分数指数幂(1)_韦余玲
2第二课时4.1.1(2)分数指数幂教学设计教案
课题 4.1.1.（2）分数指数幂课型新授第几课时2教材分析本节内容是在前面n次根式的基础上讨论和研究。
分数上的指数幂的学习则在n次根式的学习的的基础上进行的拓展和延伸，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解根式这一基本概念，另一方面它又为接下来实数指数幂的运算法则的学习作必要的准备。
学情分析1、现阶段的学生的运算能力较差。
2、学生在新知识的探究问题的能力稍有欠缺，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。
课时教学目标1.理解分数指数幂的概念．2.会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3.培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．教学重点与难点教学重点：分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质教学难点：根式、分数指数幂进行互化．教学方法与手段问题解决教学法板书设计4.1.1.（2）分数指数幂1．整数指数幂的概念．a n ＝a ×a ×a ×…×a (n 个a 连乘)；a 0＝1(a ≠0)；a －n ＝1a n (a ≠0，n ∈N +)．例1：一、根式的性质(1)(n a )n ＝a ．例2：(2)当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝{a （a ≥0）－a （a ＜0）.小结：二、分数指数幂a 1n ＝n a (a ＞0)；a mn ＝n a m ＝(n a )m (a ＞0，m ，n ∈N +，且mn 为既约分数)．a －m n ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N +，且mn 为既约分数)．作业设计教材P74，练习4.1.1；1、2、3题教学反思本节课的是为让学生突破所学的根式，学会将一般的根式通过一定的方式方法转化为常用的分数指数幂的形式，从而能够达到用辩证的思维去看待不同的问题的目的，最终将有理指数幂推广到实数指数幂的形式。
分数指数幂教案
分数指数幂一、 教学目标1、 知识与技能目标（1） 掌握分数指数幂的含义；（2） 掌握分数指数幂与根式之间的互化； （3） 掌握分数指数幂的运算性质. 2、 过程与方法目标通过引导学生观察、比较、归纳得到分数指数幂的含义，并提高学生观察问题、解决问题的能力.3、 情感态度与价值观培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透“转化”的数学思想；以及对“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂”这一知识体系的不断扩充和完善的过程的学习，增强学生对数学本质的认识.二、 教学重难点1、 重点：分数指数幂的含义理解及其运算性质；2、 难点：分数指数幂与根式之间的互化.三、 教学方法：启发式教学法 四、 教学过程1、 复习引入(1) n 次方根一般地，如果*(,1)n x a n N n =∈>，那么x 叫做a 的n 次方根.练习：①9的平方根为 ； ②16的四次方根为 ；③8的立方根为 ； ④—32的五次方根为 .(2)n 次根式*,1)n N n ∈>的式子叫做a 的n 次根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.其中na =；当n a =；当n ||a =.练习：①4= ；3= ；5= ；= = = .2、 新课内容22==，102522=1052=；53==，155333=1533=；3a ==，1234a a =124a =.（0a >）通过计算并观察能得到什么结论？m na =其中0a >且*,1n N n ∈>.(1) 引出正分数指数幂的含义：规定：m na=*,,1n m N n ∈>，①当n 为奇数时，a R ∈，② 当n 为偶数时，a ≥0.练习：47a = ；35(3)-= ；832= ；344= ；问：正数a 的负分数指数幂该怎么处理呢？即m na -=？.回忆：初中学过的负整数指数幂1(0)mm aa a-=≠. 类似的，正数a 的的负分数指数幂的含义就可以得到解释了. （2）引出负分数指数幂的含义 规定：0m naa -=≠）. 练习：32a-= ；122-= ；23(3)--= ； 23(3)--= ；（3）知识巩固例1：将下列各根式写成分数指数幂的形式分析：要把握好形式互化过程中字母的位置关系，按照公式，先正确找出公式的m 和n ,再逆向进行形式的转化.解：①3,2n m ==23x =；②3,4n m ==43a =； ③5,3n m ==35a -=；④5,7n m ==753-=.练习1：66P 1题，2题3、小结（1）理解分数指数幂的含义（2）熟练掌握分数指数幂与根式之间的互化五、 作业布置：71P 1题，2题六、 教学反思我认为本节课直接将知识呈现于学生，他们可能会更易接受，但失去了探索知识的过程，且不能启发学生对问题的思考，而由特殊到一般要分几种情况，同学们易混乱。
高一数学分数指数幂、分数指数人教版
高一数学分数指数幂、分数指数人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：指数二. 本周重、难点： 1. 重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质。
2. 难点：根式的概念和分数指数幂的概念。
【典型例题】[例1] 求值：（1）32)278(-（2）246347625-+-++ 解：（1）49)23()32()32(])32[()278(22)32(332332=====--⨯--（2）原式222)22()32()32(-+-++=223232-+-++=4=[例2] 化简：（1）33a a a（2）21323231212132)4()6()2(-÷-⋅ba b a b a（3）33323323134)21(248a ab aab b b a a ⋅-÷++- 解：（1）原式1813219132194213134213131)()(])([])([a a a a a a a a a ==⋅=⋅=⋅⋅=（2）原式31312131213231313121213221)6(2)2()6)(2(++-+-⨯⨯-⨯=÷-=b a b a b a b a67656b a -=（3）原式3131323131323134])(21[248a abab a b b a a ⋅-÷+--=313131313131313131313132313132312)2(224)8(a ba ab a a a b a aab a b b a a ⋅-⋅-⋅=⋅-⋅++-=a = [例3]（1）已知122+=na，求nnnn a a a a --++33的值。
（2）若)0(212121>=+-a x a a ，求xx x x x x 424222----+-的值。
解：（1）原式n n nn n n n n a a aa a a a a 22221)1)((----+-=++-+= ∵ 122+=na得12121122-=+==-n n aa∴ 原式12212112-=-+-+=（2）由212121-+=a a x 即aa x 1+= 得21++=aa x 222)1()1()21)(21()4(4aa a a a a a a x x x x -⋅+=-+++=-=- 2)1(aa -= ∴ 原式⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=--+-++=-)10()1(111122a a a a aa a a a a a a [例4]（1）已知：51=+-aa ，求22-+a a ，2121-+a a ，2121--aa 。
响水中学高中数学第二章第九课时分数指数幂学案苏教版必修
江苏省响水中学高中数学 第二章 第九课时 分数指数幂（一）学案苏教版必修1一、课程学习目标1.理解n 次方根及根式的概念.2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握根式与分数指数幂的互化.3.掌握有理数指数幂的运算性质.二、知识体系梳理问题1:(1)按照牛顿的思路,将下列式子写成实数指数的形式: = ,= ,= . (2)类比平方根与立方根,n 次方根如何定义? 一般地,如果x n =a ,那么x 叫作a 的 ,其中n>1,且n ∈N *.当n 是奇数时,正数的n 次方根是 ,负数的n 次方根是 ,这时,a 的n 次方根用符号 表示;当n 为偶数时,正数的n 次方根有 ,这两个数互为 ,可用符号 表示,负数 偶次方根.0的任何次方根都是 .式子叫作根式,这里n 叫作 ,a 叫作 .根据n 次方根的意义,可以得到:① .②当n 是奇数时, ;当n 是偶数时, .问题2:分数指数幂的意义是什么?(1)正数的正分数指数幂的意义是= (a>0, m , n ∈N *,且n>1).(2)正数的负分数指数幂的意义是= (a>0, m , n ∈N *,且n>1).(3)0的正分数指数幂等于 , 0的负分数指数幂 .问题3:指数式的运算性质有哪些?(1) a r a s = (a>0,r ,s ∈R);(2)= (a>0,r ,s ∈R);(3)(ab )r = (a>0,b>0,r ∈R).问题4:有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂适用吗?有理数指数幂的运算性质 于无理数指数幂.三、基础学习交流1.化简下列各式.（1）2(3.14)π-； （2）33(1)(1)a a +<- ；（3）44(1)(1)a a +<-2.用分数指数幂的形式表示·为 .3.计算:322531032(2)0.527----+= .10x y 的值.4.若10x=3,10y=4,计算2四、重难点探究探究一利用根式的性质化简求值化简下列各式:(1)(x<π,n∈N*);(2)(a≤);探究二根式与分数指数幂的互化用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0):(1)·; (2);(3)·;(4)()2·.五、思维拓展应用应用一将下列根式化成分数指数幂的形式:(1)(a>0); (2);(3)((b>0).应用二1.计算:(1)(·)(3·)÷(-3·);(2)(12)2×3-17×85×()15.2.化简21133513322()()a a a a----a为正数).应用三（1）20.520371037 (2)0.1(2)3; 92748π--++-+（2）2110 323(3)(0.002)10(52)(23)8----+--+-.六、基础智能检测1.若x<5,则的值是.2.化简[的结果为.3.计算2××= .4.化简:(×(÷.。
高中数学分数指数幂教案(二)新课标人教版必修1(B)
分数指数幂 ( 二 )三维目标一、知识与技术1.理解分数指数幂的含义，认识有理数指数幂的意义.2.掌握有理指数幂的运算性质，灵巧地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转变.二、过程与方法1.教课时不单要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思想迁徙能力的培育.2.经过指数幂观点及其运算性质的拓展，指引学生仔细领会数学知识发展的逻辑合理性、谨慎性.3.经过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培育学生能辩证地剖析问题、认识问题 .三、感情态度与价值观1.经过分数指数幂观点的学习，使学生认清基本观点的前因后果，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，领会知识之间的有机联系，感觉数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教课过程中，经过教师与学生、学生与学生之间的相互沟通，加深理解分数指数幂的意义.3.经过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不停扩大、不停完美的过程，使学生认可科学是在不停的察看、实验、研究和完美中行进的.教课重点1.分数指数幂的含义的理解.2.根式与分数指数幂的互化.3.有理指数幂的运算性质的掌握.教课难点1.分数指数幂观点的理解.2.有理指数幂的运算和化简.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教课过程一、回首旧知，研究规律，引入新课师：上节课学习了n 次方根的相关知识，请同学们依据相关知识迅速达成以下练习.（多媒体显示以下练习，生口答）① 532=________ ；②481 =________；③210=________ ；④ 3 312=________.生：① 2②3③25④34.师：注意察看最后化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？（组织学生沟通，实时捕获与以下结论相关的信息并板书）1012210=25=22，3 312=34=33.师：你对上边的总结是什么呢?生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式能够写成分数指数幂的形式.师：当根式的被开方式的指数不可以被根指数整除时，能否也可将根式写成分数指数幂的形式？（生思虑片晌，师持续论述）师：这个问题我们的前辈早已解决了，人们在不停研究中发现，这么做不不过能够的，而且还会给计算带来很大方便 .于是就成立了分数指数幂的观点.这就是我们本课所要研究的内容.二、解说新课（一）分数指数幂的意义师： 3 a 2 ， b ， 4 c 5 等经过类比能够写成什么形式？说了然什么问题?215生： a 3 ， b 2 ， c 4 .当根式的被开方式的指数不可以被根指数整除时，也能够写成分数指数幂的形式 .师：经过上边的例子你能给出一般性的结论吗 ?（生在师的指导下，得出一般性的结论） （师板书正分数指数幂的意义） m规定：正数的正分数指数幂的意义是a n = n a m （ a ＞ 0， m 、 n ∈ N * ，且 n ＞ 1） .师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还可以说出来吗？ 生：负整数指数幂的意义为a －n= 1（ a ≠ 0，n ∈ N * ） .na师：负分数指数幂的意义如何规定呢？你可否依据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢？（组织学生议论沟通，得出以下结论）正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿 .m11规定： an==（ a ＞0， m 、 n ∈ N * ，且 n ＞1） .mamann我们规定： 0 的正分数指数幂等于 0； 0 的负分数指数幂没存心义 .师：仔细的同学可能已经发现了，我们这里议论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0 这个规定的，为何要作这个规定呢？假如去掉这个规定会产生如何的场面？合作研究：在规定分数指数幂的意义时，为何底数一定是正数？（组织学生议论，经过详细例子说明规定底数a ＞ 0 的合理性）12若无此条件会惹起杂乱，比如，（－ 1） 3 和（－ 1） 6 应该拥有相同的意义，但由分数指数幂的意义可12得出不一样的结果： （－1） 3=31=11 6 = 6 ( 1) 2= 61=1.这就说明分数指数幂在底数小于 0时无－；（－） 意义 .2方法指引：在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在例子3a 2 =a 3 （ a ＞ 0）中，若无 a2＞ 0 这个条件， 3 a 2 =|a| 3 ；同时，负数开奇次方根是存心义的，因此当奇数次根式要化成分数指数幂时，3先要把负号移到根号外面去，而后再按规定化成分数指数幂，比如，5( 2)3 =－5 23 =－25.知识拓展：负分数指数幂在存心义的状况下总表示正数，而不是负数，负号不过出此刻指数上 .（二）有理数指数幂的运算法例师：规定分数指数幂的意义以后， 指数幂的观点就从整数指数推行到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依旧能够进行推行，请回首一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）关于随意的有理数 r 、 s ，均有下边的运算性质：① a r a s =a r+s （a ＞ 0， r 、 s ∈Q ）；②（ a r ）s =a rs （ a ＞ 0，r 、 s ∈ Q ）；③（ ab ） r =a r b r（ a ＞0， b ＞ 0，r 、 s ∈ Q ） . （三）例题解说21；（ 13【例 1】求值：83 ；252）－5；（16） 4 .281（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，重申严格依据解题步骤书写）222解：83 =（23） 3 =23×3 =22=4；112 ( 1 )1 ；225 2=（52） 2=5=5－1=5（ 1） － 5=（2－1 ）－5=25=32；234 ( 3 )2 ）－3=27.（16） 4=（ 2）4=（ 81 33 8【例 2】 用分数指数幂的形式表示以下各式（此中 a ＞ 0）：a 3·a ； a 2· 3 a 2 ； 3 a .（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤）11 7解： a 3· a =a 3· a 2 =a32=a 2 ；22 28a 2· 3 a 2 =a 2· a 3 =a3=a 3 ；114123a =（ a · a 3 ） 2 =（ a 3 ） 2 =a 3 .方法指引：利用分数指数幂进行根式运算时，其次序是先把根式化为分数指数幂，再依据幂的运算性质进行计算 .关于计算的结果，不强求一致用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不可以同时含有根号和分数指数，也不可以既有分母又含有负指数.【例 3】 计算以下各式（式中字母都是正数）：211115（ 1）（2a 3 b 2 ）（－ 6a 2 b 3 ）÷（－ 3a 6 b 6 ）；13（ 2）（m 4 n 8 ） 8.2111152 1 11 1 5解：（ 1）（ 2a 3 b 2 ）（－ 6a 2 b 3 ）÷（－ 3a 6 b 6 ） =［2×（－ 6）÷（－ 3）］ a 3 2 6b 236=4ab 0=4a ； 1313m 2（ 2）（m 4n 8） 8=（ m 4） 8（ n8－.） 8=m 2n3=n 3【例 4】 计算以下各式：（1）（ 3 25 － 125）÷ 4 25；a 2（ 2）（ a ＞0） .a3a 22 3 1 2 1 3 1 2 1 3 11解：（ 1）（ 3 25 － 125 ）÷ 4 25=（5 3 － 5 2 ）÷52=5 3 ÷ 5 2 － 5 2 ÷ 5 2 =5 3 2 － 5 2 2 =5 6 －5=65－ 5；a2a21 25（ 2）26a 5=a2 3 =a 6a 3 a 2 = 12 = .a 2 a 3三、稳固练习课本 P 63 练习： 1， 2， 3.（生达成后，同桌之间相互沟通解答过程）134 a 3 3121 解： 1.a2 = a ；a 4 = ；a5=；a 3 =.5 a3 3 a 22322.（ 1） 3 x 2 =x 3 ；（2） 4 (ab) 3 =（ a+b ） 4 ；（ 3） 3 ( m n) 2 =（ m －n ） 3 ；4（ 4） (m n)4=（ m － n ） 2 =（ m － n ） 2；（ 5） p 6q 516 1 5 15=（ p 6q 5） 2 =p 2 q2=|p|3q 2 ；（ 6）m33 1 5=m 2 =m 2 .m336）3= 216 ；3.（ 1）（36） 2 =［（6）2］2 =（4977 343（2）21 1 1 1 111 1 13×3× 612=2×32×（ 2 ） 3×（22×3） 6=2 33×3236 =2× 3=6；31 1 31 1 33（ 3） a 2 a 4 a 8 =a 2 4 8 =a 8 （a ＞ 0）；1 121 1 1( 2)4 .（ 4） 2x 3（ 1 x 3 － 2x 3） =2 × 1× x3 3－2× 2× x 33=x 0－4x －1=1 －22x四、讲堂小结师：本节课你有哪些收获 ?能和你的同桌相互沟通一下你们各自的收获吗？请把你们的沟经过程作简单记录 .（生沟通，师投影显示以下知识重点）1.分数指数幂的意义m规定：正数的正分数指数幂的意义是a n = n a m （ a ＞ 0， m 、 n ∈ N * ，且 n ＞ 1） .m11正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a n==（a ＞ 0， m 、mna m ann ∈ N * ，且 n ＞ 1） .我们规定： 0 的正分数指数幂等于 0； 0 的负分数指数幂没存心义 .2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义此后，指数的观点就从整数指数推行到有理数，并把整数指数幂的运算性质推行到有理指数幂的运算性质.3.有理数指数幂的运算法例①a r a s=a r+s（a＞ 0， r、 s∈Q ）；②（ a r）s=a rs（ a＞ 0，r、 s∈ Q）；③（ ab）r=a r b r（ a＞0， b＞ 0，r 、 s∈ Q） .五、部署作业板书设计指数与指数幂的运算（2）1.分数指数幂的意义0 的正分数指数幂等于0； 0 的负分数指数幂没存心义2.有理数指数幂的运算法例3.例题解说与学生训练4.讲堂小结5.部署作业。
沪教版数学七年级下册12.4《分数指数幂》教学设计
沪教版数学七年级下册12.4《分数指数幂》教学设计一. 教材分析《分数指数幂》是沪教版数学七年级下册第12.4节的内容，主要介绍了分数指数幂的定义、性质和运算方法。
这一节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行学习的，是指数幂知识的重要组成部分，也是进一步学习对数等知识的基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但对于分数指数幂这一概念可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
同时，学生可能对于指数幂的运算规则还不够熟悉，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.理解分数指数幂的概念和性质。
2.掌握分数指数幂的运算方法。
3.能够运用分数指数幂解决实际问题。
四. 教学重难点1.分数指数幂的概念和性质。
2.分数指数幂的运算方法。
3.运用分数指数幂解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析和练习，使学生理解和掌握分数指数幂的定义和运算方法；通过小组合作学习，培养学生的团队合作能力和交流沟通能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.小组合作学习的任务单。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾实数、有理数、无理数等相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用PPT呈现分数指数幂的定义、性质和运算方法，通过实例和动画演示，使学生直观地理解和掌握。
3.操练（10分钟）学生独立完成相关的练习题，教师巡回指导，及时发现和纠正学生的错误。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结分数指数幂的运算规律，教师点评并总结。
5.拓展（10分钟）学生运用分数指数幂解决实际问题，如计算化学反应的速率常数等，教师引导学生思考和探索。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，巩固所学知识。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，要求学生独立完成，巩固所学知识。
高中数学第二章基本初等函数I2.1.1.2指数幂及运算课件新人教版必修1
3.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂 的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中， 一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算 性质准确求解.
1.68215－14的值是(
3
5
A.5
B.3
) 3
C.25
25 D. 9
解析 68215－14＝354－14＝35－1＝53.
3.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数) 是一个确定的_实__数___.有理数指数幂的运算性 质同样适用于无理数指数幂.
即时自测
1.234化成根式形式为( )
A.3 24 B.4 23
C.4 32 D.2 43
解析 结合正分数指数幂的运算性质可知 234＝4 23.
答案 B
m、n∈N*，且 n＞1)；
1
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝__a_m_n (a＞0，m、
n∈N*，且 n＞1)； (3)0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂__没__有__意__义__.
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_a_r_＋_s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝_a_r_s _ (a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr (a>0，b>0，r∈Q). 温馨提示：分数指数幂 amn不能理解为mn 个 a 相乘；任何有意 义的根式都能化为分数指数幂的形式.
B 中，6 y2＝y26＝(－y)13(y<0)，B 不正确.
C 中，x－34＝1x34＝ 4 1x3(x>0)正确. D 中，x－13＝1x13＝ 3 1x≠－3 x(x≠0)，不正确. 答案 (1)D (2)C
对数(1)_韦余玲
3.2.1对数（1）教学背景：1．面向学生：高中2．学科：数学教材分析:"对数与对数运算"作为高一新教材的内容,被安排在第一册第二章"基本初等函数"的第二节,共分三个课时完成,对数概念为第一课时.对数概念对于高一的学生来讲是一个全新的概念.此前,学生已学习了指数及指数函数,明白了指数运算是已知底数和指数求幂值,而对数则是已知底数和幂值求指数,二者是互逆的关系.对数概念的引入,是研究学习后续知识对数函数与性质的必备基础知识．学习本节课，要体现本节内容的基础性、工具性、实用性．教学目标：1．理解对数的概念；2．能够进行对数式与指数式的互化；3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化，并求一些特殊的对数式的值；教学难点：对数概念的引入与理解．教学过程：一、情境创设假设2005年我国的国民生产总值为a亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年，国民生产总值是2005年的2倍？根据题目列出方程：______________________．提问：此方程的特征是什么？ 已知底数和幂，求指数！情境问题：已知底数和指数求幂，通常用乘方运算；而已知指数和幂，则通常用开方运算或分数指数幂运算，已知底数和幂，如何求指数呢？二、数学建构1．对数的定义．一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ，即b ＝log a N ．其中，a 叫作对数的底数，N 叫做对数的真数．2．对数的性质：（1）真数N ＞0，零和负数没有对数；（2）log a 1＝0 (a ＞0，a ≠1)；（3） log a a ＝1(a ＞0，a ≠1)；（4）a log a N ＝N (a ＞0，a ≠1)．3．两个重要对数：（1）常用对数(commonlogarithm)：以10为底的对数lg N ．（2）自然对数(naturallogarithm)：以无理数 71828.2=e 为底的对数ln N ．三、数学应用例1 将下列指数式改写成对数式．（1）24＝16； （2）31273-=；（ 3）205a =； （4）()10.452b=． 例2 求下列各式的值．（1）log 264；（2）log 832． 基础练习：log 10100＝ ；log 255＝ ； log 212＝ ； log 144＝ ；log 33＝ ；log a a ＝ ； log 31＝ ；log a 1＝ ． 例3 将下列对数式改写成指数式（1）log 5125＝3； （2）log3＝－2； （3）lg a ＝－1．699．例4 已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m +n 的值．练习：1．（1）lg(lg10)＝ ； （2）lg(ln e )＝ ；（3）log 6[log 4(log 381)]＝ ；（4）log 3129x -＝1，则x ＝________． 2．把logz 改写成指数式是 ．3．求222log 5+的值．4．设81,(,1](),(1,)2log x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，则满足1()4f x =的x 值为_______． 5．设x ＝log 23，求332222x x x x ----．四、小结 1．对数的定义：b ＝log a N ⇔a b ＝N ．2．对数的运算：用指数运算进行对数运算．3．对数恒等式．4．对数的意义：对数表示一种运算，也表示一种结果．五、作业课本P 74习题1，2．教学反思：在方法方面，由于学生已经有了学习指数的经验，所以我采用的是引导发现法和设疑诱导法，以提出问题为主线，对学生进行启发，边分析，边设疑，让学生在不知不觉中走入我设计好的情境中去，引导学生自主发现和解决问题。
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6
a
数学应用：
巩固练习：
（1）
3
(8) 3 4 (3 2) 4 3 (2 3 ) 3
4
9 3
（2）
(4 ) 4 3 (3 ) 3
7 2
情境问题：
问题2:初中整数指数幂的概念及其性质有哪些？ 如下内容,你能补充完整吗?
n *
n
次方
探讨1：27的3次方根表示为
3
27 ，－32的5次方根表示为 5 32 ，
3 6
a 6 的3次方根表示为 a 。 x2 探讨2： 4，则x＝ 2 ，那么4的平方根是 2 。 x4 16 ，则x＝ 2 ，那么16的4次方根是 2 。
思考⑴：对于探讨2中问题，你有何发现？
a.a. (n N* ) ＝ ⑴整数指数幂的概念： aa
n个a
an ，
a
0
＝
1
(a≠0) ， a ＝
m n
n
am n (m, nZ) ； ⑵运算性质： a ＝ a
(a m ) n ＝பைடு நூலகம்a
⑶注意：①
mn
m
1 an
(a 0, n N*． )
(m, nZ) ； ab) n ＝ anbn (n Z) ． (
3.有理指数幂的运算性质
数学运用：
例2 求值 ：
2 3
— 1 2
8
； 100
1 ； ( ) 3 ； 4
16 ( ) 4 81
3
数学应用：
练习： 下列说法：(1)正数的n次方根是正数；(2)负数的n次方根是负数； (3)0的n次方根是0；(4) 正确命题的序号)．
n 是无理数．其中正确的是 a
n
a a
＝
a
mn
a n ；② ( ) ＝ b
an bn
．
数学建构：
（二）分数指数幂
观察下面的变形：
10 2
(25 ) 2 210 210 25 2 ,
3
a12 3 (a 4 )3 a 4 a (a 0);
12 3
3
a2
3
(a )3 a (a 0);
2 3
当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次实数方根是两个，它们互为相反数，正数 a 的正 n 次实数方根用符号 a表示，负的 n 次实数方根用符号－ a表示， 它们可以合并写成的形式 n ± a (a＞0)． n n
0的n次实数方根等于0
数学建构：
3．根式及其性质．
口答：
3
a 5 5 3 ____,3 (5) 3 ____,3 a 3 ____, -5
3.1.1 分数指数幂（1）
厉庄高级中学
韦余玲
问题情境：
问题1:什么是根式?
⑴ 32 = 9 ，则3是9的 平 方根；
⑵ 5 =－125 ，则－5是－125的 立 方根；
3
⑶
6 4 =1296
，则6是1296 的 ，则
4
是
次方根．
思考：若
xn a
x
a
的
次方根．
数学建构
（一）根式
1．定义：一般地，若 x a(n 1, n N ) ，则x叫做a的 根．n a 叫做 根 式，n叫做根 指数 ，a叫做 被开方数．
2 3
思考：
n
a m _______ ______( 0); a
数学建构：
1．正数的正分数指数幂的意义
m n
a a
n
m
（a 0，m，n N *）
m n
2.规定： （1） a
1 a
m n
（a 0，m，n N *，且n 1 ）；
（2） 0的正分数指数幂等于0；
（3） 0的负分数指数幂无意义。
(写出所有
数学应用：
练习： 对于a＞0，b≠0，m，nZ，以下说法：(1) am·n ＝amn； a m m)n ＝am+n ；(3) am·n ＝ (ab)m+n ；(4) b ＝am·m．其中正确的 (2) (a b b a 是 (写出所有正确命题的序号)．
小结：
乘方
开方
幂
方根
根式
作业：
62页练习1 63页习题3.1(1)1．
思考⑵：16的4次方根表示为 4 16 ，对吗？
总结： 16的4次方根有 2 个，分别是 系是 互为相反数 ． 探讨3：对于探讨1、2所提出的问题，你有何发现？
4
16 和 4 16 ，它们的关
数学建构：
2．n次方根．
一般地，如果一个实数x的满足xn=a(n＞0，nN*)，那么称x为a的n次实数方根． 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根 是一个负数．这时，a的n次实数方根只有一个，记为 n a ．