高考数学复习 拓展精练11
2021高考数学二轮专题复习测试专题强化练十一含解析
专题强化练(十一)1．已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1.所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．答案：A2．(2020·四川省泸县五中三模)已知直线l 1：x ＋my ＋7＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0互相平行，则实数m ＝( )A ．m ＝－3B ．m ＝－1C ．m ＝－1或m ＝3D ．m ＝1或m ＝－3解析：由题意得1m －2＝m 3≠72m，所以m ＝－1或m ＝3，故选C. 答案：C3．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：依题意知，点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点．因为圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k ＝－2.故过点(3，1)的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.答案：B4．(2020·天津市红桥区模拟)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．0或4B ．1或3C ．－2或6D ．－1或 3解析：因为圆(x －a )2＋y 2＝4，所以圆心为(a ，0)，半径为2，圆心到直线的距离为：d ＝|a －2|2，因为d 2＋⎝⎛⎭⎫2222＝r 2，所以a ＝4，或a ＝0.答案：A5．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，若城市B 在A 地正东40 km 处，则B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h解析：以A 为坐标原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系，则直线y ＝x 被圆(x －40)2＋y 2＝302截得弦长为2302－（202）2＝20，所以B 城市处于危险区内的时间为2020＝1，故选B.答案：B6．已知直线l 过点(1，2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＝0或x ＋2y －2＝0D ．2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0解析：根据题意，直线l 分2种情况讨论：①当直线过原点时，又由直线经过点(1，2)，所求直线方程为y ＝2x ，整理为2x －y ＝0，②当直线不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y 2a ＝1，代入点(1，2)的坐标得1a ＋22a＝1，解得a ＝2，此时直线l 的方程为x 2＋y 4＝1，整理为2x ＋y －4＝0. 故直线l 的方程为2x －y ＝0或2x ＋y －4＝0.答案：D7.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，则阴影部分面积约为(注：π≈3.14，sin 22.5°≈513，1尺＝10寸)( )A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸解析：连接OC ，设半径为r ，AD ＝5寸，则OD ＝r －1，在直角三角形OAD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2 ，即r 2＝52＋(r －1)2，解得r ＝13，则sin ∠AOC ＝513，所以∠AOC ＝22.5°，则∠AOB ＝2×22.5°＝45°，所以扇形OAB 的面积S 1＝45°×π×132360°＝169π8＝66.33，三角形OAB 的面积S 2＝12×10×12＝60，所以阴影部分面积为S 1－S 2＝66.33－60＝6.33，故选A. 答案：A8．(2020·宜宾市叙州区第二中学校月考)斜率为33的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，若l 与圆M ：(x －2)2＋y 2＝4相切，则p ＝( )A ．12B ．8C ．10D ．6解析：结合题意作图，因为直线的斜率为33，所以倾斜角为30°，即∠MF A ＝30°， 由图可得|MF |＝2|AM |＝4，所以p 2－2＝2r ＝4，解得p ＝12.答案：A9．(2020·天津市南开区模拟)若圆C 的圆心在第一象限，圆心到原点的距离为5，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：根据题意，设圆C 的圆心坐标为(m ，n )(m >0，n >0)，由于圆C 与x 轴相切，则圆C 的半径n ＝r ，又由圆心到原点的距离为5，则有m 2＋n 2＝5，圆C 与4x －3y ＝0相切，则有r ＝|4m －3n |42＋32，即n 2＝（4m －3n ）225，解得m ＝2，n ＝1， 则圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.答案：B10．(2020·武汉质检)圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为( )A ． 2B ． 3C ．2 2D ．3 2解析：因为圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，两式相减得x －y －2＝0，即公共弦所在的直线方程，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d ＝22，所以公共弦长为l ＝2r 2－d 2＝2 2.故选C.答案：C11．(2020·大庆实验中学模拟)若m >0，n >0，且直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则m ＋n 的取值范围是( )A.[)2＋2，＋∞B ．[2＋22，＋∞)C ．(0，2＋2]D ．(0，2＋22] 解析：由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，得(x －1)2＋(y －1)2＝1，得到圆心坐标为(1，1)，半径r ＝1，因为直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆相切， 所以圆心到直线的距离d ＝|m ＋n |（m ＋1）2＋（n ＋1）2＝1，整理得：m ＋n ＋1＝mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22， 设m ＋n ＝x (x >0)，则有x ＋1≤x 24，即x 2－4x －4≥0， 解得：x ≥2＋22，则m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：B12．(2020·烟台模拟)设P 为直线3x －4y ＋4＝0上的动点，P A ，PB 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，A ，B 为切点，则四边形APBC 面积的最小值为( ) A. 3B ．2 3 C. 5 D ．2 5解析：圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的圆心C (2，0)，半径为1，因为P A ，PB 为两条切线，A ，B 为切点，所以P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，所以四边形APBC 面积为2S △P AC ＝|P A ||CA |＝|PC |2－1，故当|PC |最小时，四边形APBC 面积最小，又|PC |最小值为圆心C 到直线3x －4y ＋4＝0的距离d ，d ＝|6＋4|32＋42＝2，故四边形APBC 面积最小值为 3.答案：A13．(2020·漳州测试)若曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋10y ＋a ＝0上存在不同的两点关于直线y ＝kx ＋7对称，则k ＝________．解析：x 2＋y 2－6x ＋10y ＋a ＝0为圆的一般方程，且圆心为(3，－5)，曲线上存在不同的两点关于直线y ＝kx ＋7对称，因此直线过圆心，即－5＝3k ＋7，所以k ＝－4.答案：－414．以抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为__________． 解析：抛物线E ：x 2＝4y 的焦点为(0，1)，准线方程为y ＝－1，圆与E 的准线相切，则r ＝2，故圆的方程为：x 2＋(y －1)2＝4.答案：x 2＋(y －1)2＝415．(2020·潍坊模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，过圆C 外一点P (3，4)作圆的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为__________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A 的方程为：(x 1－1)(x －1)＋(y 1＋2)(y ＋2)＝5， 因为点P (3，4)在切线PA 上，所以切线PA 的方程为：2x 1＋6y 1＝－5，同理，切线PB 的方程为：2x 2＋6y 2＝－5，所以直线AB 的方程为：2x ＋6y ＝－5. 答案：2x ＋6y ＋5＝016．(2020·江苏省如皋中学模拟)过直线x ＋y ＋2＝0上一点P ，作圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝16的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若y 22－y 21＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)，则P A ＝______． 解析：由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设AB 的中点M (x 0，y 0)，则有(x 1－3)2＋(y 1＋1)2＝16，(x 2－3)2＋(y 2＋1)2＝16，将两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2－6y 1＋y 2＋2，又y 22－y 21＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2－2y 1＋y 2，所以－x 1＋x 2－6y 1＋y 2＋2＝－x 1＋x 2－2y 1＋y 2，所以x 0－3y 0＋1＝x 0－1y 0，x 0＋2y 0－1＝0，所以AB 的中点M 的轨迹方程是x ＋2y －1＝0，而点P 也在直线上x ＋2y －1＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y ＋2＝0，得点P (－5，3)，而圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝16的圆心C (3，－1)，半径R ＝4，所以PC ＝（－5－3）2＋（－1－3）2＝45，所以P A ＝PC 2－R 2＝8.答案：8。
高考数学复习 拓展精练10
拓展精练 （10）1．12+与12-，这两数的等差中项是2．已知命题:p x ∈R 对任意的，sin 1x ≤，则p ⌝：3．设,x y R +∈ 且191x y+=,则x y +的最小值为__ __ 4．24,1320x y x y x y z x y x +≤⎧⎪-≤=+⎨⎪+≥⎩若满足，则的最大值为5．解不等式22(25)50x k x k +++<6.在ABC △中，5cos 13B =-，3sin 5C = （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，满足2224)S a b c =+- （I ）求角C 的大小；（II ）若边长2c =，求ABC ∆的周长的最大值．8．数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，1220,3a a ==-，则3a = 9．在Rt △ABC 中，90C =o ，则sin sin A B ⋅的最大值是_____________ __10．命题“m ∈Z ，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是真命题，写出满足要求的所有整数m11．数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，111,3(1)n n a a S n +==≥，则n a =12、设命题:p 2000,10x R ax x ∃∈-+=成立；命题q ：2(0,),10x x ax ∀∈+∞-+>成立，如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求a 的取值范围。
13．某新设备M 在第1年可以生产价值120万元的产品，在使用过程中，由于设备老化及维修原因使得M 的生产能力逐年减少，从第2年到第6年，每年M 生产的产品价值比上年减少10万元；从第7年开始，每年M 生产的产品价值为上年的75%．（I ）求第n 年M 生产的产品价值n a 的表达式；（II ）该设备M 从购买回来后马上使用，则连续正常使用10年可以生产多少价值的产品？参考答案; 2. 0x ∈R 存在，0sin 1x >3. 16 ;4. 7 .5．解不等式22(25)50x k x k +++<（本题满分10分）解：22(25)50(25)()0x k x k x x k +++=⇔++= 125,2x k x =-=- 3分 （1）52k =时，化为2(25)0x +<，原不等式无解 5分 （2）55,22k k >-<-，原不等式的解为52k x -<<- 7分 （3）55,22k k <->-，原不等式的解为52x k -<<- 9分 综述.........................................................10分6.在ABC △中，5cos 13B =-，3sin 5C = （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，(0,)B π∈得12sin 13B =， 1分 由5cos 013B =-<得(,),(0,)22B C πππ∈∴∈ 2分 所以，由3sin 5C =，得4cos 5C = 4分 所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+= 6分 （Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， 8分 又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==， 10分 故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯== 12分7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，满足2224)S a b c =+- （I ）求角C 的大小；（II ）若边长2c =，求ABC ∆的周长的最大值． （本题满分12分）解：(1)由题意可知，2221sin ,cos 22a b c S ab C C ab+-== 2分 12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3. 5分 因为0<C <π，所以C ＝π3.8. 45- ; 9. 12 . 10. 0和1 ; 11.21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩L L L L L。
11-12学年高一数学拓展精练27
2 数学知识复习拓展精练 （27）1.设集合{}4,3,2,1=U ,{}2,1=A ,{}4,2=B ,则()()B C A C U U ⋃=( ) A {}4,1 B {}3 C {}4,2,1 D {}4,3,1 2.下列运算结果中正确的是（ ）A.632a a a =•B.()326a a -=-C.()()3223a a -=-D.)011= 3.()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ()f x =()g x =()f x x =与()321x x g x x +=+ C ．lg y x =与21lg 2y x = D.()f x =()g x =4.已知(),x y 在映射f 下的像是(),x y x y +-，则()2010,2012在映射f 下的原 像是（ ）A ．()2011,1-B ．()1,2011-C ．()4022,2-D ．()2,4022-5.设函数(){21,121x x x f x +<-≥=，则()5f f ⎡⎤⎣⎦=（ ）A. -3 B . 4 C. 9 D. 166．设01a <<，()a f x log x =，则下列各式中成立的是（ ）A ．11(2)()()34f f f >>B ．11()(2)()43f f f >>C ．11()(2)()34f f f >>D ．11()()(2)43f f f >> 7、如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A-B-C-M 运动时，以点P 经过的路程x为自变量，三角形APM 的面积为y, 则y 关于x 的函数图象的形状大致是（ ）8.奇函数()f x 在[]3,7上是增函数，在[]3,6上的最大值是8，最小值为1-，则()()263f f -+-的值是（ ）A. 5 B . -5 C. -13 D. -159,函数()24f x x x =-+在区间[],m n 上的值域是[]5,4-，则m n +的取值所成的集合为（ ）A. []0,6 B . []1,2- C. []1,5- D. []1,7A B C D P。
11-12学年高三数学复习：拓展精练2
数学知识复习拓展精练 （2）1．集合{}k y y x P ==),(， {}1,0,1),(≠>+==a a a y y x Q x ，已知∅=Q P ，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．(－∞,1)B ．(－∞,1]C ． (1,+∞)D ． (－∞,+∞) 2．若复数()i m iiz -+-+=111（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值．．为( ) A ．0B ．1C ．-1D ．23．n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“数列{}n a 为常数列”是“数列{}n S 为等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。
下列四个命题，其中是“可换命题”的是（ ）①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行． A ．①② B ．①④ C ．①③ D ．③④6.设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象向右平移ϕ 个单位(ϕ>0)后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以是（ ）A ．2πB ．43πC ．πD ．23π7.设偶函数)(x f ，当0≥x 时，8)(3-=x x f ，则{}=>-0)2(|x f x （） A.}{42|>-<x x x 或 B.}{40|><x x x 或 C.}{60|><x x x 或 D.}{22|>-<x x x 或8．若定义在[]-2012,2012上的函数)(x f 满足：对任意[]12,-2012,2012x x ∈有1212()()()2011f x x f x f x +=+-，且0>x 时有()2011f x >，)(x f 的最大值、最小值分别为M 、N ，则M+N=（ ）A. 2011B. 2012C. 4024D. 40229.若⎩⎨⎧212212<-+->+x y x x y （y x ,Z ∈）则x 2+y 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知ABCD-A 1B 1C 1D 1为单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第2+i 与第i 段所在直线必须是异面直线(其中i 是自然数)，设白，黑蚂蚁都走完2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1 B.2 C.3 D.0参考答案 BAACDDBDDB。
2011-2012学年高三数学 拓展精练33
数学知识复习拓展精练 （33）1 （本题满分12分）己知在锐角ΔABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222tan .abC a b c =+-（Ⅰ）求角C 大小；（Ⅱ）当1c =时，求22a b +的取值范围.2（本题满分12分）已知数列}{n a 是首项114a =的等比数列，其前n 项和n S 中3S ，4S ，2S 成等差数列， （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设12log n n b a =，若12231111n n n T b b b b b b +=+++，求证：1162n T ≤<． 3如图一，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，60,90,A C ∠=︒∠=︒2CD =。
把ABD ∆沿BD 折起（如图二），使二面角C BD A --的余弦值等于33。
对于图二， （Ⅰ）求AC ；（Ⅱ）证明：⊥AC 平面BCD ； （Ⅲ）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值。
4（本小题满分12分）设直线:0l x y m -+=与抛物线2:4C y x =交于不同两点A 、B ，F 为抛物线的焦点。
（1）求ABF ∆的重心G 的轨迹方程； （2）如果2,m ABF =-∆求的外接圆的方程。
5． (本题满分12分)设函数2)ln()(x a x x f -+=，（1）若(]0,0,a m =求f(x)在(0)m >上的最大值().g m （2）若()f x 在区间[1，2]上为减函数，求a 的取值范围。
（3）若直线y x =为函数()f x 的图象的一条切线，求a 的值。
6（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲已知∆ABC 中，AB=AC, D 是 ∆ABC 外接圆劣弧AC 弧上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。
（1） 求证：AD 的延长线平分∠CDE ； （2） 若∠BAC=30°，∆ABC 中BC 边上的高为3，求∆ABC 外接圆的面积。
11-12学年高一数学拓展精练49 精品
数学知识复习拓展精练 （49）1.已知函数()则，x x x x x f ⎩⎨⎧>+-≤+=1,31,1f(2) =( )A.3 B,2 C.1 D.02.下列函数是偶函数的是( )A. x y =B. 322-=x yC. 21-=x y D. ]1,0[,2∈=x x y3.下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是( ) A. x y = B. x y -=3 C. x y 1= D. 42+-=x y4 ．设集合A ＝｛x |－5≤x ＜3｝，B ＝｛x |x ≤4｝，则A ∪B ＝（ ）．A ．｛x|－5≤x ＜3｝B ．｛x |－5≤x ≤4｝C ．｛x |x ≤4｝D ．｛x |x ＜3｝5．函数y （ ）A ．[1,)-+∞；B ．[1,0)-；C ．(1,)-+∞；D ．（－1，0） 6．设x 为实数，则)(x f 与)(x g 表示同一个函数的是 （ ）A ．22)()(,)(x x g x x f ==B ．x x g x x f ==)(,)(2C ．0)2()(,1)(-==x x g x fD ．11)(,11)(2-=-+=x x g x x x f 7．已知(1,2),(3,1),A B 则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）.425A x y += .425B x y -= .25C x y += .25D x y -=8．下列条件中,能判断两个平面平行的是 （ ）A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9．在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为（ ）A ．2y x =-+B ．2y x =--C ．2y x =+D ．2y x =-10．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 （ ）A πB 2πC 4πD 8π11.计算()()00)21(51121242---+-+-,结果是（ ）A.1B. 22C. 2D. 212-12.设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定1-5 CBACC 6-10 BBDAB 11-12 BB。
11-12学年高一数学拓展精练1 精品
数学知识复习拓展精练 （1）1 . 设关于x 的不等式(1)0()x x a a --<∈R 的解集为M ，不等式2230x x --≤的解集为N .（1）当1a =时,求集合M ；（2）若M N ⊆,求实数a 的取值范围.2. 已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点．(1) 是否无论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论；(2) 求直线PA 与底面ABCD 所成角的正切值.3.如图，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，BC ＝CD ＝12AB ＝2，G 为线段AB 的中点，将△ADG 沿GD 折起，使平面ADG ⊥平面BCDG ，得到几何体A －BCDG.(1)若E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，求证：EF ∥平面ABG ；(2)求三棱锥C －ABD 的体积．4.已知函数2()1f x ax bx =++（, a b 为实数，0a ≠，x ∈R ）．（1）当函数()f x 的图像过点(1, 0)-，且方程()0f x =有且只有一个根，求()f x 的表达式；（2）若() 0,()() 0,f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩ 当0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数时，试判断()()F m F n +能否大于0？5. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23，沿对角线BD 将△ABD 向上折起，使点A 移至点P ，且点P 在平面BCD 内的投影O 在CD 上．(1) 求二面角P －DB －C 的正弦值；(2) 求点C 到平面PBD 的距离．6.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)． (1)判断EF 与平面ABC 的位置关系并给予证明；(2)是否存在λ，使得平面BEF ⊥平面ACD ，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．1解：(Ⅰ)当1a =时, 由已知得(2)0x x -<. 解得02x <<. 所以{|02}M x x =<<. …………………2分(Ⅱ) 由已知得{}13N x x =-≤≤. …………………3分①当1a <-时, 因为10a +<，所以{|10}M x a x =+<<.因为M N ⊆，所以110a -≤+<，解得21a -≤<-;……………5分②若1a =-时, M =∅，显然有M N ⊆，所以1a =-成立;……………7分③若1a >-时, 因为10a +>，所以{|01}M x x a =<<+.又{}13N x x =-≤≤，因为M N ⊆，所以013a <+≤,解得12a -<≤.…9分综上所述,a 的取值范围是[2,2]-. ……………10分2解： (1)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE.------1分证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC.∵PC ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC.又∵AC∩PC＝C ，∴BD ⊥平面PAC.∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC.∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE.----------6分（2）PC ⊥面ABCD,故PAC ∠即为直线PA 与底面ABCD 所成的角，------8tan PAC 2∠=-----------12 3 (1)证明：依题意，折叠前后CD 、BG 位置关系不改变，∴CD ∥BG.∵E 、F 分别为线段AC 、BD 的中点，∴在△ACD 中，EF ∥CD ，∴EF ∥BG.-----------3（注：要用平行公理进行直线EF ∥BG 的证明，否则扣除2分）又EF ⊄平面ABG ，BG ⊂平面ABG ，∴EF ∥平面ABG.-------6(2)解：由已知得BC ＝CD ＝AG ＝2，证AG ⊥平面BCDG ，即点A 到平面BCDG 的距离AG ＝2，∴V C －ABD ＝V A －BCD ＝13S △BCD ·AG＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝43.----12分（缺AG ⊥平面BCDG 证明过程扣2分）4解：（1）因为(1)0f -=，所以10a b -+=.因为方程()0f x =有且只有一个根，所以240b a ∆=-=.所以24(1)0b b --=. 即2b =，1a =. 所以2()(1)f x x =+. ………4分（2）()f x 为偶函数，所以0b =. 所以2()1f x ax =+.所以221 0,() 1 0.ax x F x ax x ⎧+>⎪=⎨--<⎪⎩ 因为0mn <，不妨设0m >，则0n <.又因为0m n +>，所以0m n >->.所以m n >-. 此时22()()()()11F m F n f m f n am an +=-=+--22()0a m n =->.所以()()0F m F n +>． …………… 12分5.证明：（1）过O 作OE ⊥BD 于点E ，连接PE∵BD ⊥OP ，∴BD ⊥平面OPE ，∴BD ⊥PE ，∴∠PEO 为二面角P －BD －C 的平面角，在△POE 中，PE ＝3，OE ＝1，PO ＝22，则sin ∠PEO ＝223；----6分 (2)V C －PBD ＝V P －BCD ，∴13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×23×h＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×23×22，解得h ＝2 2. 即点C 到平面PBD 的距离为22----12分6 解： (1)EF ⊥平面ABC.---2分证明：因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，又在△BCD 中，∠BCD ＝90°，所以BC ⊥CD ，又AB∩BC＝B ，所以CD ⊥平面ABC ，又在△ACD 中， E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)， ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC.----6分(2)∵CD ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，∴BE ⊥CD ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝60°，∴AB ＝BDtan60°＝6，则AC ＝7， 当BE ⊥AC 时，BE ＝AB×BC AC ＝67，AE ＝367， 则AE AC ＝3677＝67，即λ＝AE AC ＝67时，BE ⊥AC ，又BE ⊥CD ，AC∩CD＝C ，∴BE ⊥平面ACD ， ∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ACD.所以存在λ，且当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD.-------12。
高三数学 拓展精练11
数学知识复习拓展精练 （11）1．已知集合},1{},2,0{2a B A ==，若}4,2,1,0{=B A ，则实数a= ▲2．经过点)1,2(-，与向量(1,2)AB =-垂直的直线方程是 ▲3．已知复数z 满足：2,()z i i =是虚数单位，则z= ▲4．已知向量(0,1),(1,3),(,),OA OB OC m m ===若A 、B 、C 三点共线，则实数m= ▲5．函数()sin (sin cos )f x x x x =-的周期T= ▲6．已知点(,)(0)P a b a b >>与椭圆22221x y a b +=的两个焦点12,F F 构成等腰三角形，则椭圆的离心率e= ▲7．设,αβ为两个不重合的平面，,,m n l 是不重合的直线，给出下列命题，其中正确的序号是 ▲① 若,,m n m α⊥⊥则n ∥α；② 若,,n m αβ⊂⊂,αβ相交不垂直，则n 与m 不垂直；③ 若,,,m n m n αβαβα⊥=⊂⊥，则n β⊥；④ m 是平面α的斜线，n 是m 在平面α内的射影，若n l ⊥，则m l ⊥．8．设点P 是曲线2ln y x x =-上的任意一点，则点P 到直线1y x =-的最小距离为 ▲ 9．在ABC ∆中，2223tan b c a ac B -+=，则角B= ▲ 10．通项公式为2n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲11．把形如(,)nM m m n N +=∈的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m 项和，称作“对M 的m 项划分”。
例如：293135,==++称作“对9的3项划分”；把64表示成364413151719,==+++称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是 ▲12．设11()(),()[()](2,)1n n x f x f x f x f f x n n N x-+===≥∈+，则 12(1)(2)()(1)(1)(1)n f f f n f f f +++++++= ▲13．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，,2==BC AC D 是ABC ∆内切圆圆心，设P 是⊙D 外的三角形ABC 区域内的动点，若μλ+=，则点),(μλ所在区域的面积为 ▲14．若存在实常数k 和b ，使函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 恒有：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”。
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拓展精练 （11）
1.用秦九韶算法计算多项式2
3
4
5
6
()1235879653f x x x x x x x =+-++++在4x =-时的值时,3
V 的值为 _____________________ 2．若双曲线的渐近线方程为3
4
y x =±
，则双曲线的离心率为 ____________________ 3、某单位为了了解用电量y （度）与气温x （°C ）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
为 ____________________________
4. 已知函数[]2
()2,5,5f x x x x =--∈-,任取一点0,x 使得0()0f x ≤的概率是________
5．下列说法中正确的有____________________
①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；
②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大
③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确。
④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型。
6、（本题满分12分）设数列{}{}111,n n n n a a a a n a +=-=满足，右图是求数列
30前项和的算法流程图。
(I) 把算法流程图补充完整：
①处的语句应为 ； ②处的语句应为 ； (Ⅱ) 虚框内的逻辑结构为 ； (Ⅲ) 根据流程图写出程序：
7、已知圆O 1方程为()2
2
31x y -+=，圆O 2方程为()2
2
381x y ++=,动圆P 与圆O 1外切，与圆O 2
内切，求动圆P 圆心P 的轨迹方程
8．（本小题满分12分）
已知命题p 关于x 的方程0422=++ax x 无实数解；命题q ：函数f(x)=(3－2a)x 是增函数，若q
p ∨为真，q p ∧为假，求实数a 的取值范围．
9. （本题满分13分）已知椭圆22
22b
y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点A （0，-b ）和B （a ，0）
的直线与原点的距离为2
3
． （1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以
CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．
10．(本题满分13分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；
(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
11. (本题满分14分)已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6。
(1)设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
(2) 求过点(0，2)的直线被椭圆C 所截弦的中点的轨迹方程
参考答案
1、—57；
2、 54或5
3
; 3、 68度; 4、 0.3; 5、③
8．解：设2
()24g x x ax =++， 由于关于x 的方程2240x ax ++=无解
故2
4160,22a a ∆=-<∴-<< 2分
又因为()(32)f x a x =-是增函数，所以1,123<∴>-a a 4分 又由于p q ∨为真，p q ∧为假，可知p 和q 一真一假 6分
（1）若p 真q 假，则21,122<≤∴⎩
⎨⎧≥<<-a a a 8分
（2）若p 假q 真，则2,1
2
2-≤∴⎩
⎨⎧<≥-≤a a a a 或 10分
综上可知，实数a 的取值范围为2,21-≤<≤a a 或 12分。