第四章 频域分析法
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频域分析法
若输入 输出 幅频特性：
xi( t ) = Ai(ω)sin [(ω t+ φi(ω)] x0( t ) = A0 (ω)sin[ω t+φ0(ω)]
A(ω) =A0 (ω) / Ai (ω)
输出、输入幅值比随ω的变化关系。 相频特性：
φ(ω) = φo(ω) -φi(ω)
输出、输入相位差随ω的变化关系。
2. 频率特性的数学本质
频率特性是表达系统运动关系的数学模型。
频率特性表达式G(jω)与系统(或环节)动态特性G(s)的形 式一致，包含了描述系统(或环节)的全部动态结构和参数。
和微分方程、传递函数一样，频率特性也是描述系统(或环 节)的动态数学模型，它将反映系统(环节)的动态及静态特性。
四、线性系统(或环节)的三种数学模型的关系如图5.2所示。
(1) 频率特性表示了系统对不同频率的正弦输入信
号的“复观能力”或“跟踪能力”。对于实际系统，一般都 具
有“低通”滤波及相位滞后作用。
(2) 频率特性表示系统随ω显示的不同特性。频率特性随 频率变化，因为系统含有储能元件。
(3) 频率特性反映系统本身的特点，取决于系统结构本 身（元件参数），与外界因素无关。
振荡环节在参数T变化时，对数频率特性曲线将左右平移，而渐近线的形状不变。
五、微分环节
G( j) j e j90
A(ω) = ω φ(ω) = 90°
(1) 奈氏图
ω=0 ω= ∞
A(ω)= 0； A(ω)= ∞
(2) 波德图
L(ω) = 20lgω L(ω)曲线是一条过(1 ,0 )点，且斜率为20dB/dec的直线；
x0( t ) = A(ω)Ai (ω)sin[ω t+ φ(ω) +φi(ω)]
自动控制理论第四章
若用一个复数G（jω）来表示，则有 指数表示法: G（jω）=∣G（jω）∣· j∠G（jω）=A（ω）· j e e 幅角表示法: G（jω）=A(ω)∠ (ω) G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个 向量去表示 G （ jω）。向量的长度为 A(ω)，向量与 正实轴之间的夹角为 (ω)，并规定逆时针方向为正， 即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。 可由图4.3表示。
对输出求拉氏反变换可得
c(t ) ( K1e
p1t
K 2e
p2t
Kne
pn t
) (K c e
jt
K c e )
jt
系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量， 对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量， 它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统 所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋 于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳 态分量为：
r（t）
sint 线 性 定 Asin（ωt+）
Css（t） t
常系统
图4-2，线性系统及频率响应示意图
4.1.2频率特性
一、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出 的幅值比A与相位差 只与系统的结构、参数及输入正 弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下， 幅值比 A与相位差 仅是ω的函数，可以分别表示为A （ω）与（ω）。 若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则 系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的 变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同 性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
第四章周期信号频域分析
第四章周期信号频域分析信号分析是现代通信、电子、控制等领域中非常重要的一个方向。
在信号分析中，频域分析是一种非常常用和有效的手段。
本章将介绍周期信号的频域分析方法。
周期信号是指在时间轴上按照一定规律重复出现的信号。
周期信号可以表示为周期函数的形式，即y(t+T)=y(t)，其中T为信号的周期。
在频域分析中，我们希望能够将周期信号分解为一系列的频率组成的谐波分量，从而得到信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的周期信号频域分析方法有傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析两种。
傅里叶级数分析是将一个周期信号表示为一系列谐波分量的和的形式。
假设一个周期信号f(t)的周期为T，可以将其分解为如下的傅里叶级数形式：f(t) = a0 + Σ(an * cos(n * ω0 * t) + bn * sin(n * ω0 * t))其中，a0表示信号的直流分量，an和bn分别表示信号在频率为n * ω0的正弦函数和余弦函数上的系数，n为谐波次数。
离散傅里叶变换分析是将一个有限长的离散时间信号表示为一系列复数形式的谐波分量的和，常用的离散傅里叶变换分析方法是快速傅里叶变换（FFT）。
假设一个有N个采样点的离散时间信号为x(n)，其离散傅里叶变换为X(k)，则有：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*k*n/N))其中，k表示谐波次数，n为采样点的序号，N为采样点的总数。
傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析都可以用于分析周期信号的频域特性。
通过这些方法，我们可以得到周期信号在不同频率上的谐波分量的能量大小，从而了解信号的频谱特性。
在实际应用中，频域分析常用于信号处理、滤波、频率识别、通信系统设计等各个领域。
比如，在通信系统中，我们可以通过频域分析方法来实现信号的调制解调、滤波、信道均衡等操作。
在音频处理中，我们可以通过频域分析来进行音频变调、音频合成等操作。
总结起来，周期信号的频域分析可以帮助我们了解信号在不同频率上的分布情况，从而实现信号处理、频率识别等功能。
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
信号与线性系统分析第四章
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2
A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1 第
23 页
指数形式的傅里叶形式
2 an T 2 bn T
T 2 T 2
f ( t ) cos(nt )dt f ( t ) sin ( nt )dt
第 11 页
T 2 T 2
例题1
an 0 n 2,4,6, 0, bn 4 , n 1,3,5, n
• 信号的傅里叶级数展开式为：
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An、 – n= – n
A0 1 j n jnt 1 上式写为： An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
令A0=A0ej0ej0t ，0=0 1 所以 f ( t ) An e j n e j nt 2 n
f (t )
n
F e
n
jnt
1 j cos(n )e jnt n n
第 19 页
四、周期信号的功率 —— Parseval 等式 A
f (t )
0
2
An cos(nt n )
n 1
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1 T
2
2
a0 f ( t ) an cos(nt ) bn sin( nt ) 2 n 1 n 1
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
f (t ) f ( t )
4 an =0， bn T
第四章 频域分析(第四-六节)
L( ) / dB L( ) / dB
－20 －20
/(rad s 1 )
K
－40
/(rad s 1 )
K
b)
－40
a)
(3) Ⅱ 型 系 统 n = 2 ， 其 低 频 段 是 斜 率 为 - 4 0 d B / d e c 的 直 线 ， 该 直 线 或 其 延 长 线 与 0 d B 线 ( 横 轴 )的 交 点 频 率 为 w a , 此 时 ， K = w a。
p
= e
- xp /
1- x
2
和谐振峰值M
r
= 1 / 2x 1- x
2
可 以 看 出 ， 它 们 均 随 着 阻 尼 比 x的 增 大 而 减 小 。 由 此 可 见 ， M r 越 大 的 系 统 ， 相 应 的 M p也 越 大 ， 瞬 态 响 应 的相对稳定性越差。为了减弱系统的振荡性，同时使 系 统 又 具 有 一 定 的 快 速 性 ， 应 当 适 当 选 取 M r值 。 如 果 M r 取 值 在 1＜ M r ＜ 1 .4 范 围 内 ， 相 当 于 阻 尼 比 x 在 0 .4 ＜ x ＜ 0 .7 范 围 内 ， 这 时 二 阶 系 统 阶 跃 响 应 的 超 调 量 M p ＜ 25% 。
= e
由 此 可 见 ， 最 大 超 调 量 M p和 谐 振 峰 值 M r都 随 着 阻 尼 比 x的 增 大 而 减 小 。 同 时 随 着 M r的 增 加 ， 相 应 地 M p也 增 加 ， 其 物 理 意 义 在 于 ： 当 闭 环 幅 频 特 性 有 谐 振 峰 值 时 ， 系 统 的 输 入 信 号 的 频 谱 在 w = w r附 近的谐波分量通过系统后显著增强，从而引起振 荡。
－20 －20
/(rad s 1 )
K
－40
/(rad s 1 )
K
b)
－40
a)
(3) Ⅱ 型 系 统 n = 2 ， 其 低 频 段 是 斜 率 为 - 4 0 d B / d e c 的 直 线 ， 该 直 线 或 其 延 长 线 与 0 d B 线 ( 横 轴 )的 交 点 频 率 为 w a , 此 时 ， K = w a。
p
= e
- xp /
1- x
2
和谐振峰值M
r
= 1 / 2x 1- x
2
可 以 看 出 ， 它 们 均 随 着 阻 尼 比 x的 增 大 而 减 小 。 由 此 可 见 ， M r 越 大 的 系 统 ， 相 应 的 M p也 越 大 ， 瞬 态 响 应 的相对稳定性越差。为了减弱系统的振荡性，同时使 系 统 又 具 有 一 定 的 快 速 性 ， 应 当 适 当 选 取 M r值 。 如 果 M r 取 值 在 1＜ M r ＜ 1 .4 范 围 内 ， 相 当 于 阻 尼 比 x 在 0 .4 ＜ x ＜ 0 .7 范 围 内 ， 这 时 二 阶 系 统 阶 跃 响 应 的 超 调 量 M p ＜ 25% 。
= e
由 此 可 见 ， 最 大 超 调 量 M p和 谐 振 峰 值 M r都 随 着 阻 尼 比 x的 增 大 而 减 小 。 同 时 随 着 M r的 增 加 ， 相 应 地 M p也 增 加 ， 其 物 理 意 义 在 于 ： 当 闭 环 幅 频 特 性 有 谐 振 峰 值 时 ， 系 统 的 输 入 信 号 的 频 谱 在 w = w r附 近的谐波分量通过系统后显著增强，从而引起振 荡。
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图4.3 比例环节对数幅频特性和对数相频特性
4.2.2 惯性环节
惯性环节的传递函数为
G( s)
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1. 搞清频率特性的基本概念
2. 掌握典型环节和控制系统频率特性图的绘制方法
学习 目的
3. 掌握系统稳定性的频域分析方法 4. 了解频域性能指标与时间特性指标之间的关系 5. 掌握用系统开环频率特性分析闭环系统性能的方法 6. 掌握应用MATLAB工具分析系统频率性能的方法
内容 提要
本章主要阐述系统频率特性的基本概念、典型环节和 控制系统频率特性图的绘制方法、频域稳定判据和系 统性能频域分析法
件（如电容C）。实际系统中往往存在弹簧、惯量或电容、电感 这些储能元件，它们在能量交换时，对不同频率的信号使系统显 示出不同的特性。 （3）系统频率特性的幅值 A( ) 随着频率 ω 的升高而衰减， 换而言之，频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复现 能力”或“跟踪能力”。对于低频信号（即 T 1 ），有 0 A(ω) 1 这表明在输入信号频率较低时，输出量与输入量的幅值几乎 相等，相位近似相同。系统输入信号基本上可以按原比例在输出 端复现出来；而对于高频信号（即 T 1 ）， 1 0 A( ) , 90 ( ) 90 1 T 这表明输入信号较高时，输出量幅值只有输入量幅值的 倍， T 相位后滞近 90 。输入信号被抑制而不能传递出去。对于实际中 的系统，虽然形式不同，但一般都有这样的“低通”滤波及相位 滞后作用。
复平面（ s 平面）虚轴上的传递函数。
4.1.3 频率特性的图示方法
系统的频率特性可分解为实部和虚部，即 G ( j ) U ( ) jV ( )
（4.7）
也可以表示为幅值和相位关系， j ) j( G( j ) A( )e 即 （4.8） e 式中：U ( ) —— G ( j )的实部，称为实频特性； V ( ) —— G ( j ) 的虚部，称为虚频特性。 A( ) —— G ( j ) 的模，它等于稳态输出量与输入量的振 幅比，称为幅频特性； ( ) —— G ( j ) 的幅角，它等于稳态输出量与输入量的相 位差，称为相频特性。 这些频率特性之间有如下关系：
重 点 系统开环博德图的绘制
难 点
系统开环尼氏图的绘制、幅值穿越频率和相位穿越频
率的求取
通过求解微分方程分析时域性能是十分有用的，但对于比较 复杂的系统这种办法就比较麻烦。因为微分方程的求解计算工作 量将随着微分方程阶数的增加而增大。另外，当方程已经求解而 系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确定应该如何调整系 统来获得预期结果。从工程角度来看，希望找出一种方法，使之 不必求解微分方程就可以预示出系统的性能。同时，又能指出如 何调整系统性能技术指标。频域分析法具有上述特点。该方法是 以输入信号的频率为变量，对系统的性能在频率域内进行研究的 一种方法。这种分析法有利于系统设计，能够估计到影响系统性 能的频率范围。特别地，当系统中存在难以用数学模型描述的某 些元部件时，可用实验方法求出系统的频率特性，从而对系统和 元件进行准确而有效的分析。本章主要研究线性系统的频率特 性。
组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频特性。对数频率 特性又称为博德图。 考虑系统任意环节的频率特性表达式 j ( ) （4.13） G( j ) G( j ) e 取它的自然对数，得到
ln G( j ) ln G( j ) j ( )
（4.14）
上式对数的实部 ln G( j ) 是频率特性模的对数，虚部是频 率特性的幅角。用这种办法表示的频率特性包含两条曲线： 一是 ln G( j ) 与 之间关系曲线，称为对数幅频特性；一是 ( ) 与 之间关系曲线，称为对数相频特性。而在实际应用 中，往往不是用自然对数来表达对数幅频特性，而是采用以10 为底的对数来表示。 对数幅频的表达式可写为 （4.15） L( ) 20 lg G( j ) 表达式中采用的单位是分贝，以“dB”（decibel）表示。
4.1.2 频率特性的求取方法
频率特性一般可以通过如下三种方法得到： （1） 根据已知系统的微分方程，把输入以正弦函数代入，求 其稳态解， 取输出稳态分量和输入正弦的复数之比求得。 （2） 根据系统的传递函数来求取。将 s j 代入传递函数 中，可直接得到系统的频率特性。 （3） 通过实验测得。 一般经常采用的是后两种方法。这里主要讨论如何根据传递 函数求取系统的频率特性。仍以图4.1所示系统为例，其传递函 1 数为 G ( s ) ，将传递函数中的复变量 s 用纯虚数 j 来代 1 RCs 1 G(s ) 替，便可得到频率特性的表达式 G ( j) ，取它的模 1 jRC A( ) 和幅角 ( ) ，正是式(4.5)和式(4.6) 。这种以 j 代替 s 由传递函数获得频率特性的方法，对于线性定常系统是普遍适用 的。频率特性是传递函数的一种特殊情况，即频率特性是定义在
4.2.7 二阶微分环节 4.2.8 延迟环节 4.3 系统开环频率特性图 4.3.1 最小相位系统
4.3.2 系统开环尼氏图的绘制 4.3.3 系统开环博德图的绘制 4.3.4 传递函数实验确定法 4.4 频域稳定性判据 4.4.1 尼奎斯特稳定性判据 4.4.2 对数频率稳定性判据 4.4.3 稳定性裕量 4.5 闭环控制系统的频率特性
4.5.1 闭环系统频率特性的求取 4.5.2 闭环系统的频域指标 4.6 频域指标与时域性能指标间的关系 4.6.1 闭环频域指标与时域性能指标之间关系 4.6.2 开环频域指标与时域性能指标之间关系 4.7 用系统开环频率特性分析系统性能 4.7.1 低频段 4.7.2 中频段 4.7.3 结论 4.8 频域特性的计算机辅助分析 4.8.1 MATLAB作开环频率特性曲线 4.8.2 MATLAB作闭环频率响应曲线
(4.2)
比较系统稳态输出量和输入信号的波形时发现，稳态输出量 的频率与输入量相同，但其振幅及相位都与输入量不同。若改变 输入量 xi (t )的 而保持其振幅 X im 恒定，输出量与输入量的振 幅比 A( )及输出量与输入量的相位差 ( )都是频率 的函数。
为了进一步说明频率特性的基本概念，考虑图4.1所示RC电 路。其传递函数为
4.1 频率特性的基本概念 4.1.1 频率响应与频率特性
设系统传递函数为 G (s ) 。给系统输入一个正弦信号为 (4.1) xi (t ) X im sin t
式中： im ——正弦输入信号的振幅； X
—— 正弦输入信号的频率。 系统的稳态输出量写成 xo (t ) A( ) X im sin t ( )
G( s)
U o ( s)
1
由式（4.3）可见，第一项为输出电压的瞬态分量，第二项为稳 态分量。 定义系统的稳态输出电压和输入电压的复数比为 G ( j ) ， 便有 Uo 1 j ( ) G ( j ) A( )e (4.4) 1 jRC Ui 式中, 幅值比为 1 A( ) (4.5) 2 1 (T ) (4.6) ( ) arctan T 相位差为 称 G ( j )为 RC 电路的频率特性。 从这一简单系统的频率特性，也可看出 G ( j ) 的物理意义： （1）频率特性反映系统的内在性质，与外界因素无关。当 1 系统结构参数（R、C）给定，频率特性 G ( j ) 1 jRC 随频率 ω的变化规律也随之完全确定。 （2）频率特性随频率变化而变化。这是因为系统含有储能元
U i ( s ) Ts 1 式中，T —— RC电路的时 间常数，T RC 。 若输入电压为正弦信 号 , ui (t ) uim sin t 其拉氏变换为 U im U i ( s) 2 图4.1 RC电路 2 s 则 RC 电路输出量 u o t 的拉氏变换为 U im 1 U o ( s) 2 2 Ts 1 s 通过拉氏反变换，得 t U imT U im T u o (t ) e sin( t arctan T ) (4.3) 2 2 2 2 1 T 1 T
A( ) G ( ( ) V
2
（4.9）
U ( ) Re G( j ) A( ) cos ( ) （4.11）
V V ( ) ( ) G ( j ) arctan arctg U ( ) U
K (4.18) 其对数幅频特性和相频特性为
L( ) 20 lg K
(4.19) (4.20)
( ) 0
比例环节的幅相频率特性是复 平面实轴上一个点，如图4.2所示。 图 4.2 比例环节幅相频率特性
幅频特性是K，相频特性是 0 。比例环节的对数幅频特性为幅 值等于 20 lg K dB 的一条水平直线。相角为零，与频率无关。 比例环节的博德图如图4.3所示。
在对数表达式中，对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线是画在 半对数坐标纸上，频率采用对数分度，而幅值（单位：分贝）和 角度（单位：度），则采用线性分度。 需要注意的是，在以 lg 划分的频率轴（横坐标）上，一 般只标注 的自然数值。该坐标的特点是：若在横轴上任意取 2 两点使其满足 10 ，则在对数频率轴上两点的距离为 1 2 lg lg 10 1 。因此，不论起点如何，只要角频率变化10 1 倍，在横轴上线段长均等于一个单位，叫做一个10倍频程，以 “dec”（decade）表示。当频率变化10 倍时，即频率变化了一 个10 倍频程。 （3）对数幅相频率特性（尼柯尔斯图）：在所需要的频率 范围内，以频率 作为参数来表示的对数幅值和相角关系的 图。对数幅相频率特性也称为尼柯尔斯（Nichols）图。
4.2 典型环节的频率特性图 4.2.1 比例环节
比例环节的传递函数为 G ( s ) K ，其频率特性为 (4.16) G ( j ) K 其实频特性和虚频特性为 2 2 2 (4.17) G( j ) U V K 0 K