变换中的抛物线导学案
抛物线及其标准方程导学案
3.3.1抛物线及其标准方程【学习目标】1、知识目标：能背诵抛物线的定义、标准方程、焦点、准线的几何意义；能根据已知条件写出抛物线的标准方程；记住抛物线标准方程的推导过程并能运用标准方程解决简单数学问题。
2、素养目标：通过抛物线的定义、标准方程的学习，培养学生数学抽象素养，借助标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养。
学习重点：抛物线的定义，抛物线标准方程的推导学习难点：抛物线标准方程的推导【课前预习案】若一个动点到一个定点F和一条定直线l的距离的比值为常数e（定点不在定直线上），(1)当时，这个动点的轨迹是(2)当时，这个动点的轨迹是那么，当时，这个动点的轨迹是什么呢？请同学们阅读130思考之上内容小王同学阅读之后总结：平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线，你认为准确么？小张同学有个疑问：定点要是在定直线上，到定点和定直线距离相等的点存在么，若存在轨迹是什么？合作探究1：问题1：设定点和定直线的距离为p，如何建立适当的平面直角坐标系，你有哪些建系的方法？请你画在下面，比较一下哪种建系方法比较好？问题2：用你选好的建系方式推导抛物线的方程。
问题3：你还有其它的建系方式吗？请各小组分别尝试。
完成下面表格。
图形标准方程焦点坐标准线方程22y px=,02p⎛⎫⎪⎝⎭2px=-问题:4：根据上面表格，你能总结抛物线方程的结构特点吗？如何确定抛物线的开口方向和焦点位置？（1）已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是(0,2)F -，求它的标准方程．变式：根据下列条件写出抛物线的标准方程： ⑴焦点坐标是(0,4)；⑵准线方程是14x =-当堂检测1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ）． A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为1(0,)162．抛物线280x y +=的准线方程式是（ ）． A ．2x = B ．2x =- C ．2y = D ．2y =-3．抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）． A.52 B. 5 C. 152D. 104．抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ．5．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ．。
高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案
抛物线及其标准方程导学案【学习要求】1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2．会求简单的抛物线的方程.【学法指导】通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.【知识要点】1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程探究点一抛物线定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.问题1画出的曲线是什么形状？问题2|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？问题3点D在移动过程中，满足什么条件？问题 4在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？例1方程[]22)1()3(2-++yx＝|x－y＋3|表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线跟踪训练1（1）若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是() A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线（2）若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线探究点二抛物线的标准方程问题 1结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？问题2抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？问题3根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.（1）y2＝－6x；（2）3x2＋5y＝0；（3）y＝4x2；（4）y2＝a2x (a≠0).跟踪训练2（1）抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为()A．⎝⎛⎭⎫716，0B．⎝⎛⎭⎫－74，0C．⎝⎛⎭⎫－716，0D．⎝⎛⎭⎫0，－74（2）抛物线y＝－14x2的准线方程是()A．x＝116B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2例3分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）准线方程为2y＋4＝0；（2）过点(3，－4)；（3）焦点在直线x＋3y＋15＝0上.跟踪训练3（1）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝y B．y2＝x或x2＝8yC．x2＝－8y或y2＝x D．x2＝y或y2＝－8x（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程.探究点三 抛物线定义的应用例4 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. （1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．0（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92【当堂检测】1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是 ( )A ．a ＋p2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A ．2B ．3C ．115D ．37164．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________【课堂小结】1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).【拓展提高】1．若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x =2．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，那么AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x4．抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为【课后作业】一、基础过关1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0)2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．44．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线和一条射线C ．椭圆D ．抛物线 5．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.6．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________.7．求经过A (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标. 二、能力提升8．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( )A ．12B ．1C ．32D ．29．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.11．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程.12．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？三、探究与拓展13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.抛物线的简单几何性质（一）导学案【学习要求】1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.【知识要点】1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝2直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴，此时直线与抛物线有个公共点.【问题探究】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？问题 2通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？例1若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．⎝⎛⎭⎫14，±24B．⎝⎛⎭⎫18，±24C．⎝⎛⎭⎫14，24D．⎝⎛⎭⎫18，24跟踪训练1抛物线y2＝2px (p>0)上一点M的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________探究点二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.跟踪训练2已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.探究点三直线与抛物线的位置关系问题结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例3已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？跟踪训练3过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程.【当堂检测】1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A ．p 2B ．pC ．2pD ．无法确定2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－12，12B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 ( )A ．(1,2)B ．(0,0)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1,4)4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_______【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.【拓展提高】1．若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．422．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4OA AF •=-，则点A 的坐标为（ ）A ．)22,2(±B ．)2,1(±C ．)2,1(D ．)22,2(3．已知直线l ：y ＝－x ＋1和抛物线C ：x y 42=，设直线与抛物线的交点为B A 、，求AB 的长。
高中数学 3.2.2《抛物线的几何性质》导学案 北师大版选修21
2.4.2《抛物线的几何性质》导学案【学习目标】1.抛物线的性质及其灵活运用；2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用.【导入新课】复习导入1.抛物线的定义；2.抛物线的方程的推导.新授课阶段1.抛物线的几何性质(1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．具体归纳如下表：特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它渐近线;2.抛物线只有对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有顶点、焦点、准线;4.抛物线的离心率是确定的且为1.), 求它的标准例1. 已知抛物线关于x轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, 22方程.解：例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解：课堂小结（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义.（二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.作业见同步练习部分拓展提升1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．1716B ．1516C ．78D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP →=0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ）A ．y 2=8xB ．y 2=－8xC ．y 2=4xD ．y 2=－4x3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分PA → 所成的比为2，则点M的轨迹方程是（ ）A ．y=6x 2―31B ．x=6y 2－31C ．y=3x 2+31 D ．y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=23 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 .5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⋅)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 . 6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程.7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标.8．在直角坐标系中，已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切.⑴ 点A 的轨迹C 的方程；⑵ PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系.21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上.参考答案新授课阶段特征 没有 一条 一个 、一个 、一条 例1.例2解：抛物线的焦点 F(1 , 0),1l y x =-直线的方程为：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ 1212322322 222222x x y y ⎧⎧=+=-⎪⎪⇒⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩或221212AB =(x -x )+(y -y )=8拓展提升1．B 【解析】用抛物线的定义.2．B 【解析】坐标代入.3．B 【解析】用坐标转移法.4．12【解析】有两个顶点关于x 轴对称，进而得到直线的倾斜角是6π和56π. 5．)1(+-n n 【解析】求出数列的通项公式.6．y 2=12x 或y 2=－4x 【解析】设抛物线方程后，用韦达定理及弦长公式. 7．M （52,42）或（52,42-）【解析】数形结合得到当且仅当AB 过焦点时M 到y 轴距离最小．设出此时的直线方程，用弦长公式解得直线AB 的斜率，并得到AB 的坐标.8． 解：(1)设A （x,y ），则22p x 2y )2p x (22+=+-, 化简得：y 2=2px（2）由对称性知，PB 和QB 与曲线C 的位置关系是一致的，由题设，不妨P （p ,2p ） 而1)2p (2p0p k PB =---= ∴直线PB 的方程为y=x+2p ,代入y 2=2px ，消去y 得到关于x 的一元二次方程 x 2+px+4p 2=0,∆=0 ∴直线PB 和QB 均与抛物线相切.（3）由题意设)t ,p 2t (M 21，)t ,p 2t (M 22-，则直线FM 1：)2p x (2p p 2t t y 2--=；直线BM 2：)2px (2p p 2t t y 2++-=联立方程组解得M 点坐标为23t 2p (，)t p 2-， 经检验，)2(2)(2322t pp t p =- ，∴点M 在曲线C 上.。
抛物线导学案(第一课时)
一轮复习抛物线导学案（第一课时）班级 姓名教学目标：1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质2.了解抛物线的简单应用，通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想.教学重点：抛物线的定义、几何图形和标准方程教学难点：双曲线简单几何性质,体会数形结合的思想及双曲线的应用 教学过程一、知识回顾1．抛物线的定义一般地，设F 是平面内的一个定点，l 是不过点F 的一条定直线，则平面上 的点的轨迹称为抛物线．其中定点F 称为抛物线的 ，定直线l 称为抛物线的 ．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)开口方向向右向左向上向下图形顶点 O (0，0)对称轴 x 轴y 轴焦点离心率 e ＝1准线方程 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R焦半径(其中P (x 0，y 0)在抛物线上)|PF |＝ |PF |＝|PF |＝ |PF |＝常用结论1．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为 ，准线方程为x ＝－a4.2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O (0，0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p ，0)；反之，若过点M (2p ，0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB . 二、诊断自测1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦，是抛物线过焦点最短的弦．( )(4)y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，其焦点坐标是,04a ，准线方程是x ＝－a4.( )2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．03．(教材改编)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－24．(易错自纠)过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________．5．(易错自纠)点A 是焦点为F 的抛物线y 2＝2px 上的一点，若|AF |＝4，AF 的中点为M ，则M 点到y 轴的距离为________．三、例题讲解1.点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136y D ．x 2＝12y 或x 2＝－36y2.设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的标准方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x3.[一题多解](2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( )A ．2B ．22C ．3D ．324．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．5．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线的焦点．若B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为__________． 6．已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝________．7.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．。
变换中的抛物线导学稿
二次函数专题复习——变换中的抛物线一、〖回顾旧知〗点的平移、对称、（1）把点P(1,2)向右平移2个单位，得点.（2）把点P(1,2)向上平移3个单位，得点.（3）把点P(1,2)向右平移2个单位再向上平移3个单位，得点. （4）把点P(-1,4) 关于x轴对称的点为；P(-1,4) 关于y轴对称的点为；P(-1,4) 关于原点对称的点为.（5）点P(-1,4)关于直线x=2对称点.（6）点P(-1,4)关于直线y=2对称的点为.（7）点P(-1,4)关于点(0,3)对称的点为.二、〖合作探究〗抛物线的平移、对称、旋转变换1.将抛物线y=2（x+2)²-1向右平移5个单位所得抛物线解析式.2.将抛物线y=2（x+2)²-1关于x轴对称所得抛物线解析；关于y轴对称所得抛物线解析.3.将抛物线y=2（x+2)²-1绕顶点旋转180°所得抛物线解析；绕原点旋转180°所得抛物线解析.三、〖归纳总结〗抛物线在平移过程中什么在变？什么不变?你发现了什么？抛物线在旋转、对称过程中你又发现了什么？四、〖应用训练〗练习1：已知抛物线y=x²-2x+3. 将该抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为.练习2：已知抛物线y=-（x+1）²+4. 将该抛物线关于x轴对称，所得抛物线的解析式为.变式1：将该抛物线关于直线x=2对称，所得抛物线的解析式为.变式2：将该抛物线关于直线y=2对称，所得抛物线的解析式为. 练习3：已知抛物线y=-（x+1）²+4. 将该抛物线绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为.变式1：将该抛物线绕原点旋转180°，所得抛物线的解析式为.变式2：将该抛物线绕与y轴交点旋转180°，所得抛物线的解析式为.练习4：求抛物线y= x²+5x+4关于x轴对称的抛物线解析式.,变式1：关于y轴对称的抛物线解析.变式2：关于原点对称的抛物线解析式.中考链接（2012年陕西中考）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）如图，△OAB是抛物线C1: y=-x²+bx(b>0)的“抛物线三角形”，将抛物线C1绕原点旋转180°，记旋转后的抛物线为C2，A的对应点为C, B的对应点为D，是否存在以A,B,C,D为顶点的矩形？若存在，求出抛物线C2的表达式；若不存在，说明理由．。
高二数学辅导教案：抛物线(导学案)
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥，
x∈R
y≤0，
x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
二、重点题型讲解
探究点一 抛物线的定义及应用
例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．
变式迁移1已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()
抛物线（导学案）辅导教案
学生姓名
性别
年级
高二
学科
数学
授课教师
上课时间
第（）次课
共（）次课
课时：3课时
科组长签名
教学主任签名
教学课题
抛物线（导学案）
教学目标
掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.
教学重点与难点
理解数形结合的思想．
一、知识点讲解
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．
五、课后作业
1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()
A．1B．2C．4D．8
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆 ＋ ＝1的右焦点重合，则p的值为()
A．－2B．2C．－4D．4
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()
A．y2＝－8xB．y2＝8x
C．y2＝－4xD．y2＝4x
A．n＝0B．n＝1
C．n＝2D．n≥3
高中数学《抛物线的简单几何性质》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2抛物线的简单几何性质一、学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断． 【重点难点】1．会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)2．直线与抛物线的位置关系的应用．(难点) 二、学习过程 【问题导思】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？ 【提示】 范围、对称性、顶点、离心率． 【导入新课】标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)图形性质焦点 (p2，0) (－p2，0) (0，p2)(0，－p2)准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R________________对称轴 ____________顶点 ______ 离心率 ______ 开口方向向右 向左向上向下特征：1.2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1. 【典型例题】例1. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的标准方程．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.例3 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【变式拓展】1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4，求该抛物线的方程并指出焦点坐标与准线方程．2.直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．3.求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程．三、总结反思（1）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （2）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（3）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.求抛物线弦长问题的方法：(1)一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋1k2.(2)焦点弦长设AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点．四、随堂检测1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是( )A.2B.4C.8D.12.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( )A.6B.8C.9D.103.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.484.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( )A.错误!未找到引用源。
抛物线导学案
一、知识要点回顾二、课上练习 例1. 已知：抛物线 223212--=x x y ① 求抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标；（点A 在点B 的左侧），与y 轴的交点C 的坐标； ② 确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点D 的坐标；③ 在坐标系中画出图象； ④ 根据图象回答：当x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 当x 取何值时，y 随x 增大而减小？当x 取何值时，0≥y ？ 当x 取何值时，0<y ？ ⑤ 求△ABC 的面积；⑥ 求证：△ABC 是直角三角形。
三、课后练习1．抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为 2．函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；3．二次函数()()42y x x =-+的对称轴是直线4．二次函数562-+-=x x y ，当x 时， 0<y ，且y 随x 的增大而减小．5．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y ，对称轴为直线x ＝2，且经过点P （3，0），则c b a ++的值为6．如图是二次函数21y ax bx c =++和一次函数n mx y +=2的图象，观察图象写出12y y ≥时，x 的取值范围______________． 7．二次函数()()42y x x =-+的（ ） （A ）最小值是1 （B ）最大值是1 （C ）最小值是－9 （D ）最大值是－98．二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ） A 、22 B 、23 C 、32 D 、339．无论m 为任何实数，二次函数y ＝2x ＋（2－m ）x ＋m 的图象总过的点是（ ） A 、（1，3） B 、（1，0） C 、（－1，3） D 、（－1，0）10. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0<a ，0=b ，0<c ，则它的图象一定经过（ ）象限 （A ）三、四 （B ）一、三、四 （C ）一、二、三、四 （D ）二、三、四 11. 二次函数c bx ax y ++=2的图象（局部）如图所示， 则下列四个判断中，错误的是（ ）（A ）0>a ，0<b ，0<c （B ）042>-ac b （C ）0>++c b a （D ）c a b +<四、课上练习 例2. 解答题（1）已知抛物线经过点（1，－1），（2，－4），（0,4），求此抛物线的表达式；（2）已知抛物线的顶点为（3，3）且过点（1，1），求此抛物线的表达式；（3）已知抛物线经过点（1，0），（5，0），（6,－5），求此抛物线的表达式；（4）抛物线与y 轴交于点（0，23-)，和x 轴的一个交点是（－1,0），对称轴是直线1=x ， 求此抛物线的表达式；【练习】 已知：抛物线 342++=x x y ① 用配方法将其化为k h x a y +-=2)(的形式；② 确定抛物线的对称轴和顶点D 的坐标； ③ 回答：当x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 当x 取何值时，y 随x 增大而减小？ ④ 求抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标；（点A 在点B 的左侧），与y 轴的交点C 的坐标； ⑤ 回答：当x 取何值时，0≥y ？当x 取何值时，0<y ？ ⑥ 求△ABD 的面积和∠BAC 的度数。
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变换中的抛物线导学案
一．课前准备：
1．点A（-2，-1）关于x轴的对称点A的坐标是
2. 点A（-2，-1）关于y轴的对称点A的坐标是
3．点A（-2，-1）关于直线x=1的对称点A的坐标是
4. 点A A（-2，-1）关于直线y=-2的对称点A的坐标是
5. 点A（m，n）关于原点的对称点A的坐标是
6. 将抛物线y=2 x2先向平移单位，再向平移单位可得到y=2 (x+4)2 +3
二．合作探究：
（一）抛物线的平移变换
1.若把抛物线y= -x²沿射线y= -x（x ≤0）平移2单位，其函数解析式变为。
（一）抛物线的轴对称变换：
１.抛物线y=2(x+2)2-1关于X轴对称，得到抛物线的解析式是，关于y轴对称的解析式是.
变式:(1) 抛物线y=2x2-2x+4关于X轴对称，得到抛物线的解析式是，关于y轴对称的解析式是.（不化成顶点式，直接写出解析式）
(2) 将抛物线y=2(x+2)2-1关于直线y=-2轴作轴对称，得到抛物线的解析式是，关于直线x=2轴对称的解析式是.
（二）抛物线的旋转变换：
抛物线y=2(x+2)2-1绕着顶点旋转1800
得到抛物线的解析式是
，绕着原点旋转1800
的解析式是 。
三．练习体验：
1.抛物线 可由抛物线y=2x 2
-1 向 平移 个单位得到。
2.将抛物线y=x 2-4x+3 则平移后的抛物线顶点为原点 。
变式：顶点为原点改为经过原点
3.将二次函数y=-x 2+2x+3的图像沿X 轴翻折后，得到抛物线的解析式
是 ，
4.已知二次函数 将图象绕原点旋转180°后得到的函数图象的解
析式为______________.
变式：将图象绕点（0,1）旋转180°后得到的函数图象的解析式为______________.
四．巩固应用：
1.已知抛物线L 1：y=x 2-2x-3
（1）若抛物线L 2与抛物线L 1关于X 轴对称，求抛物线L 2的解析式 （2）若抛物线L 2与抛物线L 1关于y 轴对称，求抛物线L 2的解析式
（3）若抛物线L 2与抛物线L 1关于关于原点对称，求抛物线L 2的解析式 （4）若抛物线L 1绕着顶点旋转1800 ，求旋转后抛物线的解析式。
1)3(22-+=x y 1)3(22-+=x y
2.在平面直角坐标系中,先将抛物线y=x²+x -2关于x 轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换,那么经过两次变换所得的抛物线解析式为 （ ）
A.y=-x²-2x+2
B.y=-x²+x -2
C.y=-x²+x+2
D.y=x²+x+2 3.图中的抛物线是y= x²的图像，把这条抛物线沿射线y= -x （x ≤0）平移2单位 ，其函数解析式变为 ，若把抛物线y= x²+1
的图像沿射线y= 2
1
x-1（x ≥0）平移5单位 ，其函数解析式变为
4.将抛物线y=x 2
向下平移若干个单位，平移后交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C,若△ABC 是等边三角形.
（1）求出平移后的抛物线的解析式.
（2）若将平移后抛物线的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b 与此图象有两个公共点时，求b 的取值范围.
中考链接：
20、（2015年浙江杭州10分）设函数()[()1()]13y x k x k =--+- (k 是常数)
（1）当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论
（3）将函数y 2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y 3的图象，求函数y 3的最小值
.
24. （2015年浙江金华12分）如图，抛物线2y ax c(a 0)=+≠与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C 两点（点C 在x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4. 现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x 轴的另一交点为E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H . （1）求a ，c 的值；
（2）连结OF ，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；
（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P ，是否存在这样的点Q ，使以点P ，Q ，E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.（不用做）。