(完整版)2命题及其关系、充分条件与必要条件练习题
§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．设集合A ＝{x ∈R|x －2＞0}，B ＝{x ∈R|x ＜0}，C ＝{x ∈R|x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：A ∪B ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}，C ＝{x ∈R|x ＜0或x ＞2}， ∵A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件． 答案：C2．已知命题p ：∃n ∈N,2n＞1 000，则綈p 为( )． A ．∀n ∈N,2n≤1 000 B ．∀n ∈N,2n＞1 000 C ．∃n ∈N,2n ≤1 000D ．∃n ∈N,2n＜1 000解析 特称命题的否定是全称命题．即p ：∃x ∈M ，p (x )，则綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )．故选A. 答案 A3．命题“若－1＜x ＜1，则x 2＜1”的逆否命题是( ) A ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 B ．若x 2<1，则－1<x <1 C ．若x 2>1，则x >1或x <－1 D ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1解析：若原命题是“若p ，则q ”，则逆否命题为“若綈q 则綈p ”，故此命题的逆否命题是“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”． 答案：D4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 (特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝12＜sin60°＝32，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．答案 D【点评】本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论．答案：B6．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝2，a4＝－2，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案：A7．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的( )．A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件解析若φ(a，b)＝0，即a2＋b2＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝b2－b＝0.故具备必要性．故选C.答案 C二、填空题8.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是______答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,219．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (2)“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； (3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题． 其中真命题的个数为________(填序号)．解析 (1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假． 答案 110．定义：若对定义域D 上的任意实数x 都有f (x )＝0，则称函数f (x )为D 上的零函数． 根据以上定义，“f (x )是D 上的零函数或g (x )是D 上的零函数”为“f (x )与g (x )的积函数是D 上的零函数”的________条件．解析 设D ＝(－1,1)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈－1，0]，0，x ∈0，1，显然F (x )＝f (x )·g (x )是定义域D 上的零函数，但f (x )与g (x )都不是D 上的零函数．答案 充分不必要11．p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是q ：“a ·b >0”的________条件． 解析：若向量a 与向量b 的夹角θ为锐角，则cos θ＝a ·b|a|·|b|>0，即a ·b >0；由a ·b >0可得cos θ＝a ·b|a|·|b|>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要12．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，πp 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中真命题的个数是____________．解析 由|a ＋b |＞1可得a 2＋2a·b ＋b 2＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a·b ＞－12，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a·b ＞－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＞1，即|a ＋b |＞1，故p 1正确．由|a －b |＞1可得a 2－2a ·b ＋b 2＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a·b ＜12，故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立，p 4正确．答案 2 三、解答题13.设p ：函数||()2x a f x -=在区间（4，+∞）上单调递增；:log 21a q <，如果“p ⌝”是真命题，“p 或q ”也是真命题，求实数a 的取值范围。
解析：||:()2x a p f x -=Q 在区间（4，+∞）上递增，||u x a ∴=-在（4，+∞）上递增，故 4.a ≤ …………（3分）:q 由log 21log 01 2.a a a a a <=⇒<<>或 …………（6分）如果“p ⌝”为真命题，则p 为假命题，即 4.a > …………（8分） 又因为p q 或为真，则q 为真，即012a a <<>或由0124a a a <<>⎧⎨>⎩或可得实数a 的取值范围是 4.a > …………（12分）14．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 、b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 解 (1)逆命题是：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )， 则a ＋b ≥0为真命题．用反证法证明：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，b ＜－a . ∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与题设相矛盾，所以逆命题为真． (2)逆否命题：若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0为真命题．因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可． ∵a ＋b ≥0, ∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 所以逆否命题为真．15．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 法一 写出逆否命题，再判断其真假． 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根， ∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题． 法二 利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断 ∵a ≥0，∴4a ≥0，∴4a ＋1＞0，∴方程x 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1＞0， ∴方程x 2＋x －a ＝0有实根，故原命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”为真． 又∵原命题与其逆否命题等价，∴“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真命题． 法三 利用充要条件与集合关系判断． 命题p ：a ≥0，q ：x 2＋x －a ＝0有实根， ∴p ：A ＝{a ∈R|a ≥0}，q ：B ＝{a ∈R|方程x 2＋x －a ＝0有实根}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ∈R|a ≥－14.即A ⊆B ，∴“若p ，则q ”为真，∴“若p ，则q ”的逆否命题“若綈q ，则綈p ”为真． ∴“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真．16．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )(x －a )<0，当a ＝1时，解得1<x <3，即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2<x <3. (2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 且p q ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A B ，又B ＝(2,3]，当a >0时，A ＝(a,3a )；a <0时，A ＝(3a ，a )．所以当a >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3<3a ，解得1<a ≤2；当a <0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是1<a ≤2.。
(完整版)2命题及其关系、充分条件与必要条件练习题
命题及其关系、充分条件与必要条件
．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”
x∈C”的( )
．充分而不必要条件
．必要而不充分条件
．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，
若向量向量b的夹角θ为锐角，则cos θ＝a·b
|b|>0，即a·b>0；由a·b>0
cos θ＝a·b
·|b|>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p是q的充分不必要条件．
．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
：|a＋b|＞1?θ∈0，2π
：|a＋b|＞1?θ∈2π
，π
：|a－b|＞1?θ∈0，π
p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2<x<3.
p是q的必要不充分条件，即q?p且pq，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则AB，
B＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)；
<0时，A＝(3a，a)．
a>0时，有 a≤2，
a，解得1<a≤2；
a<0时，显然A∩B＝?，不合题意．
：|a－b|＞1?θ∈π
，π
____________．
由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－1
，故θ
0，2π
.当θ∈0，2π3时，a·b＞－1
，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a＋b|＞1，
p
正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＜1
专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件(解析版)
专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．（充分条件、必要条件的判断）设a ，b 都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ） 22a b log log ＜222a b ＞＞A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由“”，得， l 22og log a b <2211log log a b<得或或， 22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩220log a log b ＞＞220log a log b ＞＞即或或， 011a b <<⎧⎨>⎩1a b ＞＞01b a ＜＜＜由，得，222a b ＞＞1a b ＞＞故“”是“”的必要不充分条件，22log log a b <222a b ＞＞故选C ．2．（充分不必要条件的求解）设函数（e 为自然底数），则使成立的一个充分不必要23()xx f x e -=()1f x <条件是（ ）A ．B ．C ．D ． 01x <<04x <<03x <<34x <<【答案】A【解析】()1f x <⇔231xx e -<⇔230x x -<解得： 03x <<又“”可以推出“”01x <<03x <<但“”不能推出“”03x <<01x <<所以“”是“” 充分不必要条件.01x <<()1f x <故选：A.3．（由必要条件求字母关系）已知，若的必要条件是，()23()f x x x R =+∈|()1|f x a -<|1|(,0)x b a b +<>则a ，b 之间的关系是（） A ． B ． C ． D ． 2a b ...2a b <2b a (2)b a >【答案】A【解析】不等式的解集为，不等式的解集为，根据()1f x a -<(1,1)22a a ---+1x b +<题意可知是的子集，所以有，故选A ． (1,1)22a a ---+2a b ≥4．（由必要不条件求字母范围）设，，若是的必要不充34:02x x p x-≤()22:210q x m x m m -+++≤p q 分条件，则实数的取值范围为（ ）m A ．B ．C ．D ．[]2,1-[]3,1-[)(]2,00,1-⋃[)(]2,10,1--⋃【答案】D【解析】设：的解集为A ，所以A={x|-2≤x ＜0或0＜x≤2}, p 3402x x x -≤设：的解集为B ， q ()22210x m x m m -+++≤所以B={x|m≤x≤m+1},由题知p 是q 的必要不充分条件，即得B 是A 的真子集，所以有 010012 1.122m m m m m m >+<⎧⎧⇒<≤⇒-≤<-⎨⎨+≤≥-⎩⎩或综合得m ∈，故选D.[)(]2,10,1--⋃5．（有关三角函数的充要条件）在中，有一个内角为，“”是“”的（ ）V ABC 30︒30A ∠>︒1sin 2A >条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】在中，有一个内角为,故，故选C ． ABC ∆030000150A ⇒<<030A >⇔1sin 2A >6．（命题真假判断）下列命题中错误的是（ ）A ．若为假命题，则与均为假命题p q ∨p q B ．已知向量，，则是的充分不必要条件(1,1)a m =+ (,2)b m = //a b1m =C ．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”2320x x -+=1x =1x ≠2320x x -+≠D ．命题“，”的否定是“，”(0,)x ∀∈+∞ln 0x x ->(0,)x ∃∈+∞ln 0x x -≤【答案】B【解析】若“”为假命题，则p 与q 均为假命题，正确； p q ∨已知向量，，则“”可得，解得或，所以()1,1a m =+ (),2b m = //a b 220m m +-=1m =2m =-“”是“”的必要不充分条件，所以B 不正确；//a b 1m =命题“若，则的逆否命题为“若，则”，满足逆否命题的形式，正2320x x -+=1x =1x ≠2320x x -+≠确；命题“，”的否定是“，”满足命题的否定形式，正确； ()0,x ∀∈+∞ln 0x x ->()00,x ∃∈+∞00ln 0x x -≤故选B ．7．（有关三角函数的命题真假判断）在中，给出下列说法：ABC ∆①若，则一定有；A B >sin sin A B >②恒有；cos cos 0A B +>③若，则为锐角三角形.sin cos A B <ABC ∆其中正确说法的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】在中，若，根据大边对大角可得到，故①ABC ∆A B >,sin sin sin sin a b a b A B A B >=⇒>正确；在中， ABC ∆,,222222A B A B A B πππππππ⎛⎫+<⇒->---∈- ⎪⎝⎭正弦函数在这一区间内是单调递增的，故得到 sin sin cos cos cos cos 022A B A B A B ππ⎛⎫⎛⎫->-⇔>-⇔+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故②正确；若，即 sin cos A B <sin sin 2222A B A B A B C ππππ⎛⎫<-⇒<-⇒+<⇒> ⎪⎝⎭故三角形为钝角三角形，故③错误.故答案为C.二、填空题8．（由命题真假求字母关系）能说明“设a ，b 为实数，若，则直线与圆220a b +≠10ax by +-=221x y +=相切”为假命题的一组a ，b 的值依次为__．【答案】1,1【解析】设，为实数，若，则直线与圆相切， a b 220a b +≠10ax by +-=221x y +=，即为，1=221a b +=若为假命题，只要，221a b +≠要说明“设，为实数，若，则直线与圆相切”为假命题的一组，a b 220a b +≠10ax by +-=221x y +=a 的值依次可为1，1．b 故答案为：1，1．9．（由命题真假求字母的范围）命题“存在，使”为假命题，则实数a 的取值范围是x ∈R 240x ax a +-＜_________．【答案】160a -≤≤【解析】试题分析：命题：“存在x ∈R ，使x 2+ax﹣4a ＜0”为假命题，即对任意的实数x ，恒有x 2+ax﹣4a≥0成立，则,解得，．10．（举例说明命题真假）设是定义在上的单调递减函数，能说明“一定存在使得”()f x R 0x R ∈0()0f x <为假命题的一个函数是_______.()f x =【答案】1(2xy =【解析】设是定义在上的单调递减函数，能说明“一定存在使得”为假命题的一个()f x R 0x R ∈()00f x <函数是. ()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
02命题及其关系充分必要条件(经典题型+答案)
命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．二、四种命题及其关系1．四种命题间的相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
三、充分条件与必要条件1．如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．抓住关键词：大必小充。
即大范围推小范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件。
例1：|x|>1是x>1的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 解： |x|>1⇔x>1或x<－1，故x>1⇒|x|>1，但|x|>1 x>1，∴|x|>1是x>1的必要不充分条件．另解：根据大必小充原理，容易判断|x|>1是大范围，x>1是小范围，故|x|>1是x>1的必要不充分条件． 例2：下列命题是真命题的为 ( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2 解：由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确，易知B 、C 、D 错误． 3．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是 ( )A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 解：写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．答案D 。
2命题及其关系、充分条件与必要条件练习题(最新整理)
则 a＋b＜0 为真命题．
因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可．
∵a＋b≥0,
∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
所以逆否命题为真． 15．判断命题“若 a≥0，则 x2＋x－a＝0 有实根”的逆否命题的真假． 解 法一 写出逆否命题，再判断其真假． 原命题：若 a≥0，则 x2＋x－a＝0 有实根． 逆否命题：若 x2＋x－a＝0 无实根，则 a＜0. 判断如下： ∵x2＋x－a＝0 无实根，
＝0，则不妨设 a＝0.φ(a，b)＝ a2＋b2－a－b＝ b2－b＝0.故具备必要性．故选 C.
答案 C
二、填空题
8.若不等式
答案：
1 2
,
4 3
成立的充分不必要条件是
，则实数 的取值范围是______
9．有三个命题：(1)“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；
(2)“若 a＞b，则 a2＞b2”的逆否命题；
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1．设集合 A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”
是“x∈C”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A∪B＝{x∈R|x＜0 或 x＞2}，C＝{x∈R|x＜0 或 x＞2}，
q : 由 loga 2 1 loga a 0 a 1或a 2. …………（6 分） 如果“ p ”为真命题，则 p 为假命题，即 a 4. …………（8 分）
1-2命题及其关系,充分条件与必要条件(真题)
{ 真题演练集训 }1．[2017·北京卷]设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m ，n 共线且反向，夹角为180°，则m ·n ＝－|m |·|n |<0，故充分性成立．由m ·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A.2．[2017·浙江卷]已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C解析：解法一：S 4＋S 6>2S 5等价于(S 6－S 5)＋(S 4－S 5)>0，等价于a 6－a 5>0，等价于d >0.故选C.解法二：∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴S 4＋S 6－2S 5＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d －2(5a 1＋10d )＝d ，即S 4＋S 6>2S 5等价于d >0.故选C.3．[2016·四川卷]设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：p 表示的区域是圆内的所有点(包括边界)，q 表示的区域如下图阴影区域所示：由图象可知，q 表示的区域是p 表示的区域的子集，所以p 是q 的必要不充分条件．故选A.4．[2017·北京卷]能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．答案：－1，－2，－3(答案不唯一)解析：答案不唯一，如：a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但不满足a＋b>c.。
命题及其关系、充分条件与必要条件测试题
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．()(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(5)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．()2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c3．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点一四种命题的相互关系及真假判断1．(2018·武汉模拟)对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列叙述正确的是() A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题1．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[冲关演练]1．(2018·安徽两校阶段性测试)设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[冲关演练]1．(2017·湖北新联考四模)若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]。
命题及其关系、充分条件与必要条件练习题
一、选择题1．下列命题为真命题的是() A．若|x|＝1，则x＝1B．若ab＜1，则ba＞1C．若x＝y，则log a x＝log a yD．若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数2．(2011·高考山东卷)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c ＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝33．(2011·高考天津卷)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么()A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题5．(2012·福州质检)若集合A ＝{}x |2＜x ＜3，B ＝{x |(x ＋2)·(x －a )＜0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题6．在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________个．7．在△ABC 中“AB →·AC→＝0”是“△ABC 为直角三角形”的________条件．8.(2012·三明调研)给定下列命题：①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根；②“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题． 其中真命题的序号是________．三、解答题9．已知命题P ：“若ac ≥0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题P 的否命题；(2)判断命题P 的否命题的真假，并证明你的结论．一、选择题1．不等式x 2－2x －3<0成立的一个必要不充分条件是( )A ．－1<x <3B ．0<x <3C ．－2<x <3D ．－2<x <12．(2012·南平调研)下列命题中正确的是( )A ．“a ＝b ”是“a ·c ＝b ·c ”的必要条件B ．a ，l 是直线，α是平面，a ⊂α，l ⊄α，则“l ∥a ”是“l ∥α”的充要条件C ．在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”充分非必要条件D ．“x ∈R ，x 2＋4x 2＋1≥m ”恒成立的充要条件是m ≤3 二、填空题3．命题“若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为零”的逆否命题是 ________.它是________命题(真、假)．4．(2012·海口质检)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R 12＜2x ＜8，B ＝{x ∈R|－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．三、解答题5．设M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 2x －2x ＋3＞1，N ＝{x |x 2＋(a －8)x －8a ≤0}，命题p ：x ∈M ，命题q ：x ∈N ；(1)当a ＝－6时，判断命题p 是命题q 的什么条件；(2)求a 的取值范围，使命题p 是命题q 的一个必要不充分条件．6．(2012·福州调研)已知集合A ＝⎩⎨⎧ yy ＝x 2－32x ＋1， ⎭⎬⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，B ＝{x ||x －m |≥1}；命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．。
高考数学(理)一轮规范练【2】命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案)
课时规范练2课时规范练第3页一、选择题1.设原A.原B.原C.原D.原答案:A解析:可以考虑原其逆2.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A.a>b+1B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3答案:A解析:A选项中a>b+1>b,所以充分性成立,但必要性不成立,所以a>b+1为a>b成立的充分不必要条件,故选A.3.A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数答案:C解析:由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原4.(2018湖南长沙实验中学月考)已知a,b∈R,则“log3a>log3b”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件[:答案:A5.(2018福建高考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( )[:A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:若a=3,则A={1,3}⊆B,故a=3是A⊆B的充分条件;而若A⊆B,则a不一定为3,当a=2时,也有A⊆B.故a=3不是A⊆B的必要条件.故选A.6.“≤-2”是“a>0且b<0”的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:+2=≤0⇒ab<0⇒故选A.二、填空题7.答案:2解析:先写出原8.设有如下三个甲:m∩l=A,m,l⊂α,m,l⊄β;乙:直线m,l中至少有一条与平面β相交;丙:平面α与平面β相交.当甲成立时,乙是丙的条件.答案:充要解析:由题意乙⇒丙,丙⇒乙.故当甲成立时,乙是丙的充要条件.9.已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件.现有下列①s是q的充要条件;②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;④p是s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件.则正确答案:①②④[:解析:由题意知∴s⇔q,①正确;p⇒r⇒s⇒q,∴p⇒q,但q p,②正确;同理判断③⑤不正确,④正确.三、解答题10.设p:|4x-3|≤1,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解:p:由|4x-3|≤1,解得-1≤4x-3≤1,∴≤x≤1;q:由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,解得(x-a)[x-(a+1)]≤0,∴a≤x≤a+1.由题意知p是q的充分不必要条件,故有则0≤a≤.11.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.解:必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1,则x=1满足方程ax2+bx+c=0,∴a+b+c=0.充分性:若a+b+c=0,则b=-a-c,∴ax2+bx+c=0可化为ax2-(a+c)x+c=0,∴(ax-c)(x-1)=0,∴当x=1时,ax2+bx+c=0,∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根.12.设函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为集合A,函数g(x)=的定义域为集合B.已知α:x∈A∩B,β:x满足2x+p≤0,且α是β的充分条件,求实数p的取值范围.解:依题意,得A={x|x2-x-2>0}=(-∞,-1)∪(2,+∞),B==(0,3],所以A∩B=(2,3].设集合C={x|2x+p≤0},则x∈.因为α是β的充分条件,所以(A∩B)⊆C.则需满足3≤-⇒p≤-6.故实数p的取值范围是(-∞,-6].。
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 练出高分(含答案解析)
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件A 组 专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题： 若tan α≠1，则α≠π4.2． (2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x .又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.3． 已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B. 4． 下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎪⎨⎪⎧y (y ≥0)－y (y <0)，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．6． 已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.7． (2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 三、解答题(共22分)8． (10分)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．9． (12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意得p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1. 又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，且等号不能同时取到，∴2≤m ≤4.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·上海)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵mn >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n <0，当m >0，n >0且m ≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆， 当m <0，n <0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形， 所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn >0，所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．2． 已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)答案 C解析 由1x －2≥1，得2<x ≤3；由|x －a |<1，得a －1<x <a ＋1.若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤2a ＋1>3，即2<a ≤3.所以实数a 的取值范围是(2,3]，故选C.3． 集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4.a >4D /⇒a >5，但a >5⇒a >4.故“A ⊆B ”是“a >5”的必要不充分条件． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)解析 当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合；当a ≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝22－4a <0， 解得a >1. 若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得34<a <1.由题意，可知p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，a 的取值范围是 {a |a >1}∩{a |a ≤34或a ≥1}＝{a |a >1}；当p 假q 真时，a 的取值范围是 {a |a ≤1}∩{a |34<a <1}＝{a |34<a <1}；所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)．5． 若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4，得1≤x <2. 点评 “A 或B ”的否定是“綈A 且綈B ”．6． “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，∵m <14⇒m ≤14，反之不成立．故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．三、解答题7． (13分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94.∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.。
中档题02命题及其关系、充分条件与必要条件(含答案,直接打印)
则 + ≤ 1”②否命题是“若 + ≤ 1，则 a，b 中至少有一个大于 ”③逆否命题是“若 a，b 中至少有一个不大于 ，则
+ > 1”则叙述正确的命题序号为______．
下列命题中为真命题的序号是________．
∴“若 ≤ 1，则 + 2 + = 0有实根”的逆命题“若 + 2 + = 0有实根，则 ≤ 1”正确； ④ ∵等腰三角形的两个内角相等，原命题错误，原命题与其逆否命题的真假性一致，∴其逆否命题也错误；
4.【答案】④ 解：①命题“若 = 1，则 = 1”的否命题为“若 ≠ 1，则 ≠ 1”；故①错误； ②命题“∃ ∈ ， + − 1 < 0”的否定是“∀ ∈ ， + − 1 ≥ 0”；故②错误； ③命题“若 = ，则 = ”的逆否命题是若 ≠ ，则 ≠ ，是真命题，故③错误； ④若“p 或 q 为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题．”，正确； 5.【答案】②④ 解：对①否命题是“若函数 ( ) = − 在(0, +∞)上是减函数，则 > 1”，否命题转化错误， 应为“若函数 ( ) = − 在(0, +∞)上不是增函数，则 > 1”，故错误； 对②逆命题是“若 ≤ 1，则 ( ) = − 在(0, +∞)上是增函数”，转化正确， 当 ≤ 1时，对 ∈ (0, +∞)， ′( ) = − > 0恒成立，逆命题成立，故正确； 逆否命题是“若 > 1，则函数 ( ) = − 在(0, +∞)上不是增函数”，故③错误， 原命题成立时， ′( ) = − ≥ 0， ≤ 对 ∈ (0, +∞)恒成立，解得 ≤ 1，故原命题正确，∴ ④逆否命题正确．