向量的概念与背景讲义资料
向量的概念与背景优秀课件
向量AB的大小，也就是向量AB的长度 （或称模），记作|AB|.
2.向量的字母表示：（1） a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
3．两个特殊向量：
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
若 a ∥ b ,b ∥ c ,则 a ∥ c .当 b ≠ 0时成立.
3.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改
变方向按东北方向走了 1 0 2 米到达C点,到达
C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作
出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模.
D
2反的非零向量叫做平行向量.
如： a
平行向量又叫做共线向量
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行.
C
o
A
l B
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直 线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？
向量的概念与背景
2.1.1 向量的物理背景与概念
思考:时间,路程,功是向量吗? 速度,加速度是向量吗?
向数量量向：：量既只的有 有两大 大要小 小素， ，：又 没方有 有向方 方、向向大的的小量量..
既有大小又有方向的量叫向量。
向量
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？ 位移、力、速度、加速度、电场强度等
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 所以单位向量可以有无数个。
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的 单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
向量背景及基本概念人教A版必修课件
(4)相等向量一定是平行向量，平行向量不一 定是相等向量．
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 向量的有关概念
例1 判断下列命题是否正确，不正确的说 明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同 或相反； (3)若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平 行； (5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同 或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向 量是相等向量．
(2)向量的表示方法
①几何表示法：常用一条有向线段表示向量． 符号表示：以__A_为___起__点___、__B__为__终__点____的
有向线段，记作A→B.
(注意起点、终点顺序) ②用字母表示：向量可 用字母 a、b、c 等表示(印刷时用黑体 a、b、c，
书写时用→a 、→b 、→c )．
想一想 2.有向线段与向量有何区别和联系？ 提示：
B→C，A→O，F→E. 4 分
(3)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，
D→O，A→O，D→A，A→D.
6分
(4)与 a 相等的向量有E→F，D→O，C→B；
与 b 相等的向量有D→C，E→O，F→A；
与 c 相等的向量有F→O，E→D，A→B 8 分
名师微博 注意两个向量相等必须满足大小相等，方向 相同. 【名师点评】向量的模是用向量的长度定义 的，共线向量是用向量的方向定义的，而相 等向量是用向量的方向和长度共同定义的， 解决本题要弄清这三个概念的联系与区别．
变式训练 2.如图所示，四边形 ABCD 和 ABDE 都是平 行四边形． (1)写出与向量E→D相等的向量；
2.1平面向量的实际背景与基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中 称为矢量）
(2) 只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中 称为标量）
2、向量的几何表示 —— 有向线段
有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个 顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。
记为 AB. 线段AB的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作：AB 有向线段三要素：起点、方向、长度.
∠BAC=90℃。 （1）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等的向量。 （2）分别写出图中与向量 DE,FD 相等的向量。 （3）分别写出图中与向量 DE,FD 共线的向量。
解：(1) DE EF FC AAF DA DB
（2） DE=FFCD=AFCE FDE=BCE=EB
D
F
（3） DE∥FC ∥AF ∥AC;
B
FD
∥CE
∥EB
∥CEB
C
练习 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心， 分别写出图中与 OA、OB、O相C等的向量.
——课本第85页例题
例3 某人从A点出发向西走了200m到达B 点 ， 然 后 改 变 方 向 向 西 偏 北 60 度 走 了 450m到达C点，最后又向东走了200m到达 D点.
4向量 AB 的大小，也就是向量AB 长度（或称模）， 记作：AB
向量和有向线段的联系和区别？
三 向量的相关定义(2) 1零向量：长度为零的向量叫做零向量.记
作 0 ，零向量的方向可以任意取.
2 单位向量：长度等于1个单位长度的向量 叫做单位向量.
3平行向量：方向相同或相反的非零向量 ，记 a // b .
(1) a (2)a b (3)a//b a
(完整word)知识讲解_平面向量的实际背景及基本概念_基础
平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法.3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量.4．理解两个向量共线的含义。
【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．数量：只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等),称为数量．要点诠释：（1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．要点二：向量的表示法1．有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度．2。
向量的表示方法：a b c等.（1)字母表示法：如,,,（2）几何表示法：以A为始点,B为终点作有向线段AB（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB表示向量，通常我们就说向量AB。
要点诠释：(1)用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．要点三：向量的有关概念1．向量的模:向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度)。
要点诠释：a ．（1）向量a的模||0（2）向量不能比较大小，但||a是实数,可以比较大小．2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0，它的方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量.要点诠释：(1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量：长度相等且方向相同的向量.要点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等．要点四:向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量）.规定:0与任一向量共线。
向量概念课件ppt
向量的叉乘
总结词
叉乘是两个向量之间的一种外积运算，结果 是一个向量。
详细描述
叉乘的定义为两个向量$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$的叉乘等于它们的模长之积乘
以它们夹角的正弦值，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。叉乘的结果是一个向 量，该向量垂直于作为运算输入的两个向量 ，并且其模长等于输入向量的模长之积乘以 它们夹角的正弦值。叉乘具有反交换律，即
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$（在二维空间）或$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$（在三维空间）。
详细描述
向量的模也称为向量的长度或大小，用于衡量向量的大小。在二维空间中，向量的模可以通过计算 $sqrt{x^2 + y^2}$得到；在三维空间中，向量的模则是$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。向量的模具有 一些重要的性质，如非负性、传递性和三角不等式等。
$mathbf{A} times mathbf{B} = mathbf{B} times mathbf{A}$。叉乘的结 果可以解释为旋转一个向量绕着另一个向量
向量的混合积
总结词
混合积是三个向量之间的一种运算，结 果是为三个向量$mathbf{A}$、 $mathbf{B}$和$mathbf{C}$的混合积等 于它们的模长之积乘以它们夹角的余弦值 ，记作$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C})$。混合积的结果可以 解释为三个向量在空间中形成的平行六面 体的体积。混合积具有分配律和反交换律 ，即$mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{A} cdot mathbf{C}$以及$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = -
向量的概念及表示(公开课)-PPT
B.3
C.4
D.5
练习 3 .下列说法是否正确 A .若 | a | | b |, 则 a b B .若 | a | 0 , 则 a 0 C .若 | a | | b |, 则 a b或 a b D .若 a // b , 则 a b E .若 a b , 则 | a | | b | F .若 a b , 则 a 与 b 不是共线向量 G .若 a 0 , 则 a 0
◆速度是既有大小又有方向的量。
B
A
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
一:向量定义
既有大小又有方向的量叫 向 量
向量 现实生活中还有哪些量既有大 小又有方向？
建构数学 三、向量的关系
平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量
叫做平行向量。 记作： a//b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量
叫做相等向量 。 记作： ab. 共线向量： 平行向量也叫做共线向量。
相反向量 ： 长度相等 且方向相反的向量
叫做相反向量。 记作： a
B
（2）FB、AF、MC
（3）BD、DC、EM
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量
中：
（1）与 A O 相等的向量为
；A
B
（2）与A O 共线的向量为 （3）与 A O 的模相等的向量为
向量的实际背景及概念
向量的实际背景及概念一、教材内容分析向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。
向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，它的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，经过研究，建立起完整的知识体系后，向量又作为数学模型，广泛地运用于解决数学、物理学科及生活实际问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用。
本节课是人教A版高中数学必修4第二章第一节，是平面向量的起始课，具有“统领全局”的作用。
本节课是概念课，但重要的不仅仅是向量的形式化定义及几个相关概念，还要让学生去体会如何用数学的观点刻画和研究现实事物，获得认识和研究数学新对象的基本思路和方法，进而提高提出问题、分析问题、解决问题的能力。
二、教学目标设置1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系3.经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路，同时学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程度培养和提高。
三、学生学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。
还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。
从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念。
学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础。
平面向量的实际背景及基本概念 课件
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸 上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又| OA | ＝4 2 ，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与 纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量 OA 如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且| AB|＝4，所以在坐标 纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于 是点B位置可以确定，画出向量 AB如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC |＝6，依据勾股 定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向 小方格数为3 3 ≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量 BC 如图所示．
用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向， 最后依据向量模的大小确定向量的终点． 必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹 角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
3．向量间的关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量， 记作：a＝b. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫 共线 向量；a 平行于 b，记作 a∥b ；规定零向量与任一向量 平行 ．
[点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等 向量指大小和方向均相同．
向量的有关概念
(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手 ①是否有大小；②是否有方向． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题 ①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．
向量的表示 [典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用 直尺和圆规画出下列向量：
①OA，使|OA|＝4 2，点A在点O北偏东45°； ② AB，使| AB|＝4，点B在点A正东； ③ BC ，使|BC |＝6，点C在点B北偏东30°.
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零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 么向量？ 平行向量（共线向量）
（6）共线向量一定在同一直线上． ×
2020/8/10
向量
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？ 位移、力、速度、加速度、电场强度等
数量
哪些量只有大小没有方向？ 距离、身高、质量、时间、面积等
2020/8/10
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常 用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点 表示不同的数量.
-1 0 1 2 3
对于向量，我们常用有向线段来表示。
(×)
②单位向量都相等；
(×)
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相
反的向量)不相等；
(×)
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
(×)
2020/8/10
2.下面几个命题： ( 1 ) 若 a b ,b c ,则ac. ( 2 ) 若 |a | 0 ,则 a 0 . ( 3 ) 若 |a | |b |,则 a b . (4)若两个向量 a , b 相等,则 |a | |b |,且 a ∥ b . 其中真命题的个数是( D)
5.平行向量: 6.共线向量:
7. 相等向量: 8. 相反向量:
2020/8/10
仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定
对向量的大小和方向 都明确规定
巩固练习
请判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？
等的向量有多少个？ 11个
变式二：是否存在与向量OA长 度相等,方向相反的向量？
存在，为 FE
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？
2020/8/10
C B , D O , F E
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 简述理由.
①向量 A B 与 C D 是共线向量，则A、B、C、D
四点必
西
A
B东
南
1m
定义 表示
几何表示法：有向线段
符号表示法： a,b, AB
向量
长度(模)
零向量
特殊向量
向量的有关概念
单位向量
2020/8/10
向量间 的关系
平行(共线)向量 相等向量
1.向量的概念: 2.向量的表示:
3.零向量: 4.单位向量:
仅对向量的大小明确规定，而 没有对向量的方向明确规定
2020/8/10
3．两个特殊向量：
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0 2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向. 单位向量大小为1，方向不一定相同。 所以单位向量可以有无数个。
2020/8/10
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的 单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
2020/8/10
B（终点） 有向线段：在线段AB的两个
端点中，规定一个顺序，假设
A为起点，B为终点，我们就
A（起点）
说线段AB具有方向.具有方向 的线段叫做有向线段.
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？ 有向线段的三个要素：起点、方向、长度.
2020/8/10
能不能说向量就是有向线段?
有向线段的三要素： 区 我们现在所研究的“向量起，点与、起方点位向置、无长关.度
b
c
记作 a ∥b ∥c
. 规定：0与任一向量平行.
C
o
A
l B
OA = a OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直 线l上的一点O ，这时它们是不是平行向量？
2020/8/10
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
（2）相D等向量：C长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
A
B
A
B
D
C
记作：a = b
a b
.
o
相等向量一定是平行向量吗? 向量相等
平行向量一定是相等向量吗?
向量平行
2020/8/10
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出 图中与向量OA相等的向量.
O A D O C B
变式一：与向量OA长度相
别 用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。
向量的两个要素： 大小、方向
所以数学中的向量也叫 自由向量
如图：它们表示2条
不同的有向线段;但 都表示同一个向量. A
2020/8/10
B
D
C
1.向量的几何表示：用有向线段表示.
向量AB的大小，也就是向量AB的长度 （或称模），记作|AB|.
2.向量的字母表示：（1） a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母 表示，例如，AB，CD
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
若 a ∥ b ,b ∥ c ,则 a ∥ c .当 b ≠ 0时成立.
2020/8/10
3.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改
变方向按东北方向走了 1 0 2 米到达C点,到达
C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作
出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模.
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
2020/8/10
思考:时间,路程,功是向量吗? 速度,加速度是向量吗?
向数量量向：：量既只的有 有两大 大要小 小素， ，：又 没方有 有向方 方、向向大的的小量量..
2020/8/10
既有大小又有方向的量叫向量。
P
2020/8/10
判断题
1.海拔含零上和零下海拔，所以海拔是向量（ ） 2.向量的模是一个正实数（ ） 3.若|a|>|b| ，则a > b ( ) 4.所有单位向量的大小相等（ ）
2020/8/10
2.1.3．相等向量与共线向量
(1)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
如： a
平行向量又叫做共线向量