笛卡尔与直角坐标系
笛卡尔和直角坐标系
笛卡尔和直角坐标系作者：来源：《初中生世界·八年级》2015年第02期勒奈·笛卡尔（Rene Descartes），1596年3月31日生于法国都兰城。
笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。
解析几何的创始人。
笛卡儿是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”。
他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。
同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。
笛卡儿堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。
突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来。
一会功夫，蜘蛛又顺这丝爬上去，在上边左右拉丝。
蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。
他想，可以把蜘蛛看作一个点。
他在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个数。
反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点P与之对应，同样道理，用一组数（x，y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。
笛卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何。
在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。
于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。
笛卡尔建立平面直角坐标系的故事
笛卡尔建立平面直角坐标系的故事
笛卡尔建立平面直角坐标系是一件至关重要的事情，因为这个坐标系不仅为数学领域的发展带来了重大的贡献，同时也为工程学、物理学、计算机科学等多个领域提供了基础性的工具。
那么，究竟是什么原因促使笛卡尔建立这个坐标系呢？
据说，笛卡尔曾经遇到了一只蜗牛，它爬行的痕迹在纸上留下了一个曲线，这启发了笛卡尔去思考如何用数学的方法来描述这个曲线。
在这个过程中，他想到了一个崭新的想法：将一个平面分成两个互相垂直的轴线，从而构建一个平面直角坐标系。
具体来说，笛卡尔将水平方向作为x轴，竖直方向作为y轴，将整个平面划分成无数个小正方形。
然后，他把每个正方形的左下角作为原点，将x轴和y轴的单位长度设定为相等，这样就可以用一对数(x,y)来表示一个点在平面上的位置。
这个数对就被称为这个点的坐标。
通过建立这个坐标系，笛卡尔成功地将图形和数学联系了起来，从而完成了一项非常重要的工作。
现在，我们可以用这个坐标系来描述任何平面上的点，绘制各种图形，进行各种运算，这对于数学学科的发展具有重大的意义。
总之，笛卡尔建立平面直角坐标系的故事犹如一场奇妙的灵感之旅，这个坐标系不仅让我们更好地理解数学知识，更为重要的是，它为我们提供了一种全新的思考方式，成为人类思维的一项伟大发明。
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笛卡尔和坐标系的故事
笛卡尔和坐标系的故事笛卡尔是16世纪法国伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。
解析几何的创始人。
笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。
今天我给大家介绍。
笛卡尔当年是如何创立坐标系的。
1620年深秋，莱茵河畔的乌尔姆小镇扎下一排军用帐篷。
夜很深了，可是帐篷里的一位年轻士兵却翻来覆去怎么也睡不着，他就是后来闻名于世的数学家笛卡儿。
这天晚上，在这个陌生的地方，笛卡儿一时难以入睡，他又思考起几何与代数的结合。
眼前这些星星像豆子一样，满天乱撒，如果用数学方法，怎么表示它们的位置呢？当然最好是画一张图，但这是几何的方法，再说这么纷乱的星空即使画出来，要指给人看一颗星时，还是得拿出一张图。
有什么方法只用几个数字就能标清它们的位置呢？自己随军到处奔波，前几天还在多瑙河右岸，今晚又到左岸，时而在上游，时而在下游，要是给上级报告部队的位置，该怎样表示呢？……笛卡儿正这么躺在床上做着研究，忽然门口传来脚步声。
排长查铺了，见笛卡尔又在研究着什么，于是拉起他走出帐外。
排长说：“你不是整日研究，想用数学来解释自然和宇宙吗？我告诉你个妙法。
”说着，排长从身后抽出了两支箭，拿在手里搭成一个“十”字。
箭头一个朝上，一个朝右。
他将十字举过头说：“你看，假如我们把天空的一部分看成一个平面，这个平面就分成四个部分。
我这两支箭能射得无穷远，天上这么多星星，随便哪一颗，你只要向这两只箭上分别引两种垂直线，就会得出两个数字，这样这颗星星的位置就表示得一清二楚了。
”笛卡儿说：“画坐标图，古希腊人就会使用。
现在最难的是那些抽象的负数，人看不见摸不着，显示不出来就不好说服人。
”排长笑道：“我说，你这么聪明，怎么这层窗纸就没有捅破。
你看，将这两支箭的十字交叉处定为零，向上向右是正数，向下向左不就是负数吗？这乌尔姆镇是交叉点，多瑙河上流是正，下游是负，右岸是正，左岸是负。
我们行军在镇的东西南北，不是随时就可用正负两个数字表示出来吗？”笛卡儿高喊道：“这是个好主意！”突然，他觉得重重挨了一脚，睁开眼睛一看，帐篷里已射进阳光。
笛卡尔平面直角坐标系
平面直角坐标系是怎么被发现的？
反过来，任意给一组三个有顺序的数，如图 1， 也可以用空间中的一个点 P来表示它们。 同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的 一个点，平面上的一个点也可以用1组2个有顺序 的数来表示（如图2）。于是在蜘蛛的启示下， 笛卡尔创建了平面直角坐标系。
图1
图2
编后
无论这个传说的可靠性如何，有一点是可以 肯定的，就是笛卡尔是个勤于思考的人。这个有 趣的传说，说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程 中，很可能是受到周围一些事物的启发，触发了 灵感。
我思故我在
——勒奈·笛卡尔
谢谢！
By: Kenny Lee
突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝 垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上 边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁 然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋 子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的 每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里 相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面 上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根 数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以 用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？
有一天，笛卡尔生病卧床，但他头脑一直没 有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观 的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形 来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的 图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他 就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点” 和“数”联系起来？Βιβλιοθήκη 平面直角坐标系是怎么被发现的？
7.1.2 平面直角坐标系
笛卡尔是谁？
7.1.2
平面直角坐标系(一)
笛卡尔是伟大的哲学家、数学家、 是解析几何的创始人。 名言“我 思故我在”被世人广为传颂。
工业机器人的五个坐标系
工业机器人的五个坐标系在工业机器人领域，坐标系是用来描述机器人末端执行器（或工具）在空间中的位置和姿态的框架。
为了确保机器人的准确性和一致性，通常会使用一系列标准的坐标系。
以下是工业机器人领域中最常用的五个坐标系：1、笛卡尔坐标系：在三维空间中，笛卡尔坐标系使用三个相互垂直的坐标轴（X、Y、Z），以及三个相互垂直的旋转轴（Rx、Ry、Rz）。
这种坐标系常用于描述机器人在空间中的位置和姿态，以及机器人末端执行器的位置和姿态。
2、极坐标系：极坐标系是一种以机器人末端执行器为中心的坐标系，它使用径向距离（r）、方位角（θ）和高度（z）来描述机器人在空间中的位置和姿态。
这种坐标系常用于路径规划、路径插补和机器人运动学分析。
3、圆柱坐标系：圆柱坐标系是一种以机器人末端执行器为中心的坐标系，它使用径向距离（r）、方位角（θ）和垂直距离（z）来描述机器人在空间中的位置和姿态。
这种坐标系常用于描述机器人在圆柱体或球体等形状上的路径和姿态。
4、球坐标系：球坐标系是一种以机器人末端执行器为中心的坐标系，它使用径向距离（r）、方位角（θ）和极角（φ）来描述机器人在空间中的位置和姿态。
这种坐标系常用于描述机器人在球体或类似形状上的路径和姿态。
5、工具坐标系：工具坐标系是一种以机器人末端执行器（或工具）为中心的坐标系，它使用工具的几何中心作为原点，并使用三个旋转轴（Rx、Ry、Rz）来描述工具的空间姿态。
这种坐标系常用于机器人运动学建模、路径规划和机器人控制等方面。
这些坐标系在工业机器人领域中具有广泛的应用，它们为机器人控制、路径规划和运动学建模提供了方便的框架。
根据实际应用场景的不同，选择合适的坐标系可以有效地提高机器人的精度和效率。
ABB工业机器人操作和坐标系一、引言在现代化的制造和自动化流程中，工业机器人扮演着关键的角色。
它们被广泛应用于各种复杂任务，从装配到质量检测，从搬运到喷漆，无所不能。
ABB集团作为全球领先的机器人技术提供商，其产品广泛应用于全球的各个行业。
「空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式」
「空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式」空间大地坐标系（也称为地理坐标系）和平面直角坐标系（也称为笛卡尔坐标系）之间的转换公式是用于将地球表面上的点的经纬度（或大地坐标）转换为平面直角坐标系中的x、y、z值（或直角坐标）。
这两种坐标系的转换是地理信息系统（GIS）和测量工程中必不可少的一项基础工作。
下面将详细介绍这两种坐标系的特点以及它们之间的转换公式。
一、空间大地坐标系空间大地坐标系是以地球为基准的一种坐标系，用于描述地球表面上的点的位置。
空间大地坐标系是由经度、纬度和高程三个参数确定的，它们分别表示一个点在地球上的经度、纬度和高程（相对于一个参考椭球面）。
经度是指一个点与本初子午线（通常取格林尼治子午线）之间的夹角，可以用度、分、秒（DMS）或小数度（DD）表示；纬度是指一个点与赤道之间的夹角，同样可以用DMS或DD表示；高程是指一个点相对于参考椭球面的高度。
二、平面直角坐标系平面直角坐标系是由直角坐标系的一个特例，它在平面上使用x和y 两个参数来表示一个点的位置。
平面直角坐标系中，原点通常是一个叫做“地理坐标系原点”的基准点，x轴和y轴分别与参考坐标系的经度和纬度方向相对应。
这样，一个点在平面直角坐标系中的位置就可以用x和y 坐标值表示。
三、空间大地坐标系与平面直角坐标系的转换公式空间大地坐标系与平面直角坐标系之间的转换可分为大地坐标到直角坐标的转换和直角坐标到大地坐标的转换两个方向。
这里，我们主要关注大地坐标到直角坐标的转换过程。
大地坐标到直角坐标的转换公式如下：1.计算参考椭球面的参数首先，需要确定参考椭球面的参数，包括椭球长半轴a、扁率f以及椭球表面上任意一点的第一偏心率e。
这些参数通常可以从现有的地理坐标系参数库中获取。
2.计算大地坐标到空间直角坐标的转换设待转换的点在大地坐标系下的经度、纬度、高程分别为(λ,φ,H)，则转换公式如下：X = (N + H) * cosφ * cosλY = (N + H) * cosφ * sinλZ = (N * (1 - e²) + H) * sinφ其中，N是参考椭球面上其中一点的曲率半径，由以下公式计算得到：N = a / (1 - e² * sin²φ)² 的平方根通过这些公式，可以将一个点从大地坐标系转换为平面直角坐标系中的x、y、z值。
笛卡尔坐标系与测量坐标系的异同
笛卡尔坐标系与测量坐标系的异同异同概述笛卡尔坐标系和测量坐标系都是二维或三维空间中描述点的坐标系统。
它们在数学和物理领域中具有广泛的应用。
在一些情况下，这两种坐标系可以互相转换，但它们的定义和用法有所不同。
本文将介绍它们之间的异同。
笛卡尔坐标系定义笛卡尔坐标系，也被称为直角坐标系，是一种用直角来表示点的位置的坐标系统。
它由一个水平轴（x轴）和一个垂直轴（y轴）组成，这两条轴相交于原点。
点的位置可以通过它与x轴和y轴的距离来表示。
使用笛卡尔坐标系被广泛应用于几何学、物理学、计算机图形学等领域。
在几何学中，它可以用来描述平面上的点的位置和图形的形状。
在物理学中，它可以用来描述物体在平面上的运动以及力的作用方向。
在计算机图形学中，它是用来表示屏幕上的像素位置的常见方式。
测量坐标系定义测量坐标系是一种用于测量和描述物体位置的坐标系统。
它通常由一个基准点（原点）和一组坐标轴组成，这些轴用于测量物体与基准点之间的距离。
与笛卡尔坐标系不同的是，测量坐标系的坐标轴可以有不同的方向和单位。
使用测量坐标系主要应用于地理测量、工程测量和机器人导航等领域。
在地理测量中，测量坐标系可以用来描述地球上的点的位置和区域的形状。
在工程测量中，它用于测量建筑物、道路和桥梁等工程项目的位置和尺寸。
在机器人导航中，测量坐标系被用来指导机器人在空间中的移动和定位。
异同对比坐标轴在笛卡尔坐标系中，坐标轴是垂直和水平的，相交于原点。
而在测量坐标系中，坐标轴的方向和单位可以根据需要选择，不一定是垂直和水平的。
坐标单位在笛卡尔坐标系中，坐标单位通常是以距离为基准的长度单位，例如米或英尺。
而在测量坐标系中，坐标单位可以是任何与测量对象和应用有关的单位，例如角度、重量或时间。
坐标系统笛卡尔坐标系是一个绝对坐标系统，它的坐标值与原点和轴的位置无关。
而测量坐标系是相对坐标系统，它的坐标值取决于选择的基准点和坐标轴的位置。
坐标转换在一些情况下，笛卡尔坐标系和测量坐标系可以通过线性变换互相转换。
(阅读材料)笛卡儿与平面直角坐标系
(阅读材料)笛卡儿与平面直角坐标系一、笛卡儿简介勒内·笛卡儿，1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海，1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是法国著名的哲学家、数学家、物理学家。
他是西方近代资产阶级哲学奠基人之一。
他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。
他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者且提出了“普遍怀疑”的主张。
他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。
人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。
”中文名勒内·笛卡儿外文名René Descartes 国籍法国出生地法国图赖讷拉海出生日期1596年3月31日逝世日期1650年2月11日职业哲学家、数学家、物理学家毕业院校普瓦捷大学信仰天主教主要成就几何坐标体系公式化；最早引入坐标系，用代数方法研究几何问题。
代表作品《几何学》《方法论》《形而上学的沉思》《哲学原理》二、笛卡儿与（笛卡儿坐标系）平面直角坐标系笛卡儿坐标系(Cartesian coordinates)就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。
相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。
如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。
两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。
二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点重合的数轴构成的。
在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。
在平面内，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与坐标的对应关系。
二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为x-轴和y-轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为O ，既有“零”的意思，又是英语“Origin”的首字母。
每一个轴都指向一个特定的方向。
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课题：笛卡尔与直角坐标系
一、教学目标
(一)知识与技能
通过展示，系统本节知识，提高知识应用能力；
2.在同一直角坐标系中,感受图形上点的坐标变化与图形的变化(平移,轴对称,伸长,压缩)之间的关系；
3.经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能。
（二）过程与方法
1.通过图形在直角坐标系的变换, 感悟在直角坐标系中点坐标与图形位置的对应，发展学生的形象思维能力和数形结合意识；
2.通过课前收集与学生介绍，了解笛卡尔与直角坐标系的相关故事，了解数学发展史。
（三）情感态度和价值观
1.丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念，发展形象思维；
2.通过有趣的图形的研究,激发学生对教学学习的好奇心与求知欲,使他们能积极参与数学学习活动。
二、教学重点和难点
1.重点：加深对平面直角坐标系有关知识的了解
2.难点：点坐标与图形位置的对应
三、课前准备
学生课前查找笛卡尔与直角坐标系的相关故事
四、教学过程
（一）创设情境，引出课题
1.欣赏激趣
出示在直角坐标系中动态的笛卡尔心形线让学生欣赏，在学生一片赞叹声中教师引出课题：笛卡尔与直角坐标系
（设计意图：动态的笛卡尔心形线是很美的，容易引发学生对笛卡尔与直角坐标系的兴趣）
2.介绍笛卡尔
由于学生课前做过这方面的功课，所以教师请学生代表上台来介绍笛卡尔及
与直角坐标系的故事。
3.导题：在前几节课中我们学习了平面直角坐标系的有关知识，我们知道点
的位置不同写出的坐标就不同，反过来，不同的坐标确定不同的点。
如果坐标中
的横坐标不变，纵坐标按一定的规律变化，或者横纵坐标都按一定的规律变化，
那么图形是否会变化，变化的规律是怎样的，这将是本节课中我们要研究的问题。
（二）合作探究，体验规律
1.我们前几节课学习过直角坐标系，请同学们在同一个直角坐标系中描出下
列各点，并顺次连接：
(0,0),(6,3),(4,0),(6,1),(6,-1),(4,0),(6,-2),(0,0)
生画，投影展示生的作品，并问：学生所作的图形像什么？
（设计意图：既复习了前面所学的知识，又让学生对本节将要学习的内容有了初步的认识）
2.例1 将上图中的点
(0,0),(6,3),(4,0),(6,1),(6,-1),(4,0),(6,-2),(0,0)
做以下变化:
1，再将所得的点用线段依次连接(1)纵坐标保持不变,横坐标分别变成原来的
2
起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?
(2)纵坐标保持不变,横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点用线段依次连接起来,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?
(3)纵坐标保持不变,横坐标分别加3,再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化?
先出示第（1）小题，师：各点变化后的坐标是怎样的？
生说，课件出示变化后的坐标。
师：请同学们根据变化后的坐标，把变化后的图形在自己准备的坐标纸上画出来。
生画，投影展示生的作品，并问：这个图形与原来的图案相比有什么变化呢?
生思考，指名说
拉伸或向左右移动,当纵坐标发生变化,横坐标不变时,鱼会怎样变化呢?
3.例2 将上图中的点(0,0),(6,3),(4,0),(6,1),(6,-1),(4,0),(6,-2),(0,0)
做以下变化:
(1)横坐标保持不变,纵坐标分别乘-1,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?
(2)纵、横坐标分别变成原来的2倍,所得的图案与原来的图案相比有什么变化?
有了例1作基础，此题完全可以放手。
生练，投影展示，指名展讲。
4、议一议：
当坐标如何变化时，鱼就长大了，什么情况下，鱼就长胖了，什么情况下鱼既长长又长胖。
请大家按小组讨论后回答。
生思考，组内交流，全班反馈。
（三）课堂练习，再次体验
(1)将下图中的各个点的纵坐标不变,横坐标都乘-1,与原图案相比,所得的图案有什么变化?
(2)将上图中的各个点的横坐标和纵坐标都分别乘-1,与原图案相比,所得的图案有什么变化?
(3)将上图中各个点的横坐标和纵坐标都分别乘-2,与原图形相比,所得的图案有什么变化？
生练，组内交流，指名投影展讲：
(1)当各个点的纵坐标不变,横坐标都乘-1时,与原图案相比,所得的图案与原图案关于y轴对称。
(2)当各个点的横坐标不变,纵坐标都乘-1时,与原图案相比,所得的图案与原图案关于x轴对称。
(3)由上可知,横、纵坐标都变成原来的2倍时,整个图形是原来的2倍大，然后横坐标、纵坐标都乘以-1,这个2倍大的图形又翻了一个跟头。
（四）课时小结
本节课主要研究横坐标或纵坐标发生变化时,新图案与旧图案相比有什么变化。
五、教学设计意图
《笛卡尔与直角坐标系》这一课题，一是了解笛卡尔与直角坐标系的小故事，激发学生数学兴趣；二是体验点坐标与图形位置的对应，点的坐标变化与图形变化的规律。
本节课，课始以笛卡尔之心动态播放，引发学生极大的兴趣，然后带着好奇之心去了解笛卡尔，进入笛卡尔的直角坐标系之中。
以人教版《变化的鱼》作为范本，进行改编，采用“自主探索——合作交流——代表展讲”的学习方式，经历、感受体验教材的本质问题“在平面直角坐标系中的点与有序实数对的一一对应关系”。
（附故事：笛卡尔最主要的成果莫过于“几何学”，准确的说是将代数和几何连接起来。
当时，代数还比较新，在数学家的头脑中，几何学的思维仍占据一席之地。
笛卡尔一直在思考，能不能把几何学的问题用代数的形式表达出来，打破两者之间的界限。
坐标系创立于1637年，笛卡尔当年创立坐标系还有一个故事。
笛卡尔小的
时候身体就算不上强壮，常常卧病在床休息，时间一久，他就养成了在床上躺着思考问题的习惯。
研究如何数形结合，用代数描述几何的时候，笛卡尔是在参军时，刚刚到了一个陌生的地方，他辗转反侧，难以入睡，又开始思考几何和代数的结合。
然而，思绪一时半会理不清，笛卡尔无聊之际看到墙面上忙着爬行织网的蜘蛛，玩心大起，顿时有了兴趣，仔细观察了起来。
看着蜘蛛有规律地横竖交替地编织网格的时候，沉思中的笛卡尔灵机一动：蜘蛛运动的轨迹能不能这一条条的线来定位呢？蜘蛛所处的位置是不是也可以用线相交形成的点来确定呢？
想到这里，他立马从床上爬了起来，他仔细观察两面垂直的墙面以及天花板的交线，三平面是两两垂直的。
他拿出笔来，仿照着画出了三条相互垂直的直线，分别代表两墙面的交线以及墙面和天花板的交线，在纸上描出一个点代表爬行于墙面的蜘蛛。
蜘蛛这个点到三平面的距离自然是可以计算出来的，那么，这个点不就唯一确定了吗？它的位置就能精确唯一地被表示出来了。
笛卡尔欣喜若狂，他在日记里写道：“第二天，我开始懂得这惊人发现的基本原理。
”此时，他有了将代数和几何相结合的理论基础。
随后便一发不可收拾，根据这种数形结合思想，他创立了我们现在所谓的“解析几何学”，在平面上，用一点到两条固定直线的距离来描述点的位置；在空间中，就用一点到三个相互垂直平面的距离来精确定位点。
此时，几何问题不仅可以用代数形式表示，还可以用代数变换来实现其几何性质。
）。