第2章_单自由度系统-2.4简谐强迫振动
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振动理论-第1,2章 单自由系统振动
第2章 单自由度系统的振动
1.2 振动系统的模型及其分类
5. 按描述振动系统的微分方程分类
线性振动 能用常系数线性微分方程描述的振动 非线性振动 只能用非线性微分方程描述的振动
第2章 单自由度系统的振动
1.2 振动系统的模型及其分类
6. 按激励（动荷载）分类
动荷载
确定
周期
简谐荷载 非简谐荷载
冲击荷载
刚柔耦合系统
·对于大型振动系统可以部分采用离散系统模型，部分采用连续系统模型.
总之，建立振动系统的模型应力求简单，能准确反映客观 实际，且计算结果在工程允许的范围内.
第2章 单自由度系统的振动
1.2 振动系统的模型及其分类
2. 按振动系统的自由度数分类
单自由度振动系统 确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置只需要 一个独立坐标的振动
Fs2 k2 (x2 x1)
Fs Fs1 Fs2 k1(x2 x1) k2 (x2 x1) keq(x2 x1)
所以等效弹簧刚度为
第2章 单自由度系统的振动
keq k1 k2
（2-1） （2-2）
2.1 单自由度系统的自由振动
n
keq ki i 1
串联时弹簧的等效刚度
（2-3）
第第22章章 单单自由自度由系度统系的振统动的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
弹性元件的组合
在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式 组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式， 分别如图2-4（a）和2-4（b）所示。
图2-4 弹簧的组合
并联时弹簧的等效刚度
Fs1 k1(x2 x1)
第1章 绪论
第2章 单自由度系统的振动
第1章 绪论
1.2 振动系统的模型及其分类
5. 按描述振动系统的微分方程分类
线性振动 能用常系数线性微分方程描述的振动 非线性振动 只能用非线性微分方程描述的振动
第2章 单自由度系统的振动
1.2 振动系统的模型及其分类
6. 按激励（动荷载）分类
动荷载
确定
周期
简谐荷载 非简谐荷载
冲击荷载
刚柔耦合系统
·对于大型振动系统可以部分采用离散系统模型，部分采用连续系统模型.
总之，建立振动系统的模型应力求简单，能准确反映客观 实际，且计算结果在工程允许的范围内.
第2章 单自由度系统的振动
1.2 振动系统的模型及其分类
2. 按振动系统的自由度数分类
单自由度振动系统 确定系统在振动过程中任何瞬时几何位置只需要 一个独立坐标的振动
Fs2 k2 (x2 x1)
Fs Fs1 Fs2 k1(x2 x1) k2 (x2 x1) keq(x2 x1)
所以等效弹簧刚度为
第2章 单自由度系统的振动
keq k1 k2
（2-1） （2-2）
2.1 单自由度系统的自由振动
n
keq ki i 1
串联时弹簧的等效刚度
（2-3）
第第22章章 单单自由自度由系度统系的振统动的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
弹性元件的组合
在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式 组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式， 分别如图2-4（a）和2-4（b）所示。
图2-4 弹簧的组合
并联时弹簧的等效刚度
Fs1 k1(x2 x1)
第1章 绪论
第2章 单自由度系统的振动
第1章 绪论
振动力学-单自由度振动系统
§2.2 无阻尼自由振动
2.2.1 运动微分方程
列微分方程的步骤： 1 确定坐标系，确定原点，确定坐标正向 2 惯性元件沿坐标正向有一个位移 考察惯性元件的受力情况 画隔离体图 3 根据牛顿第二定律列出运动微分方程 4 确定系统的初始运动状态，即确定运动微
分方程的初始条件。
图形
隔离体受 力分析
kx
衡时水平，求其系统 的微分方程和固有频
k
率
（提示：取静平衡
a
θ
m
位置为坐标原点，可
不考虑重力势能，当
偏角很小时，弹簧的
伸长，圆球的位移可
以表示为：a ，l)
2.2.3 有效质量
在前面的讨论中，都假定了弹性元件的质量远 远小于振动系统的集中质量，因而忽略弹性元 件的质量。这相当于忽略系统的一部分动能， 引起一定误差。
ce 2 mk 2mn
§2. 3 阻尼自由振动
阻尼比(第二个重要参数)
c c c ce 2 mk 2mn
特征方程解
=
s1,2
c 2m
c 2m
c2 4mk
2m
c2 (2m)2
k m
s1,2 n n 2 1
§2. 3 阻尼自由振动
k
m
x(t)
O
2.2.1 运动微分方程
1DOFS无阻尼自由振动运动微分方程
微分方程 首1形式
mx kx 0
x(0)
x0 ,
x0 (0)
0
x n2 x 0
x(0) x0, x0 (0) 0
第一个也是最重要的振动参数
西南交通大学振动力学_第 2 章(II) 单自由度系统的强迫振动
《振动力学》
图 2-30
14
单自由度系统的振动 （2）系统初始阶段的响应 a) 响应特征 在简谐激振力作用下系统的总响应为
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) (2 46) Ae t sin( ' t ) B sin(0 t )
由两种不同频率和振幅的简谐运动叠 加而成的比较复杂的运动。
振动之和。 《振动力学》
17
单自由度系统的振动
c)一般初值响应
x 0 如果初始条件是t=0, x x0 , x
，由式（2-46），在简谐
激振力作用下系统初始阶段的响应为
x Aet sin( ' t ) B sin(0t )
其中
0 x 0 B sin B cos 2 x 0 B sin ) 2 ) (x ' '( x0 B sin ) 2016 arctan (2 49) 年1月10日 x0 x0 B sin B0 cos A (
F0 sin 0t x(t ) A sin(t ) k 1 2 (2 47)
0 ,代入初始条件得 设t=0时，x 0, x
F0 0 A , 0 k (1 2 )
图 2-31
《振动力学》
16
单自由度系统的振动
代入（2-47）得
x(t )
0 0
F0 F0 2 F0 B = = 2 2 k 0 k 2 m0
《振动力学》
图 2-28
9
单自由度系统的振动 振幅大小主要决定于系统惯性，这一区 域称为‚惯性控制区‛。 对启动次数不多的高速旋转机械， 在通过共振区后就有抑制振幅的预防措 施，在越过共振区到达高速旋转时，振 幅反而很小，旋转更趋平衡。 ③. λ≈1 时，即 0接近 ，振幅大小 与阻尼情况极为密切。在ζ 较小的情况下 ，振幅B可以很大，在ζ→0 的情况下，振 幅B趋向无穷大。 2 2 因为 0 , 故 m0 B m B kB 可见惯性力和弹性力基本平衡，从而 有激振力与阻尼力相平衡， 即有 Bc0=F 0 ，B=F0/c 0 ,因此阻尼对系统 响应有着决定性影响，振幅B大小随阻尼 c而定，这一区域称为‚阻尼控制区‛。
图 2-30
14
单自由度系统的振动 （2）系统初始阶段的响应 a) 响应特征 在简谐激振力作用下系统的总响应为
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) (2 46) Ae t sin( ' t ) B sin(0 t )
由两种不同频率和振幅的简谐运动叠 加而成的比较复杂的运动。
振动之和。 《振动力学》
17
单自由度系统的振动
c)一般初值响应
x 0 如果初始条件是t=0, x x0 , x
，由式（2-46），在简谐
激振力作用下系统初始阶段的响应为
x Aet sin( ' t ) B sin(0t )
其中
0 x 0 B sin B cos 2 x 0 B sin ) 2 ) (x ' '( x0 B sin ) 2016 arctan (2 49) 年1月10日 x0 x0 B sin B0 cos A (
F0 sin 0t x(t ) A sin(t ) k 1 2 (2 47)
0 ,代入初始条件得 设t=0时，x 0, x
F0 0 A , 0 k (1 2 )
图 2-31
《振动力学》
16
单自由度系统的振动
代入（2-47）得
x(t )
0 0
F0 F0 2 F0 B = = 2 2 k 0 k 2 m0
《振动力学》
图 2-28
9
单自由度系统的振动 振幅大小主要决定于系统惯性，这一区 域称为‚惯性控制区‛。 对启动次数不多的高速旋转机械， 在通过共振区后就有抑制振幅的预防措 施，在越过共振区到达高速旋转时，振 幅反而很小，旋转更趋平衡。 ③. λ≈1 时，即 0接近 ，振幅大小 与阻尼情况极为密切。在ζ 较小的情况下 ，振幅B可以很大，在ζ→0 的情况下，振 幅B趋向无穷大。 2 2 因为 0 , 故 m0 B m B kB 可见惯性力和弹性力基本平衡，从而 有激振力与阻尼力相平衡， 即有 Bc0=F 0 ，B=F0/c 0 ,因此阻尼对系统 响应有着决定性影响，振幅B大小随阻尼 c而定，这一区域称为‚阻尼控制区‛。
机械振动单自由度系统的简谐强迫振动1共41页
§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构 的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励 下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与 系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从 而确定系统的振动特性（系统识别）。
稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论分析和 实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响应的影响。
简谐运动可用复数表示，因而稳态振动也可用复数表示，设有下 面两个方程：
图 2—15
图 2—15
系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频率的简谐 量，分别为：
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
2.4.3 能量关系与等效阻尼
图 2—17
说明： 无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，
速通过共振区的办法来解决。
2. 等效阻尼
振动时振动能量的耗散有各种的形式，并且与许多因素有关，处 理起来比较复杂。在线性振动理论中，通常把其他形式的阻尼等 效为粘性阻尼，以使阻尼力线性化，得到等效的线性系统。其方 法是，假定系统做简谐振动，令原系统耗散的能量与粘性阻尼耗 散的能量相同，从而求出等效阻尼系数。
利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析 其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系 统振动特性最常用的方法之一。
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2-13。
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构 的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励 下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与 系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从 而确定系统的振动特性（系统识别）。
稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论分析和 实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响应的影响。
简谐运动可用复数表示，因而稳态振动也可用复数表示，设有下 面两个方程：
图 2—15
图 2—15
系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频率的简谐 量，分别为：
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
2.4.3 能量关系与等效阻尼
图 2—17
说明： 无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，
速通过共振区的办法来解决。
2. 等效阻尼
振动时振动能量的耗散有各种的形式，并且与许多因素有关，处 理起来比较复杂。在线性振动理论中，通常把其他形式的阻尼等 效为粘性阻尼，以使阻尼力线性化，得到等效的线性系统。其方 法是，假定系统做简谐振动，令原系统耗散的能量与粘性阻尼耗 散的能量相同，从而求出等效阻尼系数。
利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析 其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系 统振动特性最常用的方法之一。
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2-13。
单自由度系统强迫振动
静力偏移
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
机械振动第2章-单自由度系统强迫振动
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
单自由度系统的振动
Ic Mc
（a）
其中，IC为绕点 C的转动惯量， MC为重力作用下的恢复力矩。为方便起见，
设壳体的长度为单位长度，由图2-6，对
于给定的θ，对C点的恢复力矩MC 有如下
形式：
Mc
R sindw
2
2
gR2
sin
d
gR2 cos
2
2
2 gR2 sin
（b）
2.1 单自由度系统的自由振动
（c）
2.1 单自由度系统的自由振动
Ic Mc
（a）
当壳体作小幅振动时，即θ很小时，引入近似表达式
sinθ≈θ，cosθ≈1 ， 并将（b）、（c）两式代入（a）中，
得到:
2R3 2 2gR2
（d）
整理可得:
R
g
2
0
（e）
（e）式表明，当 θ很小时，系统运动的确象简谐振子，其
自然频率为:
2.1 单自由度系统的自由振动
小阻尼（ 0 ＜ζ ＜ 1）
0 ＜ζ ＜ 1时，解（2-22）可改写成如下形式：
x(t)
A1
exp
i
1 2nt
A2 exp i
1 2nt
ent
A1eidt A2eidt ent
由于Fs (t) kx(t) Fd (t) cx，(t)
方程（2-7）变为:
mx(t) cx(t) kx(t) F(t)
（2 -7） （2-8）
（2-8）式是一个二阶常系数常微分方程。常数 m ，c， k
是描述系统的系统参数。方程（2-8）的求解在振动理论中是 十分重要的。
2.1 单自由度系统的自由振动
系统的自由度定义为能完全描述系统运动 所必须的独立的坐标个数。
振动理论习题答案汇总
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
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单自由度系统受迫振动
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性
2
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 2.4.1系统在简谐激励下的响应
• 简谐力激励的强迫振动 弹簧－质量系统
F (t )
m k c x 0
F (t )
m
m x
设 F (t ) F cos t 0 F0 外力幅值
0
0
17
例：一质量为m的单自其阻尼自由振动的频率为d , 在简谐激振力作用 下位移共振的激励频率为。 求系统的固有频率， 阻尼系数和振幅对数衰减率。
位移共振：
1 2 2 n
2 1 (
1 2
2 ) n
d 1 2 n
2 1 (
d 2 ) n
2 系统固有频率：n 2d 2
阻尼比： 1 ( d )2 n
2 d 2 2 2d 2
阻尼系数：c 2mn 2m 2
2 d 2 2 m d 2 2 2 d 2 2 2d 2
A
Xei AH ()
X [1 (
2 2 ) ] (2 ) 2 n n
A H ( )
系统的放大因子可以表达为
H () X / A
X kX Fs 0 H ( ) A kA F0
系统稳态振动时响应的振幅与静位移之比
系统稳态振动时弹簧力幅值与激励幅值之比
Q与 有关系 ： Q
n
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： n 1
外部作用力规律：Biblioteka F (t ) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
0
5 4 3 2 1
H ()
0
0 .1
22 ) ] (2 )2 n n
（3）在以上两个领域
0.25 0.375 0 .5 1
1, 1 n n
s
0 1 2 3
0
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
13
（5）对于有阻尼系统， H () max 并不 出现在 s=1 处，而且稍偏左 ，令 s
0.25 0.375 0 .5 1
n
0
0
d ( H ( ) ) 0 ds
H ( ) max 1 2 1 2
1
2
2 1 2 n
n
3
15
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
振幅对数衰减率：
2 1 2
2 1 d
2
18
H ()
0
振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 1 附近的区域内 n ，增加阻尼使振幅明显下降
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
H ( ) 1
H ()
0
0 .1
5 4 3 2 1
[1 ( )2 ]2 (2 )2 n n
2 1 ( ) i 2 ( ) n n
1
1
A
H ( )
定义：
为系统的复频率响应，它的模 H ( )
2 2 2 [1 ( ) ] (2 ) n n
8
为系统的放大因子
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
系统的放大因子
H ( )
1
2 2 2 [1 ( ) ] (2 ) n n
it mx cx kx F0e
表示
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
n2 x n2 A cos t x 2n x n2 y n2 Asin t y 2n y z x iy
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
H ( ) 1
H ()
5 4 3 2 1
0
0 .1
[1 ( )2 ]2 (2 )2 n n
（4）当 n
H () 迅速增大 对应于较小 值，
0.25 0.375 0 .5 1
s
0 1 2 3
当 0 结论：共振
9
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
系统的复频率响应为
H () H () ei ( )
( ) 为复频率响应 H ( ) 的幅角
( ) arctan
2 / n 1 ( / n ) 2
因此，系统在简谐激励下的稳态响应，可写为
x A H () cos(t )
率与激励频率相同;激励与稳态响应之间有一个相位
差，称为响应的相角。
（2）谐和激励强迫振动的振幅 X0和相位角φ决定于 系统本身的物理性质和外界激励的幅值和频率，与 初始条件无关;
6
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 2.4.2 复频率响应 •简谐运动用复数表示，外界激励用 F0eit
显含时间 t 非齐次微分方程
非齐次微分方程 通解
＝
齐次微分方程 通解
阻尼自由振动 逐渐衰减
＋
非齐次微分方程 特解
持续等幅振动
稳态响应
本节内容
暂态响应
4
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
齐次方程的通解上一节已经给出。
其通解为对应的阻尼自由振动的解。
设其特解为:
xp X sin(t )
s
2 3
激振频率相对于系统固有频率很低
H () 1
结论：响应的振幅 X与静位移 A相当
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
H ( ) 1
5 4 3 2 1
H ()
0
0 .1
[1 ( )2 ]2 (2 )2 n n
（2）当 n 激振频率相对于系统固有频率很高
n2 z n2 Aeit z 2n z
7
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
其特解为：
n2 z n2 Aeit z 2n z z Xei (t )
Xe
i
(a)
将特解代入(a)式中，有
2 1 ( ) i 2 ( ) n n
代入方程确定系数 X 和 为：
X F0 / k
22 2 (1 ( ) ) (2 ) n n
) n arctan 2 1 ( ) n
2 (
5
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
稳态响应 xp X sin(t ) 的性质
（1）在简谐激振条件下,稳态响应也是简谐的,其频
• 稳态响应特性
22 ) ] (2 )2 Q/ 2 n n 1 Q H ( ) 记： 品质因子 max 2 2 1
[1 ( H ( ) 1
Q
H ()
2
在共振峰的两侧取与 Q / 2 对应的两点 1 ，2
1 n
1 2
n
2 1 带宽
外力的激励频率 F0 F ( t ) F cos t kA cos t 令 其中 A 0 k
受力分析 振动微分方程：
kx cx
cx kx F0 cos t mx
3
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0 cos t
H () 0
0.25 0.375 0 .5 1
s
0 1 2 3
0
结论：响应的振幅 很小，取决于系统的惯性
H ( )
2 ( ) n
1
,
F0 n 2 F0 X ( ) k m 2
12
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
H ( ) [1 ( 1
10
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应的特性-幅频响应
以s为横坐标画出 H ( )曲线
H ( ) 1
H ( )
5 4 3 2 1 0 0 1
0.25 0.375 0 .5 1
0
0 .1
[1 ( )2 ]2 (2 )2 n n
幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性： （1）当 n
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性
2
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 2.4.1系统在简谐激励下的响应
• 简谐力激励的强迫振动 弹簧－质量系统
F (t )
m k c x 0
F (t )
m
m x
设 F (t ) F cos t 0 F0 外力幅值
0
0
17
例：一质量为m的单自其阻尼自由振动的频率为d , 在简谐激振力作用 下位移共振的激励频率为。 求系统的固有频率， 阻尼系数和振幅对数衰减率。
位移共振：
1 2 2 n
2 1 (
1 2
2 ) n
d 1 2 n
2 1 (
d 2 ) n
2 系统固有频率：n 2d 2
阻尼比： 1 ( d )2 n
2 d 2 2 2d 2
阻尼系数：c 2mn 2m 2
2 d 2 2 m d 2 2 2 d 2 2 2d 2
A
Xei AH ()
X [1 (
2 2 ) ] (2 ) 2 n n
A H ( )
系统的放大因子可以表达为
H () X / A
X kX Fs 0 H ( ) A kA F0
系统稳态振动时响应的振幅与静位移之比
系统稳态振动时弹簧力幅值与激励幅值之比
Q与 有关系 ： Q
n
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： n 1
外部作用力规律：Biblioteka F (t ) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
0
5 4 3 2 1
H ()
0
0 .1
22 ) ] (2 )2 n n
（3）在以上两个领域
0.25 0.375 0 .5 1
1, 1 n n
s
0 1 2 3
0
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
13
（5）对于有阻尼系统， H () max 并不 出现在 s=1 处，而且稍偏左 ，令 s
0.25 0.375 0 .5 1
n
0
0
d ( H ( ) ) 0 ds
H ( ) max 1 2 1 2
1
2
2 1 2 n
n
3
15
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
振幅对数衰减率：
2 1 2
2 1 d
2
18
H ()
0
振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 1 附近的区域内 n ，增加阻尼使振幅明显下降
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单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
H ( ) 1
H ()
0
0 .1
5 4 3 2 1
[1 ( )2 ]2 (2 )2 n n
2 1 ( ) i 2 ( ) n n
1
1
A
H ( )
定义：
为系统的复频率响应，它的模 H ( )
2 2 2 [1 ( ) ] (2 ) n n
8
为系统的放大因子
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
系统的放大因子
H ( )
1
2 2 2 [1 ( ) ] (2 ) n n
it mx cx kx F0e
表示
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
n2 x n2 A cos t x 2n x n2 y n2 Asin t y 2n y z x iy
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
H ( ) 1
H ()
5 4 3 2 1
0
0 .1
[1 ( )2 ]2 (2 )2 n n
（4）当 n
H () 迅速增大 对应于较小 值，
0.25 0.375 0 .5 1
s
0 1 2 3
当 0 结论：共振
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单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
系统的复频率响应为
H () H () ei ( )
( ) 为复频率响应 H ( ) 的幅角
( ) arctan
2 / n 1 ( / n ) 2
因此，系统在简谐激励下的稳态响应，可写为
x A H () cos(t )
率与激励频率相同;激励与稳态响应之间有一个相位
差，称为响应的相角。
（2）谐和激励强迫振动的振幅 X0和相位角φ决定于 系统本身的物理性质和外界激励的幅值和频率，与 初始条件无关;
6
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 2.4.2 复频率响应 •简谐运动用复数表示，外界激励用 F0eit
显含时间 t 非齐次微分方程
非齐次微分方程 通解
＝
齐次微分方程 通解
阻尼自由振动 逐渐衰减
＋
非齐次微分方程 特解
持续等幅振动
稳态响应
本节内容
暂态响应
4
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
齐次方程的通解上一节已经给出。
其通解为对应的阻尼自由振动的解。
设其特解为:
xp X sin(t )
s
2 3
激振频率相对于系统固有频率很低
H () 1
结论：响应的振幅 X与静位移 A相当
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
H ( ) 1
5 4 3 2 1
H ()
0
0 .1
[1 ( )2 ]2 (2 )2 n n
（2）当 n 激振频率相对于系统固有频率很高
n2 z n2 Aeit z 2n z
7
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
其特解为：
n2 z n2 Aeit z 2n z z Xei (t )
Xe
i
(a)
将特解代入(a)式中，有
2 1 ( ) i 2 ( ) n n
代入方程确定系数 X 和 为：
X F0 / k
22 2 (1 ( ) ) (2 ) n n
) n arctan 2 1 ( ) n
2 (
5
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
稳态响应 xp X sin(t ) 的性质
（1）在简谐激振条件下,稳态响应也是简谐的,其频
• 稳态响应特性
22 ) ] (2 )2 Q/ 2 n n 1 Q H ( ) 记： 品质因子 max 2 2 1
[1 ( H ( ) 1
Q
H ()
2
在共振峰的两侧取与 Q / 2 对应的两点 1 ，2
1 n
1 2
n
2 1 带宽
外力的激励频率 F0 F ( t ) F cos t kA cos t 令 其中 A 0 k
受力分析 振动微分方程：
kx cx
cx kx F0 cos t mx
3
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0 cos t
H () 0
0.25 0.375 0 .5 1
s
0 1 2 3
0
结论：响应的振幅 很小，取决于系统的惯性
H ( )
2 ( ) n
1
,
F0 n 2 F0 X ( ) k m 2
12
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
H ( ) [1 ( 1
10
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应的特性-幅频响应
以s为横坐标画出 H ( )曲线
H ( ) 1
H ( )
5 4 3 2 1 0 0 1
0.25 0.375 0 .5 1
0
0 .1
[1 ( )2 ]2 (2 )2 n n
幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性： （1）当 n