人口问题的一个偏微分方程模型
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微分方程模型(人口预测)
2、基本假设
根据《国家人口发展战略研究》报告，当前中国人口的 增长有如下特点：
1）中国正进入老龄化社会，老年人的比重在不断加大； 2）农村与城镇育龄妇女的生育率及出生人口性别比有 着较大的区别； 3）农村人口不断城镇化，根据《国家人口发展战略研究》 报告，估计转化率为百分之一。
人口的增长率取决于出生率、死亡率和不同人群之间的 迁移率。而出生率又取决于育龄妇女的生育率及育龄妇女在 总人口中所占得比例。因此，需要对这些相关数据进行分析。
上述矩阵是可以对角化的，即存在可逆矩阵P，使得
1 b 0 u 0 0
A
1
0
P
1
0
v
0
P
P
1BP
0 1 c 0 0 1 c
这样，就得到
(x1, x2 , x3 )Tn (P1Bn P)( x1, x2 , x3 )T0
然后再对xn进行规一化处理
yn ( y1n , y2n , y3n )T
需要考虑的一个问题：农村分别在1970年和1990年前后经 历了两个生于高峰，而指数拟合只能体现出未来分年龄段走势 的主趋势。
添加一个不断减弱的周期性震荡来描述这种周期性变化。
正弦函数
在某次生育高峰后还会周期性地出现新的生育高峰，而文 化素养的提高和晚婚晚育的政策会削弱这种峰值效应。
城镇男性
1 (t ) 2 (t)
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关 数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模 型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们 模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明
微分方程模型--人口的预测
以1790-1900年共计12个数据为例进行拟合： t=[0：11]； %输入数据 x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76]; plot (t, x, ’o’); %画散点图 y=log(x); p=polyfit(t,y,1)
由统计数据用线性最小二乘法作参数估计
例：美国人口数据(百万)
t 1860 1870 1880 … 1960 1970 1980 1990 2000 x 31.4 38.6 50.2 … 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
r=0.2557/10年，xm =392.0886
年
1790 1800
Kkt
对x(t)求一阶、两阶导数：
x '(t)
cK 2keKkt (1 CeKkt )2
x(t )
CK 3k 2eKkt (CeKkt (1 CeKkt )3
1)
容易看出，x’(t)>0，即x(t)单调增加。
型的复合来研究便，研大究家若有兴趣可以根据生态系统的特征自
行建立相应的模型。
美丽的大自然
种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。
世界人口
§ 5.6 人口的预测
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
由统计数据用线性最小二乘法作参数估计
例：美国人口数据(百万)
t 1860 1870 1880 … 1960 1970 1980 1990 2000 x 31.4 38.6 50.2 … 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
r=0.2557/10年，xm =392.0886
年
1790 1800
Kkt
对x(t)求一阶、两阶导数：
x '(t)
cK 2keKkt (1 CeKkt )2
x(t )
CK 3k 2eKkt (CeKkt (1 CeKkt )3
1)
容易看出，x’(t)>0，即x(t)单调增加。
型的复合来研究便，研大究家若有兴趣可以根据生态系统的特征自
行建立相应的模型。
美丽的大自然
种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。
世界人口
§ 5.6 人口的预测
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
4.3偏微分方程模型
§4.3 偏微分方程模型如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
本节以人口增长模型和扩散模型为例说明偏微分方程的建模过程以及相应的数值解法。
4.3.1 人口增长模型统计数据表明，世界人口在1800年达到10亿，1930年达到20亿，1960年达到30亿，1974年达到40亿，1987年达到50亿，1999年达到60亿，2011年10月31日突破70亿。
可以看出，人口每增加10亿的时间由100多年缩短为10余年。
人口的剧增导致资源消费量增加，引起资源蓄积量减少甚至枯竭，出现诸如过度开垦土地、沙漠化日益严重、不合理地砍伐森林、绿色空间缩小、能源紧张等问题。
人口剧增还会带来空气污染，引起全球气候变化异常等环境问题，造成全球性生态平衡失调。
而且，这么多数量的人口空间分布极其不均衡。
全球45个发达国家的生育率都低于人口平均增长率。
在世界出生率最低的25个国家中，有22个在欧洲。
人口数量的减少成为这些国家最大的危机，对经济发展和国家安全带来严峻挑战。
同时，世界上人口增长率最高的都是一些最不发达的国家，如阿富汗、布隆迪、刚果、利比里亚等，而发展速度较快的发展中国家，如中国、印度、埃及等，也身负人口增加给经济和环境带来的巨大压力。
中国是世界上人口最多的国家，根据2010年第六次人口普查登记的全国总人口为13.3972亿（不包括港澳台地区），其中，男性人口6.8685亿，女性5287亿；60岁以上人口为1.7765亿，占总人口的13.26%；城市人口为6.6558亿，农村人口为6.7415亿。
老龄化问题、男女比例失调、城镇化建设加速等问题成为我国人口问题的一些新特点，直接影响着我国人口的发展趋势[1]。
准确地对人口进行预测，有效地控制人口增长并制定合理的人口政策，是全面落实科学发展观、实现适当生育水平、提高人口素质、改善人口结构、引导人口合理分布、保障人口安全、促进人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展的重要手段。
人口增长模型笔记
1 提高阀值σ ⇒ 降低 σ = λ/μ ⇒ 卫生医疗水平 ↑
降低s0 ⇒ 提高r0 ⇒ 群体免疫
3
σ的估计： s0 i0 s
1
ln
ln s0 ln s s 0⇒ s0 s0 s
1 ) ，提高阀值降低被传染
被传染人数的估计： x s0 s ⇒ x 2s0 ( s0 人数的比例。
例如：[x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y','Dy=-4*x+3*y','x(0)=0,y(0)=1')
2、常微分方程数值解的程序：
求解方法：1）欧拉法；2）龙格—库塔法 求解思想：变量离散化；
y ( xn 1 ) y ( xn ) y ' ，h 为迭代步长，越小越精确。 h
h yn 1 yn 2 (k1 k2 ) 4）改进欧拉法： k1 f ( xn , yn ) k f ( x , y hk ) n 1 n 1 2
数值公式的精度：当一个数值公式的截断误差可表示为 O（hk+1）时（k 为正整数，h 为 步长） ，称它是一个 k 阶公式。k 越大，则数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式，改进 的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。
i 0 = i0 ，s 0 = s0
1 s
0
i|s=s 0 = i0
SIR 模型
i s = s0 + i0 − s + σ ln s ，定义域 D =
s, i |s ≥ 0，i ≥ 0，s + i ≤ 1
s0 > 1/������ ⟶ i t 先升后降至零 ⟹ 传染病蔓延 s0 < 1/������ ⟶ i t 单调降至零 ⟹ 传染病不蔓延 预防传染病蔓延的手段：
降低s0 ⇒ 提高r0 ⇒ 群体免疫
3
σ的估计： s0 i0 s
1
ln
ln s0 ln s s 0⇒ s0 s0 s
1 ) ，提高阀值降低被传染
被传染人数的估计： x s0 s ⇒ x 2s0 ( s0 人数的比例。
例如：[x,y]=dsolve('Dx=3*x+4*y','Dy=-4*x+3*y','x(0)=0,y(0)=1')
2、常微分方程数值解的程序：
求解方法：1）欧拉法；2）龙格—库塔法 求解思想：变量离散化；
y ( xn 1 ) y ( xn ) y ' ，h 为迭代步长，越小越精确。 h
h yn 1 yn 2 (k1 k2 ) 4）改进欧拉法： k1 f ( xn , yn ) k f ( x , y hk ) n 1 n 1 2
数值公式的精度：当一个数值公式的截断误差可表示为 O（hk+1）时（k 为正整数，h 为 步长） ，称它是一个 k 阶公式。k 越大，则数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式，改进 的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。
i 0 = i0 ，s 0 = s0
1 s
0
i|s=s 0 = i0
SIR 模型
i s = s0 + i0 − s + σ ln s ，定义域 D =
s, i |s ≥ 0，i ≥ 0，s + i ≤ 1
s0 > 1/������ ⟶ i t 先升后降至零 ⟹ 传染病蔓延 s0 < 1/������ ⟶ i t 单调降至零 ⟹ 传染病不蔓延 预防传染病蔓延的手段：
人口方程
dt da 由 于 D a = D t， 故 d P (a , t ) dt + d P (a , t ) da
= - m (a ) P (a , t )
出生可作为边界条件，即
b
P ( 0, t ) =
ò
a
P (a , t ) f (a ) d a
式 中 ， f (a ) 为 a 岁 妇 女 生 育 率 ， a、b分别为育龄妇女生育下界和上界
(r ) = ò
b a
l (a ) m (a ) ex p (- r a ) d a = 1
稳定人口的生育率 b (t ) = 1
b
= b
ò
a
ex p ( - r a ) p (a ) d a
稳定人口各年龄组的人口比例 c (a , t ) = b ex p (- r a ) p (a ) = c (a ) l (a ) 是 女 性 人 口 从 0 : a 岁 的 存 活 概 率 m (a ) 是 a 岁 妇 女 的 生 女 孩 生 育 率
动态人口模型
普莱斯顿-寇尔动态人口模型
普莱斯顿-寇尔动态人口模型
假 定 一 人 口 系 统 的 瞬 时 死 亡 力 m (a , t ) 、 瞬 时 迁 出 率 O (a , t ) 和 瞬 时 迁 入 率 I (a , t ) 相 互 独 立 ， 那 么 综 合 考 虑 死 亡 、 迁 入 、 迁 出 的人口动态模型为 禳 x 轾 x 镲 镲 轾 N ( x , t ) = N ( 0, t ) ex p 睚 蝌 m (a , t ) + O (a , t ) - I (a , t ) d a ex p 犏 r (a , t ) d a 犏 犏 臌 镲 犏 0 镲 0 镲 铪 臌 禳 x 禳 x 镲 镲 镲 轾 a , t + I a , t d a ex p 镲 轾 N ( x , t ) = N ( 0, t ) ex p 睚 ò 犏( r m ) ( ) 睚 ò 犏 (a , t ) + O (a , t ) d a 臌 臌 镲 镲 镲 0 镲 0 ï 镲 铪 铪 可 描 述 任 何 变 动 中 的 人 口 过 程.
培训资料--微分方程模型人口模型等
x0
x0 0
t
人口发展方程
• 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
F(r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数 r ( ) ~ 最高年龄
m
F(0,t) 0, F(r ,t) N(t) m p(r, t) F r
人口发展方程
f
(t
)
(t
)r2 r1
h(r,
t
)k
(r,
t
)
p(r,
t
)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p 0
(r
r
t)e (s)ds r t r
,
0
t
r
f (t r)e0(s)ds , t r
p0 (r)
• 正反馈系统
(r,t) p(r,t)dt, dt dr1
p p (r,t) p(r,t) 一阶偏微分方程
r t
p
r
p t
(r, t )
p(r, t )
人口发展方程
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t)
f
(t ),
t0
~生育率（控制人口手段）
p0 (0) f (0) --------相容性条件
b(r,
t)k
(r,
t)
p(r,
t)dr
b(r,t) (t)h(r,t)
0
r2 r1
h(r , t )dr
1
h~生育模式
(t)
微分方程模型(经济数学建模课程(西安交通大学,戴雪峰)
若按（3） ，求出圆桶的速度 v(t)，就必须求出圆 桶的下沉时间，要做到这一点比较困难。为此改 变讨论方法，显然速度 v(t)为下沉深度的函数所 以 v(t)改写为 v(y(t))，
dv dv dy dt dy dt
（ 1）可写为 dy dv m W B cv dt dy
不过是指数增长模型离散形式的近似表示。
2、阻滞增长模型 （Logistic model）
将r表示为人口x(t)的函数r(x)，r(x)应为减 函数。最简单假设r(x)=r-sx，r、s>0，这 里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长 率。显然任意x>0，r(x)<r。为了确定s的意 义，引入自然资源和环境条件所容纳的最 大人口数量xm（称最大人口容量）。
• 设K为潜在的消费者总数， • n(t)为t时刻购买了该产品的人数，在时 间段[ t , t+Δ t ]中，Δ n由两部分组成， Δ n1是由来自消费者外部的产品信息导 致的购买者增量；Δ n2是由来自消费者 内部传播的产品信息导致的购买者增量。
△ n1 应与未购买者人数成正比，即
n1 a K nt t ，
cg t W
)
(3)
圆桶的极限速度 W B lim v(t ) 713.86 ft / s t c
如果极限速度不超过 40ft/s，工程师们就可以罢休 了，然而圆桶的极限速度竟然如此之大，使得人们 不得不开始相信工程师们也许是对的。 （即圆桶的 速度很有可能大于 40ft/s。 ）
数学建模
西安交通大学理学院 戴 雪 峰 E-mail: daixuefeng@
微分方程模型
（动态模型）
一、人口模型
以前常用这样的方法： 设人口增长率为r，今年人口为a0， 那末一年后为a0(1+r)，两年后就为a0(1+r)2， ……，k年后的人口为ak= a0(1+r)k。
[数学]第二章微分方程模型
第二章微分方程管模型第一节人口学模型人口问题是当今世界人类面临的五大问题的首要问题。
我国是世界上人口最多的国家，由于20世纪五六十年代人口政策方面的失误，不仅造成人口总数增长过快，而且年龄结构也不合理。
人口的过份增长给我国经济发展造成沉重袍袱，严重地影响经济建设。
能否有效地控制人口的增长，已成为本世纪中叶我国能否达到中等发达国家以至赶上发达国家的关键。
建立数学模型对人口发展过程进行描述、分析和预测，并进而研究控制人口增长的生育政策，已引起有关人口专家和官员的极大关注和兴趣。
以下我们就如何建立人口数学模型作简要的介绍。
一. 马尔萨斯人口增长模型对于如何预测人口的增长，早在8世纪人们就开始进行了。
英国早期经济学家马尔萨斯(1766-1843)他在担任牧师期间，根据教堂100多年人口出生统计资料，他发现人口出生率是一个常数。
于是在1798年发表的《人口原理》一书中提出了哄动于世的马尔萨斯人口模型：假设x(t)表示t时刻人口总数，r为人口增长率(常数)，其他影响人口增长的因素均不考虑。
则在t到t+△t这段时间内人口总数增长为()()()+∆-=∆x t t x t rx t t两端同除以t ∆，并令0t ∆→，得()00dx rx dtx t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩……… (1) 其解为()()00r t t x t x e -= (2)方程(1)称为马尔萨斯模型，它的解是一个以r e 为公比的几何级数。
马尔萨斯根据这个模型认为人口的增长是按几何级数增加，而物质的增长只能按算术级数增加。
因此，人口必须加以控制。
不幸的是马尔萨斯的这一忠告没有引起人们的足够重视。
马尔萨斯模型 (1) 和 (2) 与19世纪以前欧州一些地区的人口统计数据十分吻合。
据估计1961年全世界人口总数为93.0610⨯,而在此之前的十来年间人口按年2％的速率增长。
因此有9001961, 3.0610,0.02t x r ==⨯=于是 ()()0.02196193.0610t x t e -=⨯⨯ (3)根据统计资料，在1700—1961年间世界人口大约每35年增加一倍。
微分方程讲座-人口增长模型
Malthus模型呈现的是J型增长，只适应于短 期内，并无外界因素影响。而Logistic模型呈现S 型，适应于中长期且有外界因素影响。
Malthus模型和Logistic模型的推广
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为 了研究种群数量的增长情况而建立的，但它 们也可用来研究其他实际问题，只要这些实 际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
r
p
r
p t
(r,
t)
p(r,
t
)
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t
)
f
(t),
t0
~生育率（控制人口手段）
男女性别比
在增大
生育率
生育数
只生一个
育龄区间
晚婚、晚育
人口增长模型的总结
基于一个假设,形成了基础模型Malthus模 型,再通过对现实世界分析,改进模型引进 了阻滞项,从而得到了Logistic模型.
p
P(r,t)
方 程
rm ~ 最高年龄
F (0, t) 0, F (rm , t) N (t)
p(r, t) F r
0 F(r0,t) r0
r rm
t,年dr龄]人[r数, r
t r
dt,年龄[r dr1 dr1 dr]人数
,
dt
dr1
死(t, t亡人dt数)内
p(r, t)dr p(r dr1,t dt)dr (r,t) p(r,t)drdt
马尔萨斯模型人口预测图
11
x 10 3.5
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
N/人
2
自然资源限制
Malthus模型和Logistic模型的推广
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为 了研究种群数量的增长情况而建立的，但它 们也可用来研究其他实际问题，只要这些实 际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
r
p
r
p t
(r,
t)
p(r,
t
)
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t
)
f
(t),
t0
~生育率（控制人口手段）
男女性别比
在增大
生育率
生育数
只生一个
育龄区间
晚婚、晚育
人口增长模型的总结
基于一个假设,形成了基础模型Malthus模 型,再通过对现实世界分析,改进模型引进 了阻滞项,从而得到了Logistic模型.
p
P(r,t)
方 程
rm ~ 最高年龄
F (0, t) 0, F (rm , t) N (t)
p(r, t) F r
0 F(r0,t) r0
r rm
t,年dr龄]人[r数, r
t r
dt,年龄[r dr1 dr1 dr]人数
,
dt
dr1
死(t, t亡人dt数)内
p(r, t)dr p(r dr1,t dt)dr (r,t) p(r,t)drdt
马尔萨斯模型人口预测图
11
x 10 3.5
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
N/人
2
自然资源限制
人口问题的一个偏微分方程模型
则上式可写为
:5
p
(t,
5t
x)
+
5
p
(t,
5x
x
)
=
q( t , x) p( t , x)
初始条件 p (0 , x ) ,其中 p0 ( x ) 为初始人口密度. 在时段[ t , t + dt ] 中出生的婴儿总数
∫ 为 :[
r2
b(
t
,ξ)
p(
t
,ξ)
]
dt
r1
于是得人口问题的偏微分方程模型
b
(ξ)
p0 (ξ)
dξ
所以 p ( t , x ) 在直线 x = t 上连续.
下证 p ( t , x ) 连续可微 ,由 p ( t , x ) 在直线 x = t 上的连续性 ,方程 (1) 及定理 1 证明中
解的构造过程可知
,
5
p
(t,
5x
x)
在x
=
t
上连续.
因此
, 只要再证明5
p
(t,
5t
再考虑区域 D2 = { ( t , x ) | t ≥0. t - r1 ≤ x ≤ t ,0 ≤ x < A } 上的解. 过任意一点 ( t , x ) ∈ D2 ,向 t 减少的方向作特征线. 交 t 轴于点 ( t0 ,0) ,其中 t0 = t - x ∈[0 , r1 ] , 由 [10 ] 和 (14) 得 :
x)
,在
x
=
t 上的连
续性即可证明 p ( t , x ) 的连续可微性. 事实上 ,由 (19) 式易得 :
p ( t + dt , x + dt) dx = p ( t , x) dx + b( t , x) p ( t , x) dxdt + m ( t , x) p ( t , x) dxdt -
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∫ p0’(0) - q (0) p0 (0) = r2 b (ξ) [ p’b (ξ) - q (ξ) p0 (ξ) ]dξ
(20)
r1
那么由 (19) 式给出的函数 p ( t , x ) 是定解问题 (1) - (4) 的唯一整体解.
证明 :先证由 (19) 给出的函数 p ( t , x ) 的整体连续性. 只须证 p ( t , x ) 在直线 x = t 上
b
(ξ)
p0 (ξ)
dξ
所以 p ( t , x ) 在直线 x = t 上连续.
下证 p ( t , x ) 连续可微 ,由 p ( t , x ) 在直线 x = t 上的连续性 ,方程 (1) 及定理 1 证明中
解的构造过程可知
,
5
p
(t,
5x
x)
在x
=
t
上连续.
因此
, 只要再证明5
p
(t,
5t
p ( t + dt , x + dt) dx = p ( t , x) dx + b( t , x) p ( t , x) dxdt + m ( t , x) p ( t , x) dxdt -
d ( t , x) p ( t , x) dx dt
上式可写为 :
p ( t + dt , x + dx) dt
5 p( t , x) 5t
+
5
p
(t,
5x
x
)
+=
q( t , x) p( t , x) , t
≥0 ,0
≤x
<
∞
(1)
p (0 , x ) = po ( x ) 0 ≤ x ≤ A
(2)
∫ p ( t ,0) = r2 b ( t ,ξ) p ( t ,ξ) dξ. t ≥0
人口问题的一个偏微分方程模型①①
张保生
(云南民族学院数学系 , 昆明 , 650031)
摘要 给出一个人口问题的偏微分方程模型 , 用递推方式得到了模型解的表达 式 , 并证明了整体解的存在唯一性. 关键词 人口问题 , 模型 , 定解问题
1 引言
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一. 建立数学模型对人口发展过程进行描 述. 分析和预测 , 进而研究控制人口增长和老化的生育策略具有现实的指导意义 , 本文对 [ 1 ] 、[ 2 ] 给出的人口问题的偏微分方程模型进行了推广.
x)
,在
x
=
t 上的连
续性即可证明 p ( t , x ) 的连续可微性. 事实上 ,由 (19) 式易得 :
条件 (5) 化为 :
∫ W 0 (0) =
r2
B
(ξ)
W 0 (ξ)
dξ ( 13)
r1
下面用特征线法来构造解. (8) 的特征线为直线 x
= t + c , c 为任意常数. 若 W = W ( t , x ) 连续可微 ,则沿
任一特征线 W 为常数. 于是在过点 ( t0 , x 0) 的特征线 x = t + ( x 0 - t0) 上成立 , (见[3 ] , [ 5 ]) :
=
p(
t
,
x)
e2
x 0
q
(τ)
dτ ,
t
≥0 ,0 ≤ x
<
A
(7)
则问题 (1) - (4) 化为 :
5
w
(t
5t
,
x
)
+
5
W(
5
t x
,
x)
= 0 t
≥0 ,0 ≤ x
<
A
(8)
∫ e W (0 , x )
= W0( x)
Χ p0 ( x)
-
x 0
q
(τ)
dτ
,
0
≤x
<
A
(9)
第 7 卷第 1 期 云 南 民 族 学 院 学 报 Vol. 7 No. 1 1998 年 4 月 Journal of Yunnan Institute of t he Nationalities Apr. 1998
∫ W ( t , x ) = r2 B (ξ) W ( t - x ,ξ) dξ, ( t , x ) ∈ D3
(17)
r1
( D) 不断重复以上做法 (如图 2 所示) ,便得到在整个求解区域{ ( t , x ) | t ≥0 ,0 ≤ x <
A } 上的解的递推公式 :
W 0 ( x - t) t ≥0 , t ≤ x < A
2 模型建立
考虑使人口数量和结构发生变化的三个因素 :出生 、死亡 、迁移. 设函数 P ( t , x) 为时 刻 t 按年龄坐标 x 的分布密度 ,其意义即 :在时刻 t ,年龄在[ x , x + dx ] 中的人口数 = P ( t ,
x) d x. 记 d ( t , x ) , b ( t , x ) , m ( t , x ) 分别表示时刻 t 年龄为 x 的人的死亡率 , 出生率和迁入
则上式可写为
:5
p
(t,
5t
x)
+
5
p
(t,
5x
x
)
=
q( t , x) p( t , x)
初始条件 p (0 , x ) ,其中 p0 ( x ) 为初始人口密度. 在时段[ t , t + dt ] 中出生的婴儿总数
∫ 为 :[
r2
b(
t
,ξ)
p(
t
,ξ)
]
dt
r1
于是得人口问题的偏微分方程模型
率. 它们的含义如下 : d ( t , x) p ( t , x) d x , b ( t , x) p ( t , x) d x , m ( t , x) p ( t , x) d x 分别表示 时刻 t . 年龄在[ x , x + dx ] 中单位时间内的死亡人数 ,出生人数 ,迁入 (或迁出) 人数.
∫ W ( t , x ) = r2 B (ξ) W ( t - x ,ξ) dξ t ≥0 , x ≤ t ,0 ≤ x < A
(18) 8
r1
由 (10) 和 (18) 式即得解 p ( t , x ) 的递推表公式为 :
e∫ p0 ( x - t)
x x-
tq (τ)
dτ (
t
,
示) 由 (9) , (14) 得 :
图1
W ( t , x ) = W 0 ( x - t) , ( t , x ) ∈ D1 (15)
( B ) 利用 ( A ) 的结果 :
在区域{ ( t , x ) | 0 ≤ t ≤ r1 , r1 ≤ x < A } 中的解为已知函数 ,故在边界条件 (10) 中 , 右端的函数当 0 ≤ t ≤ r1 时为已知函数.
∫x
[0 , A ) 上 , d ( x ) ≥0 ,且适当光滑. 而当 x → A - 0 时 , d ( x ) → ∞,使 d (ξ) dξ → ∞(这个 0
假说是和 A 为人的最大年龄的假说相区配的. 当 x → A - 0 时 ,死亡率应快速增加. 使所考
虑问题的解恒成立 p ( t , A ) = 0) . 且满足相容性条件 (5) ,那么定解问题 (1) - (4) 的解有如
下面推导 p ( t , x ) 满足的偏微分方程 ,为此 ,考虑在时刻 t 年龄在[ x , x + d x ] 内的人 到时刻 t + dt 时的情况. 他们中活着的那部分人的年龄变为[ x + d t , x + d x + d t ] ,而在 dt 时段内出生的人数为 b ( t , x ) p ( t , x ) d x dt , 死亡的人数为 d ( t , x ) p ( t , x ) d x dt , 迁入的人 数为 m ( t , x ) p ( t , x ) d x dt (当 m ( t , x ) < 0 时 ,则为迁出人数) . 于是有等式 :
下递推表达式 :
e∫ p0 ( x - t)
. x
x-
tq (τ)
dτ
t
≥0 , t
≤x
<
A
∫ ∫ p ( t , x) =
ex 0
q
(τ)
dτ
r2 b (ξ)
p( t
-
x ,ξ)
dξ, t
≥0 , x
≤t ,0
≤x
≤A
r1
证明 : 作函数变换
(6) .1
∫ w ( t , x )
x)
∈ D1
∫ ∫ p ( t , x) =
e
x 0
q (τ)
dτ
r2 b (ξ)
p( t
-
x ,ξ) dξ ( t , x )
∈ D0
(19)
r1
—3 —
云南民族学院学报 (自然科学版) 第 6 卷
其中 : D0 = { ( t , x ) | t ≥0 , x ≤ t ,0 ≤ x < A } 定理 2 : 在定理 1 的条件下 , 若还有如下条件成立 :
p(t , x
+
dx)
+
p(t, x
+
dx) dx
-
p( t , x)
= b ( t , x ) p ( t , x ) + m ( t , x ) p ( t , x ) - d ( t , x ) p ( t , x )