2019-2020学年高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质(2)导学案新人教A版选修2-1.doc
学案11：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1．通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p＞0)图形性质焦点 ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R________________对称轴 ________________顶点 ________ 离心率e ＝112y 2)，则有：(1)y 1y 2＝ ，x 1x 2＝ ； (2)|AB |＝ ，|AF |＝ ； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有_____个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线 公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有一个公共点． 思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？初试身手1．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是( ) A ．1716B ．78C ．1D ．15162．顶点在原点，对称轴为x 轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±8xD ．y 2＝±16x3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．44．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用例1 (1)等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( ) A ．8p 2 B ．4p 2 C ．2p 2D ．p 2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．规律方法把握三个要点确定抛物线的简单几何性质1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.2.关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦又称为通径长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题例2(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_________________________．(2)已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线'E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．①求抛物线E的方程；②求直线AB的方程．规律方法直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法跟踪训练2．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．类型3 直线与抛物线的位置关系例3(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？规律方法直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px p>0，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.1.若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.2.若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.跟踪训练3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．类型4 抛物线性质的综合应用探究问题1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？例4如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．母题探究1．若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△P AB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．(1)求动点Q的轨迹方程；(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点(3,0)．如何求解？规律方法应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．课堂小结1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＞0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＜0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．课堂检测1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB＝()A．30°B．45°C．60° D．90°3．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值．参考答案新知初探1．y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴y轴(0,0) 12．(1)－p2 p2 4(2) x 1＋x 2＋p x 1＋p23．两 一 没有 平行或重合思考：[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．初试身手1．【答案】D【解析】抛物线方程可化为x 2＝14y ，其准线方程为y ＝－116，点M 到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M 到x 轴的距离是1516．2．【答案】C【解析】顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线方程有两个：y 2＝－2px ，y 2＝2px (p >0)，由顶点到准线的距离为2知p ＝4，故选C ． 3．【答案】B【解析】|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8． 4．【答案】2【解析】F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1． ∴AF ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用 例1 (1)【答案】B【解析】由抛物线的对称性质及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，则B (2p ，－2p )，所以|AB |＝4p ，所以S △ABO ＝12·4p ·2p ＝4p 2，选择B ．(2)解：设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，交点A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23．(*)由对称性，知y 2＝－y 1，代入(*)式，得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4，得x 1＝±1， 所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上， 或点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上， 得3＝2p 或3＝－2p ×(－1)，所以p ＝32．故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x ．跟踪训练1．解：(1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4． ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12．∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y ．故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y ．准线方程为x ＝－1或y ＝18．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题 例2 (1)【答案】y 2＝4x【解析】设抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－2px ＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2p ．又因为P (2,2)为AB 的中点， 所以2p ＝4，所以y 2＝4x ．(2)解：①由于抛物线的焦点为(1,0)， 所以p2＝1，p ＝2，所求抛物线的方程为y 2＝4x ． ②法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1 ①，y 22＝4x 2 ②，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)，又x 1≠x 2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0．法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0， 所以y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点， 所以y 1＋y 2＝2， 所以k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 跟踪训练2．解：由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ， 消去y ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0． 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝p ＋2pk2，所以|AB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝52p ，解得k ＝±2．所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2． 类型3 直线与抛物线的位置关系 例3 (1)【答案】C【解析】直线方程可化为y ＝k (x －1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px (p >0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C ． (2)解：由题意，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0．① ①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1． ②当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．a ．由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点． b ．由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l 与抛物线有两个公共点．c ．由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12．于是当k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l 与抛物线无公共点．综上，当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点．当－1<k <12，且k ≠0时直线l 与抛物线有两个公共点．当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线无公共点．跟踪训练3．解：因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0，①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45．所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2. 综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45．类型4 抛物线性质的综合应用 探究问题1．[提示] 两条直线的斜率互为相反数． 2．[提示] 法一：设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43．∴最小距离为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43．例4 (1)解：由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1．(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1．又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．母题探究1．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知，A (4,4)，B (1，－2)， 则|AB |＝35．设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则 d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4 ＝125|(y 0－1)2－9|．∵－2<y 0<4，∴(y 0－1)2－9<0． ∴d ＝125[9－(y 0－1)2]．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274．故当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，1时，△P AB 的面积取得最大值，最大值为274． 2．(1)解：因为点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，所以点R 是线段FP 的中点，由此及RQ ⊥FP 知，RQ 是线段FP 的垂直平分线．因为|PQ |是点Q 到直线l 的距离，而|PQ |＝|QF |，所以动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x (x >0)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，直线AB ：x ＝my ＋1(m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0．于是，有y M ＝y 1＋y 22＝2m ，x M ＝m ·y M ＋1＝2m 2＋1，即M (2m 2＋1,2m )．同理，N ⎝⎛⎭⎫2m 2＋1，－2m ． 因此，直线MN 的斜率k MN ＝2m ＋2m2m 2＋1－⎝⎛⎭⎫2m 2＋1＝m m 2－1，方程为y －2m ＝mm 2－1(x －2m 2－1)，即mx ＋(1－m 2)y －3m ＝0．显然，不论m 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 过定点(3,0)．课堂检测1．【答案】C【解析】设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，通径为2p ＝8，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x ． 2．【答案】D【解析】由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫a ，a24，则S △AOB ＝12×2a ×a 24＝16，解得a ＝4，所以|AB |＝8，|OA |＝|OB |＝42，所以∠AOB ＝90°．3．【答案】B【解析】当直线垂直于x 轴时满足条件，当直线不垂直于x 轴时，设直线方程为y ＝kx ＋1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线． 4．解：由抛物线y 2＝8x 知，p ＝4．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以x 1＋x 2＝|AB |－p ．由条件知x 1＋x 22＝3，则x 1＋x 2＝6，所以|AB |－p ＝6， 所以|AB |＝10．。
2.4.2抛物线的简单几何性质教学案
2.4.2 抛物线的简单几何性质（4课时）主备教师：周雷凤辅备教师：马能礼一、内容及其解析本次课学的内容是抛物线的一些基本性质，其核心内容是抛物线的离心率及准线，理解它关本节课要键是先让学生理解直观的图形，从中抽象出抛物线的性质。
学生已经学过抛物线线概念和标准形式，本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上的发展。
由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。
是抛物线的核心内容。
教学重点是抛物线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到抛物线性质的准确刻画。
二、目标及其解析1、目标定位（1）了解抛物线的几何性质；（2）会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．2、目标解析（1）是指：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．（2）是指：能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程及轨迹方程等.三、问题诊断分析在本节抛物线性质的教学中，学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥曲线的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。
要解决这一问题，就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。
四、教学支持条件分析在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。
因为使用多媒体辅助教学有利于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。
五、教学设计过程第一、二课时复习：问题1：抛物线的概念？抛物线标准方程有哪几种？他们的形式是怎么样的？（设计意图：让学生先回顾抛物线概念和标准方程，为探究抛物线性质做好准备）自学阅读教材第6869P P -页，完成下列问题： 1． 抛物线的几何性质:互学、导学问题一 抛物线的几何性质有哪些？（设计意图：让学生充分认识抛物线） （师生活动：结合图像，各组研讨，最好教师归纳小结）问题1：类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y 2＝2px (p >0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？问题2：类比抛物线y 2＝2px (p >0)，抛物线y 2＝－2px (p>0)、x 2＝2py (p>0)、x 2＝－2py (p>0)的性质如何呢？问题3：通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？答：求抛物线的标准方程，主要利用待定系数法，要根据已知的几何性质先确定方程的形式，再求参数p .例 1 （教材68P 例3）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程.【方法归纳】(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．变式训练1：若y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则P 的坐标为 ( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24 解：由知， P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24，问题二 抛物线的焦点弦问题（设计意图：让学生了解焦点弦的重要性，体现团结合作的智慧） （师生活动：小组讨论分析、总结答案，教师归纳结论） 问题1：什么是抛物线的焦点弦？过焦点的弦长如何求？解：抛物线y 2＝±2px (p >0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p >0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值.问题2：抛物线的通径是什么？例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；（类似教材73P 习题2.4第5题）(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3， 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.【归纳方法】(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．变式训练2：（教材69P 例4）斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.问题三 探究和抛物线有关的轨迹方程（设计意图：让学生学会简单轨迹方程的求法） 问题1：怎样判断一个动点的轨迹是抛物线？ （师生互动：小组讨论得出结论，教师补充）答：(1)如果动点满足抛物线的定义，则动点的轨迹是抛物线；(2)如果动点的轨迹方程是抛物线的方程形式，则该动点的轨迹是抛物线．例3 已知点A 在平行于y 轴的直线l 上，且l 与x 轴的交点为(4,0)．动点P 满足AP →平行于x 轴，且OA →⊥OP →，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解：设动点P 的坐标为(x ，y )，则由已知得A 点坐标为(4，y )，所以OA →＝(4，y )， OP →＝(x ，y )．因为OA →⊥OP →，所以OA →·OP →＝0，因此4x ＋y 2＝0，即P 的轨迹方程为4x ＋y 2＝0. 轨迹的形状为抛物线． 【方法归纳】求解圆锥曲线的轨迹方程的方法：一是代数法：建立坐标系——设点——找限制条件——代入等量关系——化简整理，简称“建设限代化”；二是几何法：利用曲线的定义、待定系数．但要特别注意不要忽视题目中的隐含条件，防止重、漏解．变式训练3：（教材74P 习题2.4 B 组第1题）从抛物线()220y px p =＞上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线？（()2102y px p =＞） 六、小结1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义． 七、目标检测（检学）教材72P 练习第1、2、3题 八、配餐作业A 组1．抛物线y ＝mx 2 (m <0)的焦点坐标是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14mC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 4D.⎝⎛⎭⎪⎫0，－14m2.(2014·鹤岗高二检测)抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4B.6C.8D.12【解析】选B.抛物线y 2=8x 的准线是x=-2,由条件知P 到y 轴距离为4,所以点P 的横坐标x P =4.根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.3.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(B ) A.2B.2C.4D.2【解析】选B.由抛物线定义知,+2=3,所以p=2,抛物线方程为y 2=4x.因为点M(2,y 0)在此抛物线上,所以=8,于是|OM|==2B组4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.解析由y2＝4x，知p＝2，F(1,0)，由抛物线定义，x A＋p2＝|AF|，∴x A＝2－1＝1，因此AB⊥x轴，F为AB中点，从而|BF|＝|AF|＝2.5.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为 .【解析】由抛物线y2=2px(p>0),得焦点F的坐标为,则FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得,2p×=1,所以p=, 所以B点到准线的距离为+=p=.C组6.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为. 4【解析】据题意知,△PMF为等边三角形时,PF=PM,所以PM垂直抛物线的准线,设P,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,F(1,0),所以由PM=FM,得1+=,解得m2=12,所以等边三角形边长为4,其面积为4.7.（选作）设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,求点A的坐标.【解析】由y2=4x,知F(1,0),因为点A在y2=4x上,所以不妨设A(,y),则=(,y),=(1-,-y).代入·=-4中,得(1-)+y(-y)=-4,化简得y4+12y2-64=0.所以y2=4或y2=-16(舍去),所以y=±2.所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2).九、教后反思第三、四课时（习题课）一、复习提问：其中()00,P x y 为抛物线上任一点. 二、评讲配餐作业4—7题 三、典例分析题型一 抛物线的几何性质例题1（《学乐时空》第41页） 变式训练1 （《学乐时空》第4142页练习1与练习2） 题型二 抛物线的几何性质的应用例题2（《学乐时空》第42页例题1） 变式训练2 （《学乐时空》第41页练习3\4\5） 题型三 抛物线的几何性质焦点弦例题3 （《学乐时空》第44页例题1） 变式训练3（《学乐时空》第44页练习1、2） 题型四 直线与抛物线的位置关系例题4 （《学乐时空》第45页例题2） 变式训练3（《学乐时空》第42页练习3、4、5） 四、课后作业完成1.《学乐时空》第43页的知识激活部分； 2．《学乐时空》第46页的知识激活部分.。
高中数学_2.4.2 抛物线的几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
抛物线的几何性质教学设计1. 教学目标：(1)掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；(2)能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；（3）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。
2. 过程与方法学会用类比的思想分析解决问题。
3. 情态与价值观学生通过和椭圆，双曲线和抛物线之间的简单几何性质类比，了解到事物之间的普遍联系性。
教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课教学方法：学导式，启发式教学过程设计：由抛物线y 2 =2px （p >0）有pyx 22=，又0>p 所以0≥x所以抛物线在y 轴的右侧。
当x 增大时， 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
所以y 的取值范围是R y ∈2．对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3.顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4.离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知标准方程 范围 对称性顶点离心率y 2 = 2px （p >0） x ≥0 y ∈R x 轴(0,0)1y 2 = -2px （p >0） x ≤0 y ∈R x 2 = 2py （p >0） y ≥0 x ∈R y 轴x 2 = -2py （p >0）y ≤ 0 x ∈R由此及彼，本表格由学生独立完成，锻炼学生类比，独立自主的能力y3.三种圆锥曲 线的简单几 何性质比较学习新知识不忘老知识，比较着学习，总结归纳更容易让学生掌握本课内容。
4.经典例题例１：已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ()22,2-M ，求它的标准方程。
解:因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点()22,2-M 。
所以设方程为：y 2 = 2px （p >0），又因为点M 在抛物线上：()22222⨯=-p ，2=p 。
《抛物线的几何性质》 导学案
《抛物线的几何性质》导学案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质。
2、能够运用抛物线的几何性质解决相关的问题。
3、通过对抛物线几何性质的探究，提高观察、分析和解决问题的能力。
二、学习重点1、抛物线的几何性质，如开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线等。
2、抛物线几何性质的应用。
三、学习难点1、抛物线几何性质的推导和理解。
2、运用抛物线的几何性质解决综合问题。
四、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
2、抛物线的标准方程：焦点在 x 轴正半轴上：＼（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
焦点在 x 轴负半轴上：＼（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
焦点在 y 轴正半轴上：＼（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
焦点在 y 轴负半轴上：＼（x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
五、新课讲解（一）抛物线的范围以抛物线\（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼）为例，因为\（y^2 ＼geq 0\），所以\（2px ＼geq 0\），又因为\（p ＞ 0\），所以\（x ＼geq 0\），即抛物线在\（x\）轴的右侧。
同理，对于抛物线\（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），＼（x ＼leq 0\），抛物线在\（x\）轴的左侧。
对于抛物线\（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），＼（y ＼geq 0\），抛物线在\（y\）轴的上方。
抛物线的简单几何性质导学案
2.3.2抛物线的简单几何性质导学案一、学习目标1．能叙述抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等。
学习过程：在直角坐标系中，顶点在原点，轴与坐标轴重合的共有四种情况，因此抛物线的方程相应也有四种形式，它们都叫抛物线的标准方程。
二、新知探究：以22(0)y px p =>为例来研究（类比椭圆和双曲线用两种方法进行探究） 1、对称性：方法一：观察抛物线：22(0)y px p =>关于____对称，有______条对称轴。
方法二：通过方程证明：2范围：方法一：观察抛物线：22(0)y px p =>的图像在____________， 方法二：通过方程证明：所以抛物线的范围是 。
3、顶点：方法一：观察抛物线：22(0)y px p => 顶点方法二：抛物线22(0)y px p =>令____0==x y 得：所以顶点是___；双曲线有__个顶点，椭圆___个顶点。
4、离心率： ，抛物线22(0)y px p =>的离心率e______。
5、思考：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口的影响.在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：（1）x y 212= （2）2;y x = （3）22;y x = （4）24.y x = 说明抛物线的开口大小取决于___________________________________。
三、填写下表（用类比的方法）：设焦点到准线的距离为P(P>0)1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，通过点)22,2(-，且以坐标轴为轴，求该抛物线的标准方程.(类比椭圆或双曲线标准方程求法)2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。
已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。
3、P是抛物线24y x=上的点，若P到准线的距离是5，求P点的坐标。
4. P是抛物线24y x=上的点，若P到准线的距离是5，求P点的坐标。
2019-2020学年高中数学《2.4.2抛物线的几何性质》教案-苏教版选修2-1
4．若P（x0，y0）是抛物线y2＝－32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF＝．
5．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 =．
五、回顾小结
1．抛物线y2＝2px的基本元素．
基本点：顶点，焦点；
基本线：准线Βιβλιοθήκη 对称轴；例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
四、课堂练习
1． 的焦点坐标是．
2．求适合下列条件的抛物线的方程：
（1）顶点在原点，焦点为（0，－5）．
（2）准线方程为 ，顶点为原点．
（3）对称轴为x轴，顶点在原点，且过点（－3，4）．
根据抛物线 的图象研究抛物线的几何性质．
1．范围．
当 的值时， 也，这说明此抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性．
从图象上看：抛物线关于轴对称；
从方程上看：把 换成 方程不变，图象关于轴对称．
3．顶点．
抛物线和它对称轴的交点叫抛物线的顶点，即坐标原点．
4．离心率．
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率．由定义知，抛物线y2＝2px（p>0）的离心率为e＝1．
5．抛物线的几何性质．
方程
y2= 2px
（p>0）
y2= -2px
（p>0）
x2= 2py
（p>0）
x2= -2py
（p>0）
图形
开口方向
焦点
准线
范围
顶点
对称轴
离心率
三、例题评析
2019-2020学年高二数学上学期《抛物线的几何性质》学案
2019-2020学年高二数学上学期《抛物线的几何性质》学案一、教学目的： 1、能利用抛物线的标准方程推导它的几何性质2、弄清抛物线四种形式其性质的异同3、会利用抛物线的性质解决有关问题二、教学重点：抛物线的几何性质教学难点：抛物线几何性质的运用。
三、预习学案： 1、抛物线的定义、标准方程、焦点、准线方程。
2、类比椭圆、双曲线的性质自己推导抛物线的几何性质。
四、基础知识：以()022〉=p px y 为例1、 范围：2、 对称性：3、 顶点：4、 离心率： 图形标准方程焦点坐标 准线方程x 的取值范围 y 的取值范围 对称轴 离心率()00,y x M 的焦半径F lFlFFll6、 焦半径：抛物线上一点M 与焦点F 连线的线段MF 叫做焦半径。
设抛物线()022〉=p px y 上一点M(x,y)由抛物线的定义，易知20p x MF += 7、 焦点弦：过焦点的弦设AB 是过抛物线()022〉=p px y 焦点F 的一条弦，()()2211,,,y x B y x A 则有：①p x x AB ++=21 ②221221,4p y y p x x -=⋅=⋅ 特别地，当焦点弦垂直于对称轴时，又称作正焦弦（“通径”）此时p AB 2=,从而p 刻画了抛物线开口大小，p 越大，开口越宽.p 越小，开口越窄. 五、典型例题（一）利用性质求抛物线标准方程例1、抛物线以x 轴为轴，顶点在坐标原点，开口向右，且过()32,4M ,求抛物线的标准方程.若抛物线顶点在坐标原点，过()32,4M ，该抛物线标准方程为练习：抛物线以x 轴为轴，顶点在坐标原点，且顶点与焦点的距离等于3，则抛物线标准方程为（二）焦点弦问题例2、已知抛物线x y 42=过焦点F 的弦为AB ,且8=AB ,求AB 中点的横坐标.练习:已知()()()332211,,,,,y x C y x B y x A 是抛物线()022〉=p px y 上三点，F 为焦点，若CF BF AF ,,成等差数列。
高中数学抛物线的简单几何性质(2)精品导学案
抛物线的简单几何性质（2）一、课前导学1.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上一点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x2.已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1 B ．(－2,22) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1 D ．(－2，－22) 3.过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条D ．不存在 4.已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________.二、课堂导学例1.抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x 24＋y 29＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程.练习1.求以双曲线x 28－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程.例2.过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.练习2.如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .例3.如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.例4.过抛物线22(0)y px p =>焦点的一条直线和抛物线相交于1122(,),(,)A x yB x y 两点，求证：（1） 4221p x x =⋅ （2）221p y y -=⋅ 12(3)AB x x p =++ 112(4)FA FB p+=.三、课堂小结1.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；2.直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；3.抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.四、课堂练习1．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则该点的轨迹是( )A．椭圆B．双曲线 C．双曲线的一支D．抛物线2.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为( )A．4 B．8 C．16 D．323.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号).4.过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________.。
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2019-2020学年高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质（2）导学案
新人教A 版选修2-1
【学习目标】
1．掌握抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系． 【重点难点】
1．掌握抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系 【学习过程】
一、 自主预习
（预习教材理P 70~ P 72，文P 61~ P 63找出疑惑之处）
复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点(2,3)P -的抛物线的方程为（
）． A ．29
4y x = B. 29
4y x =-或24
3x y =- C. 24
3x y = D. 292y x =-或24
3x y =
复习2：已知抛物线22(0)y px p =->的焦点恰好是椭圆2
2
11612x y +=的左焦点，则
p = ．
二、合作探究 归纳展示
探究：抛物线22(0)y px p =>上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：
① 这点到准线的距离为 ；
② 焦点到准线的距离为 ；
③ 抛物线方程 ；
④ 这点的坐标是 ；
⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为 ．
三、讨论交流 点拨提升
四、学能展示 课堂闯关
例1过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．
例2已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
小结：
① 直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切 ；
②直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交． ※动手试试
练1. 直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B 两点，求证：OA OB ⊥
2．垂直于x 轴的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，且43AB =，求直线AB 的方程．
五、学后反思
※ 学习小结
1．抛物线的几何性质 ；
2．抛物线与直线的关系．
※ 知识拓展
过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，则11MF NF +为定值，其值为
2p ． 【课后作业】：
1．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P ，Q 两点，PQ =15，求抛物线的方程．
2． 从抛物线22(0)y px p =>上各点向x 轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．。