平面图形的全等变换和利用变换设计图案
九年级数学第二课堂活动《利用图形变换设计图案》活动方案
九年级数学组第二课堂活动方案
一．活动内容：利用图形变换设计精美图案
二．活动目的
学生在初中数学“空间与图形”部分，已陆续学习到平移、轴对称、与旋转三种全等的图形变换，这三种变换有一个重要的基本结论：任何图形经过运动后，其形状，大小都保持不变，即对应边、对应角都相等，变化的只是图形的位置，三种变换在生活中是一种广泛的存在的现象，也是现实世界运动变换的一种基本形式。
为了让学生体会数学与现实生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，
开阔学生的视野，培养学生主动学数学、自觉用数学、真诚爱数学、积极探索数
学的良好习惯与动手能力、创新意识，我们九年级组将举办主题为“利用图形变
换设计精美图案”的学科活动。
三．活动对象：我校九年级全体学生
四．活动形式：（以班为单位进行）
1.搜集一些用全等变换组合设计的图案，加以欣赏并分析其中用到的图形变换。
2.利用图形的变换及组合自己设计图案。
3.在班级活动基础上进行年级评选，对优秀作品进行评奖并展出。
五．活动时间
2017年12月12日—12月13日数学课时间
六．活动地点：各班教室
七．活动要求：
1. 全员参与，各班数学老师认真做好辅导收集工作。
2.学生自备圆规、直尺等作图工具，需要彩色笔的自带。
8k纸由学生自己提供。
初中数学图与图形的变换精讲
图形与图形的变换1．图形的初步认识①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系．④掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．⑤了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．⑥了解两点之间，线段最短；了解经过两点有一条直线，并且只有一条直线．⑦了解垂线、垂线段等概念，垂线段最短的性质，点到直线距离的意义；了解过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；了解线段垂直平分线及其性质．⑨理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．⑩理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．2．轴对称①认识轴对称．②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．④掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质．⑥掌握利用轴对称进行图案的设计．3．平移和旋转①认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；掌握选用平移进行图案设计．②认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．③了解平行四边形、圆是中心对称图形．④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说理的习惯与能力．【课时分布】图形与图形的变换在第一轮复习时大约需要3个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内容1基本图形的认识1轴对称与轴对称图形1平移与旋转1图形与图形的变换单元测试与评析【知识回顾】1．知识脉络图形的初步认识立体图形平面图形视图平面展开图点和线角相交线平行线图形之间的变换关系轴对称平移旋转旋转对称中心对称2．基础知识(1)两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图)．(3)平行线间的距离处处相等．(4)平移是由移动的方向和距离决定的．(5)平移的特征：①对应线段平行(或共线)且相等；连结对应的线段平行(或共线)且相等；②对应角分别相等；③平移后的图形与原图形全等．(6)图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定．(7)旋转的特征：①对应点与旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度；③旋转后的图形与原图形全等．3、能力要求例1选择、填空题(1)如图6-1，小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是·····································Ａ．B．C ．D ．【分析】图形的旋转与展开．【解】D ．(2)如图6-2，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为（）A ．4πcmB ．3πcmC ．2πcmD ．πcm【分析】图形的旋转与圆弧问题结合．【解】C ．(3)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45 ，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……，则第10次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是（）A ．图①B ．图②C ．图③D ．图④【分析】图形的旋转与操作．【解】B ．(4)如图6-3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，ABCD 图6-3C’图①图②图③图④图6-2ABCDO图6-1(5)按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD的长为__________．【分析】图形的折叠与勾股定理应用．【解】35．(5)如图6-4，在68⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A 的半径为2个单位长度，⊙B 的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切，应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度．【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合【解】4或6(6)如图6-5所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D E 、分别是边AB 、AC 上，将ABC△沿着DE 折叠压平，A 与'A 重合，若=70A ︒∠，则1+2∠∠=（）A.140︒B.130︒C.110︒D.70︒【分析】图形折叠、三角形内角和与平角的结合【解】A(7)如图6-6-1和6-6-2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）图6-4图6-5图图【分析】图形的平移、动点问题及函数图像【解】B【说明】由于概念、性质比较多，复习时可以通过基本练习题的训练，使学生熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能．重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生思维的训练，重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程，提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力。
人教版九年级数学上册2课题学习图案设计课件
23.3 课题学习 图案设计
人教版 九年级上册
学学习习目目标标
1．利用图形的平移, 轴对称和旋转变换设计组合图案. 2. 掌握简单图案的设计步骤和设计技能； 3．视察图案,能将基本图形从组合图案中辨析出来, 并 说出基本图形的变换过程．
情境导入
生活中我们会看到很多由一些几何图形组成的优美图案， 你知道它们是怎样形成的吗？
径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放
这个图案共用两种卡片202X张，则这个图案中阴影部分图形
的面积和为（
）
A．4040 B．4044–π
C．4044 D．4044＋π
①
当堂检测
4．阅读理解，并解答问题：视察发现：如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷 砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴．
视察已知的图案， 你能经过平移、旋 转、对称变换图形， 得到美丽图案吗？
新知探究
找基本图形
图案的设计通常是利用
的变换来进行的，每种基本变
换都有一个共同特征，那就是变换前后图形的形状、大小不产
生变化，只有位置产生了变化，它们都属于全等变换.图案的
设计较多的情势都是经过组合变化而成的.
新知探究 图案的设计形成过程： 应用基本图形的平移、轴对称、旋转变换进行图案设计. 设计步骤： (1)明确设计目的与要求 (2)确定基本图案和整体图案； (3)分析整体图案是通过“基本图案”怎样变换(平移、 轴对称或旋转)形成的.
知识回顾
平移 是指在同一平一内，将一个图形整体按照某个直线一向 移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称 平移。
知识回顾 如果一个图形沿一条直线折叠后，能够和另一个图形 互相重合，这两个图形叫轴对称。
(鲁教版)义务教育课程标准实验教科书《数学》目录
（鲁教版）义务教育课程标准实验教科书《数学》目录六年级上册第一章丰富的图形世界生活中的立体图形展开与折叠截一个几何体从不同方向看5生活中的平面图形第二章有理数及其运算1.有理数2.数轴3.绝对值4.有理数的加法5.有理数的减法6.有理数的加减混合运算7.有理数的乘法8.有理数的除法9.有理数的乘方有理数的混合运算11.用计算器进行有理数的计算第三章代数式用字母表示数2.代数式合并同类项4.去括号5.探索规律第四章平面图形及其位置关系1.线段、射线、直线2.比较线段的长短3.角的表示与度量4.角的比较5.平行6.垂直第五章一元一次方程1.等式与方程2.解一元一次方程3.一元一次方程的应用第六章生活中的数据1.科学记数法2.扇形统计图3.统计图的选择六年级下册第七章整式的运算1．整式2．整式的加减3．同底数幂的乘法4．幂的乘方与积的乘方5．同底数幂的除法6．整式的乘法7．平方差公式8．完全平方公式9．整式的除法第八章平行线与相交线1．余角和补角2．探索直线平行的条件3．平行线的特征4．用尺规作线段和角第九章可能性1．确定事件与不确定事件2．不确定事件的可能性3．游戏中的可能性第十章数据的表示1．科学记数法2．近似数和有效数字3．数据的形象表示第十一章三角形1．认识三角形2．图形的全等3．利用全等图形设计图案4．全等三角形5．探索三角形全等的条件6．作三角形7．利用三角形全等测距离8．探索直角三角形全等的条件第十二章变量之间的关系1．用表格表示变量之间的关系2．用关系式表示变量之间的关系3．用图象表示变量之间的关系七年级上册第一章生活中的轴对称1.轴对称现象2.简单的轴对称图形3.探索轴对称的性质4.利用轴对称设计图案5.镶边与剪纸第二章勾股定理1.探索勾股定理2.勾股数3.勾股定理的应用举例第三章实数1.无理数2.平方根3.立方根4.方根的估算5.用计算器开方6.实数第四章概率的初步认识1.可能性的大小2.认识概率3.简单的概率计算第五章平面直角坐标系1.确定位置2.平面直角坐标系3.平面直角坐标系中的图形第六章一次函数1.函数2.一次函数3.一次函数图象4.一次函数图象的应用第七章二元一次方程组1.二元一次方程组2.解二元一次方程组3.二元一次方程组的应用4.二元一次方程组与一次函数七年级下册第八章图形的平移与旋转1.平面图形的平移2.简单的平移作图3.平面图形的旋转4.简单的旋转作图5.平面图形的全等变换6.利用变换设计图案第九章四边形性质探索1.平行四边形的性质2.平行四边形的判定3.菱形4.矩形、正方形5.梯形第十章数据的代表1.平均数2.中位数3.众数4.利用计算器求平均数第十一章一元一次不等式和一元一1.不等关系2.不等式的基本性质3.不等式的解集4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组第十二章分解因式1.分解因式2.提公因法3.运用公式法八年级上册第一章分式1.分式2.分式的乘除法3.分式的加减法4.分式方程第二章相似图形1.线段的比2.比例线段3.形状相同的图形4.相似三角形5.探索三角形相似的条件6.相似三角形的性质7.测量旗杆的高度8.相似多边形9.位似图形第三章证明（一）1.定义与命题2.证明的必要性3.公理与定理4.平行线的判定定理5.平行线的性质定理6.三角形内角和定理第四章数据的收集与处理1.普查和抽样调查2.数据的收集3.数据的整理4.频数和频率5.数据的波动第五章二次根式1.二次根式2.二次根式的性质3.二次根式的加减法4.二次根式的乘除法八年级下册第六章证明（二）1.全等三角形2.等腰三角形3.直角三角形4.线段的垂直平分线5.角平分线第七章一元二次方程1.一元二次方程2.用配方法解一元二次方程3.用公式法解一元二次方程4.用分解因式法解一元二次方程5.一元二次方程的应用第八章证明（三）1.平行四边形2.特殊平行四边形3.等腰梯形4.中位线定理第九章反比例函数1.反比例函数2.反比例函数的图象与性质3.反比例函数的应用第十章频率与概率1.用频率估计概率2.用列举法计算概率3.生活中的概率问题九年级上册第一章解直角三角形1.锐角三角函数2. 30°，45°，60°角的三角函数3.用计算器求锐角的三角函数值4.解直角三角形5.解直角三角形的应用6.测量物体的高度第二章二次函数1.对函数的再认识2.二次函数3.二次函数y=ax2的图象和性质4.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性5.用三种方式表示二次函数6.确定二次函数的表达式二次函数与一元二次方程8.二次函数的应用第三章圆1.圆2.圆的对称性3.圆周角4.确定圆的条件5.直线和圆的位置关系6.圆和圆的位置关系7.弧长及扇形的面积8.圆锥的侧面积第四章统计与概率1.从统计图表中获取信息2.概率与平均收益3.概率与公平性九年级下册第五章视图1.视点、视线与盲区2.灯光与影子3.太阳光与影子第六章数学应用举例1.应用数学模型解决问题2.解决开放型的实际问题3.数学在经济生活中的应用4.应用统计知识作出评价第七章解决问题的策略1.利用特殊情形探索规律2.分情况讨论3.将未知转化为已知4.数与形相结合5.利用多种策略解决问题。
16.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案课件 2021—2022学年冀教版八年级数学上册
猫头鹰
小鸟飞翔
鱼翔浅底
小猪小猪胖乎乎
蝴蝶纷飞
三毛他哥二毛
开心雪人
母女俩
渔翁
小雨伞
旭日东升
放飞心情
随堂演练
1.在下列四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图
案是 ( D )
A
B
C
D
2.如图所示的四个图案中，不能由基本图形旋转得到的是( D )
3.如图，若要使这个图案与自身重合，则它至少绕它的中心旋转 ( A) A．45° B．90° C．135° D．180°
第十六章 轴对称和中心对称
16.5 利用图形的平移、旋转和 轴对称设计图案
知识回顾
我们学过哪几种图形变换？它们的性质分别是什么？ ①平移：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；连接 对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等；对应线段平行且 相等，对应角相等．
②旋转：在平面内，一个图形旋转后得到的图形与原来图形之 间有：图形的大小与形状不变；对应点到旋转中心的距离相等； 每对对应点与旋转中心的连线所成的角都是相等的角，它们都 等于旋转角.
例2 请以给定的图形○○△△＝(两个圆,两个三角形,两条平行线)为构件,尽
可能多地构思有意义的一些中心图形,并写上一两句贴切,诙谐的解说词.
如下图就是符合要求的图形,你能构思其它图形吗?比一比,看谁的想象力
丰富!
小丑踩球
漂亮的小领结
温馨提示： 进行图案设计时，
首先要整体构思，确 定“基本图形”，再 制定出“基本图形” 变换的具体操作程 序．
(1)
(2)
(3)
解： 如答图所示.
课堂小结
图案的设计
分析图案设计
分清基本图形 知道形成过程
23-1第2课时旋转作图22-23学年人教版九年级数学上册
O1
α
α O2
两个旋转中,旋转角不变，_旋__转__中___心__改变了，产生了_不___同___的旋 转效果.
新知讲解
我们可以利用旋转中心不变，改变旋转角； 旋转角不变，改变旋转中心设计许多美丽的图案.
课堂练习
1.下列运动属于旋转的是（ C ） A.传送带运送医疗器械 B.电梯升降 C.荡秋千 D.雪地滑雪
4.把Rt△AOB绕点逆时针旋转得到Rt△A'OB'，则旋转角是 90° .
B'
O
A' B
A
课堂练习
5.如图，四边形ABCD绕点O旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B、C、D对 应的点的位置，以及旋转后的四边形．
解：（1）连结OA、OB、OC、OD、OE； （2）分别以OB、OC、OD为一边作∠BOF， ∠COG， ∠DOH，使 ∠BOF= ∠COG= ∠DOH= ∠AOE； （3）分别在射线OF、OG、OH上，截取OF=OB，OG=OC，OH=OD； （4）连结EF、FG、GH、HE，四边形EFGH就是四边形ABCD绕点O旋转后的图形．
A' D'
D B'
A
C异同
①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
②不同：
图形变换 平移 旋转
运动方向 直线
顺时针或逆时针
运动量的衡量 移动一定距离 转动一定的角度
方法归纳
旋转作图的基本步骤： （1）明确旋转三要素： 旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）找出关键点; （3）作出关键点的对应点; （4）作出新图形; （5）写出结论.
课堂练习
2.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ C ）
平移构造全等
平移构造全等摘要：一、平移的定义和性质1.平移的定义2.平移的性质二、平移构造全等的方法1.利用平移不改变图形形状和大小2.利用平移形成的全等三角形对应边相等3.利用平移形成的全等三角形对应角相等三、平移在几何问题中的应用1.证明两个图形全等2.解决角度和边长问题四、总结与展望1.总结平移构造全等的要点2.展望平移在几何问题中的更多应用正文：一、平移的定义和性质平移是平面内一个图形沿着给定方向和距离的移动。
平移后，图形的位置改变，但形状和大小保持不变。
平移具有以下性质：1.对应点、线段和角分别平移到相同的位置；2.对应边平行且相等；3.对应角相等；4.平移前后图形全等。
二、平移构造全等的方法1.利用平移不改变图形形状和大小：平移可以将一个图形变换成另一个图形，通过平移可以证明两个图形全等。
2.利用平移形成的全等三角形对应边相等：在解决几何问题时，可以先通过平移将问题图形变换成已知条件中的全等三角形，从而得到对应边相等的结论。
3.利用平移形成的全等三角形对应角相等：在解决几何问题时，可以先通过平移将问题图形变换成已知条件中的全等三角形，从而得到对应角相等的结论。
三、平移在几何问题中的应用1.证明两个图形全等：通过平移，可以将问题图形变换成已知条件中的全等三角形或其他全等图形，从而证明两个图形全等。
2.解决角度和边长问题：通过平移，可以得到对应边相等或对应角相等的结论，从而解决角度和边长问题。
四、总结与展望平移是一种重要的几何变换，可以用来构造全等三角形，解决几何问题。
通过熟练掌握平移的定义和性质，以及平移构造全等的方法，可以有效解决各种几何问题。
中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
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轴对称
由一个“十字”通过连续七次平移，前后的图形共同组 成的.
b
a
通过两次轴对称所形成的.
你能将图中右边部分通过平移
或旋转，得到左边部分吗？
观察左图,可以看做是由什 么“基本图案”经过怎样的 变化形成的?(不考虑颜色)
乙
例 怎样将甲图案通过变换与乙图案 重合？ 甲
可以先将甲图案绕 图上的A点旋转， 使得图案被“扶 直”， 然后，再 沿AB方向将所得图
乙
B
A 甲案平移ຫໍສະໝຸດ 点B的位置，使得甲图案与 乙图案重合. 还可以用什么方法 把甲图案变成乙图 案？
B
A
1
2
3
怎样将图1变成图2和图3？
左图是由三个正三角形
拼成的，它可以看做由
其中一个三角形经过怎 样的变化而得到？
一、 图形变换的几种方式
轴对称、平移、旋转及其组合
二、图形之间的变换关系 基本图案 变换方式
三、用运动的观点解释图形的变化过程
5 平面图形的全等变换
轴对称变换
平移变换
旋转变换
回顾
思考
1、什么是轴对称变换、平移变换、旋转变换 ？ 2、轴对称变换、平移变换、旋转变换的性质？
如图由四部分组成，每部分 都包括两个小“十字”.
红色部分能经过适当的旋转
得到其他三部分吗？能经过 平移吗？能经过轴对称吗？ 还有其他的方式吗？ 旋 转 先平移后旋转 平 移 轴对称后旋转