(完整)高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算
知 识 梳 理
1.导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0
lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx .
(2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0
lim
x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ）
Δx 为f (x )的导函数.
2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y ＝e x
ln x ；(2)y ＝x ?
??
??x 2＋1x ＋1x 3；
解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ??
??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3
＋1＋1x
2，
所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ??
??1x
2′＝3x 2
－2x
3.
【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e
解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x
，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B
(2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________.
(2)f ′(x )＝a ? ??
??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3
考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程
【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1
－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的
切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1
＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e
x －1
＋x ，
所以当x >0时，f (x )＝e
x －1
＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e
x －1
＋1，f ′(1)＝e 0
＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1，
2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0
【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ，
∴?
????y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.答案 B
命题角度二 求切点坐标
【例3】 (2017·西安调研)设曲线y ＝e x
在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x
(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐
标为________.
解析 由y ′＝e x ，知曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率k 1＝e 0
＝1.设P (m ，n )，又y ＝1x
(x >0)的导数y ′＝－
1
x
2
，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1
m
2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1.
则点P 的坐标为(1，1).答案 (1，1)
【训练3】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.解析 (1)由题意得y ′＝ln x ＋x ·1
x
＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以
n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e). 答案 (1)(e ，e)
命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)
【例4】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2
＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.
解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1
x
，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －
1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，∴a ≠0且Δ＝a 2
－8a ＝0，解得a ＝8.答案 8
【训练4】1.函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________. 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a 在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x ，因为a ＞0，所以2－1
x
＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2).答案
(2)(－∞，2)
2.点P 是曲线x 2
－y －ln x ＝0上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A.1 B.
32
C.
5
2
D. 2 解析 点P 是曲线y ＝x 2
－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝x －2的斜率为1，令y ＝x 2
－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y
＝x 2
－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线y ＝x －2的距离等于2，∴点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.答案 D
第2讲 导数在研究函数中的应用
知 识 梳 理
函数的单调性与导数的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则：(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增；(2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减；(3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数. 考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】设f (x )＝e x (ax 2
＋x ＋1)(a ＞0)，试讨论f (x )的单调性.
解 f ′(x )＝e x
(ax 2
＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1)＝e x [ax 2＋(2a ＋1)x ＋2]＝e x
(ax ＋1)(x ＋2)
＝a e x ? ????x ＋1a (x ＋2)①当a ＝12时，f ′(x )＝12e x (x ＋2)2
≥0恒成立，∴函数f (x )在R 上单调递增；
②当0＜a ＜12时，有1a ＞2，令f ′(x )＝a e x ? ??
??x ＋1a (x ＋2)＞0，有x ＞－2或x ＜－1a ，
令f ′(x )＝a e x ? ??
??x ＋1a (x ＋2)＜0，有－1a
＜x ＜－2，∴函数f (x )在? ??
??－∞，－1a 和(－2，＋∞)上单调递增，在
? ????－1a ，－2上单调递减；③当a ＞12时，有1a ＜2，令f ′(x )＝a e x ? ??
??x ＋1a (x ＋2)＞0时，有x ＞－1a 或x ＜－2，令
f ′(x )＝a e x ? ?
?
??
x ＋1a (x ＋2)＜0时，有－2＜x ＜－1
a ，
∴函数f (x )在(－∞，－2)和? ????－1a ，＋∞上单调递增；在? ??
??－2，－1a 上单调递减.
【训练1】(2016·四川卷节选)设函数f (x )＝ax 2
－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的
底数.(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0.
(1)解 由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2
－1
x
(x >0).当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减.当a >0
时，由f ′(x )＝0有x ＝
1
2a
，当x ∈?
?
???0，
12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈? ??
??12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)证明 令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ，从而g (x )＝
1x －1
e
x －1>0. 考点二 求函数的单调区间
【例2】 (2015·重庆卷改编)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2
(a ∈R )在x ＝－43处取得极值.
(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x
，求函数g (x )的单调减区间.
解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2
＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′? ????－43＝0，即3a ·169＋
2·? ????－43＝16a 3－8
3
＝0，解得a ＝12.
(2)由(1)得g (x )＝? ????12x 3＋x 2e x 故g ′(x )＝? ????32x 2＋2x e x ＋? ????12x 3＋x 2e x ＝? ??
??12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x
.令
g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0.解之得－1 【训练2】 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －3 2 ，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝1 2 x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－3 4－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，(x >0).则f ′(x )＝x 2 －4x －5 4x 2 .令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.但－1?(0，＋∞)，舍去.当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5). 考点三 已知函数的单调性求参数 【例3】 (2017·西安模拟)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2 ＋2x (a ≠0). (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围. 解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1 x －ax －2.若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x >0 时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min .(*)又G (x )＝? ?? ??1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，(**)则a ≥1x 2－2 x 恒成立，所 以a ≥G (x )max .又G (x )＝? ????1x －12 －1，x ∈[1，4]因为x ∈[1，4]，所以1x ∈??????14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2 －32x 16x ＝（7x －4）（x －4） 16x ，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x ) ＝ （7x －4）（x －4） 16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立.(***) ∴h (x )在[1，4]上为减函数.故实数a 的取值范围是???? ??－716，＋∞. 【训练3】 已知函数f (x )＝x 3 －ax －1. (1)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )的单调减区间为(－1，1)，求a 的值. 解 (1)因为f (x )在R 上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2 －a ≥0在R 上恒成立，即a ≤3x 2 对x ∈R 恒成立.因为3x 2 ≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2 ≥0，当且仅当x ＝0时取等号.∴f (x )＝x 3 －1在R 上是增函数.所以实数a 的取值范围是(－∞，0].(2)f ′(x )＝3x 2 －a .当a ≤0时，f ′(x )≥0，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数， 所以a ≤0不合题意.当a >0时，令3x 2 －a <0，得－3a 3 ，3a 3， 依题意， 3a 3 ＝1，即a ＝3. 第3讲 导数与函数的极值、最值 知 识 梳 理 1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点:若函数f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点:若函数f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值. 2.函数的最值与导数的关系(1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件:如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 考点一 用导数研究函数的极值 命题角度一 根据函数图象判断极值 【例1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 解析 由题图可知，当x <－2时，1－x >3，此时f ′(x )>0；当－2 【例2】 求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值. 解 由f ′(x )＝1－a x ＝ x －a x ，x >0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x ) 无极值；(2)当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值. 命题角度三 已知极值求参数 【例3】 已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2 ＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43 ，试求b ，c 的值. 解 ∵f ′(x )＝－x 2 ＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处有极值－43，可得? ????f ′（1）＝－1＋2b ＋c ＝0，f （1）＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－4 3.解得?????b ＝1，c ＝－1或? ????b ＝－1， c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，f (x )没有极值.若b ＝－1，c ＝3，则 f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1).当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞) ∴当x ＝1时，f (x )有极大值－4 3，满足题意.故b ＝－1，c ＝3为所求. 【训练1】 设函数f (x )＝ax 3 －2x 2 ＋x ＋c (a >0). (1)当a ＝1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f (x )在R 上无极值点，求a 的取值范围. 解 由题意得f ′(x )＝3ax 2 －4x ＋1.(1)函数图象过(0，1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2 －4x ＋1.令f ′(x )>0，解得x <13或x >1；令f ′(x )<0，解得13 －2×12 ＋1＋1＝1. (2)若f (x )在R 上无极值点，则f (x )在R 上是单调函数，故f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立.当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(1)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2 －4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围是??????43，＋∞. 考点二 利用导数求函数的最值 【例4】 (2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值. 解 (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. 当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表： 所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞). (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ，当0 k －1 .当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区 间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1 k －1 ；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e. 【训练2】 设函数f (x )＝a ln x －bx 2 (x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12 相切，(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )在???? ??1e ，e 上的最大值. 解 (1)由f (x )＝a ln x －bx 2 ，得f ′(x )＝a x －2bx (x >0).∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12 相 切.∴?????f ′（1）＝a －2b ＝0，f （1）＝－b ＝－1 2，解得? ????a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e ??1e ，1上单调递增，在(1，e)上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1 2 . 考点三 函数极值与最值的综合问题 【例5】 已知函数f (x )＝ ax 2＋bx ＋c e x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3 ，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值. 解 (1)f ′(x )＝（2ax ＋b ）e x －（ax 2 ＋bx ＋c ）e x （e x ）2＝－ax 2 ＋（2a －b ）x ＋b －c e x .令g (x )＝－ax 2 ＋(2a －b )x ＋b －c ，由于e x >0.令f ′(x )＝0，则g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ＝0，∴－3和0是y ＝g (x )的零点，且f ′(x )与g (x )的符号相同.又因为a >0，所以－3 所以f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞). (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有???? ?9a －3b ＋c e －3 ＝－e 3 ，g （0）＝b －c ＝0，g （－3）＝－9a －3（2a －b ）＋b －c ＝0， 解得a ＝1，b ＝5， c ＝5，所以f (x )＝ x 2＋5x ＋5 e x .因为f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞). 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，又f (－5)＝5e －5＝5e 5>5＝f (0)，所数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5. 【训练3】 (2017·衡水中学月考)已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ). (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，?x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的最大值. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1 x .当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数 f (x )在(0，＋∞)上单调递减.∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点.当a >0时，由f ′(x )<0，得0 a ；由f ′(x )>0， 得x >1a ，∴f (x )在? ????0，1a 上递减，在? ?? ??1a ，＋∞上递增，即f (x )在x ＝1a 处有极小值.综上，当a ≤0时，f (x )在(0， ＋∞)上没有极值点；当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点. (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝a －1＝0，则a ＝1，从而f (x )＝x －1－ln x .因此f (x )≥bx －2?1＋1x －ln x x ≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln x x ，则g ′(x )＝ln x －2x 2 ，令g ′(x )＝0，得x ＝e 2，则g (x )在(0，e 2 )上递减，在(e 2，＋∞)上递增，∴g (x )min ＝g (e 2 )＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2.故实数b 的最大值是1－1e 2. 第4讲 导数与函数的综合应用 考点一 利用导数研究函数的性质 【例1】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若 a >0，则当x ∈? ? ???0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈? ????1 a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在? ? ???0，1a 上单调递增，在? ?? ? ? 1 a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a ≤0，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1 a 取得最大值，最大值 为f ? ?? ??1a ＝ln 1a ＋a ? ????1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ? ?? ??1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a ) 在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当01时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0，1). 【训练1】设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在? ????23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1，4]上的最小值为－16 3 ，求f (x )在该区间上的最大值. 解 (1)由f ′(x )＝－x 2 ＋x ＋2a ＝－? ????x －122 ＋14＋2a ，当x ∈??????23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′? ????23＝2 9 ＋2a ； 令29＋2a ＞0，得a ＞－19.所以，当a ＞－19时，f (x )在? ?? ??23，＋∞上存在单调递增区间. (2)已知0＜a ＜2，f (x )在[1，4]上取到最小值－163，而f ′(x )＝－x 2 ＋x ＋2a 的图象开口向下，且对称轴x ＝12， ∴f ′(1)＝－1＋1＋2a ＝2a ＞0，f ′(4)＝－16＋4＋2a ＝2a －12＜0，则必有一点x 0∈[1，4]，使得f ′(x 0)＝0，此时函数f (x )在[1，x 0]上单调递增，在[x 0，4]上单调递减，f (1)＝－13＋12＋2a ＝16＋2a ＞0，∴f (4)＝－1 3×64＋ 12×16＋8a ＝－403＋8a ＝－163 ?a ＝1.此时，由f ′(x 0)＝－x 2 0＋x 0＋2＝0?x 0＝2或－1(舍去)，所以函数f (x )max ＝f (2)＝103 . 考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根 【例2】 (2015·北京卷)设函数f (x )＝x 2 2 －k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点. (1)解 由f (x )＝x 2 2－k ln x (k >0)，得x >0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－k x .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去).f (x ) 与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下： 所以f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞).f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝ k （1－ln k ） 2 . (2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝ k （1－ln k ） 2 .因为f (x )存在零点，所以 k （1－ln k ） 2 ≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x ) 在区间(1，e]上的唯一零点.当k >e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0， 所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点.综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点. 【训练2】 (2016·北京卷节选)设函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围. 解 (1)由f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3 ＋4x 2 ＋4x ＋c ，所以f ′(x )＝3x 2 ＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2 ＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－2 3 .当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下： 所以，当c >0且c －3227<0，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈? ????－2，－23，x 3∈? ?? ??－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈? ?? ??0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2 ＋4x ＋c 有三个不同零点. 考点三 导数在不等式中的应用 命题角度一 不等式恒成立问题 【例3】 (2017·合肥模拟)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3 ＋ax 2 －x ＋2. (1)如果函数g (x )的单调递减区间为? ?? ??－13，1，求函数g (x )的解析式； (2)对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意3x 2 ＋2ax －1<0的解集是? ?? ??－13，1， 即3x 2＋2ax －1＝0的两根分别是－13，1.将x ＝1或－13 代入方程3x 2＋2ax －1＝0，得a ＝－1.所以g (x )＝x 3－x 2 －x ＋2. (2)由题意2x ln x ≤3x 2 ＋2ax －1＋2在x ∈(0，＋∞)上恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x ，设h (x )＝ln x －32x － 12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－（x －1）（3x ＋1）2x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1或－1 3 (舍)，当0 当x >1时，h ′(x )<0，所以当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2，所以a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2，＋∞). 【训练3】已知函数f (x )＝x 2 －ln x －ax ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )>x ，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2 －ln x －x ，f ′(x )＝（2x ＋1）（x －1）x .当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1， ＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )的最小值为f (1)＝0. (2)由f (x )>x ，得f (x )－x ＝x 2 －ln x －(a ＋1)x >0.由于x >0，所以f (x )>x 等价于x －ln x x >a ＋1.令g (x )＝x － ln x x ，则g ′(x )＝x 2 －1＋ln x x 2 .当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.故g (x )有最小值g (1)＝1.故a ＋1<1，a <0，即a 的取值范围是(－∞，0). 命题角度二 证明不等式 【例4】 (2017·昆明一中月考)已知函数f (x )＝ln x －（x －1）2 2. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x ) (1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2 ＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞).由f ′(x )>0得? ????x >0，x 2＋x ＋1>0.解得0 2.故f (x )的 单调递增区间是? ???? 0，1＋52.(2)证明 令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞).则有F ′(x )＝1－x 2 x .当x ∈(1， ＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x ) f （x ）x ＋12＝ln x x ＋12，F ′(x )＝1－ln x x 2 ，当F ′(x )>0时，0 2 . (2)证明 令h (x )＝x －f (x )＝x －ln x ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1 x ，当h ′(x )<0时，0 故h (x )在(0，1)上是减函数，在(1＋∞)上是增函数， 故h (x )min ＝h (1)＝1.又F (x )max ＝1e ＋12<1，故F (x ) 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析： ()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为 21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251= f ， 所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-， 带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ： x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析： 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 0300 23x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 002 0+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得： 2 30= x 或00=x （舍），此时， 830-=y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 41 -=，切点坐标是??? ??-83,23。 考点四：函数的单调性。 例5.已知 ()132 3+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。 解析：函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分） 已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--． 导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， 高考文科数学专题复习导数训练题（文） 一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 在0x 处有增量x ?，称为函数)(x f y =在则称函数)(x f y =在)0或0|'x x y =，即 f . )(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(2121x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） )0(2''' ≠-= ?? ? ??v v u v vu v u *复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??= 或x u x u y y '''?= 4.几种常见的函数导数： I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin ' = 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= II. x x 1)(ln '= e x x a a log 1 )(log '= x x e e =')(a a a x x ln )('= 二、经典例题剖析 考点一：求导公式 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而 全国卷数学导数真题整理 参考答案与试题解析 一.解答题(共14小题) 3 1 1. ( 2015?河北)已知函数 f ( x ) =x +ax+亠,g (x ) =- Inx 4 (i) 当a 为何值时，x 轴为曲线y=f (x )的切线； (ii) 用 min {m , n }表示 m , n 中的最小值，设函数 h (x ) =min { f (x ), g (x ) } (x >0), 讨论h (x )零点的个数. 2 【分析】(i ) f '(x ) =3x +a .设曲线y=f (x )与x 轴相切于点P (x o , 0),则f (x o ) =0, f (x 0) =0解出即可. (ii )对 x 分类讨论：当 x € (1, + 旳 时，g (x ) =- lnx v 0,可得函数 h (x ) =min { f (x ), g (x ) } 高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）． （1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）． （2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）． 2019年高考数学理科数学 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1, ()ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()0 f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[] 0,1 B ．[] 0,2 C ．[]0,e D ．[] 1,e 【答案】C 【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立； 当1x <时，2 2 ()22021 x f x x ax a a x =-+≥?≥-恒成立， 令2 ()1 x g x x =-， 则222(11)(1)2(1)1 ()111x x x x g x x x x -----+=-=-=- --- 11122(1)2011x x x x ???? =--+-≤--?= ? ? ?--???? ， 当1 11x x -= -，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立， 令()ln x h x x = ，则2ln 1()(ln )x h x x -'=， 当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=， 综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C. 3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2(1)y x a x =+-'， 当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点?函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图： 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数 2015年～2018年高考全国卷数学（文科）—函数与导数汇编 1.（2015年全国乙卷第21题）已知函数()ln (1)f x x a x =+-﹒ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围﹒ 2.（2015年全国甲卷第21题）设函数2()ln x f x e a x =-﹒ （1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数； （2）证明：当0a >时，2()2ln f x a a a ≥+﹒ 3.（2016年全国丙卷第21题）设函数()ln 1f x x x =-+﹒ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）证明：当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x -<<； （3）设1c >，证明：当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->﹒ 4.（2016年全国乙卷第20题）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--﹒ （1）当4a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （2）若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围﹒ 5.（2016年全国甲卷第21题）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-﹒ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围﹒ 6. （2017年全国丙卷第21题）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++﹒ （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明：3()24f x a ≤- -﹒ 1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 的解，附近，如 果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条 件12】“对任意 B．必要而不充分条件 ，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（） ．既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则 ．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数 ，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选 所述，“ 对任 意B． ， 【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用， 根 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意； 当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0， ， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一的零点，需 ，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意； 当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0， ，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足 ，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时 零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ． 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想， 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取 值范围是（） 2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。 高考文科数学专题复习导数训练题（文) 一、考点回顾 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。 ３.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大(小）值，而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小）值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析： ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案：3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 例２. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。 解析：因为 21= k ，所以()211'= f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25 ,所 以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-， 带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为:025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=，∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处 曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ，整理 得:0 3200=-x x ,解得： 230= x 或00=x (舍），此时,830-=y ,41 - =k 。所以，直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标. 4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系； 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编 7．函数与导数 一、选择题 （2017·8）函数2 ()ln(28) f x x x =--的单调递增区间是（） A. (-∞，-2) B. (-∞，-1) C. (1，+∞) D. (4，+∞) （2016·10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（） A．y=x B ．y=lg x C．y=2x D．y x = （2016·12）已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为 11 (,) x y，22 (,) x y，…，(,) m m x y，则 1 m i i x = = ∑（） A．0 B．m C．2m D．4m （2015·11）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（） A．B．C．D． （2015·12）设函数 2 1 ()ln(1) 1 f x|x| x =+- + ，则使得()(21) f x f x >-成立的x的取值范围是（） A. 1 (,1) 3 B. 1 (,)(1,) 3 -∞+∞ C. 11 (,) 33 - D. 11 (,)(,) 33 -∞-+∞ （2014·11）若函数f (x) = kx-ln x在区间(1，+∞)单调递增，则k的取值范围是（）A．(] ,2 -∞-B．(] ,1 -∞-C．[) 2,+∞D．[) 1,+∞ （2013·8）设 3 log2 a=， 5 log2 b=， 2 log3 c=，则（） A．a c b >>B．b c a >>C．c b a >>D．c a b >> （2013·11）已知函数32 () f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（） A． x R ?∈， ()0 f x= B．函数() y f x =的图象是中心对称图形 C．若 x是() f x的极小值点，则() f x在区间 (,) x -∞单调递减 D．若 x是() f x的极值点，则 ()0 f x'= （2013·12）若存在正数x使2()1 x x a -<成立，则a的取值范围是（） A．(,) -∞+∞B．(2,) -+∞C．(0,) +∞D．(1,) -+∞ （2012·11）当0 高二数学导数单元练习 一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） ~ A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3 y x x 的递增区间是（ ） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ） A. f(x) 〉0 (x)〈 0 (x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3 ()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ） . A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数3 13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足' (1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 二、填空题 2012高考文科试题解析分类汇编：导数 1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是 【答案】C 【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则 ()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '> 【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性及导数的关系，属于基础题． 2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若23a b e a e b +=+，必有22a b e a e b +>+．构造函数：()2x f x e x =+， 则()20x f x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即 a ＞ b 成立．其余选项用同样方法排除． 3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x +lnx 则 （ ） A ．x=1 2 为f(x)的极大值点 B ．x=12 为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D. 【解析】()22212 'x f x x x x -=- +=，令()'0f x =，则2x =． 当2x <时，()22212 '0x f x x x x -=-+=<； 当2x >时，()22212 '0x f x x x x -=-+=>． 即当2x <时，()f x 是单调递减的；当2x >时，()f x 是单调递增的． 所以2x =是()f x 的极小值点．故选D ． 4.【2012高考辽宁文8】函数y=12 x 2-㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 【答案】B 【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。 【解析】21 1ln ,,00,02 y x x y x y x x x x ''=-∴=->∴<由≤，解得-1≤≤1,又≤1,高考文科数学专题复习导数训练题(文)
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