布莱克-舒尔斯期权定价模型计算公式
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
z 的值都相互独立。
二、对维纳过程的分析
从性质1可看出：z 服从正态分布，即：
E z E t tE 0
• 方差则为
Dz D t tD t
z的标准差为 t
• 故:
z N (0, t)
2S
2
)t
f Sz
S
• 为了消除 z ，我们可以构建一个包括一
单位衍生证券空头和 f 单位标的证券多 S
头的组合。令 代表该投资组合的价值，
则：
f S f S
• 在 t时间后：
f S f S
• 将前述 f 和S 代入，有：
f S f S
即：z(T ) N (z(0),T )的正态分布
且，当t 0时，得到Z的极限分布：
dz dt
• 三、普通布朗运动 • 引入两个概念：漂移率和方差率。 • 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1 • 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期
望值为b2，就可得到变量 x 的普通布朗 运动
dx adt bdz
这样， 2t是期望值为t，方差近似为0的
随机变量。故可直接用期望值t近似代替。
• 这样，
G G x G t 1 2G b2 2t
x
t
2 x2
G x
x
G t
t
1 2
2G x 2
b2t
G x
at
bz
G t
t
1 2
• 五、伊藤引理 • 若变量x遵循伊藤过程
dx=a(x,t)dt b(x,t)dz
布莱克—舒尔斯期权定价模型
布莱克—舒尔斯期权定价模型期权定价是现代金融学中一项非常重要的内容，同时也是一个比较复杂、难度较大的问题。
目前关于期权定价主要有两种方法：（1）二项式模式；（2）布莱克—舒尔斯期权定价模型（B-S 模型）。
较为适用的是布莱克—舒尔斯期权定价模型。
布莱克—舒尔斯期权定价模型是美国经济学家布莱克—舒尔斯于1973年提出来的。
这是现代金融学金融衍生工具研究领域的一个重大突破，布莱克—舒尔斯因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
1、 基本原理：（模型建立的基础）期权的完全套期保值功能，即期权具备完全消除股票投资组合中市场风险的套期保值功能。
2、 假设条件：（1） 市场是无摩擦的：即不计佣金费用，无交易成本，没有卖空限制，可以根据市场情况经常地调整套期保值的比率，调整期权与股票的比率。
（2） 在期权到期前，股票不支付股利。
（3） 在期权到期前，无风险利率r 和股票收益的方差2σ保持不变。
（4） 股票价格变化是连续的，不会发生突然及大的波动。
3、 基本公式：在上述原理及假设条件的基础上，布莱克—舒尔斯提出了这样一个公式：TTr X S T d d TTr X S d d N Xe d N S C rT σσσσσ)5.0()/ln()5.0()/ln()()(20122012100-+=-=++=-=-其中：其中：0C 为期权价格；0S 为股票当前的价格；)(d N 为服从于标准正态分布的随机变量小于d 的概率；即：}{)1,0(,N Y d y P -<X 为协定价格；e 为2.71828;r 为无风险利率（以连续复利计算） t 为距离到期日所剩的时间，单位为年 σ为股票收益率的标准差。
在这个公式中，)(1d N 、)(2d N 代表期权到期是处于实值的概率，也就是能够执行给投资者带来实质性收益的概率。
如果假定1)()(21==d N d N ，也就是看涨期权极其有可能被执行。
公式的解释：期权价值=内在价值+时间价值期权到期前处于三种状态，虚值—平价—实值时间价值虚值 协定 实值 价格（平价） 从这个图形可以看出，随着股价的进一步升高，期权到期被执行的可能性越来越大，相应地，期权的内在价值越来越大，其价格波动的可能性即时间价值越来越小。
布莱克—舒尔斯期权定价
显然，S0＝1OO，X＝105，r＝0.20，T-t＝0.50，σ＝0.05 用公式计算：d1=1.47 ； d2=1.43 查正态分布数值表（标准正态曲线下的面积—累积概率）：
N(d1)=N(1.47)=0.9292； N(d2)=N(1.43)=0.9236
用公式计算：
C = $5.17
5）标的物股票的价格波动率 越大，看涨期权
的价值越高
关于波动率:在这个公式中，最难理解的莫过于
波动率（），其实这是期权定价法中最重要的 变量。这个变量体现的是：金融市场上，吸收了 全部当前“信息”之后，对未来该股票价格走势 的“不确定性”的判断。
也就是说，越小，说明市场对该股票价格的判断就越明 确，市场上投资人相信其价格在未来不会出现大的波动， 投资人根据当前市场上掌握的信息，可以比较容易地判断 该股票未来价格走势，因而该股票未来价格的不确定性也 就越低。
~
S363
~
S364
~
~
1
Rt 365
St
~
St 1
每天的收益率
1
~
R
~
S365
~
S0
~
S1
S0
~
S2
~
S1
~
S365
~
S364
1
~
R1
365
1
~
R2
365
1
~
R365
365
年利率
利用连续计息方式计息的连续复利
rt 365
log
1
二叉树各个阶段股票价格的变化是互相独立的， 而且变化的概率分布是同分布的，因此满足条件1
二叉树定价中所分阶数越来越多，适当的选择二 叉树中的u和d，使他们都足够快的趋于1，当所 分阶数趋于无穷大时，股票的价格变化就趋向于 对数正态分布（收益率变化趋于正态分布）
布莱克舒尔斯默顿期权定价模型
• dz项可以消除。
其它方程
•BSM 微分方程
f t
rS
f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
• BSM 期权定价公式
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
10.2 股票价格的变化过程
•人们通常用形如公式
dS dt dz
的几S何布朗运动来描绘股票价格的随机变化过程。
这是期权定价模型的基础性假设。也好似金融中最主 要的假设。 最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因 素。通常被成为标准布朗运动(Standard Brownian Motion)或维纳过程（Wiener Process)。
15
• 由特征1知道，z 本身也具有正态分布。均 值为零，标准差为 t ，方差为 t
• 由特征2知道，遵循标准布朗运动的变量具有 独立增量的性质。
维纳过程的性质
进一步发现，变量z在一段较长时间T-t中的变化情形。用 z(T)-z(t)表示变量z在T-t中的变化量，即N个长度为 t的小时
间间隔中z的变化总量，其中N=(T-t)/t
N
z(T ) z(t) i t i1
• Z(T) − Z(t) 也服从正态分布
Z(T) − Z(t)均值等于0
方差等于N t =T − t
标准差等于√T − t
方差可加性
可知
• 1）在任意长度的时间T-t中，遵循标准布朗 运动的变量的变化值服从均值为0，标准差为
√T − t。 • 2)在任意长度的时间间隔T-t中，方差具有可
• 1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black(费雪.布莱克)& Myron Scholes(梅隆.舒尔 斯)发表了《期权与公司负债定价》疑问，提 出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票 期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响 ；同年，Robert C. Merton(罗伯特.莫顿)独立地 提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿 由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型
（二）风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的，那么 所有现金流量都可以通过无风险利率进 行贴现求得现值。
尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱 克——舒尔斯微分方程而作出的人为假 定，但通过这种假定所获得的结论不仅 适用于投资者风险中性情况，也适用于 投资者厌恶风险的所有情况。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
特征1：和z t的关系满足（6.1）：
z t
（6.1）
其中，代表从标准正态分布（即均值为0、
标准差为1.0的正态分布）中取的一个随
机值。
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标准布朗运动(2)
特征2：对于任何两个不同时间间隔，t 和 z的值相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情
形，我们可得： N z(T ) z(0) i t （6.2） i 1
当0时，我们就可以得到极限的标准布
朗运动： dz dt
（6.3）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
2
（6.11）
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln
Hale Waihona Puke STlnS
~ [(
2
2
)(T
t),
T t]
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第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型一、 影响期权价值的主要因素由前面的分析知道决定期权价值（价格）C V 的因素是到期的股票市场价格m S 和股票的执行价格X 。
但是到期m S 是未知的，它的变化还要受价格趋势和时间价值等因素的影响。
1)标的股票价格与股票执行价格的影响。
标的股票市场价格越高，则买入期权的价值越高，卖出期权的价值越低；期权的执行价越高，则买入的期权价值越低，卖出期权的价值越高。
2）标的股票价格变化范围的影响。
在标的股票价格变动范围增大的，虽然正反两方面的影响都会增大，但由于期权持有者只享受正向影响增大的好处，因此，期权的价值随着标的股价变动范围的增大而升高。
如下图： )(s f )(1s f)(2s fx s股票的价格由密度函数)(1s f 变为)(2s f ，S>X 的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。
3）到期时间距离的影响。
距离愈长，股价变动的可能性愈大。
由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。
4）利率的影响。
利率越高，则到期m S 的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。
5）现金股利的影响。
股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。
二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件B-S 模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：1． 股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。
2． T 时期内各时段的预期收益率r i 和收益方差σi 保持不变。
3． 在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t 1-t 2时段内有：()()()2221211()ln ,()S t N t t t t S t μσ⎛⎫-- ⎪⎝⎭因为股票的价格可以用随机过程{},...2,1)(=t t S 表示，其中S （t ）表示第t 日股票的价格，它是一个随机变量. 则第t 日股票的收益率（年收益率）为R t ：3651)1()(t R t S t S +=-股票的年收益率（单利）R 应该是：)3651()3651)(3651()364()365()1()0()2()1()0()365(136521R R R S S S S S S S S R +++===+为了简化计算两边同时取自然对数可得：∑=+=+3651)3651()1(t tR In R In设r ，r 1，r 2，…，r 365为和R ，R 1，R 2，…，R 365相对应的连续复利。
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
5
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 式（12. 1)的两边同吋乘上 着买入 ，并将两式相减消去dz,实际上意味
单位的股票，并卖空1单位的期权，可以构造出一个短期
内没有不确定性的投资组合。而在一个无套利的市场中，一个没 有不确定性的投资组合必然只能获得无风险利率的收益。这样在 数学上，就可以从（12. 1)和（12. 2)的联立方程组中解出一个 期权价格所满足的偏微分方程，求解这一方程，就得到了期权价 格的最终公式。 • 以上就是斯权定价模型推导过程的基本思路，理解这一思路，将 有助于在下面看似无关的数学推导中不会迷失方向。
(12.2)
4
12.1 布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的 基本思路
• 观察式（12. 2)会发现影响期权价格的随机因素也完全体现 在等式右边的第二项中的dz上.这与我们的直觉是一致的： 股票价格及其衍生产品——期权价格都只受到同一种不确定 性的影响，其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也 就是对随机因素变化的反应程度不同。 • 如果式（12. 1)两边同时乘以 并与式（12. 2)相减,则可 ∂S 以消去dz项。
•
• •
dz = ε
dt
(12. 4)
10
标准布朗运动
� 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机 因素呢？ � 首先，维纳过程中用 ε 即标准正态分布的随机变量来反 映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都 近似于正态分布，加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场 也不例外，经验事实证明，股票价格的连续复利收益率 近似地服从正态分布。
(12.1)
等式右边的第二项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因 素。根据数学家伊藤（K. Ito)提出的伊藤引理（Ito Lemma)可 知，当股票价格服从式 (12. 1)时，作为股票衍生产品的期权价 格将服从
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：