指数幂是可以通过指数的定义和分数的性质来计算的。
分数指数幂 知识讲解
要点二、有理数指数幂的运算性质 设为有理数，那么 （1）. （2）. （3）.
【典型例题】 类型一、分数指数幂的运算
1、 把下列方根化为幂的形式：
（1）； （2）； （3）； （4）. 【思路点拨】根据分数指数幂的定义解题. 【答案与解析】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）. 【总结升华】，其中为正整数，.
举一反三：
【变式】(2015.三台期末)根式（ ，为正整数，＞1）用分数指数幂可
表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D；
Hale Waihona Puke 解：∵， ∴.2、 口算： （1）；（2）；（3）；（4）.
【思路点拨】可将分数指数幂表示成方根的形式再求值. 【答案与解析】 解：（1）；
（2）； （3）； （4）. 【总结升华】求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，一个正数的分 数指数幂的值是一个正数.
举一反三：
【变式】口算：（1）；（2）；（3）. 【答案】 解：（1）；
（2）； （3）.
3、(2015.黄石模拟)用计算器计算,结果保留三位小数：
（1）；（2）；（3）. 【答案与解析】
分数指数幂
【学习目标】 1. 掌握分数指数幂，并能利用分数指数幂进行运算.
2. 会用计算器计算分数指数幂. 【要点梳理】 要点一、分数指数幂
把指数的取值扩大到分数，我们规定 ， ， 其中为正整数，. 上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数. 整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. （1）当与互素时，如果为奇数，那么分数指数幂中的底数可为负数.
指数(分数指数幂)
a = a a > 0, m, n ∈ N , 且n > 1
n m *Βιβλιοθήκη m n()
３、正数的负分数指数幂的意义是： 正数的负分数指数幂的意义是：
a
− m n
=
1 a
m n
(a > 0 , m , n ∈ N
*
,且 n > 1
)
４、０的正分数指数幂等于０，０的负分数指数幂 的正分数指数幂等于０ 没有意义,为什么 没有意义 为什么? 为什么
性质： 性质：(整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用） 数幂也同样适用）
( a > 0, r , s ∈ Q ) a a =a r s rs ( a > 0, r , s ∈ Q ) (a ) = a r r s (ab) = a a (a > 0, b > 0, r ∈ Q )
r s
r+s
温故而知新
1.根式的运算性质： 1.根式的运算性质： 根式的运算性质
1)( a ) =
n n
a
a, n为奇数 2) a = a ，n为偶数
n n
温故而知新
2．整数指数幂的概念 ．
n n个 n个a
a = a ⋅4⋅ a4 a(n ∈ N *) 1a 2L 3
零的零次幂没有意义
a = 1( a ≠ 0)
n
5
a a
10
= a = a (a > 0)
2
10 5
3
12
=a =a
4
2 3
12 3
(a > 0)
1 2 4 5 5 4
3
a = a (a > 0 ); b = b (b > 0 ); c = c (c > 0 );
高中数学知识点精讲精析 分数指数幂
3.2.2 分数指数幂1.分数指数幂：①一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数n ，存在唯一的正实数b ，使得，我们把b 叫作a 的次幂，记作；②一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数m.n ，存在唯一的正实数b ，使得，我们把b 叫作a 的次幂，记作；此即正分数指数幂.③有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即④正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定：.⑤0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 说明：我们把正整数指数幂扩充到有理数指数幂时，应限制底a>0.正分数指数幂3.负分数指数幂4. （1）正数的正分数指数幂的定义：（2）负分数指数幂的意义：我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 5. 有理数指数幂的运算性质（1）（2）（3）[例1] 求值：（1） .a b n=n 1n1a b =mn a b=n m n ma b =0)m na a =>m,0a (a1anm nm >=-)1n ,N n >∈+nm nm a,a -)1,,,0(>∈>=+n N n m a a a nm nm 且)1,,,0(1>∈>=+-n N n m a a anm nm且()a a a m n N n m nm n =>∈>01，，，且*()a a a a m n N n m nm nmn-==>∈>1101，，，且*()a a a a r s Qr s r s ·，，=>∈+0()()a a a r s Qr srs =>∈0，，()()ab a b a b r Q rr r =>>∈00，，=+--+--414245.0081)21()4(5.7])43[(（2） .（3）.（4） .解:（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式[例2] 已知，则 .解: ∴∴ ∴∴ 原式[例3] 求值解：设设∴ ∴[例4] 试将下列数字由大到小排序=--+-⋅------10223)2(22)31(3)21(=⋅----3438583213124434181)27()16()3(z y x y x z y x =+-⋅-+---+--------111122222222)()(b a ab b b a a b a b a b a b a 3316151=+-+=20743521141278-=⋅-=++--=zz y x y x z y x 4814811465216113121=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---1)1()1(1)(222244224224+-⋅-+-+-+=b a b a b a b a b a b a 1)(11))(1(222222442222++-++-+-=b a b a b a b a b a b a 1112222=++=b a b a 32121=+-xx =++++--32222323x x x x 32121=+-xx 921=++-x x 71=+-x x 4722=+-x x 18)1)((121212323=-++=+---x x x x xx 52347218=++=3313251325-++B A =-=+3313251325B A x +=)(3333B A AB B A x +++=1033=+B A 352253-=-=AB x x 9103-=0)10)(1(2=++-x x x 1=x（1） （2）（3）解：（1）（2）（3）[例5]. 把根式表示成分数幂的形式.解析：原式＝令解：原式＝ 点评：两种解法风格不同，思考角度也不同，解法2更漂亮.[例6]. 化简下列各式：（1） （2）解析:（1）原式＝（2）原式＝＝－＝－2点评:解题时要从总体上把握代数式的结构特点，比如对于分式，应该想到对分子分母分解因式，然后约分.515251)56(,)56(,)52(---x x x x --∈5,5,5.0)0,1(331,,3)0,1(a a a a-∈↑==x x f y )56()(52510051)56()56()56(1)52()52(--->>==>xx x 515.05>>>-3133a a a>>x x x x 1615815214747212321)()(xxx x x x x x x xx x x ==⋅==⋅=⋅1615161814121161814121x xx x x x ==⋅⋅⋅+++))((21211x x x x x -++--323222323222-----------++yxy x yxy x 2323321321)()(x xx x-=---3232323323232332332)()()()(--3---------++yxy x yxy x ])()[()()(23232322322323232232--------++-+-=y yx x y yx x 32322--y x 32)(-xy。
分数幂的计算公式
分数幂的计算公式
分子为幂次，分母为根次。
a^(n/m)
a的n次幂开m次方
例如(12/7)的0.4次幂
先将0.4换成2/3原式就是将12/7先平方再开3次方,分子、分母分开做相应的平方开3次方最后再做除法.
再比如2的3/5次幂，就先算2的3次幂，再开5次方
分数指数幂是正分数指数幂和负分数指数幂的统称。
分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式。
负数的分数指数幂并不能用根式来计算，而要用到其它算法，是高中代数的重点。
am/n = ( am) 开n 次方，（a>0,m、n ∈Z且n>1）
证：
令( am) 开n 次方= b
两边取n次方，有
am = bn
am/n= am(1/n) = ( bn)(1/n) = b = am开n 次方
即am/n = ( am) 开n 次方
规定：正数的正分数指数幂的意义是——a的n分之m次方=n√a的m次方（a>0,m、n属于正整数，n>1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质
(1)ar×as=a(r+s) (a>0,r,s∈Q)
(2) (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)
(3) (ab)r=ar×br (a>0,b>0,r∈Q)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1、2课时
【学习题目】 分数指数幂 【学习目标】
（1） 复习整数指数幂的知识； （2）了解n 次根式的概念； （3） 理解分数指数幂的定义；
（4）掌握根式与分数指数幂之间的转化；
（5）会利用计算器求根式和分数指数幂的值，培养计算工具使用技能.
【教学重点】分数指数幂的定义； 【教学难点】根式和分数指数幂的互化 【教具】多媒体课件、板书 【教学进程】
一、创设问题情境----引入新知
【课前导学】
问题一：1、 如果29x =，则x = ；x 叫做9的 ；
2、如果23x =，则x = ；x 叫做3的 ；
3、如果38x =，则x = ；x 叫做8的 ；
4、如果38x =-，则x = ；x 叫做-8的 ．
解 决 如果2x a =，那么x =a 的平方根（二次方根）a 的算术
平方根；如果3x a =，那么x =a 的立方根（三次方根）． 二、师生互动----探究新知： 问题二：
1、n 次方根的概念？ （一般地，如果(n x a n n =∈+
N 且＞1），那么x 叫做a 的n 次方根） 说明
（1）当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，分别表示为a
的n 次算数根；零的n 次方根是零；负数的n 次方根没有意义．
例如，81的4次方根有两个,它们分别是3和−3,其中3叫做 81的4次算术根，3=．
（2）当n 为奇数时，实数a 的n
例如，32-的5次方根仅有一个是−2 ， 2-． 2、n 次根式的概念？
1n n ∈>+
N 且)的式子叫做a 的n 次根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
3、 读出下列各根式，并计算出结果？
（1 （2 （3） （4． 4、 填空：
（1）25的3次方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ； （2）12的4次算术根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ；
（3）-7的5次方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ； （4）8的平方根可以表示为 ，其中根指数为 ，被开方数为 ． 5、计算：
32= ；23-= ；
= ；
4
23⎛⎫ ⎪⎝⎭= ；2
15-⎛⎫
⎪⎝⎭
= ． 6、整数指数幂，当*n ∈N 时，n
a = ；并且规定当0a ≠时，0a = ； n a -= ． 探究：将整数指数幂的概念进行推广：1
2
4= ． *动脑思考 探索新知 概念
规定：m n
a
=其中m n n +∈N 、且＞1．当n 为奇数时，a ∈R ；当n 为偶数时，0a …．
当m
n
a 有意义，且0a ≠，m n n +
∈N 、且＞1时，（1）m
n
a
-
=
（2）0的正分数指数幂等于0；(3)0的负分数指数幂无意义.
这样就将整数指数幂推广到有理数指数幂． 三、师生协作------实践新知 问题三：
1、 将下列各分数指数幂写成根式的形式：
（1）4
7
a ； （2）3
5
a ； （3）32
a
-
．
分析 要把握好形式互化过程中字母的位置对应关系，按照规定，先正确找出公式中的m
与n ，再进行形式的转化．
解 （1）7n =，4
m =，故4
7
a = （2）5n =，3
m =，故3
5
a =
（3）2n =，3m =
，故32
a
-
=
．
2、 将下列各根式写成分数指数幂的形式：
（1
（2
（3
．
分析 要把握好形式互化过程中字母位置的对应关系，按照规定逆向进行形式的转化． 解 （1）3n =，2m =
23
x ； （2）3n =，4m =
43
a ；
（3）5n =，3m =
35
a
-
=．
说明：将根式写成分数指数幂的形式或将分数指数幂写成根式的形式时，要注意规定中的m 、n 的对应位置关系，分数指数的分母为根式的根指数，分子为根式中被开方数的指数． 四、技能训练
1．将下列各根式写成分数指数幂的形式：
；
；
2．将下列各分数指数幂写成根式的形式： (1)3
5
4
-； （2）3
2
3； (3) 25(8)
-
-； (4)34
1.2．
3、用分数指数幂的形式表示下列各式：
2(1)a
3(2)a
式中a ＞0)
五、课堂小结，板书设计
六、布置作业
课本p71 第1、2题；。