高三数学一轮复习 对数与对数函数1(学生)导学案 新人教版
高三数学一轮复习第10课时对数函数学案
高三数学一轮复习 第10课时 对数函数学案【学习目标】1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性． 【课本导读】1．对数(1)对数的定义 ． (2)对数恒等式①Na a log ＝ (a >0且a ≠1，N >0)．②log a a b＝ (a >0，且a ≠1，b ∈R )． (3)对数运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝ ；②log a M N＝ ；③log a M n＝ ． (4)换底公式log b N ＝log a Nlog a b(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，N >0)．推论：①log a b ·log b a ＝ ； ②log a b ·log b c ＝ ；③n a b n log ＝ ； ④na b m log ＝ ．2．对数函数(1)对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)叫做对数函数． (2)对数函数的图像(3)对数函数的性质①定义域为 ，值域为 ．②恒过定点(1,0)． ③a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上为 ；0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上为 ． ④当a >1，x >1时，log a x 0；当a >1,0<x <1时，log a x 0； 当0<a <1,0<x <1时，log a x 0；当0<a <1，x >1时，log a x 0． 【教材回归】1．(课本习题改编)写出下列各式的值：(1)log 26－log 23＝____；(2)lg5＋lg20＝_____；(3)log 53＋log 513＝____；(4)log 35－log 315＝____．2．(1)化简log 89log 23＝____________．(2)已知9432=a (a >0)，则log 23a ＝________．(3)若2a ＝5b＝10，则1a ＋1b ＝________． 3．对于a >0且a ≠1，下列结论正确的是 ()①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2．A ．①③B ．②④C ．②D ．①②④4．已知a ＝21.2，b ＝(12)－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，a ≠1)的图像恒过一定点是________． 【授人以渔】题型一 对数式的计算例1 计算下列各式：(1)lg2＋lg5－lg8lg50－lg40；(2)log 34273log 5[2log 3210log 21727)33(4--]； (3)已知log 23＝a ，3b＝7，求212log 73的值．探究1 在对数运算中，要注意以下几个问题：(1)在化简与运算中，一般先用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并．(2)a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．思考题1 (1)|1＋lg0.001|＋lg 213－4lg3＋4＋lg6－lg0.02的值为________．(2)(log 32＋log 92)·(lo g 43＋log 83)= ．题型二 对数函数的图像及应用例2 比较下列各组数的大小：(1)log 23.4，log 28.5； (2)log 67，log 76； (3)m ＝0.95.1，n ＝5.10.9，p ＝log 0.95.1；(4)若0<a <b <1，试确定log a b ，log b a ，log 1ba ，log 1ab 的大小关系．探究2 (1)比较两个指数幂或对数值大小的方法：①分清是底数相同还是指数(真数)相同；②利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小； ③当底数、指数(真数)均不相同时，可通过中间量过渡处理．(2)多个指数幂或对数值比较大小时，可对它们先进行0,1分类，然后在每一类中比较大小．思考题2 (1)(2011·天津)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则 （ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b (2)已知x ＝ln π，y ＝log 52，x ＝21e ，则 ( ) A ．x <y <z B ．z <x <y C ．z <y <x D ．y <z <x (3)(浙江卷改编)比较m >n 时，log m 4与log n 4．题型三 对数函数的性质例3 (1)作出函数y ＝log 2|x ＋1|的图像，由图像指出函数的单调区间，并说明它的图像可由函数y ＝log 2x 的图像经过怎样的变换而得到．(2)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．(0，12)探究 3 (1)作一些复杂函数的图像，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图像变换过来．一般是先作出基本函数的图像，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图像．(2)对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图像解决，具体做法是：对不等式变形，不等号两边对应两函数．在同一坐标系下作出两函数图像，比较当x 在某一范围内取值时图像的上下位置及交点的个数，来确定参数的取值或解的情况．思考题3 (1)已知图中曲线C 1、C 2、C 3、C 4是函数y ＝log a x 的图像，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4对应的a 的值依次为 ( )A ．3、2、13、12B ．2、3、13、12C ．2、3、12、13D ．3、2、12、13(2)(2013·衡水调研卷)已知函数f (x )＝(13)x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1) A ．恒为负值 B ．等于0 C ．恒为正值 D ．不大于0 ( )题型四 对数函数的综合应用例4 (1)求f (x )＝log 12(3－2x －x 2)的单调区间．(2)已知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，如果对于任意x ∈[3，＋∞)都有|f (x )|≥1成立，试求a 的取值范围．探究4 关于形如log a f (x )的函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )[f (x )>0]的单调性，当a >1时相同，当0<a <1时相反．思考题4 是否存在实数a ，使得f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．【本课总结】指数函数、对数函数在高中数学中占有重要位置，搞清这部分基础知识相当重要．(1)搞清指数函数与对数函数的关系：即二者互为反函数，因此，图像关于直线y ＝x 对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的．即a ＞1时都为增函数，0＜a ＜1时都为减函数．(2)比较指数函数、对数函数类型的数值间的大小关系是高考中常见题型．具体做法是：①底数相同指数不同时，要考虑指数函数的单调性；②底、指数都不同时要借助于中间值(如0或1)再不行可考虑商值(或差值)比较法；③对数函数型数值间的大小关系，底相同者考虑对数函数的单调性，底不同时可考虑中间值(如0或1)，或用换底公式化为同底．最后可考虑比较法． 【自助餐】1．已知函数xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21)(的图象与函数)(x g y =的图象关于直线x y =对称，令)1()(x g x h -=，则关于)(x h 有下列命题：①)(x h 的图象关于原点对称；②)(x h 为偶函数；③)(x h 的最小值为0；④)(x h 在上为减函数．其中正确命题的序号为 ． 2．已知函数)3(log )(ax x f a -=．（1）当[]2,0∈x 时，函数)(x f 恒有意义，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使得函数)(x f 在区间[]2,1上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值．3．已知集合}321≤≤⎩⎨⎧=x x P ，函数)22(log )(22+-=x ax x f 的定义域为Q ． （1）若(]3,2,32,21-=⎪⎭⎫⎢⎣⎡=Q P Q P ，求实数a 的值；（2）若φ=Q P ，求实数a 的取值范围。
新高考一轮复习人教A版第二章第六讲对数与对数函数课件(58张)
【名师点睛】对数运算的一些结论 (1)logam bn＝mn logab. (2)logab·logba＝1. (3)logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
图象
0<a<1
定义域 值域
(0，＋∞) R
(续表)
y＝logax
a>1
0<a<1
过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
题组一 走出误区 1.(多选题)下列结论错误的是( )
A.2lg 3≠3lg 2 B.若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN C.y＝log2x2 不是对数函数，而 y＝log2(－x)是对数函数 D.函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域 相同 答案：ABC
解析：原式＝1－2log63＋log63lo2g＋64log663×log66×3 ＝1－2log63＋lologg63642＋1－log632＝212－lolgo6g263 ＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
答案：1
3.已知 2x＝12，log231＝y，则 x＋y 的值为________. 答案：2 4.设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝________.
[例 4](1)(2020 年新高考Ⅱ)已知函数 f(x)＝lg(x2－4x－
5)在(a，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是( )
A.(－∞，－1]
B.(－∞，2]
C.[2，＋∞)
D.[5，＋∞)
解析：由 x2－4x－5＞0，得 x＜－1 或 x＞5，即函数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5， 则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减， 在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上 单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)， 由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5.
2020版高考数学大一轮复习第9讲对数与对数函数学案理新人教A版
第9讲 对数与对数函数1.对数概念如果a x=N (a>0,且a ≠1),那么x 叫作以a 为底N 的 ,记作x=log a N ,其中a叫作对数的底数,N 叫作真数,log a N 叫作对数式性质底数的限制:a>0,且a ≠1对数式与指数式的互化:a x=N ⇔负数和零没有log a 1=log a a=1对数恒等式:a lll a l = 运算法则 log a (M ·N )=a>0,且a ≠1, M>0,N>0log a MN =log a M n= (n∈R) 换底公式换底公式:log a b=log l l log l l(a>0,且a ≠1,c>0,且c ≠1,b>0)推论:lo g l l b n= ,log a b=1log l l2.对数函数的概念、图像与性质概念函数y=log a x (a>0,a ≠1)叫作 函数底数a>1 0<a<1图像定义域(续表) 值域性质过定点,即x=1时,y=0 在区间(0,+∞)上是函数在区间(0,+∞)上是函数3.反函数指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线对称.常用结论1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.题组一常识题1.[教材改编]化简log a b log b c log c a的结果是.2.[教材改编]函数f(x)=log2(2-x)的定义域是.3.[教材改编]若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(2)= .4.[教材改编]函数y=lo√2x2-4x+5)的单调递增区间是.题组二常错题◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位;忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质;忽略对底数的讨论致误.5.有下列结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=1,则x=10;④若log 22=x ,则x=1;⑤若log m n ·log 3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是 .6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y ),则ll = .7.设a=14,b=log 985,c=log 8√3,则a ,b ,c 的大小关系是 .8.若函数y=log a x (a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a= .探究点一 对数式的化简与求值例1 (1)[2018·宿州质检] 已知m>0,n>0,lo g √2(3m )+log 2n=lo g √2(2m 2+n ),则log 2m-log 4n 的值为( )A .-1B .1C .-1或0D .1或0(2)设2x=5y=m ,且1l +1l=2,则m= .[总结反思] (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.变式题 (1)[2018·昆明一中模拟] 设x ,y 为正数,且3x=4y,当3x=py 时,p 的值为 ( ) A .log 34 B .log 43 C .6log 32 D .log 32(2)计算:lg 32+log 416+6lg 12-lg 5= . 探究点二 对数函数的图像及应用例2 (1)函数f (x )=log a |x|+1(0<a<1)的图像大致是( )A BC D图2-9-1(2)[2018·濮阳二模] 设x 1,x 2,x 3均为实数,且(12)l 1=log 2(x 1+1),(12)l 2=log 3x 2,(12)l 3=log 2x 3,则 ( ) A .x 1<x 3<x 2B .x 3<x 2<x 1C .x 3<x 1<x 2D .x 2<x 1<x 3[总结反思] (1)在研究对数函数图像时一定要注意其定义域,注意根据基本的对数函数图像作出经过平移、对称变换得到的函数的图像.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解. 变式题 (1)函数f (x )=ln(|x|-1)的大致图像是( )A BC D图2-9-2(2)若函数f (x )=log 2(x+1),且a>b>c>0,则l (l )l ,l (l )l ,l (l )l的大小关系是 ( )A .l (l )l>l (l )l >l (l )lB .l (l )l>l (l )l >l (l )l C .l (l )l>l (l )l >l (l )lD .l (l )l>l (l )l >l (l )l探究点三 解决与对数函数性质有关的问题微点1 比较大小例3 (1)[2018·武汉4月调研] 若实数a ,b 满足a>b>1,m=log a (log a b ),n=(log a b )2,l=log a b 2,则m ,n ,l 的大小关系为 ( )A .m>l>nB .l>n>mC .n>l>mD .l>m>n(2)[2018·长沙雅礼中学期末] 已知a=ln 12,b=lo g 1312,则( )A .a+b<ab<0B .ab<a+b<0C .a+b<0<abD .ab<0<a+b[总结反思] 比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过巡回转化进行比较.微点2 解简单对数不等式例4 (1)[2018·成都七中二诊] 若实数a 满足log a 23>1>lo g 34a ,则a 的取值范围是 ( )A .(23,1)B .(23,34) C .(34,1) D .(0,23)(2)已知实数a>0,且满足不等式33a+2>34a+1,则不等式log a (3x+2)<log a (8-5x )的解集为 .[总结反思] 对于形如log a f (x )>b 的不等式,一般转化为log a f (x )>log a a b,再根据底数的范围转化为f (x )>a b或0<f (x )<a b.而对于形如log a f (x )>log b g (x )的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.微点3 对数函数性质的综合问题例5 (1)[2018·丹东二模] 若函数f (x )={log l l ,l >3,log 1ll +2,0<l ≤3存在最小值,则a 的取值范围为 ( )A .(1,+∞)B .[3,+∞)C .(1,3]D .(1,√3](2)已知f (x )=lo g 12(x 2-ax+3a )在区间[2,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是 .[总结反思] 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. 应用演练1.【微点3】若函数f (x )=a+log 2x 在区间[1,a ]上的最大值为6,则a= ( )A .2B .4C .6D .82.【微点1】[2018·银川一中四模] 设a=0.50.4,b=log 0.40.3,c=log 80.4,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a<b<cB .c<b<aC .c<a<bD .b<c<a3.【微点2】已知函数f (x )在区间[-2,2]上单调递增,若f (log 2m )<f [log 4(m+2)]成立,则实数m 的取值范围是 ( )A .[14,2) B .[14,1)C.(1,4]D.[2,4]4.【微点3】函数f(x)=log2(-x2+2x)的单调递减区间是.)= .5.【微点3】已知函数f(x)=ln(√1+l2-x)+2,则f(lg 3)+f(lg13第9讲对数与对数函数考试说明 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.对数函数(1)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点;(2)知道对数函数是一类重要的函数模型;(3)了解指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)互为反函数.【课前双基巩固】知识聚焦log a b1.对数x=log a N 对数0N log a M+log a N log a M-log a N n log a M ll2.对数(0,+∞)R(1,0)增减3.y=log a x(a>0,且a≠1)y=x对点演练1.1 [解析] 利用对数的换底公式可得结果为1.2.(-∞,2) [解析] 由2-x>0,解得x<2,即函数f (x )的定义域为(-∞,2).3.1 [解析] 函数f (x )=log 2x ,所以f (2)=1.4.(-∞,2) [解析] 因为0<√2<1,所以y=lo √2单调递减,而函数y=x 2-4x+5>0恒成立,且单调递减区间为(-∞,2),所以函数y=lo √2x 2-4x+5)的单调递增区间是(-∞,2).5.①②③④⑤ [解析] ①lg 10=1,则lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③底的对数等于1,则x=10;④底的对数等于1;⑤log m n=lg l lg l,log 3m=lg l lg3,则lg l lg3=2,即log 3n=2,故n=9.6.4 [解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y ),所以xy=(x-2y )2,即x 2-5xy+4y 2=0,解得x=y 或x=4y.由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y 不符合题意,当x=4y 时,得ll =4.7.c>a>b [解析] a=14=log 9√94=log 9√3<log 8√3=c ,a=log 9√3>log 985=b ,所以c>a>b.8.2或12 [解析] 分两种情况讨论:(1)当a>1时,有log a 4-log a 2=1,解得a=2;(2)当0<a<1时,有log a 2-log a 4=1,解得a=12.所以a=2或12. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)先化为同底的对数,根据对数的运算法则得出m ,n 之间的关系,再代入求值.(2)先反解x ,y ,再代入1l +1l =2,即可得m 的值.(1)C (2)√10 [解析] (1)因为lo g √2(3m )+log 2n=log 2(9m 2)+log 2n=log 2(9m 2n ), lo g √2(2m 2+n )=log 2(2m 2+n )2, 所以9m 2n=(2m 2+n )2,即4m 4-5m 2n+n 2=0,解得4m 2=n 或m 2=n , 所以log 2m-log 4n=log 2m-log 2√l =log 2√l 2l=-1或0.(2)由2x=5y=m ,得x=log 2m ,y=log 5m , 再由1l +1l =2,得1log 2l +1log 5l=2,即log m 2+log m 5=2, 所以log m 10=2,所以m=√10.变式题 (1)C (2)1 [解析] (1)令3x=4y=t ,则x=log 3t ,y=log 4t ,由3x=py ,得p=3log 3l log 4l =3log l 4log l3=3log 34=6log 32,故选C .(2)lg 32+log 416+6lg 12-lg 5=lg 25+log 442-6lg 2-lg 5=2-lg 2-lg 5=2-lg 10=1.例2 [思路点拨] (1)由f (x )的性质及其图像过点(1,1),(-1,1)得到答案;(2)在同一坐标系内作出函数y=(12)l与y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 的图像,根据图像得到交点,分析交点的横坐标进行大小比较.(2)在同一坐标系内画出函数y=(12)l与y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 的图像,根据图像得到交点,比较交点的横坐标的大小即可.(1)A (2)A [解析] (1)由于函数f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是偶函数,所以其图像关于y 轴对称.当x>0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是减函数;当x<0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是增函数.再由f (x )的图像过点(1,1),(-1,1),可知应选A .(2)x 1,x 2,x 3分别是函数y=(12)l与y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 图像的交点的横坐标,作出函数y=(12)l,y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 的大致图像如图所示,由图可得x 1<x 3<x 2,故选A . 变式题 (1)B (2)B [解析] (1)函数f (x )=ln(|x|-1)的定义域为{x|x>1或x<-1},且f (x )是偶函数,故排除C,D;当x>1时,函数f (x )=ln(x-1)是增函数,故排除A .故选B . (2)由题意可得,l (l )l ,l (l )l ,l (l )l可分别看作函数f (x )=log 2(x+1)图像上的点(a ,f (a )),(b ,f (b )),(c ,f (c ))与原点连线的斜率,结合图像(图略)可知,当a>b>c>0时,l (l )l>l (l )l >l (l )l .故选B .例3 [思路点拨] (1)推导出0=log a 1<log a b<log a a=1,由此利用对数函数的单调性比较m ,n ,l 的大小;(2)先分析出ab<0,a+b<0,再利用作差法比较ab 和a+b 的大小关系得解. (1)B (2)B [解析] (1)∵实数a ,b 满足a>b>1,m=log a (log a b ),n=(log a b )2,l=log a b 2,∴0=log a 1<log a b<log a a=1, ∴m=log a (log a b )<log a 1=0,0<n=(log a b )2<1,l=log a b 2=2log a b>n=(log a b )2,∴l>n>m.故选B .(2)由题得a=ln 12<ln 1=0,b=lo g 1312>lo g 131=0,所以ab<0.又a+b=ln 12+lo g 1312=-ln 2+ln2ln3=ln 2(1ln3-1)=ln 2·1-ln3ln3<0,则ab-(a+b )=ab-a-b=ln 12·lo g 1312-ln 12-lo g 1312=-ln 2·ln2ln3+ln 2-ln2ln3=ln 2(-ln2ln3+1-1ln3)=ln 2·ln3-ln2-1ln3=ln 2·ln32eln3<0,所以ab<a+b<0.例4 [思路点拨] (1)分别求解不等式log a 23>1与lo g 34a<1,其交集即为不等式的解集;(2)先根据指数不等式确定a 的范围,然后根据同底的对数不等式求解,并注意真数的取值. (1)C (2)(34,85) [解析] (1)根据对数函数的性质,由log a 23>1,可得23<a<1;由lo g 34a<1,得a>34.综上可得34<a<1,∴a 的取值范围是(34,1),故选C .(2)由题意得3a+2>4a+1,∴0<a<1,∴{3l +2>8-5l ,3l +2>0,8-5l >0,解得x ∈(34,85).例5 [思路点拨] (1)由分段函数在两段上的单调性,结合f (x )存在最小值,列不等式求解即可;(2)令t=x 2-ax+3a ,则由题意可得函数t=x 2-ax+3a 在区间[2,+∞)上为增函数,且当x=2时,t>0,从而得解.(1)C (2)-4<a ≤4 [解析] (1)由题意可知a>1,否则函数无最小值, 所以当x>3时,f (x )>log a 3,当0<x ≤3时,f (x )=lo g 1lx+2单调递减,且满足f (x )≥f (3)=lo g 1l3+2,所以log a 3≥lo g 1l3+2,即log a 3≥1,得1<a ≤3.故选C .(2)令t=x 2-ax+3a ,则由函数g (t )=lo g 12t 在区间[2,+∞)上为减函数,可得函数t=x 2-ax+3a 在区间[2,+∞)上为增函数,且当x=2时,t>0, 故有{l2≤2,4-2l +3l >0,解得-4<a ≤4.应用演练1.B [解析] 由题得函数f (x )=a+log 2x 在区间[1,a ]上是增函数,所以当x=a 时,函数取得最大值6,即a+log 2a=6,解得a=4.故选B .2.C [解析] ∵0<a=0.50.4<0.50=1,b=log 0.40.3>log 0.40.4=1,c=log 80.4<log 81=0,∴c<a<b.3.A [解析] 不等式即为f (log 4m 2)<f [log 4(m+2)], ∵函数f (x )在区间[-2,2]上单调递增,∴{log 4l 2<log 4(l +2),-2≤log 2l ≤2,-2≤log 4(l +2)≤2,即{ l2<l +2,14≤l ≤4,116≤l +2≤16,解得14≤m<2, ∴实数m 的取值范围是[14,2).故选A .4.(1,2) [解析] 由-x 2+2x>0,可得x 2-2x<0,解得0<x<2, ∴函数f (x )=log 2(-x 2+2x )的定义域为(0,2).又y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,y=-x 2+2x (0<x<2)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,∴函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,∴函数f (x )的单调递减区间是(1,2).5.4 [解析] 设g (x )=ln(√1+l 2-x ),显然有g (-x )=-g (x ),即g (x )为奇函数,则g (-x )+g (x )=0,所以f (lg 3)+f (lg 13)=f (lg 3)+f (-lg 3)=g (lg 3)+2+g (-lg 3)+2=4.【备选理由】 例1主要考查对数的运算、对数函数图像的变换;例2考查比较对数式的大小;例3主要考查复合函数的单调性以及对数函数与指数函数的性质;例4为对数函数性质的综合问题.例1 [配合例2使用] 为了得到函数y=lg x 的图像,只需将函数y=lg(10x )图像上( )A .所有点的纵坐标伸长到原来的10倍,横坐标不变B .所有点的横坐标缩短到原来的110,纵坐标不变C .所有点沿y 轴向上平移一个单位长度D .所有点沿y 轴向下平移一个单位长度[解析] D y=lg(10x )=1+lg x ,将y=1+lg x 图像上所有点沿y 轴向下平移一个单位长度,就得到函数y=lg x 的图像,故选D .例2 [配合例3使用] [2018·柳州三模] 已知a=18118,b=log 2017√2018,c=log 2018√2017,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c>b>aB .b>a>cC .a>c>bD .a>b>c[解析] D a=18118>180=1,b=log 2017√2018=12log 20172018,∵log 20172018∈(1,2),∴b ∈(12,1).c=log 2018√2017=12log 20182017,∵log 20182017∈(0,1),∴c ∈(0,12),∴a>b>c.例3 [配合例5使用] 已知函数f (x )=lg (5l +45l +l )的值域是R,则m 的取值范围是( ) A .(-4,+∞) B .[-4,+∞)C .(-∞,4)D .(-∞,-4][解析] D 令t=5x +45l +m ,因为f (x )的值域为R,所以t 可取(0,+∞)内的每一个正数,所以4+m ≤0,故m ≤-4,故选D .例4 [配合例5使用] 已知函数f (x )=log a (x+1),g (x )=log a (1-x )(其中a>0,且a ≠1).(1)求函数f (x )+g (x )的定义域;(2)判断函数f (x )-g (x )的奇偶性,并予以证明;(3)求使f (x )+g (x )<0成立的x 的取值集合. 解:(1)由题意得{l +1>0,1-l >0,∴-1<x<1,∴所求定义域为{x|-1<x<1}.(2)函数f (x )-g (x )为奇函数.证明如下:令h (x )=f (x )-g (x ),则h (x )=log a (x+1)-log a (1-x )=log al +11-l , 则h (-x )=log a -l +11+l =-log a l +11-l =-h (x ), ∴函数h (x )=f (x )-g (x )为奇函数.(3)∵f (x )+g (x )=log a (x+1)+log a (1-x )=log a (1-x 2)<0=log a 1,∴当a>1时,0<1-x2<1,即0<x<1或-1<x<0;当0<a<1时,1-x2>1,不等式无解.综上,当a>1时,使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合为{x|0<x<1或-1<x<0}.。
《对数与对数函数》——高三数学一轮复习
xlg|x－1| xlg－x＋1
＋∞)，当 x<0 时，－x＋1>1，函数 f(x)＝
＝
＝－lg(－x＋1)<0，故
|x|
－x
xlg|x－1| xlg－x＋1
排除 A、B 选项；当 0<x<1 时，0<－x＋1<1，故函数 f(x)＝
＝
＝lg(－
|x |
x
xlg|x－1| xlgx－1
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增
C．f(x)没有最大值
D．f(x)没有最小值
ABC
)
图象的应用
解析 对于 A，f(x＋2)＝lg(|x|＋1)，∵lg(|－x|＋1)＝lg(|x|＋1)，∴f(x＋2)为偶函数，
A 正确；对于 B，当 x≥0 时，f(x＋2)＝lg(x＋1)，∴f(x＋2)在[0，＋∞)上单调递增，
转化为函数 y＝2x，y＝3x，y＝log5x 与直线 y＝t>1 的交点的横坐标的关系，故作出函
数图象，如图，由图可知 z>x>y.
比较大小
例 7. (2022·山东淄博一模)若 4x＝5y＝20，
z＝logxy，
则 x，
y，
z 的大小关系为(
A．x<y<z
B．z<x<y
C．y<x<z
D．z<y<x
≈541 万元，故选
40
2
PART.02
对数函数的图象及其性质
知识回顾
3．对数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，
2018年高三一轮复习《对数与对数函数》导学案
一轮复习学案对数与对数函数☆学习目标： 1．掌握对数函数的图象和性质；2．掌握对数形式的复合函数的图像、定义域、值域, 单调性、奇偶性．重点：对数函数的图象及性质的简单应用．☻基础热身：(1).设1a >，且2l o g (1)a m a =+,log (1)a n a =-,log (2)a p a =, 则m n p ，，的大小关系为( ) .A n m p >> .B m p n >> .C m n p >>.D p m n >>. (2).若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)21,0(内恒有()0f x >，则()f x的单调递增区间为( ).A )41,(--∞ .B ),41(+∞- .C ()0,+∞ .D )21,(--∞. (3).下列四个数中最大的是（ ）.A 2(l n 2) .B ln(ln 2) .C l .D l n 2．☻知识梳理：1．对数函数的定义：函数x y a log =(a ＞0且a ≠1)叫做对数函数。
其中 x 是自变量。
2．指数函数的图象和性质:3. 对数函数x y a log = (a ＞0且a ≠1) 和 指数函数x a y =的互为反函数. 互为反函数的两个函数定义域, 值域互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线: 对称. ☆ 案例分析：例1. (1)设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a =( ).A .B 2 .C .D 4.(2)若函数log ()a y x b =+(0,1)a a >≠的图象过两点()1,0-和()0,1，则( ).A 2a =,2b = .B a 2b =.C 2a =,1b = .D a b 例2.(1）若21a b a >>>，则log b b a，log b a ，log a b 从小到大依次为 ； （2）若235x y z ==，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为 ；（3）设0x >，且1x x a b <<（0a >，0b >），则a 与b 的大小关系是（ ） A 1a << B 1a b <<C 1b a <<D 1a b <<例3. 已知函数()log (1)x a f x a =-（0a >且1a ≠）求证：（1）函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0例4. 已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：（1）对于任意x ∈[0，1]，总有f(x)≥0； （2）f(1)=1（3）若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则有)()()(2121x f x f x x f +≥+ （Ⅰ）试求f(0)的值； （Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x ，都有f(x)≤2x参考答案基础热身：(1).D; (2).D; (3).D.例1. (1)D; (2).A例2.解：（1）由21a b a >>>得b a a <，故log b b a<log b a 1<<log a b （2）令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg3t y =，lg lg5t z =， ∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅，∴23x y >； 同理可得：250x z -<，∴25x z <，∴325y x z <<（3）取1x =，知选B例3证明：（1）由10x a ->得：1x a >，∴当1a >时,0x >,即函数()f x 的定义域为(0,)+∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧；当01a <<时,0x <,即函数()f x 的定义域为(,0)-∞，此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；（2）设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点，且12x x <，则直线AB 的斜率1212y y k x x -=-， 1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-， 当1a >时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a <<， ∴12011x x a a <-<-，∴121011x x a a -<<-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k >； 当01a <<时，由（1）知120x x <<，∴121x x a a >>， ∴12110x x a a ->->，∴12111x x a a ->-，∴120y y -<，又120x x -<，∴0k > ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0例4（I ）令021==x x ， 依条件（3）可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0 又由条件（1）得f(0) ≥0，则f(0)=0（Ⅱ）任取1021≤<≤x x ，可知]1,0(12∈-x x , 则)()(])[()(1121122x f x x f x x x f x f +-≥+-=,即0)()()(1212≥-≥-x x f x f x f ，故)()(12x f x f ≥于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1. 因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，（Ⅲ）证明：研究 ①当]1,21(∈x 时，f(x) ≤1<2x ②当]21,0(∈x 时， 首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴)2(21)(x f x f ≤ 显然，当]21,21(2∈x 时，21)1(21)212(21)21()(=⋅=⋅⋅≤≤f f f x f 成立 假设当]21,21(1k k x +∈时，有k x f 21)(≤成立，其中k ＝1，2，… 那么当]21,21(12++∈k k x 时，111212121)21(21)212(21)21()(+++=⋅≤⋅=⋅⋅≤≤k k k k k f f f x f 可知对于]21,21(1n n x +∈，总有n x f 21)(≤，其中n=1，2，… 而对于任意]21,0(∈x ，存在正整数n ，使得]21,21(1n n x +∈，此时x x f n 221)(≤≤, ③当x=0时，f(0)=0≤2x综上可知，满足条件的函数f(x)，对x ∈[0，1]，总有f(x) ≤2x 成立。
新人教版高中数学对数与对数运算第1课时导学案(无答案)
对数与对数运算【学习目标】1、能说出对数的定义，能实现指数式与对数式的互化，能记住对数的性质2、会利用指数式与对数式的互化3、体验引进对数的必要性【学习重点与难点】学习重点：对数的概念理解；对数式与指数式的互化.学习难点：对数的概念理解【使用说明与学法指导】，阅读XXX资料XXX页内容，1、带着预习案中问题导学中的问题，通读教材P62~63形成对数概念的理解，作好必要的标注和笔记。
2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
3、熟记、XXX基础知识梳理中的重点知识。
预习案一、问题导学1、为什么要引进对数？2、如何实现对数式与指数式的互化？3、常用对数和自然对数是如何定义的？二、知识梳理1、对数定义：如果x a N=(0,1)>≠，那么数x叫做，记作 .a a2、常用对数：3、自然对数：4、log 1a = ， log a a = ， 没有对数。
三、预习自测1、将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.（1）53243=； （2）51232-=； （3）1() 1.032m =（4）2log 1287= （5）201.0lg -= （6） 303.210ln =2、求下列各式的值.（1）5log 25 = ； （2）21log 16= ； （3）lg 10000= ； 3、=n a a log =N a a log探究案一、合作探究探究1、求下列各式中x 的值：（1）642log 3x =；（2）log 86x =-； （3）lg 4x =； （4）3ln e x =.思路小结：探究2、（1）若,3log ,2log n m a a == 则n m a 32+=（2）已知[],0)(log log log 234=x 则21-x =二、总结整理1、核心知识：2、典型方法：3、重点问题解决：训练案一、课中检测与训练（能在5分钟之内完成）1、若2log 3x =，则x =（ ）A. 4B. 6C. 8D. 92、对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是 （ ）.A ．(,5)-∞B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)3、计算：=33log 3 .4、log = （ ）.A. 1B. －1C. 2D. －2二、课后巩固促提升1、反思提升：熟记对数与指数的转化，反思学习思路和方法，整理典型题本2、完成作业：课本P74页：A 组1题、2题；《课时作业》Px-x 页：x 题、x 题3、温故知新：阅读课本Px-x 页，并完成新发的预习案；探讨《随堂优化训练》Px-x 页。
高三数学第一轮复习 对数与对数函数教案 文 教案
对数与对数函数一、知识梳理：（阅读教材必修1第62页—第76页）1、对数与对数的运算性质（1）、一般地，如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数，记做x= ,其中a叫做对数的底，叫做对数的真数。
（2）、以10为底的对数叫做常用对数，并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数，并把记为lnN. （3）、根据对数的定义，可以得到对数与指数和关系：（4）、零和负数没有对数； =1； =0；=N（5）、对数的运算性质：如果，M>0,N>0 ，那么=+==n（n）换底公式：=对数恒等式：=N2、对数函数与对数函数的性质（1）、一般地，我们把函数f(x)=)叫做对函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+。
（2）、对数函数的图象及性质图象的性质：①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。
3、反函数：对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。
原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。
互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x对称。
【关于反函数注意大纲的要求】二、题型探究探究一：对数的运算例1：（15年安徽文科）=-+-1)21(2lg225lg。
【答案】-1【解析】试题分析：原式＝12122lg5lg2lg22lg5lg-=-=-+=-+-考点：对数运算.例2：【2014辽宁高考】已知132a-=，21211log,log33b c==，则（）A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>例3：【2015高考浙江】若4log3a=，则22a a-+=．【答案】334.【考点定位】对数的计算探究二：对数函数及其性质例4：【2014江西高考】函数)ln()(2xxxf-=的定义域为（）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞例5：下列关系 中，成立的是（A ）、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题 例7：【15年天津文科】已知定义在R 上的函数||()21()xm f x m 为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b(log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a(B) b c a (C) b a c (D) b c a【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.例8：【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a==则x =________.三、方法提升：1、 处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题，尤其在大题中【最后的导数题】，一定要首先考虑函数的定义域，然后在定义域中研究问题，以避免忘记定义域出现错误；2、 在2015年高考小题中，考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系，中档难度。
新高考一轮复习人教A版2.5 对数与对数函数课件(49张)
(3)指数函数与对数函数的关系：一般地，指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)互为反 函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线 y＝x 对称.
【常用结论】
3. 对数相关结论 (1)对数恒等式：alogaN＝N； (2)换底公式推论：logab·logbc·logcd＝logad. 4. 对数函数相关结论 (1)对数函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)以 y 轴为渐近线；g(x)＝logax＋b 恒过定点(1，b)，仍以 y 轴为 渐近线.
D. ( 2，2)
【点拨】 ①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与 坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. ②一些对数型方程、不等式 问题常转化为相应的函数图象问题，数形结合求解.
(1)(2020 怀柔区一模)函数 y＝|log2x|的图象是 ( )
a
＝
log52
，
b
＝
log83
，
c
＝
1 2
，
则
下
列
判
断
正
确
的
是
()
A. c<b<a
B. b<a<c
C. a<c<b
D. a<b<c
解：因为 a＝log52<log5 5＝12＝log82 2＜log83＝b，即 a＜c＜b. 故选 C.
若 loga2<0(a>0 ， 且 a≠1) ， 则 函 数 f(x) ＝ loga(x ＋ 1) 的 图 象 大 致 是 ()
A
B
C
D
解：因为 f(x)＝l－ogl2oxg，2xx，≥10，＜x＜1. 则函数的定义域为(0，＋∞)，即函数图象只出现在 y 轴右侧，值域为[0，＋∞)，即函数 图象只出现在 x 轴上方； 且函数 f(x)的图象是在区间(0，1)上单调递减的曲线，在区间(1，＋∞)上单调递增的曲 线. 由增长趋势知 C 错误，只有 D 项满足要求. 故选 D.
高考数学一轮专项复习ppt课件(新高考用)-对数与对数函数
B．
）
C．
D．
【答案】BCD
【解析】函数 = log + 1 0 < < 1 的定义域为 ≠ 0 ，
因为 − = log + 1 = ，所以函数 为偶函数，
当 ∈ 0, +∞ 时， = log + 1 0 < < 1 为减函数，且过定点 1,1 ，
⑥log = log (， ∈
⑦log = 和log = ；
1
log
=
⑧
；
log
)；
知识梳理·基础回归
知识点2：对数函数的定义及图像
（1）对数函数的定义：函数 = log ( > 0且 ≠ 1)叫做对数函数．
（2）对数函数的图象与性质
【典例3-1】函数 = log + 1 （ > 0且 ≠ 1）的图象必经过一个定点，则这个定
点的坐标是（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C． 1,1
D． 1,0
【答案】C
【解析】因为对数函数 = log （ > 0且 ≠ 1）恒过定点(1,0)，
所以函数 = log + 1 （ > 0且 ≠ 1）的图象必过定点(1,1)．
A． >
B． + < 2
C． > 1
）
D．2 + 2 > 2
【答案】D
【解析】作出函数 = e 和 = ln的图象以及直线 = 2 − 的图象，如图，
由函数 = e 和 = ln的图象与直线 = 2 − 交点的横坐标分别为，，
高考数学一轮复习 第2章《对数与对数函数》名师首选学案 新人教A版
高考数学一轮复习 第2章《对数与对数函数》名师首选学案 新人教A 版导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．对数的定义如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)①a lo g a N ＝____； ②log a 1＝____；③log a a N＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________；②log a M N ＝____________； ③log a M n＝__________(n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M .3 a >1 0<a <1图 象性质(1)定义域：________ (2)值域：____(3)过点________，即x ＝____时，y ＝____ (4)当x >1时，______； 当0<x <1时，______ (5)当x >1时，______； 当0<x <1时，______ (6)是(0，＋∞)上的__函数 (7)是(0，＋∞)上的__函数指数函数y ＝a x与对数函数__________互为反函数，它们的图象关于直线______对称． 自我检测 1．2log 510＋log 50.25的值为________．2．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 的值为________．3．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)的值为________．4．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足f (log 18x )>0的x的取值范围是__________________．5．已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__________．探究点一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1)log (2＋3)(2－3)； (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (3)已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y ，求log (3－22)xy.变式迁移1 计算：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.探究点二 含对数式的大小比较 例2 比较下列各组数的大小．(1)log 323与log 565；(2)log 1.10.7与log 1.20.7；(3)已知111222log log log b a c <<，比较2b,2a,2c的大小关系．变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ改编)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系为________(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(12)c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．探究点三 对数函数的图象与性质例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (1)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为______________．(2)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)________f (a ＋1)．(填写“<”“＝”“>”)转化化归与分类讨论思想例 (16分)已知函数f (x )＝log a (1－a x )及g (x )＝log a (a x－1)(a >0，a ≠1)．(1)解关于x 的不等式：log a (1－a x)>f (1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0.【答题模板】(1)解 ∵f (x )＝log a (1－a x)，∴f (1)＝log a (1－a )．∴1－a >0.∴0<a <1.∴不等式可化为log a (1－a x)>log a (1－a )．[4分]∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a x >0，1－a x<1－a .，即⎩⎪⎨⎪⎧a x<1，a x >a .∴0<x <1. ∴不等式的解集为(0,1)．[8分](2)证明 设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝log a (1－ax 2)－log a (1－ax 1)＝log a 1－ax 21－ax 1.∵1－a x >0，∴a x<1.∴a >1时，f (x )的定义域为(－∞，0)；0<a <1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)．[12分] 当0<a <1时，∵x 2>x 1>0，∴ax 2<ax 1. ∴1－ax 21－ax 1>1.∴log a 1－ax 21－ax 1<0. ∴f (x 2)<f (x 1)，即y 2<y 1.同理可证，当a >1时，也有y 2<y 1.综上：y 2<y 1，即y 2－y 1<0.∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0.∴直线AB 的斜率小于0.[16分] 【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．1．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小，其中a >0且a ≠1. ①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a <b .2．(1)指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．(2)明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．设M ＝{y |y ＝(12)x，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N ＝________.2．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝125-，则a ，b ，c 大小关系为________．3．2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.4．函数f (x )＝ln 1＋ax1＋2x (a ≠2)为奇函数，则实数a 等于________．5．已知函数f (x )＝a x＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围为______________．7．已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________. 8．下列命题：①若函数y ＝lg(x ＋x 2＋a )为奇函数，则a ＝1；②若a >0，则方程|lg x |－a ＝0有两个不相等的实根； ③方程lg x ＝sin x 有且只有三个实数根；④对于函数f (x )＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f (x 1＋x 22)<f x 1＋f x 22.以上命题为真命题的是________．(将所有真命题的序号填在横线上) 二、解答题(共42分)9．(14分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(14分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．11．(14分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x)(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．答案自主梳理1．a b＝N (a >0，且a ≠1) b ＝log a NaN 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log c N log c a②log a d (3)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0(6)增 (7)减 4.y ＝log a xy ＝x 自我检测1．2 2.10 3.124 4.(0，12)∪(2，＋∞) 5.m >n课堂活动区例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解 (1)方法一 利用对数定义求值： 设log (2＋3)(2－3)＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解：log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)12＋3＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(2)原式＝12(lg 32－lg 49)－4312lg8＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12. (3)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y )2－6(x y )＋1＝0.∴xy ＝3±2 2. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴xy >1，∴x y＝3＋22，∴log (3－22)xy＝log (3－22)(3＋22)＝log3－2213－22＝－1.变式迁移1 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝322log 2-＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解 (1)∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.(2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2.∴1log 0.71.1<1log 0.71.2， 由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二 作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7. (3)∵y ＝12log x 为减函数，且111222log log log b a c <<，∴b >a >c .而y ＝2x是增函数，∴2b>2a>2c. 变式迁移2 (1)a >b >c解析 a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b <1，c ＝12log 32<12，∴a >b >c .(2)a <b <c解析 ∵a ，b ，c 均为正，∴12log a ＝2a>1，12log b ＝(12)b ∈(0,1)，log 2c ＝(12)c∈(0,1)．∴0<a <12，12<b <1,1<c <2.故a <b <c .例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 分类讨论．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式迁移3 (1)(3，＋∞) (2)<解析 (1)画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1， ∴lg a <0，lg b >0. 又∵f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴a ＋2b ＝a ＋2a，易证μ＝a ＋2a在(0,1)上单调递减，∴μ>3.即a ＋2b >3.(2)∵f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增， ∴a >1.∴a ＋1>2.∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)． 课后练习区 1．(－∞，1]解析 ∵x ≥0，∴y ＝(12)x∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]． ∴M ∪N ＝(－∞，1]． 2．c <a <b解析 ∵1a ＝log 23>1，1b＝log 2e>1，log 23>log 2e.∴1a >1b>1，∴0<a <b <1.∵a ＝log 32>log 33＝12，∴a >12.b ＝ln 2>ln e ＝12，∴b >12.。
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高三数学一轮复习 对数与对数函数1（学生）导学案 新
人教版
一、学习目标：（1）理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数及相应的对数式的化简。
（2）理解对数函数的概念，体会对数函数是另一类重要的函数模型，掌握对数函数的单调性与特殊点。
二、自主学习：
1．计算：（1
）2log 2= ；（2
）1324lg 2493-+= （3）82log 9log 3
= （4）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+= 2．设25a b m ==，且112a b
+=，则m = 3. 方程的解是 4.已知log 2,log 3a a m n ==，则2m n a += ; 已知1830log 9 , 18 5 ,log 36b a ===
5. 已知532log [log (log )]0x =，那么1
2x
-等于 ;
三、合作探究
例1 设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值．
例2．设a 、b 、c 为正数，且满足222
a b c +=． （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b
+-+
++= （2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值．
例3．比较与的大小。
log log ()a a x x a 2122<<
变式： 若235x y z
==，且x ，y ，z 都是正数，试比较2x ，3y ，5z 的大小．
四、课堂总结
（1）对数与对数运算：
1．x N N a a x =⇔=log ； 2.a a N a =log . 3.01log =a ，1log =a a .
4.当0,0,1,0>>≠>N M a a 时：
()(1)log log log a a a MN M N
=+(2)log log log a a a M M N N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； (3)log log n a a M n M =.
5.换底公式：a
b b
c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 6.a
b b a log 1log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a . （2）不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；重视指数式与对数式的互化； 运用对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．
五、检测巩固
1. 若1249a =(a>0) ，则23
log a = 2． 已知0ab >，下面四个等式中：
①lg()lg lg ab a b =+；②lg lg lg a a b b
=-； ③b a b a lg )lg(212= ； ④1lg()log 10ab ab =． 其中正确命题的个数为 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3. （2008年山东文科卷）已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)
f f f f ++++的值等于 ．
4. 已知22
1,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,1a a x m n x
+==-log a y 等于（ ） A ．m n + B ．m n - C ．1()2m n + D ．1()2m n - 5. 设0,0,a b <<且,722ab b a =+那么1lg |()|3
a b +等于（ ） A ．1(lg lg )2a b + B ．1lg()2ab C ．1(lg ||lg ||)3a b + D ．1lg()3
ab。